בגרות בפיזיקה מכניקה 36361 - קיץ 2018

קביעה: הגרף מתאר את מהירותו של כדור $B$.

נימוק: ברגע $t=0$ (רגע הזריקה) המהירות לפי הגרף היא $v(0)=-5\,\text{m/s}$. הכיוון החיובי נקבע כלפי מטה, ולכן מהירות שלילית פירושה תנועה כלפי מעלה. מבין שלושת הכדורים רק כדור $B$ נזרק כלפי מעלה:

•כדור $A$ נזרק כלפי מטה – הגרף שלו היה מתחיל בערך חיובי $+v_0$.

•כדור $C$ שוחרר ממנוחה – הגרף שלו היה מתחיל ב־$0$.

ואכן, הגרף חוצה את ציר הזמן ב־$t=0.5\,\text{s}$: זהו הרגע שבו כדור $B$ נעצר בשיא הגובה, ומשם הוא נופל כלפי מטה ומהירותו חיובית וגדלה.

מהגרף גם: $v_0=5\,\text{m/s}$.

הגרף מסתיים ברגע הפגיעה בקרקע, $t=5\,\text{s}$. ההעתק של הכדור מרגע הזריקה (בראש המגדל) ועד הקרקע הוא $H$ (בכיוון החיובי, כלפי מטה).

שיפוע הגרף הוא התאוצה:

(כצפוי, $a=g$ כלפי מטה).

לפי נוסחת התנועה שוות התאוצה מדף הנוסחאות:

הצבה, עם $v_0=-5\,\text{m/s}$ (כלפי מעלה), $a=10\,\text{m/s}^2$, $t=5\,\text{s}$:

(בדרך נוספת: ההעתק שווה לשטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן. משולש מתחת לציר: $\tfrac12\cdot 0.5\cdot(-5)=-1.25\,\text{m}$; משולש מעל לציר: $\tfrac12\cdot 4.5\cdot 45=101.25\,\text{m}$; סך הכול $100\,\text{m}$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את השטח שמעל לציר הזמן ולקבל $101.25\,\text{m}$ – השטח שמתחת לציר הוא העלייה מעל ראש המגדל, וההעתק שלו שלילי.

נמדוד את המקום של כל כדור מראש המגדל ($x_0=0$), בכיוון החיובי כלפי מטה. לשני הכדורים אותה תאוצה $a=g=10\,\text{m/s}^2$ ו־$v_0=5\,\text{m/s}$ (מסעיף א).

לפי $x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$:

כדור $A$ (נזרק כלפי מטה, $v_0=+5\,\text{m/s}$):

כדור $B$ (נזרק כלפי מעלה, $v_0=-5\,\text{m/s}$):

(שני הכדורים עדיין באוויר: $A$ פוגע בקרקע רק ב־$t=4\,\text{s}$, כפי שנראה בסעיף ד.)

המרחק האנכי ביניהם:

(באופן כללי $x_A-x_B=2v_0t$ – האיבר $\tfrac12gt^2$ זהה לשניהם ומתקזז.)

(1) שיפוע הגרף – בגרף מהירות–זמן השיפוע הוא $\frac{\Delta v}{\Delta t}$, כלומר התאוצה של הכדור. על כל כדור פועל רק כוח הכובד, ולכן לכולם תאוצה $g=10\,\text{m/s}^2$ כלפי מטה. השיפוע זהה לשלושת הגרפים (שלושה ישרים מקבילים).

(2) נקודת החיתוך עם ציר המהירות – זו המהירות ברגע $t=0$, כלומר המהירות ההתחלתית של הכדור. היא שונה בין הכדורים: $A$: $+5\,\text{m/s}$; $B$: $-5\,\text{m/s}$; $C$: $0$.

