מתכונת 3 בפיזיקה - קרינה וחומר 36282

קביעה: הנקודה $A$ נמצאת על קו התאבכות בונה מסדר $n=2$.

נימוק: בתרשים המרחק בין שני קווים מלאים סמוכים של אותו מקור הוא אורך גל אחד $\lambda$, ובין קו מלא לקו מקווקו סמוך – חצי אורך גל.

- פתח $O_1$ (קווים שחורים): הנקודה $A$ נמצאת על הקו המלא השלישי סביב $O_1$ (סופרים את הקשתות המלאות השחורות מ־$O_1$ החוצה: 1, 2, 3). לכן $AO_1=3\lambda$.

- פתח $O_2$ (קווים אפורים): הנקודה $A$ נמצאת על הקו המלא החמישי של הגלים היוצאים מ־$O_2$. לכן $AO_2=5\lambda$.

הפרש הדרכים:

בנקודה $A$ נפגשים שיא של גל אחד ושיא של הגל השני – התאבכות בונה. התנאי להתאבכות בונה ממקורות שווי מופע הוא $\Delta L=n\lambda$, ולכן $n=2$.

טעות נפוצה: לספור גם את הקווים המקווקווים כאורכי גל שלמים – בין קו מלא לקו מקווקו סמוך יש רק חצי אורך גל.

בנקודה $A$ מתקיימת התאבכות בונה מסדר $n=2$ (סעיף א), ולכן:

לפי הקשר מדף הנוסחאות:

מציבים:

לפי סעיף ב:

זהו קשר קווי בין $\Delta L$ ל־$\frac1f$ (קו ישר דרך הראשית), ושיפוע הגרף שווה ל־$2v$.

חישוב השיפוע משתי נקודות על הקו (לא נקודות מדידה):

טעות נפוצה: לזהות את השיפוע עם $v$ עצמה ולשכוח את המקדם $n=2$.

קביעה: בנקודה $B$ מתרחשת התאבכות בונה.

נימוק: הנקודה $B$ נמצאת על קו מקווקו שחור (שפל של הגל מ־$O_1$) ובאותו מקום גם על קו מקווקו אפור (שפל של הגל מ־$O_2$) – נפגשים בה שפל ושפל.

$B$ נמצאת על הקו המקווקו הרביעי של כל אחד מהפתחים (קווים מקווקווים במרחקים $0.5\lambda,\,1.5\lambda,\,2.5\lambda,\,3.5\lambda$), ולכן

הפרש הדרכים הוא אפס, כלומר מספר שלם של אורכי גל ($n=0$), והמקורות שווי מופע – לכן הגלים מגיעים ל־$B$ תמיד באותו מופע, ומתקיימת התאבכות בונה. $B$ נמצאת על קו המקסימום המרכזי (האנך האמצעי לקטע $O_1O_2$).

טעות נפוצה: לחשוב שמפגש של שני שפלים הוא התאבכות הורסת – הורסת היא מפגש של שיא עם שפל; שפל עם שפל יוצר שפל עמוק פי שניים.

המשרעת בנקודה $B$: ב־$B$ מתרחשת התאבכות בונה (סעיף ד), ולכן המשרעות מתחברות:

המצב ההתחלתי: ברגע $t=0$ (הרגע שבתרשים) נפגשים ב־$B$ שני שפלים, ולכן $B$ נמצאת בהעתק המינימלי:

ההעתק משתנה הרמונית:

טעות נפוצה: לסרטט משרעת של $0.25\,\text{cm}$ – בנקודת התאבכות בונה המשרעת היא סכום המשרעות.

קביעה: גם בנקודה $A$ וגם בנקודה $B$ ההתאבכות הופכת מבונה להורסת.

נימוק: כשהמקורות הפוכי מופע, כל פתח יוצר שיא ברגע שהאחר יוצר שפל, כאילו גל אחד "הוזז" בחצי אורך גל. לכן תנאי ההתאבכות מתחלפים:

•הורסת: $\Delta L=n\lambda$

•בונה: $\Delta L=\left(n-\tfrac12\right)\lambda$

בנקודה $A$: $\Delta L=2\lambda$ – מספר שלם של אורכי גל, ולכן כעת מגיעים אליה שיא מגל אחד ושפל מהגל השני: התאבכות הורסת.

בנקודה $B$: $\Delta L=0$ – הגלים מגיעים במופע הפוך, התאבכות הורסת. המשרעות של שני הגלים ב־$B$ שוות ($0.25\,\text{cm}$), ולכן $B$ נשארת במנוחה.

