מתכונת 2 בפיזיקה - קרינה וחומר 36282

נתוני תרשים 1. נמדוד מקום לאורך הקפיץ מהנקודה $M$ ($x=0$), בסנטימטרים:

•הפולס השמאלי (נע ימינה): בין $x=-20$ ל־$x=0$, העתק $+20\,\text{cm}$ (שתי משבצות).

•הפולס הימני (נע שמאלה): בין $x=40$ (הנקודה $N$) ל־$x=60$, העתק $-10\,\text{cm}$ (משבצת אחת).

כל פולס מתקדם $\Delta x=v\Delta t=20\,\text{cm}$ בכל שנייה (שתי משבצות). ברגע $t$ הפולס השמאלי נמצא בין $-20+20t$ ל־$20t$, והימני בין $40-20t$ ל־$60-20t$. באזור שבו הפולסים חופפים, לפי עקרון הסופרפוזיציה ההעתק הוא סכום ההעתקים.

(1) $t_1=1\,\text{s}$: השמאלי בין $0$ ל־$20$, הימני בין $20$ ל־$40$. הפולסים נוגעים זה בזה ב־$x=20\,\text{cm}$ ואינם חופפים:

(2) $t_2=1.5\,\text{s}$: שני הפולסים נמצאים בדיוק באותו קטע, בין $x=10$ ל־$x=30$. ההעתק בקטע הוא $(+20)+(-10)=+10\,\text{cm}$: רואים פולס אחד ברוחב $20\,\text{cm}$ ובגובה $10\,\text{cm}$. הפולסים אינם מבטלים זה את זה, כי ההעתקים שלהם אינם שווים בגודלם.

(3) $t_3=2.5\,\text{s}$: השמאלי בין $30$ ל־$50$, הימני בין $-10$ ל־$10$. הפולסים חלפו זה על פני זה וחזרו לצורתם המקורית:

טעות נפוצה: לסרטט ברגע $t_2$ קפיץ ישר (כמו בפולסים שווים והפוכים) או פולס בגובה $30\,\text{cm}$ – מחברים את ההעתקים עם הסימנים שלהם: $20-10=10$.

קביעה: לא קיימת נקודה כזו.

נימוק: הפולס השמאלי מגיע לכל נקודה $x$ בקטע $MN$ ($0\le x\le 40\,\text{cm}$) ברגע $t=\frac{x}{20}\le 2\,\text{s}$, כלומר בתוך פרק הזמן הנתון. כל עוד הנקודה נמצאת בתוך הפולס השמאלי, ההעתק שלה הוא:

- $+20\,\text{cm}$ – אם הפולס הימני לא נמצא שם באותו רגע;

- $+20+(-10)=+10\,\text{cm}$ – אם גם הפולס הימני נמצא שם.

בשני המקרים ההעתק שונה מאפס, ולכן כל נקודה בקטע זזה.

למשל, הנקודה שבאמצע הקטע ($x=20\,\text{cm}$), שבה הפולסים נפגשים: שני הפולסים נמצאים בה בדיוק באותו זמן, $1\le t\le 2\,\text{s}$, אבל העתקם השקול $+10\,\text{cm}$ – היא עולה ב־$10\,\text{cm}$.

טעות נפוצה: לענות שאמצע הקטע נשאר במקומו – זה נכון רק כאשר שני הפולסים זהים בגודלם והפוכים בסימנם.

איך משתנה גל מתקדם: בגל מתקדם הצורה כולה זזה לאורך החבל בלי לשנות את גובהה: אחרי זמן קצר מקבלים אותה צורה, באותה משרעת, מוזזת ימינה או שמאלה. בפרט, נקודות החיתוך עם ציר $x$ זזות יחד עם הצורה.

•נקודות החיתוך של קו 1 ושל קו 2 עם ציר $x$ זהות – הצורה לא זזה לאורך החבל. נקודות אלה הן צמתים, שנמצאים במנוחה כל הזמן.

•השיאים והשפל נמצאים באותם מקומות, אבל גובהם קטן: כל הנקודות שבין שני צמתים סמוכים נעו יחד לכיוון ציר $x$ (בגבנונים העליונים כלפי מטה ובגבנון התחתון כלפי מעלה), וההעתק של כל נקודה קטן באותו יחס.

•גבנונים סמוכים נעים בכיוונים מנוגדים (במופע הפוך).

אלה בדיוק המאפיינים של גל עומד, הנוצר מסופרפוזיציה של שני גלים זהים הנעים בכיוונים מנוגדים: כל נקודה מתנודדת במקומה, במשרעת שתלויה במקומה, והצורה אינה מתקדמת.