(3) השטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן (שטח מעל לציר חיובי, שטח מתחת לציר שלילי) – זה ההעתק של הכדור מרגע הזריקה ועד הפגיעה בקרקע. כל הכדורים מתחילים בראש המגדל ומסיימים בקרקע, ולכן ההעתק של כל אחד מהם הוא $H=100\,\text{m}$ כלפי מטה. השטח זהה לשלושת הגרפים – אף שזמני התנועה שונים.

(זמני הפגיעה, מ־$H=v_0t+\tfrac12gt^2$: כדור $A$: $100=5t+5t^2\Rightarrow t=4\,\text{s}$; כדור $C$: $t=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{20}\approx 4.47\,\text{s}$; כדור $B$: $t=5\,\text{s}$.)

לסיכום: לשיפוע ולשטח יש ערכים זהים בשלושת הגרפים; לנקודת החיתוך עם ציר המהירות – לא.

טעות נפוצה: לחשוב שהשטח שונה כי הגרפים מסתיימים בזמנים שונים – השטח מייצג העתק, וההעתק של כל הכדורים זהה.

קביעה: ברגע הפגיעה בקרקע מהירות כדור $A$ גדולה ממהירות כדור $B$.

נימוק (אנרגייה): כוח החיכוך עם האוויר הוא כוח לא משמר שגודלו $f$ קבוע וכיוונו תמיד מנוגד לתנועה, ולכן עבודתו שלילית ושווה ל־$-f\cdot d$, כאשר $d$ היא הדרך הכוללת שעבר הכדור. לפי מדף הנוסחאות $W_{\text{לא משמרים}}=\Delta E$:

לשני הכדורים אותה מסה, אותה מהירות התחלתית בגודלה ($v_0$) ואותו גובה התחלתי $H$ – כלומר אותה אנרגייה מכנית התחלתית.

•כדור $A$ נע כל הזמן כלפי מטה: $d_A=H$.

•כדור $B$ עולה תחילה לגובה $h'$ מעל ראש המגדל, ואז יורד את כל הדרך לקרקע: $d_B=H+2h'>H$.

לכן החיכוך "גוזל" מכדור $B$ יותר אנרגייה, והאנרגייה הקינטית שלו בפגיעה קטנה יותר: $v_A>v_B$.

טעות נפוצה: לענות "שווה" על סמך התוצאה ללא חיכוך – בלי חיכוך המהירויות אכן שוות (שימור אנרגייה), אבל עבודת החיכוך תלויה בדרך ולא רק במקום ההתחלה והסוף.

על הגוף $m_1$ (ארבעה כוחות):

1. כוח הכובד $m_1g$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי המדרון, ניצב למדרון וכלפי חוץ ממנו (בכיוון $y$ בתרשים).

3. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, מקביל למדרון ובמעלה המדרון (לעבר הגלגלת).

4. הכוח החיצוני $F$ – מופעל על ידי התלמידה, מקביל למדרון ובמורד המדרון (בכיוון $x$).

המדרון חלק, ולכן אין כוח חיכוך.

על הגוף $m_2$ (שני כוחות):

1. כוח הכובד $m_2g$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, אנכית כלפי מעלה.

החוט והגלגלת חסרי מסה והגלגלת חסרת חיכוך, ולכן גודל המתיחות זהה בשני קצות החוט.

טעות נפוצה: לסמן על $m_1$ "כוח במורד המדרון $m_1g\sin\alpha$" ככוח נפרד בנוסף לכוח הכובד – זהו רכיב של כוח הכובד, לא כוח נוסף.

הגופים קשורים בחוט שאורכו קבוע, ולכן לשניהם אותו גודל תאוצה $a$: כאשר $m_1$ נע במורד המדרון, $m_2$ עולה.

נכתוב את החוק השני של ניוטון, $\Sigma F=ma$, לכל גוף בכיוון תנועתו.

גוף $m_1$ – לאורך המדרון, כיוון חיובי במורד:

(בכיוון הניצב: $N=m_1g\cos\alpha$, ואין תאוצה.)

