בגרות בפיזיקה קרינה וחומר 36282 - קיץ 2021 מועד מיוחד

הפולס נוצר כל זמן שהיד נעה: מ־$t_0=0$ ועד $t_1=0.5\,\text{s}$, כלומר במשך $\Delta t=0.5\,\text{s}$. ברגע $t_0$ יצאה חזית הפולס מהקצה $A$, וברגע $t_1$ (כשהיד חזרה לנקודת המוצא) נוצר הזנב שלו. בזמן הזה חזית הפולס התקדמה מרחק השווה לאורך הפולס.

מתרשים א: הפולס משתרע מ־$x=3\,\text{m}$ עד $x=5\,\text{m}$, ולכן אורכו $\Delta x=5-3=2\,\text{m}$.

מהירות הפולס בחבל קבועה, ולכן לפי הגדרת המהירות מדף הנוסחאות:

הצבה:

טעות נפוצה: לחלק את המקום של חזית הפולס ($5\,\text{m}$) ב־$0.5\,\text{s}$ – ברגע $t_2$ הפולס כבר אינו בתהליך היווצרות; את $0.5\,\text{s}$ יש להתאים לאורך הפולס.

חזית הפולס (הקצה הימני שלו, $x=5\,\text{m}$) יצאה מהקצה $A$ ($x=0$) ברגע $t_0=0$ ונעה במהירות קבועה $v=4\,\text{m/s}$. לפי $\Delta x=v\,\Delta t$:

בדיקה בעזרת הזנב: הזנב ($x=3\,\text{m}$) יצא מ־$A$ ברגע $t_1=0.5\,\text{s}$, ולכן הוא נמצא ב־$x=3\,\text{m}$ ברגע

הפולס הוא פולס רוחב: נקודות החבל נעות רק בניצב לחבל (מעלה או מטה), ולכן התשובות האפשריות הן רק כיוון $1$ או כיוון $5$.

דרך 1 – לפי סדר היווצרות הפולס. החלק הקדמי של הפולס (הקרוב ל־$x=5\,\text{m}$) נוצר ראשון, כשהיד נעה כלפי מעלה; החלק האחורי (הקרוב ל־$x=3\,\text{m}$) נוצר אחר כך, כשהיד נעה כלפי מטה. כל נקודה בחבל חוזרת בדיוק על התנועה שעשתה היד, באיחור.

- $N$ נמצאת בחלק הקדמי של הפולס, אחרי שיא הפולס (בצד הימני, היורד): הפולס רק התחיל להגיע אליה, והיא עדיין עולה – כיוון 1.

- $M$ נמצאת בחלק האחורי, לפני שיא הפולס (בצד השמאלי, העולה): שיא הפולס כבר עבר בה, והיא יורדת חזרה לקו שיווי המשקל – כיוון 5.

דרך 2 – הזזת הפולס. מזיזים את צורת הפולס מעט ימינה (בכיוון ההתקדמות) ובודקים איפה תהיה כל נקודה: בנקודה $N$ צורת החבל שמשמאלה גבוהה יותר – לכן $N$ תעלה; בנקודה $M$ צורת החבל שמשמאלה נמוכה יותר – לכן $M$ תרד.

טעות נפוצה: לבחור כיוון אלכסוני (כמו $2$ או $4$) או אופקי ($3$) – נקודות החבל אינן מתקדמות עם הפולס; רק ההפרעה מתקדמת.

מהירות התפשטות של גל בחבל תלויה רק בתכונות התווך – במתיחות החבל ובמסה ליחידת אורך שלו – ולא בתדירות או במשרעת. זה אותו חבל, והמתיחות לא השתנתה, ולכן מהירות הגל זהה למהירות הפולס: $v=4\,\text{m/s}$ (סעיף א).

מדף הנוסחאות, מהירות גל מחזורי:

הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש במשרעת $1.4\,\text{cm}$ בחישוב – המשרעת אינה משפיעה על אורך הגל.