טעות נפוצה: להסיק "גל מתקדם שהמשרעת שלו דועכת" – בגל מתקדם נקודות האפס היו זזות.

שני קצות המיתר קשורים, ולכן בשניהם יש צמתים. גל עומד נוצר רק כאשר אורך המיתר מכיל מספר שלם של חצאי אורכי גל. מדף הנוסחאות (גל עומד במיתר שקצותיו קשורים):

ולפי $v=\lambda f$:

הצבה, $\ell=1.2\,\text{m}$, $v=48\,\text{m/s}$:

התדירויות האפשריות: $20,\ 40,\ 60,\ 80,\ 100,\ 120,\ 140,\dots\,\text{Hz}$. בתחום $50$–$130\,\text{Hz}$:

טעות נפוצה: להתחיל מ־$n=1$ ולכלול את $20$ ו־$40\,\text{Hz}$ – הן מחוץ לתחום שבו שינו את התדירות.

התדירות הגבוהה ביותר היא $f_6=120\,\text{Hz}$, כלומר $n=6$:

על המיתר שישה גבנונים, כל אחד באורך $\frac{\lambda}{2}=0.2\,\text{m}$. מסרטטים את המיתר בשני מצבי הקיצון שלו (קו מלא וקו מקווקו); גבנונים סמוכים הפוכים זה לזה.

ל־$n$ גבנונים יש $n+1$ צמתים, כולל שני הקצוות (כל גבנון תחום בין שני צמתים, וגבנונים סמוכים חולקים צומת). עבור $n=6$ יש $7$ צמתים, ובלי שני הקצוות:

הצמתים הפנימיים נמצאים במרחקים $0.2,\ 0.4,\ 0.6,\ 0.8,\ 1.0\,\text{m}$ מהקיר.

התדירות הנמוכה ביותר בתחום היא $f_3=60\,\text{Hz}$ (ולא $20\,\text{Hz}$). כל נקודה במיתר (פרט לצמתים) מתנודדת בתדירות המחולל:

בגל עומד כל הנקודות מגיעות להעתק המרבי שלהן באותו רגע, ועוברות בנקודת שיווי המשקל (המיתר ישר) באותו רגע. המעבר מהעתק מרבי לשיווי משקל הוא רבע תנודה:

טעות נפוצה: לחשב זמן שבו "הגל עובר" מרחק לאורך המיתר – בגל עומד הצורה אינה מתקדמת; שואלים על תנודה של נקודה במקומה.

קביעה: התאבכות הורסת.

נימוק: הפרש הדרכים הוא

החריצים מוארים באלומה מקבילה הפוגעת בניצב, ולכן הם מקורות שווי מופע. כשהפרש הדרכים הוא מספר אי־זוגי של חצאי אורך גל, הגלים מגיעים לנקודה בהיפוך מופע (שיא מול שפל) ומבטלים זה את זה. זה תנאי קווי המינימום מדף הנוסחאות, $d\sin\theta_n=\left(n-\tfrac12\right)\lambda$ – כאן $n=8$ (קו המינימום השמיני).

טעות נפוצה: לראות ש־$15$ הוא מספר שלם ולהסיק התאבכות בונה – המספר השלם הוא של חצאי אורכי גל; רק מספר זוגי של חצאים הוא מספר שלם של אורכי גל.

בקירוב זוויות קטנות המקסימומים על המסך נמצאים במרווחים שווים, $\Delta x=\frac{L\lambda}{d}$ (נוסחת יאנג), והמקסימום מסדר $n$ נמצא במרחק $n\Delta x$ ממרכז התבנית.

שני המקסימומים נמצאים משני צדי המרכז: מסדר $2$ בצד אחד ומסדר $4$ בצד השני. לכן המרחק ביניהם:

טעות נפוצה: לחסר את הסדרים ($4-2=2$ מרווחים) כאילו שני המקסימומים באותו צד, או לחלק ב־$7$ (מספר המקסימומים מהראשון עד האחרון) במקום ב־$6$ (מספר המרווחים).

מדף הנוסחאות, נוסחת יאנג:

אותם חריצים ($d$ קבוע) ואותו מסך ($L$ קבוע) – לכן רוחב הפס יחסי לאורך הגל: $\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.

רוחב הפס גדל פי $1.25$, ולכן:

(ובהתאם $\Delta x_2=1.25\cdot 1.6=2.0\,\text{cm}$.)