גוף $m_2$ – כיוון חיובי כלפי מעלה:

מחברים את שתי המשוואות ($T$ מתקזז):

זהו ביטוי לינארי מהצורה $y=Ax+B$ עם $y=a$, $x=F$:

ציר אופקי: הכוח $F$ בניוטון ($0$ עד $70\,\text{N}$). ציר אנכי: התאוצה $a$ ב־$\text{m/s}^2$. כדאי לכלול גם ערכים שליליים קטנים של $a$, כדי לראות היכן הקו חוצה את ציר $F$ (נדרש בסעיף ה).

הנקודות $(F\,[\text{N}],\,a\,[\text{m/s}^2])$:

$(20,\,3.0)$, $(30,\,5.0)$, $(40,\,7.4)$, $(50,\,9.1)$, $(60,\,12.5)$.

לפי סעיף ב, התאוצה היא פונקציה לינארית של $F$, ולכן מעבירים קו ישר אחד שמתאים לנקודות ככל האפשר (הנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו):

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו, למשל $(20\,\text{N},\,2.78\,\text{m/s}^2)$ ו־$(60\,\text{N},\,12.02\,\text{m/s}^2)$:

משוואת הקו: $a\approx 0.231F-1.84$ (החיתוך עם ציר $a$ בהמשך הקו: $a\approx -1.84\,\text{m/s}^2$).

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור, או לכפות על הקו לעבור דרך הראשית – לפי סעיף ב יש לקו חיתוך $B\neq 0$.

לפי סעיף ב, שיפוע הגרף הוא

מהגרף (סעיף ג): $A\approx 0.231\,\text{kg}^{-1}$. הצבה:

טעות נפוצה: לכתוב $m=\frac{1}{A}$ – השיפוע הוא ההופכי של המסה הכוללת $2m$.

קביעה: $F\approx 8\,\text{N}$.

הסבר: בתנועה קצובה המהירות קבועה, ולכן התאוצה אפס. לפי החוק השני של ניוטון, שקול הכוחות על כל גוף אפס. בגרף, $a=0$ מתקבל בנקודה שבה קו המגמה חוצה את ציר הכוח $F$.

מהמשוואה של הקו:

(בנקודה זו הכוח $F$ יחד עם רכיב הכובד $m_1g\sin\alpha$ מאזנים בדיוק את משקל הגוף התלוי: $F=g(m_2-m_1\sin\alpha)=mg(1-\sin\alpha)$. מהחיתוך $B=\frac{g(\sin\alpha-1)}{2}\approx-1.84\,\text{m/s}^2$ מתקבל $\sin\alpha\approx 0.63$, כלומר $\alpha\approx 39^\circ$.)

הערה: בכוח זה המערכת תנוע במהירות קבועה רק אם יש לה מהירות כלשהי; אם היא משוחררת ממנוחה, היא תישאר במנוחה (גם זו מהירות קבועה – אפס).

טעות נפוצה: לענות $F=0$ – כאשר $F=0$ התאוצה היא $B\approx-1.84\,\text{m/s}^2$, לא אפס.

קביעה: איור 1.

נימוק: על הגולש בנקודה $B$ פועלים רק שני כוחות (אין חיכוך בקטע $AC$ ואין התנגדות אוויר):

- כוח הכובד $mg$ – אנכית כלפי מטה (בכל האיורים הוא מסומן נכון).

- הכוח הנורמלי $N$ – ניצב למסלול.

כיוון $N$: הגולש נמצא על גבי הקשת הקמורה ("גבעה"), והמסלול יכול רק לדחוף אותו ולא למשוך אותו. לכן $N$ ניצב למסלול וכלפי חוץ – בכיוון הרדיוס, הרחק ממרכז הקשת (מרכז הקשת $AC$ נמצא מתחת לגולש, על הקרקע מתחת ל־$A$). באיורים 3 ו־4 הנורמל מכוון לתוך המסלול – זה בלתי אפשרי. נשארים איורים 1 ו־2.