נתונים: זמן המחזור $T=\frac{1}{f}=\frac{1}{4}=0.25\,\text{s}$, ולכן $\frac{T}{2}=0.125\,\text{s}$.

עד היכן הגיע הגל? חזית הגל יצאה מ־$x=0$ ברגע $t=0$, ולכן ברגע $\frac{T}{2}$ היא נמצאת ב־

מימין לנקודה זו החבל עדיין במנוחה: $y=0$.

צורת החלק שכבר רוטט. כל נקודה חוזרת על תנועת המחולל באיחור $\frac{x}{v}$:

•חזית הגל ($x=0.5\,\text{m}$): התחילה לנוע ממש עכשיו – $y=0$ (והיא מתחילה לעלות).

- $x=0.25\,\text{m}$: התחילה לנוע ברגע $\frac{T}{4}$, ועלתה במשך רבע מחזור – היא בשיא: $y=+1.4\,\text{cm}$.

- $x=0$ (המחולל): אחרי חצי מחזור הוא חזר לשיווי משקל, $y=0$ (ונע כלפי מטה).

כלומר בין $x=0$ ל־$x=0.5\,\text{m}$ יש חצי גל – "גבעה" אחת כלפי מעלה:

ברגע $t=T=0.25\,\text{s}$ חזית הגל נמצאת ב־

מימין לה החבל במנוחה ($y=0$).

- $x=1\,\text{m}$ (החזית): $y=0$, מתחילה לעלות.

- $x=0.75\,\text{m}$: התחילה לנוע ברגע $\frac{3T}{4}$ ועלתה רבע מחזור – שיא, $y=+1.4\,\text{cm}$.

- $x=0.5\,\text{m}$: נעה כבר חצי מחזור – חזרה ל־$y=0$ (ויורדת).

- $x=0.25\,\text{m}$: נעה שלושה רבעי מחזור – בעמק, $y=-1.4\,\text{cm}$.

- $x=0$ (המחולל): השלים מחזור שלם – $y=0$, ומתחיל שוב לעלות.

כלומר בין $x=0$ ל־$x=1\,\text{m}$ יש אורך גל שלם – עמק ואחריו שיא (החלק הקדמי של הגל הוא ה"גבעה" מסעיף (1), שהתקדמה $0.5\,\text{m}$ ימינה):

טעות נפוצה: לסרטט גל המשתרע לכל אורך החבל – הגל מתחיל ברגע $t=0$ ולכן הוא מגיע רק עד המרחק $vt$. טעות נוספת: להפוך את הצורה – החלק הקדמי של הגל הוא תמיד מה שהמחולל עשה ראשון (תנועה כלפי מעלה).

קביעה: התאבכות בונה.

נימוק: הפרש הדרכים הוא

החריצים מוארים באלומה מקבילה הפוגעת בניצב, ולכן הם מקורות שווי מופע. כאשר הפרש הדרכים הוא מספר שלם של אורכי גל, הגלים מגיעים לנקודה באותו מופע (שיא עם שיא, שפל עם שפל) ומחזקים זה את זה. זהו תנאי קווי המקסימום מדף הנוסחאות, $d\sin\theta_n=n\lambda$, כאשר $d\sin\theta$ הוא הפרש הדרכים – כאן $n=9$.

טעות נפוצה: להתייחס למספר $18$ עצמו (או "חצאי גל") ולהסיק התאבכות הורסת – התאבכות הורסת מתקבלת רק כשמספר חצאי אורכי הגל אי־זוגי.

בקירוב זוויות קטנות קווי המקסימום על המסך נמצאים במרווחים שווים זה מזה, $\Delta x=\frac{L\lambda}{d}$ (נוסחת יאנג). רוחב פס האור הוא המרחק בין מרכזי שני מקסימומים סמוכים.

בין המקסימום מסדר $n=0$ למקסימום מסדר $n=8$ יש $8$ מרווחים כאלה:

טעות נפוצה: לחלק ב־$9$ (מספר המקסימומים מ־$0$ עד $8$) במקום ב־$8$ (מספר המרווחים).