טעות נפוצה: לחלק ב־$1.25$ – פס רחב יותר מתאים לאורך גל ארוך יותר.

בקירוב זוויות קטנות, הפרש הדרכים לנקודה במרחק $X$ ממרכז התבנית:

(כי $\frac{d}{L}=\frac{\lambda}{\Delta x}$ לפי נוסחת יאנג). כלומר מספר אורכי הגל בהפרש הדרכים שווה ל־$\frac{X}{\Delta x}$.

עבור $\lambda_1$ ($\Delta x_1=1.6\,\text{cm}$):

זה לא מספר שלם של אורכי גל ($3$ או $4$) וגם לא מספר אי־זוגי של חצאים ($3.5$) – הגלים מגיעים בהפרש מופע של רבע מחזור: נקודת ביניים (בין המינימום הרביעי, ב־$3.5\Delta x_1=5.6\,\text{cm}$, למקסימום הרביעי, ב־$4\Delta x_1=6.4\,\text{cm}$).

עבור $\lambda_2$ ($\Delta x_2=2.0\,\text{cm}$):

מספר שלם של אורכי גל – התאבכות בונה (מקסימום מסדר $n=3$).

(בדיקה במספרים: $\frac{d}{L}=\frac{\lambda_1}{\Delta x_1}=\frac{480\cdot 10^{-9}}{0.016}=3\cdot 10^{-5}$, ולכן $\Delta r=3\cdot 10^{-5}\cdot 0.060=1.8\cdot 10^{-6}\,\text{m}=1800\,\text{nm}$ – זה $3.75\cdot 480\,\text{nm}$ ו־$3\cdot 600\,\text{nm}$.)

המקסימום המרכזי בחריץ יחיד. מדף הנוסחאות, קווי הצומת בעקיפה מסדק יחיד:

המקסימום המרכזי משתרע בין קווי הצומת הראשונים ($n=1$) משני צדי המרכז, כל אחד במרחק $X_1=\frac{L\lambda_1}{w}$ מהמרכז. לכן רוחבו:

רוחב פס האור בניסוי הראשון (נוסחת יאנג): $\Delta x=\frac{L\lambda_1}{d}$.

הנתון: $D=4\Delta x$, עם אותו אורך גל ואותו $L$:

טעות נפוצה: לקחת את רוחב המקסימום המרכזי כ־$\frac{L\lambda}{w}$ – זה רק המרחק מהמרכז לצומת הראשון; הרוחב כולו כפול (ואז מתקבל בטעות $w=\frac{d}{4}$).

לפי סעיף ה, $w=\frac{d}{2}$. את $d$ מוצאים מנוסחת יאנג עם נתוני הניסוי הראשון:

(בדיקה: $D=\frac{2L\lambda_1}{w}=\frac{2\cdot 1.5\cdot 480\cdot 10^{-9}}{2.25\cdot 10^{-5}}=0.064\,\text{m}=4\cdot 1.6\,\text{cm}\ ✓$)

כדי להשוות, מחשבים את אורך גל הסף המתאים לתדירות הסף (דף הנוסחאות, $c=\lambda f$):

אלקטרונים נפלטים רק אם אנרגיית הפוטון $hf$ גדולה מפונקציית העבודה, כלומר $f>f_0$, ובאופן שקול $\lambda<\lambda_0$:

- $\lambda_1=180\,\text{nm}<273\,\text{nm}$ – נפלטים אלקטרונים, נוצר זרם.

- $\lambda_2=250\,\text{nm}<273\,\text{nm}$ – נוצר זרם.

- $\lambda_3=300\,\text{nm}>273\,\text{nm}$ – לא נוצר זרם: אנרגיית כל פוטון, $\frac{1240}{300}\approx 4.13\,\text{eV}$, קטנה מפונקציית העבודה של טונגסטן (כ־$4.55\,\text{eV}$, ראו סעיף ג). אלקטרון בולע פוטון אחד בלבד, ולכן אף אלקטרון אינו מקבל די אנרגייה כדי להשתחרר – בלי קשר לעוצמת האלומה.

טעות נפוצה: לחשוב שהגדלת עוצמת האלומה $\lambda_3$ תיצור זרם – העוצמה קובעת את מספר הפוטונים, לא את האנרגייה של כל פוטון.

תדירות הסף $f_0$ של מתכת היא התדירות המזערית של קרינה אלקטרומגנטית שגורמת לפליטת אלקטרונים מן המתכת (אפקט פוטואלקטרי).