גודל $N$: הגולש נע על קשת מעגלית, ולכן יש לו תאוצה רדיאלית $\frac{v^2}{R}$ אל מרכז הקשת, כלומר אל תוך המסלול. לפי החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי (נסמן ב־$\varphi$ את הזווית בין הרדיוס ב־$B$ לבין האנך):

כלומר הנורמל קטן מרכיב הכובד הרדיאלי, ובוודאי קטן מ־$mg$. באיור 2 החץ של $N$ ארוך מהחץ של $mg$ – לא ייתכן. באיור 1 $N$ קצר מ־$mg$ – נכון.

טעות נפוצה: לבחור באיור 2 מתוך מחשבה ש"הנורמל מאזן את הכובד" – בתנועה מעגלית על גבעה השקול חייב להיות מכוון אל המרכז, ולכן $N$ קטן.

קביעה: כן, לתאוצה בנקודה $D$ יש רכיב משיקי.

נימוק: בקטע $CG$ אין חיכוך, ולכן פועלים על הגולש רק $mg$ ו־$N$. הכוח הנורמלי ניצב למסלול, ולכן אין לו רכיב משיקי. בנקודה $D$ המסלול אינו אופקי (היא נמצאת לפני הנקודה הנמוכה ביותר $E$, והמסלול שם יורד). נסמן ב־$\beta$ את זווית השיפוע של המשיק ב־$D$ עם האופק. לכוח הכובד יש רכיב לאורך המשיק, $mg\sin\beta\neq 0$, ולכן לפי החוק השני של ניוטון:

הרכיב המשיקי מכוון במורד המסלול – בכיוון התנועה – ולכן גודל המהירות של הגולש גדל בין $C$ ל־$E$.

(רק בנקודה $E$, שבה המשיק אופקי, הרכיב המשיקי מתאפס.)

בנקודה $D$ לתאוצה שני רכיבים:

- רכיב רדיאלי $a_r=\frac{v_D^2}{R}$ – מכוון מ־$D$ אל מרכז הקשת $CG$. המרכז נמצא בגובה $R$ מעל $E$ (הקו המקווקו האנכי בתרשים). $D$ נמצאת משמאל ל־$E$, ולכן הרכיב הרדיאלי מכוון כלפי מעלה ומעט ימינה.

- רכיב משיקי $a_t=g\sin\beta$ – לאורך המשיק למסלול ב־$D$, בכיוון התנועה (במורד המסלול: ימינה ומעט מטה).

התאוצה הכוללת היא הסכום הווקטורי של שני הרכיבים, והם ניצבים זה לזה. בתרשים מסרטטים חץ שיוצא מ־$D$ ונמצא בין כיוון הרדיוס (אל המרכז) לבין כיוון התנועה: חץ שנוטה מהרדיוס קדימה, לכיוון התנועה של הגולש. החץ מכוון "לתוך" הקשת (לצד הקעור שלה), ואינו מכוון בדיוק אל מרכז המעגל.

טעות נפוצה: לסרטט את התאוצה בדיוק אל מרכז המעגל – זה נכון רק בתנועה מעגלית קצובה או בנקודה $E$; ב־$D$ הגולש מאיץ, ולכן יש גם רכיב משיקי.

מ־$A$ עד $E$ אין חיכוך ואין התנגדות אוויר. הכוח הנורמלי ניצב לתנועה ואינו מבצע עבודה, ולכן רק כוח הכובד (משמר) מבצע עבודה – האנרגייה המכנית נשמרת.

גובה $A$ מעל הקרקע הוא $R=60\,\text{m}$ (לפי התרשים), וגובה $E$ הוא $h_1=32\,\text{m}$. הגולש מתחיל ממנוחה.