מדף הנוסחאות, נוסחת יאנג:

אותם חריצים ($d$ קבוע) ואותו מסך ($L$ קבוע) – ולכן רוחב הפס יחסי לאורך הגל: $\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.

רוחב הפס קטן פי $1.2$, ולכן:

(ובהתאם $\Delta x_2=\frac{1.5}{1.2}=1.25\,\text{cm}$.)

בקירוב זוויות קטנות, הפרש הדרכים לנקודה במרחק $X$ ממרכז התבנית הוא

(כי $\frac{d}{L}=\frac{\lambda}{\Delta x}$ לפי נוסחת יאנג). כלומר מספר אורכי הגל בהפרש הדרכים שווה ל־$\frac{X}{\Delta x}$.

עבור $\lambda_1$ ($\Delta x_1=1.5\,\text{cm}$):

מספר אי־זוגי של חצאי אורך גל – הגלים מגיעים בהיפוך מופע: התאבכות הורסת (קו המינימום השלישי, $n=3$ בנוסחת קווי המינימום $\frac{X_n}{L}=(n-\tfrac12)\frac{\lambda}{d}$).

עבור $\lambda_2$ ($\Delta x_2=1.25\,\text{cm}$):

מספר שלם של אורכי גל – התאבכות בונה (מקסימום מסדר $n=3$).

(בדיקה במספרים: $\frac{d}{L}=\frac{\lambda_1}{\Delta x_1}=\frac{600\cdot 10^{-9}}{0.015}=4\cdot 10^{-5}$, ולכן $\Delta r=4\cdot 10^{-5}\cdot 0.0375=1.5\cdot 10^{-6}\,\text{m}=1500\,\text{nm}$ – זה $2.5\cdot 600\,\text{nm}$ ו־$3\cdot 500\,\text{nm}$.)

המקסימום המרכזי בסדק יחיד. מדף הנוסחאות, קווי הצומת (מינימום) בעקיפה מסדק יחיד:

המקסימום המרכזי משתרע בין קווי הצומת הראשונים ($n=1$) משני צדי המרכז. כל אחד מהם במרחק $X_1=\frac{L\lambda_1}{w}$ מהמרכז, ולכן רוחב המקסימום המרכזי:

רוחב פס האור בניסוי הראשון (נוסחת יאנג): $\Delta x=\frac{L\lambda_1}{d}$.

הנתון: $D=2\Delta x$, עם אותו אורך גל $\lambda_1$ ואותו מרחק $L$:

טעות נפוצה: לקחת את רוחב המקסימום המרכזי כ־$\frac{L\lambda}{w}$ – זה רק המרחק מהמרכז לצומת הראשון; הרוחב כולו כפול.

לפי סעיף ה, $w=d$. את $d$ מוצאים מנוסחת יאנג עם נתוני הניסוי הראשון:

הצבה ($\Delta x=1.5\,\text{cm}=0.015\,\text{m}$ מסעיף ב):

הצירים: ציר אופקי – תדירות הקרינה $f$ ביחידות $10^{14}\,\text{Hz}$ (טווח $8.5$ עד $12.5$); ציר אנכי – פוטנציאל הלוח $V$ בוולט (טווח $0$ עד $1$).

הנקודות $(f,\,V)$: $(9.0,\,0)$, $(9.5,\,0)$, $(10.0,\,0.03)$, $(10.5,\,0.3)$, $(11.0,\,0.5)$, $(11.5,\,0.67)$, $(12.0,\,0.86)$.

העקומה בנויה משני חלקים:

•בתדירויות נמוכות (עד תדירות הסף) הפוטנציאל אפס – קטע אופקי על הציר.

•מעל תדירות הסף הנקודות מסתדרות לאורך קו ישר עולה. מעבירים את הקו הישר המתאים ביותר לחמש הנקודות שמ־$10.0$ עד $12.0$, ומאריכים אותו עד שהוא חותך את הציר האופקי.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, למשל $(10.0,\,0.066)$ ו־$(12.0,\,0.878)$:

משוואת הקו: $V=0.406f-3.99$ ($f$ ביחידות $10^{14}\,\text{Hz}$, $V$ בוולט). הקו חותך את הציר האופקי ב־$f_0=\frac{3.994}{0.406}\approx 9.84\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$.