המרחק בין חריצים סמוכים: $N^*=4000$ חריצים לסנטימטר, ולכן

קווי מקסימום בסריג עקיפה (דף הנוסחאות):

לסדר ראשון $n=1$, ולכן $\lambda=d\sin\theta_1$:

- $\theta=10.3^\circ$: $\lambda=2.5\cdot 10^{-6}\cdot 0.1788\approx 4.47\cdot 10^{-7}\,\text{m}=447\,\text{nm}$

- $\theta=11.6^\circ$: $\lambda=2.5\cdot 10^{-6}\cdot 0.2011\approx 5.03\cdot 10^{-7}\,\text{m}=503\,\text{nm}$

- $\theta=13.6^\circ$: $\lambda=2.5\cdot 10^{-6}\cdot 0.2351\approx 5.88\cdot 10^{-7}\,\text{m}=588\,\text{nm}$

- $\theta=15.5^\circ$: $\lambda=2.5\cdot 10^{-6}\cdot 0.2672\approx 6.68\cdot 10^{-7}\,\text{m}=668\,\text{nm}$

ארבעתם בתחום הנראה (כחול־סגול, ירוק, צהוב, אדום).

טעות נפוצה: להציב $d=\frac{1}{4000}\,\text{m}$ – הנתון הוא חריצים לסנטימטר.

מנוסחת קווי המקסימום:

מאחר ש־$\sin\theta_n\le 1$ (ובפועל $\theta_n<90^\circ$), צריך להתקיים:

$n$ שלם, ולכן הסדר המקסימלי הוא $n=3$ (ב־$\sin\theta_3=3\cdot 0.267=0.80$, כלומר $\theta_3\approx 53^\circ$).

טעות נפוצה: לעגל את $3.74$ ל־$4$ – בסדר $4$ היה מתקבל $\sin\theta>1$, וקו כזה אינו קיים.

בסדר אפס ($n=0$): $\sin\theta_0=0\cdot\frac{\lambda}{d}=0$ – לכל אורך גל. כל הצבעים מגיעים לאותה נקודה, על האנך האמצעי, ומתחברים שם מחדש. לכן במרכז המסך מתקבל קו מקסימום לבן.

בסדר השני $\sin\theta_2=\frac{2\lambda}{d}$ – הזווית גדלה עם אורך הגל. האור הלבן מכיל רצף של אורכי גל, ולכן מתקבל פס צבעוני רציף (ספקטרום): הסגול קרוב יותר למרכז והאדום רחוק יותר.

גבולות הפס:

הפס סימטרי משני צדי המרכז, והוא רחב יותר מפס הסדר הראשון (שבין $9.2^\circ$ ל־$16.3^\circ$).

קביעה: יש חפיפה חלקית.

נימוק: לפי $\sin\theta_n=n\frac{\lambda}{d}$:

•הקצה החיצוני של הסדר השני – האדום, $\lambda=700\,\text{nm}$, $n=2$:

•הקצה הפנימי של הסדר השלישי – הסגול, $\lambda=400\,\text{nm}$, $n=3$:

מאחר ש־$28.7^\circ<34.1^\circ$, הסדר השלישי מתחיל לפני שהסדר השני מסתיים: בתחום $28.7^\circ$–$34.1^\circ$ מגיע למסך גם אור מן הסדר השני (אורכי גל $600$–$700\,\text{nm}$) וגם אור מן הסדר השלישי ($400$–$467\,\text{nm}$).

התנאי הכללי: $2\cdot\lambda_{\text{אדום}}=1400\,\text{nm}>3\cdot\lambda_{\text{סגול}}=1200\,\text{nm}$ – והוא אינו תלוי בקבוע הסריג.

טעות נפוצה: להסיק מן הסדרים הראשון והשני (שאינם חופפים) שגם הסדרים הבאים אינם חופפים.

המסך סימטרי סביב האנך האמצעי, ולכן קצה המסך נמצא במרחק $X=\frac{a}{2}=0.5\,\text{m}$ ממרכזו.

המרחק מן הסריג אל קצה המסך (יתר במשולש ישר־זווית):

לפי דף הנוסחאות, קווי מקסימום בסריג עקיפה:

לסדר שני ($n=2$):

אורך גל זה גדול מ־$700\,\text{nm}$ – זו קרינה תת־אדומה, שאינה נראית לעין; לכן הקו זוהה בגלאי קרינה ולא נראה על המסך.

טעות נפוצה: לחשב $\sin\theta=\frac{X}{L}=\frac{0.5}{0.6}\approx 0.833$ – היחס $\frac{X}{L}$ הוא $\tan\theta$, ומתקבל $\lambda\approx 1042\,\text{nm}$ שגוי. טעות נוספת: לשכוח לחלק ב־$n=2$.