הצבה:

בנקודה $E$ (תחתית הקשת $CG$) המשיק אופקי, ולכן התאוצה רדיאלית בלבד: $a_R=\frac{v_E^2}{R}$, אנכית כלפי מעלה – אל מרכז הקשת שנמצא מעל $E$.

על הגולש פועלים $mg$ (מטה) ו־$N$ (כלפי מעלה, מהמסלול). לפי החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי (חיובי כלפי מעלה):

הצבה, עם $v_E^2=560\,\text{m}^2/\text{s}^2$ מסעיף ג:

זה הכוח שהמסלול מפעיל על הגולש (כלפי מעלה). לפי החוק השלישי של ניוטון, הגולש מפעיל על המסלול כוח שגודלו $\approx 1547\,\text{N}$, אנכית כלפי מטה.

טעות נפוצה: לענות $N=mg=800\,\text{N}$, או לתת את כיוון הכוח שהמסלול מפעיל (מעלה) במקום הכוח שהגולש מפעיל (מטה).

קביעה: הגולש לא הגיע לנקודה $L$.

חישוב: נמדוד גובה מהקרקע. האנרגייה המכנית של הגולש עד $G$ נשמרת (אין חיכוך), ולכן היא שווה לאנרגייה ב־$A$:

מ־$G$ ועד נקודת העצירה פועל חיכוך. לפי מדף הנוסחאות $W_{\text{לא משמרים}}=\Delta E$:

בנקודת העצירה המהירות אפס, ולכן כל האנרגייה המכנית היא אנרגייה פוטנציאלית כובדית:

הגולש נעצר בגובה $35\,\text{m}$, נמוך מגובה $L$ ($h_2=36\,\text{m}$). המסלול עולה כל הדרך מ־$E$ אל $L$, ולכן הגולש נעצר לפני $L$.

(בדרך שקולה: כדי להגיע ל־$L$ צריך לפחות $mgh_2=28{,}800\,\text{J}$ אנרגייה מכנית, ולגולש נותרו רק $28{,}000\,\text{J}$.)

טעות נפוצה: לשכוח את האנרגייה הפוטנציאלית בנקודה $G$ ולהשוות רק אנרגייה קינטית, או להתעלם מכך שהגולש מתחיל בגובה $R$ ולא בגובה $0$.

התנע של מערכת נשמר כאשר המתקף של הכוחות החיצוניים עליה אפס ($J_{\text{כולל}}=\Delta p$). בזמן החדירה הגוף כמעט אינו זז, ולכן החוט נשאר אנכי. הכוחות החיצוניים על המערכת גוף + קליע – כוח הכובד ומתיחות החוט – הם אנכיים ומאזנים זה את זה, ואין כוח חיצוני אופקי. הכוחות בין הקליע לגוף (החיכוך בזמן החדירה) הם כוחות פנימיים, שלפי החוק השלישי של ניוטון שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם, ולכן אינם משנים את התנע הכולל. מכאן התנע של המערכת נשמר.

זו התנגשות פלסטית לחלוטין: הקליע חודר לגוף ונעצר בתוכו, ושני הגופים נעים יחד אחריה. בזמן החדירה פועל בין הקליע לגוף כוח חיכוך (כוח לא משמר) שמבצע עבודה שלילית כוללת, ורוב האנרגייה הקינטית של הקליע הופכת לחום ולעיוות החומר. לכן $W_{\text{לא משמרים}}=\Delta E<0$ – האנרגייה המכנית קטנה.

טעות נפוצה: להניח ששימור תנע גורר שימור אנרגייה (או להפך) – אלה שני חוקים נפרדים, ובהתנגשות פלסטית רק התנע נשמר.

בשלב זה הגוף נע לאורך קשת: מהירותו קטנה מ־$v$ (בנקודה $A$) ל־$0$ (בנקודה $B$), ולכן התנע שלו משתנה מ־$(m_1+m_2)v$ ל־$0$. לפי נוסחת מתקף–תנע, השינוי נובע מכך ששקול הכוחות החיצוניים – כוח הכובד ומתיחות החוט – אינו אפס בשלב זה (למשל, הרכיב של כוח הכובד המשיק למסלול מאט את הגוף).