טעות נפוצה: להעביר קו ישר אחד דרך כל שבע הנקודות, כולל שתי נקודות האפס – מתחת לתדירות הסף אין פליטת אלקטרונים, והקשר הקווי תקף רק מעליה.

בנקודת החיתוך הפוטנציאל המרבי שהלוח יכול להגיע אליו הוא אפס, כלומר האלקטרונים המשתחררים יוצאים בלי אנרגייה קינטית עודפת. זו תדירות הסף $f_0$ של המתכת: התדירות המזערית של הקרינה שבה עדיין משתחררים אלקטרונים מהמתכת. אנרגיית הפוטון בתדירות זו שווה בדיוק לפונקציית העבודה $B$ של המתכת:

בתדירות נמוכה יותר אנרגיית כל פוטון קטנה מ־$B$, ולא משתחררים אלקטרונים כלל (בלי תלות בעוצמת הקרינה) – ולכן הלוח לא נטען.

מהגרף: $f_0\approx 9.8\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$.

מדוע הלוח נטען ומדוע הפוטנציאל מתייצב. הקרינה משחררת אלקטרונים מהלוח, ולכן הלוח נטען במטען חיובי והפוטנציאל שלו עולה. הלוח החיובי מושך בחזרה את האלקטרונים המשתחררים: אלקטרון שיוצא מהלוח צריך להשקיע אנרגייה $eV$ כדי להתרחק ממנו. הפוטנציאל עולה עד שגם האלקטרונים בעלי האנרגייה הקינטית המרבית כבר אינם מצליחים להתרחק – ואז הוא מתייצב:

הקשר הקווי. מדף הנוסחאות, האפקט הפוטואלקטרי:

כלומר מעל תדירות הסף $V$ פונקציה קווית של $f$ (שיפוע $\frac{h}{e}$), והקו חותך את הציר האופקי ב־$f_0=\frac{B}{h}$.

חישוב. מהגרף, $f_0\approx 9.84\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$. לפי $B=hf_0$ (מדף הנוסחאות $h=4.14\cdot 10^{-15}\,\text{eV}\cdot\text{s}=6.63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$):

בדיקה: שיפוע הקו שמצאנו, $4.06\cdot 10^{-15}\,\text{V}\cdot\text{s}$, קרוב מאוד ל־$\frac{h}{e}=4.14\cdot 10^{-15}\,\text{V}\cdot\text{s}$, כמצופה. בדרך שקולה: חיתוך הקו המוארך עם הציר האנכי הוא $-\frac{B}{e}\approx -3.99\,\text{V}$, כלומר $B\approx 4.0\,\text{eV}$ – אותה תוצאה בקירוב.

אנרגיית פוטון בתדירות זו:

היא גדולה מפונקציית העבודה ($B\approx 4.07\,\text{eV}$), ולכן פוטון שנבלע באלקטרון משחרר אותו מהמתכת, ונשארת לו אנרגייה קינטית מרבית של

(בהתאם לטבלה: בתדירות זו הפוטנציאל מתייצב על $0.5\,\text{V}$.)

הלוח נמצא בפוטנציאל $0.3\,\text{V}$, ולכן כדי להתרחק ממנו אלקטרון צריך להשקיע רק $eV=0.3\,\text{eV}$. לאלקטרונים המהירים יש יותר אנרגייה מזה – ולכן הם מצליחים לעזוב את הלוח, למרות שהוא כבר טעון חיובית.

כל אלקטרון שעוזב את הלוח מגדיל את המטען החיובי של הלוח, ולכן הפוטנציאל של הלוח עולה. ככל שהפוטנציאל גדל, האנרגייה $eV$ הדרושה כדי לעזוב גדלה, ופחות אלקטרונים מצליחים לצאת. כשהפוטנציאל מגיע ל־

גם האלקטרונים המהירים ביותר נמשכים בחזרה, והפוטנציאל מתייצב על כ־$0.5\,\text{V}$ – הערך שבטבלה 1 לתדירות $11.0\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$.