בתדירות זו אנרגיית הפוטון שווה בדיוק לפונקציית העבודה של המתכת – האנרגייה המזערית הדרושה לשחרור אלקטרון:

באור שתדירותו קטנה מ־$f_0$ לא נפלטים אלקטרונים, יהיו העוצמה וזמן ההארה אשר יהיו.

בתדירות הסף האנרגייה הקינטית של האלקטרונים הנפלטים אפס. מדף הנוסחאות $E_{ph}=B+E_k$, ולכן

עם $h=4.14\cdot 10^{-15}\,\text{eV}\cdot\text{s}$:

ביחידות ג'אול ($h=6.63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$):

לפי משוואת האפקט הפוטואלקטרי (דף הנוסחאות):

מן הקשר בין אנרגיית הפוטון לאורך הגל (דף הנוסחאות):

(קרינה על־סגולה, וקצרה מ־$\lambda_0=273\,\text{nm}$ – כמצופה.)

טעות נפוצה: לחשב את אורך הגל מתוך $E_k$ בלבד ($\frac{1240}{1.2}$) ולשכוח את פונקציית העבודה.

מתח העצירה עוצר את האלקטרונים המהירים ביותר, ולכן העבודה של הכוח החשמלי עליהם שווה לאנרגייה הקינטית המרבית שלהם: $eV_s=E_{k,\max}$. עם משוואת האפקט הפוטואלקטרי:

כשהאנרגיות מבוטאות ב־$\text{eV}$ והמתח בוולט, מספרית: $V_s=hf-B$.

- שיפוע $1$: כל הגדלה של $hf$ ב־$1\,\text{eV}$ מגדילה את $V_s$ ב־$1\,\text{V}$. בצירים בעלי אותו קנה מידה – זווית $45^\circ$. גרף III (זווית $30^\circ$) נפסל.

- סף: עבור $hf<B$ לא נפלטים אלקטרונים, והקו פוגש את הציר האופקי ב־$hf=B>0$. גרף I (שעובר דרך הראשית) וגרף II (שבו גם פוטון בעל אנרגייה אפסית "פולט" אלקטרונים) נפסלים.

נשאר גרף IV: קו בזווית $45^\circ$ שמתחיל בנקודה $hf=B$ על הציר האופקי.

חיתוך עם הציר האופקי ($V_s=0$): $0=hf-B\Rightarrow hf=B=4.55\,\text{eV}$ – אנרגיית פוטון בתדירות הסף.

חיתוך של המשך הקו עם הציר האנכי ($hf=0$): $V_s=0-B$, כלומר $V_s=-4.55\,\text{V}$. אותו ערך מתקבל גם מן הגאומטריה: קו בשיפוע $1$ (זווית $45^\circ$) יורד מנקודת החיתוך האופקית מרחק $4.55$ יחידות עד הציר האנכי. לחלק זה של הקו אין משמעות פיזיקלית (לכן הוא מקווקו), אבל הוא מאפשר לקרוא ממנו את פונקציית העבודה.

1. רמות אנרגייה בדידות. האלקטרון באטום יכול להימצא רק ברמות מסוימות, כמו בתרשים: $-13.6,\ -3.40,\ -1.51,\ -0.85,\dots\,\text{eV}$. ערכי ביניים אינם אפשריים.

2. פליטה במעבר בין רמות. אטום מעורר חוזר לרמה נמוכה יותר ופולט פוטון. מדף הנוסחאות (הנחות בוהר):

3. מכאן אנרגיות בדידות. הפרשי האנרגייה בין הרמות הם קבוצה סופית של ערכים, ולכן לפוטונים יש רק אנרגיות מסוימות. מ־$E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$ לכל אנרגייה מתאים אורך גל אחד, ולכן בספקטרום מופיעים קווים נפרדים ולא ספקטרום רציף.

אילו רמות מתעוררות? לכל אלקטרון אנרגייה קינטית $E_k=12.9\,\text{eV}$. בהתנגשות הוא יכול למסור לאטום רק אנרגייה השווה להפרש בין רמת היסוד לרמה גבוהה יותר, ואת השאר הוא שומר כאנרגייה קינטית. האנרגיות הדרושות מרמת היסוד:

•ל־$n=2$: $-3.40-(-13.6)=10.2\,\text{eV}<12.9$, אפשרי.

•ל־$n=3$: $-1.51-(-13.6)=12.09\,\text{eV}<12.9$, אפשרי.

•ל־$n=4$: $-0.85-(-13.6)=12.75\,\text{eV}<12.9$, אפשרי.

