בגרות בפיזיקה מכניקה 36361 - קיץ 2024

שני הגרפים הם קווים ישרים, ולכן התאוצה של כל מכונית קבועה ושווה לשיפוע הגרף. לפי הגדרת התאוצה מדף הנוסחאות:

מכונית א': המהירות יורדת מ־$12\,\text{m/s}$ ל־$8\,\text{m/s}$ בתוך $10\,\text{s}$:

גודל התאוצה $0.4\,\text{m/s}^2$, והסימן השלילי מראה שכיוונה שמאלה – מנוגד לכיוון התנועה (המכונית מאטה).

מכונית ב': המהירות עולה מ־$0$ ל־$8\,\text{m/s}$ בתוך $10\,\text{s}$:

גודל התאוצה $0.8\,\text{m/s}^2$, וכיוונה ימינה – בכיוון התנועה (המכונית מאיצה).

טעות נפוצה: לכתוב שתאוצת מכונית א' היא ימינה כי המכונית נוסעת ימינה – כיוון התאוצה נקבע לפי סימן השינוי במהירות, לא לפי כיוון התנועה.

קביעה: ברגע $t=10\,\text{s}$ שתי המכוניות נעות באותו כיוון (ימינה).

נימוק: כיוון התנועה נקבע לפי סימן המהירות. ברגע $t=10\,\text{s}$ מהירות שתי המכוניות היא $+8\,\text{m/s}$ – ערך חיובי, כלומר שתיהן נעות בכיוון החיובי, ימינה. (למעשה המהירויות שוות באותו רגע – גם בגודל וגם בכיוון.)

טעות נפוצה: להסיק מכך ששיפועי הגרפים מנוגדים שהמכוניות נעות בכיוונים מנוגדים – השיפוע הוא התאוצה, לא כיוון התנועה.

קביעה: המרחק של מכונית א' מ־$x=0$ גדול מזה של מכונית ב'.

נימוק: שתי המכוניות יצאו מ־$x=0$ ברגע $t=0$, ומהירויותיהן חיוביות כל הזמן, כך שהמרחק מ־$x=0$ שווה להעתק. ההעתק שווה לשטח הכלוא בין גרף המהירות לציר הזמן. בכל רגע בפרק הזמן $0<t<10\,\text{s}$ מהירות מכונית א' גדולה ממהירות מכונית ב', ולכן השטח מתחת לגרף א' גדול יותר.

בחישוב, לפי $x-x_0=\frac{v_0+v}{2}t$:

טעות נפוצה: להסיק מכך שהמהירויות שוות ב־$t=10\,\text{s}$ (נקודת החיתוך של הגרפים) שהמכוניות נמצאות באותו מקום – חיתוך בגרף מהירות–זמן פירושו מהירויות שוות, לא מקומות שווים.

מכונית א' ממשיכה בתאוצה $a_1=-0.4\,\text{m/s}^2$ ממהירות $8\,\text{m/s}$ ועד לעצירה ($v=0$). לפי נוסחת התנועה שוות התאוצה מדף הנוסחאות:

הצבה:

ברגע $t=10\,\text{s}$ הייתה מכונית א' ב־$x_0=100\,\text{m}$ (סעיף ב(2)), ולכן מקום תחנת האוטובוס:

טעות נפוצה: לתת כתשובה $80\,\text{m}$ בלבד – זו רק הדרך מרגע $t=10\,\text{s}$; יש להוסיף את $100\,\text{m}$ שעברה המכונית בעשר השניות הראשונות.

לפי $v=v_0+at$ לשלב ההאטה מרגע $t=10\,\text{s}$:

משך הזמן הכולל מרגע $t=0$:

(בדיקה: מ־$t=0$ ועד העצירה המהירות יורדת קווית מ־$12$ ל־$0$ בתאוצה $-0.4\,\text{m/s}^2$, כלומר $t=\frac{12}{0.4}=30\,\text{s}$, והשטח $\frac12\cdot 12\cdot 30=180\,\text{m}$ – בהתאמה לתת־סעיף (1).)

מצב מכונית ב' ברגע $t=10\,\text{s}$: מקומה $x=40\,\text{m}$ (סעיף ב(2)) ומהירותה $8\,\text{m/s}$.

זמן ההאטה. התאוצה קבועה, ולכן לפי נוסחת התנועה שוות התאוצה מדף הנוסחאות:

הצבה, עם $v_0=8\,\text{m/s}$ ו־$v=0$ (עצירה):

מכונית ב' נעצרה ברגע $t=10+35=45\,\text{s}$.

(תאוצת ההאטה: $a=\frac{0-8}{35}\approx -0.23\,\text{m/s}^2$.)

הפרש הזמנים: מכונית א' נעצרה ברגע $t=30\,\text{s}$ (סעיף ג(2)), ולכן

טעות נפוצה: להניח שמכונית ב' מאטה באותה תאוצה כמו מכונית א' – תאוצתה אינה נתונה, ויש לחשב את הזמן מן הדרך שנותרה לה.

קביעה: איור 4.

נימוק: הטיפות משתחררות בהפרשי זמן קבועים, ולכן המרחק בין שתי טיפות סמוכות יחסי למהירות הממוצעת של המכונית בפרק הזמן שביניהן: ככל שהמכונית מהירה יותר – הטיפות רחוקות יותר זו מזו.

תנועת מכונית ב' בנויה משני שלבים:

- $0<t<10\,\text{s}$: המכונית מאיצה ממנוחה ($v$ גדלה מ־$0$ ל־$8\,\text{m/s}$) – המרווחים בין הטיפות גדלים בהדרגה, החל ממרווח קטן מאוד ליד $x=0$. בשלב זה היא עוברת $40\,\text{m}$ בלבד.

- $10<t<45\,\text{s}$: המכונית מאטה עד לעצירה – המרווחים קטנים בהדרגה עד לתחנה. שלב זה ארוך פי $3.5$ ($35\,\text{s}$), ולכן יש בו הרבה יותר טיפות, והוא משתרע על $140\,\text{m}$ – רוב הדרך.

כלומר מרווחים קטנים בהתחלה, שגדלים במהירות לאורך קטע קצר, ואחר כך קטנים בהדרגה לאורך רוב הדרך עד לטיפות צפופות בתחנה. זהו איור 4.

שאר האיורים:

•איור 1 – המרווחים קטנים ואחר כך גדלים: האטה ואחריה האצה, הפוך מהתנועה של ב'.

•איור 2 – מרווחים שווים: מהירות קבועה.

•איור 3 – המרווחים גדולים כבר בהתחלה וקטנים בהמשך: אין שלב של יציאה ממנוחה (התחלה ממהירות גבוהה).

טעות נפוצה: לבחור באיור 3 – מכונית ב' מתחילה ממנוחה, ולכן בתחילת הדרך הטיפות צפופות.

התיבה נעה על המשטח לעבר הגלגלת (ימינה בתרשים). פועלים עליה ארבעה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי המשטח האופקי, כיוונו אנכית כלפי מעלה.

3. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, כיוונו אופקי לאורך החוט, לעבר הגלגלת (ימינה).

4. כוח החיכוך הקינטי $f_k$ – מופעל על ידי המשטח, כיוונו אופקי, מנוגד לכיוון התנועה (שמאלה).

הכוחות האנכיים מאזנים זה את זה ($N=mg$), והשקול האופקי $T-f_k$ גורם לתאוצה.

טעות נפוצה: לסמן את הכוח $F$ של יד התלמידה כפועל על התיבה – היד מושכת את החוט, ועל התיבה פועל כוח המתיחות של החוט.

המתיחות בחוט. מסת החוט ומסת הגלגלת זניחות, ולכן המתיחות שווה לאורך כל החוט, והגלגלת רק משנה את כיוונו. התלמידה מושכת את קצה החוט בכוח $F$, ולכן על התיבה פועל כוח מתיחות $T=F$.

בציר האנכי: התיבה אינה נעה אנכית:

ולכן כוח החיכוך הקינטי (מדף הנוסחאות $f_k=\mu_kN$):

בציר האופקי (כיוון חיובי – כיוון התנועה), לפי החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$:

הביטוי הוא פונקציה קווית של $F$: שיפוע $\frac1m$, וחיתוך עם ציר התאוצה $-\mu g$.

ציר אופקי: הכוח $F$ בניוטון (המשתנה שהתלמידה שינתה). ציר אנכי: התאוצה $a$ ב־$\text{m/s}^2$. כדאי להתחיל את הצירים מאפס, כדי שבהמשך יהיה אפשר לראות היכן קו המגמה חותך את ציר $F$.

הנקודות $(F\,[\text{N}],\,a\,[\text{m/s}^2])$:

$(3.5,\,1.9)$, $(4.0,\,2.7)$, $(4.5,\,3.4)$, $(5.0,\,4.2)$, $(5.5,\,5.0)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה – כפי שצפוי מהביטוי שפיתחנו בסעיף ב.