קביעה: משפט (3).

נימוק: הפוטנציאל שהלוח מתייצב עליו נקבע לפי האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים: $eV=hf-B$. הגודל הזה תלוי רק בתדירות הקרינה ובפונקציית העבודה של המתכת.

•עוצמת הקרינה קובעת את מספר הפוטונים (ולכן את מספר האלקטרונים המשתחררים), אך לא את האנרגייה של כל פוטון – ולכן היא אינה משנה את הפוטנציאל הסופי. משפטים (1) ו־(2) אינם נכונים.

•המרחק ממקור הקרינה משנה רק את העוצמה בלוח – ולכן גם משפט (4) אינו נכון.

ואכן, בטבלה 2 מתקבלים בדיוק אותם ערכים כמו בטבלה 1, אך בתדירות הגבוהה ב־$0.5\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ (למשל $0.3\,\text{V}$ ב־$10.5$ בקבוצה I וב־$11.0$ בקבוצה II). כלומר הגרף של קבוצה II הוא אותו קו ישר (אותו שיפוע $\frac{h}{e}$) המוזז ימינה – תדירות הסף גבוהה יותר, ולכן פונקציית העבודה גדולה יותר (בכ־$4.14\cdot 10^{-15}\cdot 0.5\cdot 10^{14}\approx 0.2\,\text{eV}$). פונקציית העבודה היא תכונה של המתכת – ולכן ההבדל מוסבר בכך שהלוחות עשויים ממתכות שונות.

טעות נפוצה: לבחור במשפט (1) מתוך מחשבה ש"יותר עוצמה = יותר אנרגייה לאלקטרון" – זו בדיוק הטעות שהאפקט הפוטואלקטרי הפריך.

מדף הנוסחאות, רמות האנרגייה באטום המימן:

פוטון נבלע בשלמותו או לא נבלע כלל – הוא אינו יכול למסור לאטום רק חלק מהאנרגייה שלו. לכן כדי לעורר את האטום מ־$n=1$ ל־$n=3$, אנרגיית הפוטון חייבת להיות שווה בדיוק להפרש הרמות (מדף הנוסחאות $E_{ph}=E_f-E_i$):

פוטון בעל אנרגייה אחרת (קטנה מ־$13.6\,\text{eV}$) לא ייבלע ולא יעורר את האטום לרמה $3$.

בהתנגשות, החלקיק יכול למסור לאטום חלק מהאנרגייה הקינטית שלו ולהמשיך לנוע עם השארית. האטום קולט רק את האנרגייה המתאימה למעבר ($12.09\,\text{eV}$ למעבר $1\to 3$), והשאר נשאר אנרגייה קינטית של החלקיק (ושל האטום).

לכן החלקיק יכול לעורר את האטום לרמה $n=3$ בתנאי שהאנרגייה הקינטית שלו לפחות שווה להפרש הרמות:

(אם דורשים שאף אטום לא יעורר מעבר לרמה $n=3$, האנרגייה צריכה להיות גם קטנה מ־$E_4-E_1\approx 12.75\,\text{eV}$, כלומר $12.09\le E_k<12.75\,\text{eV}$.)

טעות נפוצה: לתת גם לחלקיק תשובה של ערך יחיד – רק פוטון חייב להתאים בדיוק להפרש הרמות.

לפי $E_n=-\frac{13.6}{n^2}\,\text{eV}$ (מדף הנוסחאות, עם $E_\infty=0$):

הסרטוט: ציר אנרגייה אנכי, ועליו ארבעה קווים אופקיים: $n=1$ בתחתית; $n=2$ גבוה בהרבה (בערך שלושה רבעים מהדרך אל $0$); $n=3$ קרוב יותר ל־$n=2$ מאשר $n=2$ ל־$n=1$; ו־$n=\infty$ ($E=0$) בראש. הרווחים בין הרמות הולכים וקטנים כלפי מעלה. ליד כל קו רושמים את $n$ ואת ערך האנרגייה.