•ל־$n=5$: $-0.54-(-13.6)=13.06\,\text{eV}>12.9$, לא אפשרי.

לכן האטומים מתעוררים לרמות $n=2,3,4$.

המעברים בפליטה (חיצים כלפי מטה): אטום ברמה $n=4$ יכול לרדת ישירות או דרך רמות ביניים, ולכן מתקבלים כל המעברים בין הרמות $1$–$4$:

סך הכול $6$ חיצים. אין חיצים שיוצאים מ־$n=5$.

טעות נפוצה: לסמן רק את שלושת המעברים לרמת היסוד ($4\to 1$, $3\to 1$, $2\to 1$), או לסמן גם מעברים מ־$n=5$.

אורך הגל הפוך לאנרגיית הפוטון, ולכן אורך הגל המרבי מתאים להפרש האנרגייה הקטן ביותר מבין ששת המעברים - המעבר $4\to 3$:

מדף הנוסחאות:

זו קרינה אינפרה־אדומה (מחוץ לתחום הנראה).

טעות נפוצה: לבחור את המעבר $3\to 2$ (הקו האדום $656\,\text{nm}$, הנראה הארוך ביותר) ולשכוח את המעבר $4\to 3$.

אנרגיית הפוטון, מדף הנוסחאות:

אילו הפוטון נבלע, האטום היה מגיע לאנרגייה:

אין רמה כזאת: הערך נמצא בין $n=3$ ($-1.51\,\text{eV}$) ובין $n=4$ ($-0.85\,\text{eV}$). האנרגייה גם קטנה מאנרגיית היינון ($13.6\,\text{eV}$). פוטון נבלע רק בשלמותו, ורק אם האנרגייה שלו מתאימה בדיוק למעבר, ולכן לא יתקיים עירור.

טעות נפוצה: לחשוב שהפוטון יעורר לרמה $n=3$ "וישאיר עודף", כמו האלקטרונים בסעיף ב. אלקטרון יכול למסור חלק מהאנרגייה שלו, פוטון - לא.

אנרגיית הפוטון, מדף הנוסחאות:

לאחר הבליעה:

זו בדיוק רמה $n=2$ (הפרש של $-3.40-(-13.6)=10.20\,\text{eV}$ מרמת היסוד). לכן הפוטונים ייבלעו, ויתקיים עירור מרמת היסוד לרמה $n=2$.

(אם מחשבים $E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$ עם הקבועים שבדף הנוסחאות מתקבל $10.2\,\text{eV}$ - אותה תוצאה בדיוק של הקבועים.)

אנרגיית הפוטון:

האטומים ברמת היסוד. אנרגיית היינון (המעבר מ־$n=1$ ל־$n=\infty$, שבו $E=0$):

האנרגייה שנשארת לאחר ניתוק האלקטרון היא האנרגייה הקינטית שלו (בדומה ל־$E_{ph}=E_k+B$, כאשר במקום $B$ באה אנרגיית היינון):

בתגובה גרעינית נשמרים המטען החשמלי (סכום המספרים האטומיים) ומספר הנוקליונים (סכום מספרי המסה).

מספר הפרוטונים – שימור המטען: משמאל $7+0=7$, מימין $6+Z$. לכן

(כצפוי – טריטיום הוא איזוטופ של מימן.)

מספר הנוקליונים – שימור מספר המסה: משמאל $14+1=15$, מימין $12+A$. לכן

בגרעין ${}^{3}_{1}\text{H}$ יש פרוטון אחד ושני נייטרונים.

גרעין הטריטיום ($Z=1$) הופך לגרעין הליום ($Z=2$) עם אותו מספר מסה ($A=3$). כדי לשמור על המטען ועל מספר הנוקליונים, החלקיק הנפלט חייב להיות בעל מספר מסה $0$ ומטען $-1$ – אלקטרון:

•מטען: $1=2+(-1)$ ✓

•מספר נוקליונים: $3=3+0$ ✓

סוג הקרינה: בטא מינוס ($\beta^-$). בתהליך נייטרון בגרעין הופך לפרוטון ונפלט אלקטרון (יחד עם אנטי־נייטרינו, שאין לו מטען ומספר מסה).

חוק שימור המטען החשמלי: המטען של גרעין הטריטיום ($+1e$) שווה לסכום המטענים של התוצרים. גרעין ההליום נושא $+2e$, ולכן החלקיק הנפלט חייב לשאת מטען $-e$.

בנוסף נעזרים בשימור מספר הנוקליונים (מספר המסה): $3=3+A$, ולכן $A=0$ לחלקיק הנפלט.