לפי $v=\lambda f$ (דף הנוסחאות), ולאור $v=c=3\cdot 10^8\,\text{m/s}$:

לדוגמה, עבור $\lambda=313\,\text{nm}$:

טעות נפוצה: לשכוח להמיר ננומטרים למטרים ($1\,\text{nm}=10^{-9}\,\text{m}$).

מדף הנוסחאות – האפקט הפוטואלקטרי:

כאשר $E_k$ היא האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים הנפלטים ו־$B$ פונקציית העבודה של הקתודה.

במתח העצירה גם האלקטרונים המהירים ביותר נעצרים בדיוק לפני האנודה. העבודה של הכוח החשמלי עליהם שווה לאובדן האנרגייה הקינטית המרבית:

מציבים:

זוהי פונקציה קווית של $f$: שיפוע $\frac{h}{e}$ וחיתוך עם הציר האנכי $-\frac{B}{e}$.

ציר אופקי: $f$ ביחידות $10^{14}\,\text{Hz}$ (מ־$6$ עד $10$ – אין צורך להתחיל מאפס). ציר אנכי: $V_{\text{עצירה}}$ בוולט (מ־$0$ עד $1.8$).

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה, כצפוי מסעיף ב.

מעבירים קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה (לא מחברים את הנקודות זו לזו).

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו (A ו־B בגרף):

$A=(6.5\cdot 10^{14}\,\text{Hz},\ 0.39\,\text{V})$, $B=(9.5\cdot 10^{14}\,\text{Hz},\ 1.62\,\text{V})$

(החיתוך מנקודה A: $0.39-4.1\cdot 10^{-15}\cdot 6.5\cdot 10^{14}\approx -2.28\,\text{V}$.)

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע משתי נקודות מהטבלה במקום משתי נקודות על קו המגמה.

לפי סעיף ב, שיפוע הגרף $V_{\text{עצירה}}(f)$ הוא $\frac{h}{e}$:

(קרוב מאוד לערך $6.63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$ שבדף הנוסחאות. ביחידות $\text{eV}\cdot\text{s}$: $h=4.1\cdot 10^{-15}\,\text{eV}\cdot\text{s}$.)

לפי סעיף ב החיתוך של הישר עם הציר האנכי ($f=0$) הוא $-\frac{B}{e}$.

דרך 1 – חיתוך עם הציר האנכי. ממשוואת קו המגמה:

דרך 2 – תדירות הסף. הקו חותך את ציר $f$ ($V_{\text{עצירה}}=0$) בתדירות:

בתדירות זו האלקטרונים נפלטים בלי אנרגייה קינטית, ולכן $B=hf_0=4.1\cdot 10^{-15}\cdot 5.6\cdot 10^{14}\approx 2.3\,\text{eV}$.

ביחידות SI: $B=2.28\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\approx 3.6\cdot 10^{-19}\,\text{J}$.

(נקודת החיתוך רחוקה מתחום המדידה, ולכן כדאי להאריך את הקו בזהירות או לחשב אותה מהמשוואה.)

קביעה: האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים ברגע הפליטה לא השתנתה.

נימוק: לפי משוואת האפקט הפוטואלקטרי:

האנרגייה הזו נקבעת רק על ידי תדירות האור (לא השתנתה) ופונקציית העבודה של האשלגן (לא השתנתה). המתח שבין הקתודה לאנודה פועל על האלקטרון רק אחרי שנפלט, ואינו משפיע על תהליך הפליטה. לכן:

מה שהשתנה: כעת השדה החשמלי מאיץ את האלקטרונים לכיוון האנודה. המהירים ביותר מגיעים אליה עם אנרגייה קינטית של $0.79+0.5=1.29\,\text{eV}$, וגם האלקטרונים האיטיים מגיעים – בתא זורם זרם.

טעות נפוצה: לקבוע שהאנרגייה בפליטה גדלה ל־$1.29\,\text{eV}$ – זו האנרגייה בהגעה לאנודה, לא בפליטה.

אנרגיית יינון של אטום היא האנרגייה המינימלית שיש להשקיע כדי לנתק אלקטרון מן האטום כשהאטום נמצא במצב היסוד – כלומר להעביר את האלקטרון מרמת היסוד אל רמת היינון, שבה הוא חופשי (ובאנרגייה קינטית אפס).

בדיאגרמת רמות האנרגייה מגדירים את אנרגיית רמת היינון כ־$E_\infty=0$, ולכן כל הרמות הקשורות שליליות. האנרגייה הדרושה למעבר מרמת היסוד $E_1$ אל $0$ היא $0-E_1=|E_1|$ – בדיוק אנרגיית היינון.