אטום ברמה $n=3$ יכול לחזור למצב היסוד ישירות, או בשני שלבים דרך $n=2$. בכל מעבר כלפי מטה נפלט פוטון. לכן מסמנים שלושה חצים כלפי מטה:

1. מ־$n=3$ ל־$n=1$;

2. מ־$n=3$ ל־$n=2$;

3. מ־$n=2$ ל־$n=1$.

לכל חץ מתאים קו אחד בספקטרום הפליטה – סך הכול שלושה אורכי גל. אין חצים אל רמת היינון או ממנה – היא אינה משתתפת בתהליך.

טעות נפוצה: לסמן רק את המעבר $3\to 1$ – החזרה בשני שלבים, $3\to 2\to 1$, נותנת שני קווים נוספים.

אנרגיית הפוטון הנפלט שווה להפרש הרמות: $E_{ph}=E_i-E_f$. מדף הנוסחאות, הקשר בין אנרגיית פוטון לאורך הגל:

מעבר $3\to 1$: $E=13.6\left(1-\frac19\right)\approx 12.09\,\text{eV}$

מעבר $3\to 2$: $E=13.6\left(\frac14-\frac19\right)\approx 1.89\,\text{eV}$

מעבר $2\to 1$: $E=13.6\left(1-\frac14\right)=10.2\,\text{eV}$

(שני המעברים לרמת היסוד נמצאים בתחום העל־סגול; המעבר $3\to 2$ הוא הקו האדום הנראה של המימן.)

קביעה: ההשערה של תלמיד $B$ נכונה.

נימוק: האטומים במכל נמצאים במצב היסוד. יינון הוא העברת האלקטרון מ־$n=1$ אל מחוץ לאטום ($n=\infty$, $E=0$). האנרגייה המזערית הדרושה:

אורך הגל של פוטון באנרגייה זו (מדף הנוסחאות):

•פוטון בעל אנרגייה גדולה מ־$13.6\,\text{eV}$ (כלומר אורך גל קצר מ־$91.18\,\text{nm}$) גם הוא מיינן את האטום: האלקטרון משתחרר, והאנרגייה העודפת הופכת לאנרגייה קינטית שלו. בניגוד למעבר בין רמות קשורות, אין כאן צורך בהתאמה מדויקת – מעל רמת היינון האנרגייה של האלקטרון החופשי אינה מקוונטטת. לכן השערת $A$ ("רק") שגויה.

•פוטון בעל אורך גל ארוך מ־$91.18\,\text{nm}$ נושא פחות מ־$13.6\,\text{eV}$, ואינו יכול ליינן אטום במצב היסוד – השערת $C$ שגויה.

טעות נפוצה: לבחור ב־$C$ מתוך בלבול בכיוון – אנרגיית הפוטון הפוכה לאורך הגל ($E=\frac{hc}{\lambda}$).

הקשר בין האנרגייה הקינטית לאנרגייה הכוללת אינו מופיע בדף הנוסחאות, ולכן נפתח אותו מהמודל של בוהר.

האלקטרון נע במסלול מעגלי סביב הפרוטון, וכוח קולון הוא הכוח השקול הרדיאלי:

האנרגייה הפוטנציאלית (מדף הנוסחאות, $U=k\frac{q_1q_2}{r}$ עם מטענים $+e$ ו־$-e$): $U=-\frac{ke^2}{r}=-2E_k$.

לכן האנרגייה הכוללת:

בדיקה ישירה: מדף הנוסחאות $r_n=n^2r_1$, $r_1=0.0529\,\text{nm}$, ולכן $r_3=9\cdot 0.0529=0.476\,\text{nm}$:

טעות נפוצה: לענות $-1.51\,\text{eV}$ – האנרגייה הקינטית תמיד חיובית; השלילית היא האנרגייה הכוללת.