על המערכת פועלים כוח הכובד (כוח משמר) ומתיחות החוט. המתיחות מכוונת לאורך החוט, אל נקודת התלייה, ולכן היא ניצבת בכל רגע למהירות (המשיקה לקשת) – והיא אינה מבצעת עבודה. התנגדות האוויר זניחה. כלומר עבודת הכוחות הלא־משמרים היא אפס, ולפי $W_{\text{לא משמרים}}=\Delta E$ האנרגייה המכנית נשמרת: האנרגייה הקינטית ב־$A$ הופכת לאנרגייה פוטנציאלית כובדית ב־$B$.

הגובה שאליו עולה הגוף. החוט באורך $\ell$ סוטה בזווית $\theta$ מהאנך. נקודת התלייה נמצאת $\ell$ מעל $A$ ו־$\ell\cos\theta$ מעל $B$, ולכן $B$ גבוהה מ־$A$ ב־

שימור אנרגייה מ־$A$ עד $B$ (סעיף ב). נבחר $U_G=0$ בגובה $A$. ב־$B$ המהירות אפס:

המסה הכוללת: $m_1+m_2=0.015+4.985=5\,\text{kg}$. הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש ב־$h=\ell\cos\theta$ או ב־$h=\ell\sin\theta$ – הגובה הוא ההפרש $\ell-\ell\cos\theta$.

מהירות המערכת מיד אחרי ההתנגשות (מסעיף ג):

שימור תנע בהתנגשות (סעיף א). לפני ההתנגשות הגוף במנוחה; אחריה הקליע והגוף נעים יחד:

הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש בשימור אנרגייה גם בהתנגשות ($\tfrac12m_1v_0^2=E_k$) – בהתנגשות פלסטית האנרגייה המכנית אינה נשמרת.

האנרגייה ש"אבדה" היא ההפרש בין האנרגייה הקינטית של הקליע לפני הפגיעה לבין האנרגייה הקינטית של המערכת מיד אחרי ההתנגשות (הגובה לא השתנה בזמן החדירה):

הצבה:

כלומר כמעט כל האנרגייה הקינטית של הקליע (כ־$99.7\%$) הפכה לחום ולעיוות; רק כ־$0.3\%$ – היחס $\frac{m_1}{m_1+m_2}$ – נשארה כאנרגייה קינטית של המערכת.

זמן המחזור: העגלה משוחררת ממנוחה ב־$B_1$ ($t=0$) ונעצרת רגעית ב־$B_2$ ($t=1.0\,\text{s}$). $B_1$ ו־$B_2$ הן שתי נקודות הקצה של התנודה, והמעבר מקצה לקצה הוא חצי מחזור:

המשרעת: המרחק בין שתי נקודות הקצה הוא $40\,\text{cm}$, והוא שווה לפעמיים המשרעת:

(בהתאם לכך שהקפיץ כווץ ב־$20\,\text{cm}$: נקודת שיווי המשקל – המצב הרפוי של הקפיץ – היא $x=20\,\text{cm}$, והעגלה שוחררה ממנוחה במרחק $20\,\text{cm}$ ממנה.)

טעות נפוצה: לקבוע $T=1\,\text{s}$ ו־$A=40\,\text{cm}$ – המעבר מ־$B_1$ ל־$B_2$ הוא רק חצי תנודה.

המהירות מרבית בנקודת שיווי המשקל, $x=20\,\text{cm}$ (מדף הנוסחאות $v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$, כאשר $x$ נמדד מנקודת שיווי המשקל – מרבי כאשר $x=0$ שם).

התדירות הזוויתית מזמן המחזור שקבענו מהטבלה: