מתכונת 2 בפיזיקה - מכניקה 36361

בגרף מהירות–זמן השיפוע בכל רגע הוא התאוצה הרגעית ($a=\frac{dv}{dt}$).

שלב 1, $0<t<4\,\text{s}$ – תנועה שוות תאוצה. הגרף קו ישר עולה – שיפוע קבוע. המהירות גדלה ב־$3\,\text{m/s}$ בכל שנייה:

שלב 2, $4\,\text{s}<t<7\,\text{s}$ – תנועה שוות מהירות (קצובה). הגרף אופקי, השיפוע אפס, ולכן $a=0$ והאופנוע נע במהירות קבועה $12\,\text{m/s}$.

שלב 3, $7\,\text{s}<t<12\,\text{s}$ – תנועה בתאוצה משתנה. המהירות גדלה (מ־$12$ ל־$20\,\text{m/s}$), אבל הגרף מתעקם: בשנייה הראשונה של השלב המהירות גדלה ב־$2.5\,\text{m/s}$, בשנייה שאחריה ב־$2\,\text{m/s}$, ובשנייה האחרונה רק ב־$0.8\,\text{m/s}$. השיפוע הולך וקטן, כלומר התאוצה אינה קבועה – היא קטנה בהדרגה.

טעות נפוצה: לקבוע ששלב 3 הוא "שוות תאוצה" רק משום שהמהירות עולה – עלייה במהירות אינה מעידה על תאוצה קבועה; צריך לבדוק אם השיפוע קבוע.

התאוצה המוצהרת. ממירים ליחידות SI:

בתנועה שוות תאוצה, לפי $v=v_0+at$ עם $v_0=0$:

התאוצה המרבית של הרוכב. התאוצה היא שיפוע הגרף. בשלב 3 השיפוע הגדול ביותר הוא בשנייה הראשונה, $2.5\,\text{m/s}^2$, ומשם הוא קטן; בשלב 2 השיפוע אפס. לכן השיפוע הגדול ביותר בגרף הוא בשלב 1: $a_{\max}=3\,\text{m/s}^2$.

טעות נפוצה: לא להמיר $\text{km/h}$ ל־$\text{m/s}$ (ולקבל $30\,\text{m/s}^2$ ויחס $10$).

מהירות ממוצעת היא ההעתק חלקי הזמן: $\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$. האופנוע נע בכיוון אחד, וההעתק שווה לשטח שבין גרף המהירות–זמן לבין ציר הזמן.

שלב 3 ($7$–$12\,\text{s}$) – הגרף מתעקם; מחשבים בקירוב כסכום טרפזים בין נקודות הגרף (המהירויות $12,\ 14.5,\ 16.5,\ 18,\ 19.2,\ 20\,\text{m/s}$ ברווחים של שנייה):

טעות נפוצה: לחשב $\frac{0+20}{2}=10\,\text{m/s}$ – ממוצע המהירות ההתחלתית והסופית נכון רק לתנועה שוות תאוצה לאורך כל הזמן.

מרגע הלחיצה על הבלמים האופנוע נע בתאוטה קבועה. כיוון חיובי – כיוון הנסיעה, ולכן $a=-8\,\text{m/s}^2$.

לפי $v=v_0+at$, ברגע העצירה $v=0$:

טעות נפוצה: להוסיף את זמן התגובה – הסעיף שואל על הזמן מרגע הלחיצה על הבלמים.

שלב 1 – זמן התגובה. עד הלחיצה על הבלמים האופנוע ממשיך בתנועה קצובה:

שלב 2 – הבלימה. לפי $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$ עם $v=0$:

(בדיקה: $\Delta x_2=\frac{v_0+v}{2}\,t=\frac{20+0}{2}\cdot 2.5=25\,\text{m}$.)

$43\,\text{m}>40\,\text{m}$, ולכן האופנוע אינו נעצר לפני קו העצירה – הוא חוצה אותו ב־$3\,\text{m}$.

טעות נפוצה: להתעלם מהמרחק שעובר האופנוע בזמן התגובה – מקבלים $25\,\text{m}$ ומסיקים בטעות שהוא נעצר בזמן.

תשובה: לא.

נימוק: בבלימה בתאוטה קבועה שגודלה $|a|$, לפי $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$ עם מהירות סופית אפס:

מרחק הבלימה יחסי לריבוע המהירות. התוספת למרחק הבלימה כשמגדילים את המהירות מ־$v_0$ ל־$v_0+\Delta v$:

תוספת זו תלויה ב־$v_0$ – היא גדלה ככל שמהירות הנסיעה גבוהה יותר.

דוגמה עם תאוטת האופנוע $8\,\text{m/s}^2$:

•מ־$30$ ל־$40$ קמ"ש ($8.33\to 11.11\,\text{m/s}$): $d$ גדל מ־$4.3$ ל־$7.7\,\text{m}$ – תוספת של כ־$3.4\,\text{m}$.

•מ־$90$ ל־$100$ קמ"ש ($25\to 27.78\,\text{m/s}$): $d$ גדל מ־$39.1$ ל־$48.2\,\text{m}$ – תוספת של כ־$9.2\,\text{m}$.

לכן כל $10$ קמ"ש נוספים במהירות גבוהה "עולים" במטרים רבים יותר מאשר במהירות נמוכה, והטענה אינה נכונה.

על התיבה $m_1$ (חמישה כוחות):

1. כוח הכובד $m_1g$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי השולחן, אנכית כלפי מעלה.

3. הכוח החיצוני $F$ – מופעל על ידי התלמיד, אופקי, הרחק מן הגלגלת (הכיוון החיובי).

4. מתיחות החוט $T$ – מופעל על ידי החוט, אופקי, לעבר הגלגלת.

5. כוח החיכוך הקינטי $f_k=\mu_kN$ – מופעל על ידי השולחן, אופקי, נגד כיוון התנועה – כלומר לעבר הגלגלת.

על הגוף התלוי $m_2$ (שני כוחות):

1. כוח הכובד $m_2g$ – אנכית כלפי מטה.

2. מתיחות החוט $T$ – אנכית כלפי מעלה.

החוט והגלגלת חסרי מסה והגלגלת חסרת חיכוך, ולכן גודל המתיחות זהה בשני קצות החוט.

טעות נפוצה: לסמן את החיכוך בכיוון ההפוך למתיחות ("החוט מושך לגלגלת, לכן החיכוך מתנגד לחוט") – החיכוך הקינטי מתנגד לתנועה של התיבה, שהיא הרחק מן הגלגלת.

החוט אינו מתארך, ולכן לשני הגופים אותו גודל תאוצה $a$: כשהתיבה נעה הרחק מן הגלגלת, הגוף התלוי עולה.

נכתוב את החוק השני של ניוטון, $\Sigma F=ma$, לכל גוף בכיוון תנועתו.

התיבה $m_1$ – בכיוון האנכי אין תאוצה: $N=m_1g$, ולכן $f_k=\mu_km_1g$.

בכיוון האופקי (חיובי – הרחק מן הגלגלת):

הגוף $m_2$ – חיובי כלפי מעלה:

מחברים את שתי המשוואות ($T$ מתקזז):

זהו ביטוי לינארי $y=Ax+B$ עם $y=a$, $x=F$:

ציר אופקי: הכוח $F$ בניוטון ($0$ עד $50\,\text{N}$). ציר אנכי: התאוצה $a$ ב־$\text{m/s}^2$. כדאי לכלול גם ערכים שליליים של $a$, כדי לראות היכן הקו חוצה את ציר $F$ (נדרש בסעיף ה).

הנקודות $(F\,[\text{N}],\,a\,[\text{m/s}^2])$: $(25,\,1.7)$, $(30,\,3.7)$, $(35,\,5.0)$, $(40,\,7.0)$, $(45,\,8.5)$.

לפי סעיף ב, $a$ היא פונקציה לינארית של $F$, ולכן מעבירים קו ישר אחד הקרוב ככל האפשר לכל הנקודות (הנקודות מפוזרות משני צדיו):

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו, למשל $(25\,\text{N},\,1.80\,\text{m/s}^2)$ ו־$(45\,\text{N},\,8.56\,\text{m/s}^2)$:

משוואת הקו: $a\approx 0.338F-6.65$ (חיתוך עם ציר $a$, בהמשך הקו: $-6.65\,\text{m/s}^2$).

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור, או לכפות על הקו לעבור דרך הראשית – לפי סעיף ב לקו יש חיתוך $B\neq 0$.

לפי סעיף ב, שיפוע הגרף הוא

מהגרף (סעיף ג): $A\approx 0.338\,\text{kg}^{-1}$. הצבה:

טעות נפוצה: לכתוב $m=\frac{1}{A}$ – השיפוע הוא ההופכי של המסה הכוללת $2m$.

קביעה: $F\approx 20\,\text{N}$.

הסבר: בתנועה קצובה המהירות קבועה, ולכן התאוצה אפס ושקול הכוחות על כל גוף אפס. בגרף, $a=0$ בנקודה שבה קו המגמה חוצה את ציר הכוח $F$:

בכוח זה $F$ מאזן בדיוק את משקל הגוף התלוי ואת כוח החיכוך: $F=m_2g+\mu_km_1g=mg(1+\mu_k)$.

(מהחיתוך $B=-\frac{g(1+\mu_k)}{2}\approx -6.65\,\text{m/s}^2$ מתקבל גם $\mu_k\approx 0.33$.)

טעות נפוצה: לענות $F=0$ – כאשר $F=0$ התאוצה היא $B\approx -6.65\,\text{m/s}^2$ (המערכת מאטה), לא אפס.

קביעה: תרשים 3.

נימוק: על המושב (עם הנוסע) פועלים שני כוחות בלבד:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי השרשרת, לאורך השרשרת אל נקודת התלייה $A$: כלפי מעלה ולעבר ציר הסיבוב (שמאלה), בזווית $37^\circ$ לאנך.

אין כוח אופקי נפרד: הכוח השקול הרדיאלי (הצנטריפטלי) הוא הרכיב האופקי של המתיחות, ולכן תרשים 2 (חץ אופקי נוסף פנימה) שגוי. גם תרשים 4 שגוי – אין כוח המכוון החוצה מן הציר; ההרגשה של "דחיפה החוצה" נובעת מההתמדה, לא מכוח.

היחס בין אורכי החצים: המושב נע במישור אופקי, ולכן הרכיב האנכי של המתיחות מאזן את הכובד:

כלומר חץ המתיחות ארוך רק במעט מחץ הכובד – כך בתרשים 3. בתרשים 1 חץ המתיחות ארוך בערך פי $2.2$ מחץ הכובד, ואז הרכיב האנכי שלו (כ־$1.75\,mg$) היה גדול מהכובד והמושב היה מואץ כלפי מעלה.

טעות נפוצה: לבחור בתרשים 2 או 4 ולהוסיף "כוח צנטריפטלי" או "כוח צנטריפוגלי" ככוח נפרד.

המושב נע במעגל אופקי, ולכן תאוצתו האנכית אפס ושקול הכוחות האנכי אפס (החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$ בציר האנכי, $a_y=0$):

הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש ב־$\sin 37^\circ$ – הזווית נמדדת מהאנך, ולכן הרכיב האנכי של המתיחות הוא $T\cos\alpha$.

קביעה: המתיחות קטנה מזו שבסעיף ב.

נימוק: כשהקרוסלה עומדת, המושב תלוי במנוחה והשרשרת אנכית. פועלים עליו רק הכובד והמתיחות, ושניהם אנכיים. שקול הכוחות אפס:

בזמן הסיבוב רק הרכיב האנכי של המתיחות מאזן את הכובד, $T\cos 37^\circ=mg$, ולכן המתיחות עצמה צריכה להיות גדולה מ־$mg$: $T=\frac{mg}{\cos 37^\circ}\approx 751\,\text{N}$. בנוסף, הרכיב האופקי שלה מספק את הכוח הרדיאלי.

רדיוס המעגל. המושב מסתובב סביב העמוד, לא סביב הנקודה $A$. המרחק שלו מציר הסיבוב הוא אורך הזרוע ועוד ההיטל האופקי של השרשרת:

החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי. הכוח היחיד בכיוון האופקי הוא הרכיב האופקי של המתיחות, המכוון אל הציר:

מדף הנוסחאות: $a_R=\omega^2r$ ו־$\omega=2\pi f$. מציבים $T=\frac{mg}{\cos\alpha}$ מסעיף ב:

הצבה:

(כלומר הקפה שלמה בכ־$6.1\,\text{s}$.)

טעות נפוצה: לקחת כרדיוס רק את $\ell\sin\alpha\approx 3\,\text{m}$ (כמו במטוטלת חרוטית רגילה) או רק את $a=4\,\text{m}$ – הרדיוס הוא המרחק מציר הסיבוב, $7.01\,\text{m}$.

ככל שהתדירות גדלה, הזווית $\alpha$ גדלה והמתיחות גדלה. בתדירות המרבית המתיחות היא $T=1200\,\text{N}$, ונמצא את הזווית ואת הרדיוס המתאימים.

הזווית – מהציר האנכי (התנועה עדיין במישור אופקי):

התדירות – החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי, $T\sin\theta=m(2\pi f)^2r$:

הצבה:

(הקפה בכ־$4.4\,\text{s}$.)

טעות נפוצה: להשאיר את הזווית $37^\circ$ ואת הרדיוס $7.01\,\text{m}$ – כשהתדירות משתנה, הזווית והרדיוס משתנים גם הם.

בין $A$ ל־$B$ הקפיץ אינו פועל על העגלה והחיכוך זניח. הכוח הנורמלי ניצב לתנועה ואינו מבצע עבודה, וכוח הכובד משמר – לכן האנרגייה המכנית נשמרת:

המהירות המזערית מתקבלת כשהעגלה מגיעה ל־$B$ במהירות אפס:

האנרגייה הקינטית ב־$B$ – שימור אנרגייה מכנית בין $A$ ל־$B$:

($v_B=3\,\text{m/s}$.)

עבודת $F$ מ־$B$ ל־$C$. בקטע $BD$ המסילה אופקית: כוח הכובד והכוח הנורמלי ניצבים לתנועה ואינם מבצעים עבודה, ולכן רק $F$ מבצע עבודה. לפי משפט עבודה–אנרגייה:

העבודה שלילית: הקפיץ דוחף את העגלה שמאלה, נגד כיוון התנועה.

טעות נפוצה: לשכוח את העלייה מ־$A$ ל־$B$ ולהציב $\tfrac12mv_0^2=5\,\text{J}$ כאנרגייה הקינטית ב־$B$.

הכוח כפונקציה של המקום. מהגרף הכוח לינארי ועובר בראשית; ב־$x=1.0\,\text{m}$ גודלו $10\,\text{N}$:

העבודה של כוח משתנה שווה לשטח מתחת לגרף $F(x)$ (מדף הנוסחאות $W=\int F(x)\,dx$), כאן בסימן שלילי כי הכוח מנוגד לתנועה. השטח מ־$0$ עד $d$ הוא משולש שבסיסו $d$ וגובהו $kd$:

(גודל זה שווה לאנרגייה הפוטנציאלית האלסטית $\tfrac12kd^2$ שנאגרת בקפיץ.)

משווים לתוצאת סעיף ב:

$0.6\,\text{m}<1.0\,\text{m}$, ולכן $C$ אכן בין $B$ ל־$D$.

טעות נפוצה: לחשב את העבודה כ־$F\cdot d$ עם ערך קבוע של הכוח – הכוח משתנה, ויש להשתמש בשטח שמתחת לגרף.

בין $C$ ל־$B$ הכוח היחיד שמשפיע על התנועה (בכיוון האופקי) הוא הכוח שהקפיץ מפעיל, $F=10x$, המכוון שמאלה – בכיוון התנועה של העגלה.

- מואצת: פועל על העגלה כוח שקול שונה מאפס (פרט לנקודה $B$ עצמה), ולכן יש לה תאוצה.

- תאוצה משתנה: לפי החוק השני $a=\frac{F}{m}=\frac{10x}{0.4}=25x$. ככל שהעגלה מתקרבת ל־$B$, $x$ קטן והתאוצה קטנה: מ־$a=25\cdot 0.6=15\,\text{m/s}^2$ ב־$C$ ועד $a=0$ ב־$B$.

- גודל המהירות גדל: הכוח והתאוצה בכיוון התנועה, ולכן המהירות גדלה כל הזמן (בקצב הולך וקטן). הכוח מבצע עבודה חיובית $+1.8\,\text{J}$, והעגלה מגיעה ל־$B$ במהירות $3\,\text{m/s}$ – אותה מהירות שבה עברה ב־$B$ בדרך ימינה.

טעות נפוצה: לכתוב שהמהירות קטנה כי הכוח קטן – כוח קטן יותר מגדיל את המהירות לאט יותר, אבל עדיין מגדיל אותה כל עוד הוא בכיוון התנועה.

מדף הנוסחאות, מתקף של כוח משתנה:

האינטגרל של הכוח לפי הזמן הוא השטח שבין גרף $F(t)$ לציר הזמן. לכן השטח מייצג את המתקף שהפעיל דאון 1 על דאון 2, והוא שווה לשינוי בתנע של דאון 2 ($J=\Delta p$).

ערכו – שטח טרפז (בסיסים $0.04\,\text{s}$ ו־$0.02\,\text{s}$, גובה $8\,\text{N}$):

טעות נפוצה: לקרוא את ציר הזמן בשניות במקום ביחידות של $10^{-2}\,\text{s}$.

המסילה חסרת חיכוך והקטע $AB$ אופקי, ולכן הכוח השקול האופקי על דאון 2 בזמן ההתנגשות הוא הכוח $F$ שמפעיל עליו דאון 1. לפי נוסחת מתקף–תנע מדף הנוסחאות:

המתקף הוא השטח מתחת לגרף (סעיף א), $J=0.24\,\text{N}\cdot\text{s}$, ולכן

שני נעלמים: $v_1$ (מהירות דאון 1 לפני ההתנגשות) ו־$u_1$ (מהירותו אחריה). כיוון חיובי – ימינה.

משוואה 1 – שימור תנע (אין כוח חיצוני אופקי על הדאונים):

משוואה 2 – התנגשות אלסטית חד־ממדית (מדף הנוסחאות):

(במקום משוואה 2 אפשר לכתוב שימור אנרגייה קינטית: $\tfrac12\cdot 0.2v_1^2=\tfrac12\cdot 0.2u_1^2+\tfrac12\cdot 0.3\cdot 0.8^2$.)

לבדיקה בלבד – פתרון המשוואות: $v_1=1\,\text{m/s}$, $u_1=-0.2\,\text{m/s}$ (דאון 1 חוזר שמאלה).

לפי החוק השלישי של ניוטון:

בכל רגע הכוח שדאון 2 מפעיל על דאון 1 שווה בגודלו לכוח שדאון 1 מפעיל על דאון 2 ומנוגד לו בכיוון. לכן העקומה החדשה היא תמונת ראי של העקומה הנתונה ביחס לציר הזמן, באותם זמנים בדיוק.

(הקו המקווקו – העקומה המקורית; הקו הרציף – הכוח על דאון 1.) השטח שבין העקומה החדשה לציר הוא $-0.24\,\text{N}\cdot\text{s}$: המתקף על דאון 1 שווה בגודלו ומנוגד בכיוונו למתקף על דאון 2.

טעות נפוצה: לסרטט טרפז קטן יותר כי דאון 1 קל יותר – הכוחות ההדדיים שווים בגודלם בכל רגע ללא קשר למסות.

קביעה: גרף (3).

נימוק: נבחן את שלושת שלבי התנועה (המסילה חסרת חיכוך):

- בקטע $AB$ (אופקי): הכוחות האנכיים מאזנים זה את זה, ואין כוח בכיוון התנועה – מהירות קבועה ($0.8\,\text{m/s}$): קו אופקי.

- בקטע $BC$ (ירידה): לכוח הכובד יש רכיב לאורך המסילה בכיוון התנועה, ולכן גודל המהירות גדל בהדרגה. לפי שימור אנרגייה, $\tfrac12mv^2+mgy$ קבוע – ככל שהדאון יורד, מהירותו גדלה. המהירות משתנה ברציפות, כי הכוחות סופיים.

- בקטע $CD$ (אופקי, נמוך יותר): שוב מהירות קבועה – גדולה מבקטע $AB$, כי האנרגייה הפוטנציאלית נמוכה יותר.

גרף (3) מתאר זאת. גרף (2) שגוי – בו המהירות קטנה, כמו בעלייה. גרף (1) שגוי – בו המהירות "קופצת" בבת אחת, וזה מחייב כוח אינסופי.