מעבירים קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה, ומאריכים אותו עד ציר $F$:

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו, למשל $(3.5\,\text{N},\,1.90\,\text{m/s}^2)$ ו־$(5.5\,\text{N},\,4.98\,\text{m/s}^2)$:

(החיתוך עם ציר $a$, בהארכת הקו: $-3.49\,\text{m/s}^2$; החיתוך עם ציר $F$: $F=\frac{3.49}{1.54}\approx 2.27\,\text{N}$.)

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור, או להעביר את הקו דרך הראשית – לפי סעיף ב הקו אינו עובר בראשית.

לפי סעיף ב:

משווים לקו המגמה $a=1.54F-3.49$: השיפוע שווה ל־$\frac1m$.

החיתוך של קו המגמה עם ציר $a$ (בהארכת הקו) שווה ל־$-\mu g$:

(דרך שקולה: בנקודת החיתוך עם ציר $F$, $a=0$, ולכן $F_0=\mu mg$: $\mu=\frac{F_0}{mg}=\frac{2.27}{0.649\cdot 10}\approx 0.35$.)

טעות נפוצה: להציב בביטוי זוג ערכים מהטבלה במקום להשתמש בקו המגמה – השאלה דורשת להיעזר בגרף.

קביעה: תאוצת התיבה אפס – התיבה אינה זזה.

הסבר: כדי שהתיבה תתחיל לנוע, כוח המתיחות צריך לעלות על כוח החיכוך הסטטי המרבי. מקדם החיכוך הסטטי שווה כאן לקינטי ($\mu$), ולכן לפי דף הנוסחאות $f_s\le\mu_sN$:

זהו בדיוק הערך שבו קו המגמה חותך את ציר $F$ ($a=0$).

$F=1.5\,\text{N}<2.27\,\text{N}$, ולכן החיכוך הסטטי מסוגל לאזן את כוח המתיחות: הוא מתכוונן לגודל $f_s=1.5\,\text{N}$ (קטן מהמרבי), שקול הכוחות אפס והתיבה נשארת במנוחה, $a=0$.

טעות נפוצה: להציב $F=1.5\,\text{N}$ במשוואת הקו ולקבל תאוצה שלילית ($1.54\cdot 1.5-3.49\approx -1.2\,\text{m/s}^2$) – כוח חיכוך אינו יכול להניע את התיבה נגד כיוון המשיכה; המשוואה תקפה רק כשהתיבה נעה.

קביעה: תרשים 2.

נימוק: על הגוף פועלים שני כוחות בלבד:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, לאורך החוט אל נקודת התלייה $A$: כלפי מעלה ולעבר ציר הסיבוב, בזווית $30^\circ$ לאנך.

אין כוח אופקי נפרד: הכוח השקול הרדיאלי (הצנטריפטלי) הוא הרכיב האופקי של המתיחות. לכן תרשימים 3 ו־4, שבהם מופיע חץ אופקי נוסף, שגויים.

היחס בין אורכי החצים: הגוף נע במישור אופקי, ולכן הרכיב האנכי של המתיחות מאזן את הכובד:

כלומר חץ המתיחות ארוך רק במעט מחץ הכובד – כך בתרשים 2. בתרשים 1 חץ המתיחות ארוך בערך פי $2$ מחץ הכובד, ואז הרכיב האנכי שלו (כ־$1.7\,mg$) היה גדול מהכובד והגוף היה מואץ כלפי מעלה.

טעות נפוצה: לבחור בתרשים 3 או 4 ולהוסיף "כוח צנטריפטלי" ככוח נפרד.

הגוף נע במעגל אופקי, ולכן תאוצתו האנכית אפס ושקול הכוחות האנכי אפס (החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$ בציר האנכי, $a_y=0$):

הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש ב־$\sin 30^\circ$ – הזווית נמדדת מהאנך, ולכן הרכיב האנכי של המתיחות הוא $T\cos\alpha$.

קביעה: המתיחות קטנה מזו שבסעיף ב.

נימוק: כשהמתקן אינו מסתובב, הגוף תלוי במנוחה והחוט אנכי. פועלים עליו רק הכובד והמתיחות, ושניהם אנכיים. שקול הכוחות אפס:

בזמן הסיבוב רק הרכיב האנכי של המתיחות מאזן את הכובד, $T\cos 30^\circ=mg$, ולכן המתיחות עצמה צריכה להיות גדולה מ־$mg$: $T=\frac{mg}{\cos 30^\circ}\approx 23.1\,\text{N}$. בנוסף, הרכיב האופקי שלה מספק את הכוח הרדיאלי.

רדיוס המעגל. הגוף מסתובב סביב הציר האנכי $OO'$, לא סביב הנקודה $A$. המרחק שלו מהציר הוא אורך המוט ועוד ההיטל האופקי של החוט:

החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי. הכוח היחיד בכיוון האופקי הוא הרכיב האופקי של המתיחות, המכוון אל הציר:

מדף הנוסחאות: $a_R=\omega^2r$ ו־$\omega=2\pi f$. מציבים $T=\frac{mg}{\cos\alpha}$ מסעיף ב:

הצבה:

(כלומר הקפה שלמה בכ־$4.9\,\text{s}$.)

טעות נפוצה: לקחת כרדיוס רק את $\ell\sin\alpha=0.5\,\text{m}$ (כמו במטוטלת חרוטית רגילה) או רק את $a=3\,\text{m}$ – הרדיוס הוא המרחק מציר הסיבוב, $3.5\,\text{m}$.

ככל שהתדירות גדלה, הזווית $\alpha$ גדלה והמתיחות גדלה. בתדירות המרבית המתיחות היא $T=45\,\text{N}$, ונמצא את הזווית ואת הרדיוס המתאימים.

הזווית – מהציר האנכי (התנועה עדיין במישור אופקי):

התדירות – החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי, $T\sin\theta=m(2\pi f)^2r$:

הצבה:

טעות נפוצה: להשאיר את הזווית $30^\circ$ ואת הרדיוס $3.5\,\text{m}$ – כשהתדירות משתנה, הזווית והרדיוס משתנים גם הם.

קביעה: גרף 2 מייצג את מהירות תיבה $B$.

הסבר: לפי תרשים 1, תיבה $A$ נעה ימינה ותיבה $B$ נעה שמאלה, זו לקראת זו. הכיוון החיובי הוא ימינה, ולכן לפני ההתנגשות מהירות $A$ חיובית ומהירות $B$ שלילית.

בגרף 2 המהירות לפני ההתנגשות ($t<5\,\text{ms}$) היא $-1.5\,\text{m/s}$ – שלילית, כלומר תנועה שמאלה. בגרף 1 המהירות ההתחלתית היא $+3\,\text{m/s}$ – תנועה ימינה, ולכן הוא של תיבה $A$.

נתונים מהגרפים (כיוון חיובי ימינה):

•תיבה $A$ (גרף 1): לפני ההתנגשות $v_A=3\,\text{m/s}$, אחריה $u_A=1\,\text{m/s}$.

•תיבה $B$ (גרף 2): לפני ההתנגשות $v_B=-1.5\,\text{m/s}$, אחריה $u_B=5.5\,\text{m/s}$.

המשטח חסר חיכוך והכוחות האנכיים מתאזנים, ולכן מערכת שתי התיבות סגורה והתנע נשמר. לפי חוק שימור התנע מדף הנוסחאות:

הצבה:

(בדיקה – אנרגייה קינטית: לפני $\tfrac12\cdot 0.14\cdot 3^2+\tfrac12\cdot 0.04\cdot 1.5^2=0.63+0.045=0.675\,\text{J}$; אחרי $\tfrac12\cdot 0.14\cdot 1^2+\tfrac12\cdot 0.04\cdot 5.5^2=0.07+0.605=0.675\,\text{J}$ – ההתנגשות אלסטית.)

טעות נפוצה: להציב את מהירות $B$ לפני ההתנגשות כ־$+1.5\,\text{m/s}$ – $B$ נע שמאלה, ומהירותו שלילית.

הכוח היחיד בכיוון האופקי שפועל על $A$ הוא הכוח של $B$ (אין חיכוך). לפי נוסחת מתקף–תנע מדף הנוסחאות:

הצבה:

גודל המתקף $0.28\,\text{N}\cdot\text{s}$, והסימן השלילי מראה שכיוונו שמאלה – $B$ דחפה את $A$ נגד כיוון תנועתה ו"האטה" אותה.

משך ההתנגשות – מהגרפים, המהירויות משתנות מ־$t=5\,\text{ms}$ ועד $t=10\,\text{ms}$:

לפי הגדרת המתקף מדף הנוסחאות, עבור הכוח הממוצע:

הצבה:

גודל הכוח הממוצע $56\,\text{N}$, וכיוונו שמאלה.

טעות נפוצה: לשכוח להמיר מילי־שניות לשניות ולקבל $0.056\,\text{N}$.

קביעה: תלמיד ב' צודק.

הסבר: לפי החוק השלישי של ניוטון, בכל רגע במהלך ההתנגשות הכוח ש־$B$ מפעילה על $A$ שווה בגודלו ומנוגד בכיוונו לכוח ש־$A$ מפעילה על $B$: $\vec F_{AB}=-\vec F_{BA}$. שני הכוחות פועלים באותו פרק זמן ($5\,\text{ms}$), ולכן המתקפים שלהם, $J=\bar F\Delta t$, שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם – בלי קשר למסות.

בדיקה בנתוני השאלה – המתקף על $B$:

שווה בגודלו למתקף על $A$ ($-0.28\,\text{N}\cdot\text{s}$, סעיף ג) והפוך בכיוונו. המסה משפיעה רק על שינוי המהירות: התיבה הקלה $B$ שינתה את מהירותה ב־$7\,\text{m/s}$, והכבדה $A$ – רק ב־$2\,\text{m/s}$.

טעות נפוצה: לבלבל בין המתקף (שווה לשתי התיבות) לבין שינוי המהירות (גדול יותר לתיבה הקלה).

קביעה: השטח הכלוא בין גרף $F(x)$ לציר $x$ מבטא את העבודה שמבצע הכוח $F$ על הגוף. עבודת כוח שכיוונו לאורך ציר $x$ וגודלו משתנה עם המקום:

והאינטגרל הוא השטח מתחת לגרף.

חישוב השטח – מחלקים לשני חלקים:

- מלבן מ־$x=0$ עד $x=3\,\text{m}$, בגובה $5\,\text{N}$:

- טרפז מ־$x=3\,\text{m}$ עד $x=5\,\text{m}$, הכוח עולה קווית מ־$5\,\text{N}$ ל־$15\,\text{N}$:

כוח החיכוך. $F$ אופקי, ולכן בציר האנכי פועלים רק הכובד והנורמל: $N=mg=2\cdot 10=20\,\text{N}$. מדף הנוסחאות:

הכוח קבוע בגודלו ובכיוונו (שמאלה, נגד התנועה).

העבודה – מדף הנוסחאות, עבודת כוח קבוע $W=F\,\Delta x\cos\theta$, עם $\theta=180^\circ$ בין החיכוך להעתק:

טעות נפוצה: לתת תשובה חיובית – החיכוך מנוגד להעתק, ולכן עבודתו שלילית.

לפי משפט עבודה–אנרגייה מדף הנוסחאות:

הכובד והנורמל ניצבים לתנועה ואינם מבצעים עבודה, ולכן העבודה הכוללת היא עבודת $F$ ועבודת החיכוך (סעיפים א, ב). הגוף התחיל ממנוחה:

הצבה:

(האנרגייה הקינטית בנקודה $A$: $E_{kA}=15\,\text{J}$.)

מהנקודה $A$ ואילך $F$ אינו פועל, והכוח היחיד שמבצע עבודה הוא החיכוך, $f_k=4\,\text{N}$ (הנורמל עדיין $mg$). לפי משפט עבודה–אנרגייה, מ־$A$ ועד העצירה ב־$B$:

הצבה:

טעות נפוצה: לתת את הדרך $3.75\,\text{m}$ כתשובה – נשאל השיעור $x_B$, ויש להוסיף את $x_A=5\,\text{m}$.

קביעה: ביטוי 3, $x_C>x_B$.

- עבודת הכוח $F_1$ בקטע $0\to A$: רק הרכיב האופקי של $F_1$ מבצע עבודה (הרכיב האנכי ניצב להעתק). הרכיב האופקי זהה לגרף שבתרשים ב, ולכן עבודתו שווה ל־$35\,\text{J}$ – כמו במקרה הראשון.

- החיכוך בקטע $0\to A$: הרכיב האנכי של $F_1$, $F_1\sin\alpha$, פועל כלפי מעלה ומקטין את הכוח הנורמלי:

לכן כוח החיכוך $f_k=\mu N$ קטן מ־$4\,\text{N}$, וגודל עבודתו בקטע זה קטן מ־$20\,\text{J}$.

- בנקודה $A$: לפי משפט עבודה–אנרגייה $E_{kA}=35-|W_f|>15\,\text{J}$ – הגוף מהיר יותר מבמקרה הראשון.

- אחרי $A$: $F_1$ מפסיק לפעול, הנורמל שוב $mg$ והחיכוך שוב $4\,\text{N}$ – בדיוק כמו במקרה הראשון. דרך העצירה $\frac{E_{kA}}{f_k}$ גדולה יותר, כי $E_{kA}$ גדולה יותר.

לכן הגוף נעצר רחוק יותר: $x_C>x_B$.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי 2 ("אותו רכיב אופקי – אותה תנועה") ולהתעלם מכך שהרכיב האנכי של $F_1$ מקטין את הנורמל ואת החיכוך; או לבחור בביטוי 4 – אין צורך לדעת את $\alpha$, כי מספיק שהחיכוך קטן.