אנרגיית הפוטון, מדף הנוסחאות:

שימור אנרגייה: חלק מאנרגיית הפוטון משמש ליינון האטום מרמת היסוד, והיתרה היא האנרגייה הקינטית של האלקטרון שנפלט:

הגז דליל וקר, ולכן כמעט כל האטומים במצב היסוד: כל קו בספקטרום הבליעה מתאים למעבר מרמת היסוד לרמה מעוררת. רמת היינון $0$, ולכן $E_1=-4.34\,\text{eV}$ (סעיף ב).

לכל קו: $E_{ph}=\frac{1240}{\lambda}$, והרמה המעוררת $E_n=E_1+E_{ph}$:

הדיאגרמה: ציר אנרגייה אנכי (ב־$\text{eV}$) וחמישה קווים אופקיים, מלמטה למעלה:

- $E_1=-4.34\,\text{eV}$ – רמת היסוד;

- $E_2=-2.72\,\text{eV}$;

- $E_3=-1.27\,\text{eV}$;

- $E_4=-0.75\,\text{eV}$;

- $E_\infty=0$ – רמת היינון.

הרווחים בין הקווים בקנה מידה בקירוב (הרווח בין $E_1$ ל־$E_2$ הגדול ביותר).

טעות נפוצה: לחשב את הרמות מהפרשים בין קווים סמוכים בספקטרום, או לבנות את הרמות מהקו הקצר ביותר כלפי מטה – כל קו בליעה של גז קר מתחיל ברמת היסוד.

קביעה: הקו שחור (בקירוב טוב).

נימוק: אטומי $X$ במצב היסוד בולעים מהאלומה פוטונים שאנרגייתם $3.07\,\text{eV}$ בדיוק (אורך גל $404\,\text{nm}$) ועוברים לרמה $E_3$. לאחר זמן קצר הם חוזרים לרמות נמוכות ופולטים פוטונים – אבל לכל הכיוונים באקראי, ולא דווקא בכיוון האלומה (וחלקם בשני שלבים, דרך $E_2$, באורכי גל אחרים). לכן רק חלק זעיר מהאור באורך הגל $404\,\text{nm}$ ממשיך בכיוון המקורי אל הספקטרוסקופ, ובמקום זה בספקטרום מתקבל קו כהה על רקע הספקטרום הרציף.

טעות נפוצה: לקבוע "סגול" כי האטומים פולטים מחדש את אותו אורך גל – הפליטה מחדש מתפזרת לכל הכיוונים.

קו פליטה נוצר כשאטום מעורר עובר מרמה גבוהה לרמה נמוכה ופולט פוטון שאנרגייתו שווה להפרש הרמות. יש ארבע רמות קשורות, ולכן $\binom42=6$ מעברים אפשריים – שישה חיצים כלפי מטה:

•מ־$E_4$ אל $E_3$, אל $E_2$ ואל $E_1$;

•מ־$E_3$ אל $E_2$ ואל $E_1$;

•מ־$E_2$ אל $E_1$.

טעות נפוצה: לסרטט רק שלושה חיצים אל רמת היסוד (כמו בספקטרום הבליעה) – בפליטה ייתכנו גם מעברים בין רמות מעוררות.

לכל מעבר $E_{ph}=E_i-E_f$, ו־$\lambda\,[\text{nm}]=\frac{1240}{E_{ph}\,[\text{eV}]}$. כדי לא לצבור שגיאות עיגול מחשבים את הפרשי הרמות מאנרגיות הפוטונים של קווי הבליעה ($1.6167$, $3.0693$, $3.5942\,\text{eV}$):

לכן בתחום הנראה נפלטים שני אורכי גל: $404\,\text{nm}$ (סגול) ו־$627\,\text{nm}$ (כתום־אדום) בקירוב.

טעות נפוצה: לכלול את $767\,\text{nm}$ כי זה "הקו העיקרי" של המעבר לרמת היסוד – הוא מחוץ לתחום הנתון ($\lambda<700\,\text{nm}$); או לשכוח את המעבר $E_4\to E_2$, שאינו מופיע בספקטרום הבליעה.

מדף הנוסחאות, הפעילות היא $R=\lambda N$, ומספר הגרעינים דועך לפי $N=N_0e^{-\lambda t}$. לכן הפעילות דועכת באותו אופן: $R=R_0e^{-\lambda t}$. בכל זמן מחצית חיים מספר הגרעינים – וגם הפעילות – קטנים פי 2. לאחר שני זמני מחצית חיים: