בגרות בפיזיקה חשמל ומגנטיות 36371 - קיץ 2020 מועד מיוחד

על כדור $B$ פועלים שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, כיוונו לאורך החוט מהכדור אל נקודת הקשירה בתקרה (כלפי מעלה ושמאלה בתרשים), בזווית $60^\circ$ עם התקרה, כלומר $30^\circ$ עם האנך.

3. הכוח החשמלי $F_E$ – מופעל על ידי כדור $A$. המטענים הפוכים בסימנם, ולכן זהו כוח משיכה: כיוונו אופקי (מרכזי הכדורים באותו גובה), מ־$B$ לעבר $A$ – ימינה בתרשים.

הכדור במנוחה, ולכן שקול שלושת הכוחות הוא אפס. (בהתאם לכך החוט נוטה מהאנך לכיוון $A$, כפי שרואים בתרשים.)

טעות נפוצה: לסמן את הכוח החשמלי בכיוון הרחק מ־$A$ – מטענים בעלי סימנים הפוכים נמשכים.

הכדור במנוחה, ולכן לפי החוק השני של ניוטון שקול הכוחות אפס בכל ציר. החוט יוצר זווית $60^\circ$ עם התקרה (האופקית):

בציר האנכי: $T\sin 60^\circ=mg$

בציר האופקי: $T\cos 60^\circ=F_E$

מחלקים את המשוואות:

הצבה, עם $m=10\,\text{gr}=0.01\,\text{kg}$:

מדף הנוסחאות: $F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}$. הערכים המוחלטים של המטענים שווים ($|q_A|=|q_B|=q$), והמרחק $r=d$:

הצבה, עם $k=9\cdot 10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$:

כדור $B$ טעון שלילית, ולכן $q_B\approx -7.6\cdot 10^{-7}\,\text{C}$.

טעות נפוצה: לשכוח להמיר גרם לקילוגרם, או להשתמש ב־$\tan 60^\circ$ הפוך – הזווית $60^\circ$ היא עם התקרה, לא עם האנך.

קביעה: שני החוטים יוצרים זוויות שוות עם התקרה.

תרשים הכוחות – על כל אחד מהכדורים פועלים שלושה כוחות:

•כוח הכובד $mg$ (כדור הארץ, אנכית מטה);

•מתיחות החוט $T$ (החוט, לאורך החוט אל התקרה);

•כוח הדחייה החשמלי $F$ (הכדור השני, לאורך הקו המחבר את הכדורים, הרחק מהכדור השני).

•לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח ש־$C$ מפעיל על $D$ והכוח ש־$D$ מפעיל על $C$ שווים בגודלם והפוכים בכיוונם – אף שהמטענים שונים. גם לפי חוק קולון $F=k\frac{q_Cq_D}{r^2}$ הכוח תלוי במכפלת המטענים, והוא אותו כוח לשני הכדורים.

•המסות שוות, ולכן גם כוחות הכובד שווים.

•כל כדור במנוחה, ולכן בכל אחד מהם (כאשר $\theta$ היא הזווית של החוט עם התקרה):

לשני הכדורים אותו $mg$ ואותו $F$, ולכן אותה זווית $\theta$. (החוטים באורך שווה, כך שהמצב סימטרי והכוח החשמלי אופקי לשני הכדורים.)

טעות נפוצה: להסיק שהכדור בעל המטען הגדול "דוחה חזק יותר" וחוטו נוטה פחות (או יותר) – הכוחות ההדדיים תמיד שווים בגודלם.

קביעה: השקול אינו אפס.

נימוק: כל המטענים חיוביים, ולכן $D$ ו־$C$ דוחים את $H$. $D$ ו־$C$ נמצאים משני צדי $H$, ולכן הכוחות בכיוונים הפוכים: $D$ דוחף את $H$ לעבר $C$, ו־$C$ דוחף את $H$ לעבר $D$. נשווה את גודלם לפי חוק קולון $F=k\frac{q_1q_2}{r^2}$:

המטען של $C$ גדול פי $3$, אך המרחק גדול פי $3$ והכוח יורד כריבוע המרחק – פי $9$. לכן $F_C$ קטן פי $3$ מ־$F_D$, והשקול:

כיוון השקול – כיוון הכוח של $D$, כלומר הרחק מ־$D$ ולעבר $C$.

טעות נפוצה: להסיק ש"פי $3$ במטען ופי $3$ במרחק מתקזזים" – הכוח תלוי בריבוע המרחק.

כשהמפסק סגור, הנגדים $R_2$ ו־$R_3$ מחוברים במקביל בין הצומת $A$ לצומת $C$ (המפסק הסגור הוא תיל שהתנגדותו אפס), והצירוף שלהם מחובר בטור ל־$R_1$ ולמקור.

לנגדים במקביל אותו מתח: $V_{R_3}=V_{R_2}$, ולפי חוק אוהם $V=IR$:

לפי חוק הזרמים של קירכהוף ($\Sigma I=0$) בצומת $A$, הזרם $I_1$ מתפצל ל־$I_2$ ול־$I_3$:

לפי חוק המתחים של קירכהוף ($\Sigma\varepsilon=\Sigma IR$) בלולאה: מקור ← $R_1$ ← $R_2$ ← חזרה למקור:

מציבים את $I_1$ מתת־סעיף (1):

(ניתן לכתוב גם $\varepsilon=I_1\left(R_1+r+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\right)$, עם $I_1$ מתת־סעיף (1).)

הזרם הראשי (מסעיף א(1)):

הכא"מ (מסעיף א(2)):

מתח ההדקים – מדף הנוסחאות:

(בדיקה: המתח על המעגל החיצוני $I_1R_1+I_2R_2=4.5+4=8.5\,\text{V}$ ✓.)

טעות נפוצה: להציב במתח ההדקים את $I_2$ במקום את הזרם הראשי $I_1$ – דרך המקור עובר הזרם הכולל.

$V_{BC}$: בין $B$ ל־$C$ נמצא רק המפסק הסגור, שהתנגדותו אפס. לפי חוק אוהם $V=IR$ עם $R=0$:

$V_{AB}$: בין $A$ ל־$B$ נמצא הנגד $R_3$, שדרכו עובר הזרם

לפי חוק אוהם:

בדיקה: זה גם המתח על $R_2$, המחובר במקביל: $I_2R_2=1\cdot 4=4\,\text{V}$ ✓.

(לגבי הסימן: בתרשים הקו הארוך והדק של סמל המקור – ההדק החיובי – פונה כלפי מטה, ולכן הזרם עולה דרך $R_3$ מ־$B$ אל $A$, והפוטנציאל ב־$B$ גבוה מזה שב־$A$: $V_{AB}=V_A-V_B=-4\,\text{V}$. גודל המתח הוא $4\,\text{V}$.)

כשהמפסק פתוח, לא עובר זרם בענף של $R_3$. המעגל הוא מעגל טורי יחיד: מקור, $R_1$ ו־$R_2$.

הזרם במעגל – לפי חוק המתחים של קירכהוף:

$V_{AB}$: דרך $R_3$ לא עובר זרם, ולכן לפי חוק אוהם המתח עליו אפס:

($B$ נמצא באותו פוטנציאל כמו $A$.)

$V_{BC}$: מאחר ש־$V_B=V_A$, המתח על המפסק הפתוח שווה למתח בין $A$ ל־$C$, כלומר למתח על $R_2$:

(לפי קוטביות המקור בתרשים, $V_B<V_C$, כלומר $V_{BC}\approx -6.67\,\text{V}$.)

טעות נפוצה: לחשוב שהמתח על מפסק פתוח הוא אפס "כי לא עובר בו זרם" – דווקא על המפסק הפתוח נופל מתח, ועל הנגד שאין בו זרם המתח אפס.

קביעה: הנצילות גדולה יותר כשהמפסק פתוח.

נימוק: הנצילות היא היחס בין ההספק המנוצל במעגל החיצוני להספק שהמקור מספק:

פתיחת המפסק מנתקת את הענף של $R_3$, ולכן ההתנגדות החיצונית גדלה (במקום $R_2$ ו־$R_3$ במקביל נשאר $R_2$ לבדו). התנגדות חיצונית גדולה יותר ⇐ זרם קטן יותר במקור ⇐ מפל מתח $Ir$ קטן יותר על ההתנגדות הפנימית ⇐ מתח ההדקים גדול יותר ⇐ נצילות גדולה יותר.

(לבדיקה בלבד: במפסק סגור $\\beta=\frac{8.5}{10}=85\%$, ובמפסק פתוח $\\beta=\frac{10-1.67\cdot 0.5}{10}\approx 92\%$.)

קביעה: לנקודה $E$.

נימוק: המקור מחובר לקצה $B$ של הנגד המשתנה, והזרם עובר בנגד מ־$B$ ועד הנקודה שאליה מחובר המתג, ומשם דרך המתג ומד־הזרם חזרה למקור. כלומר, במעגל משתתף רק קטע הנגד שבין $B$ לנקודת החיבור. כשהמתג מחובר ל־$E$, הזרם עובר לאורך כל הנגד, ההתנגדות הכוללת מרבית, ולפי $I=\frac{\varepsilon}{R+r}$ הזרם מזערי.

קביעה: לנקודה $B$.

נימוק: כשהמתג מחובר ל־$B$, הזרם אינו עובר כלל בנגד המשתנה (קטע הנגד בין $B$ ל־$B$ הוא באורך אפס). ההתנגדות החיצונית אפס (מד־הזרם ותילי החיבור – התנגדות זניחה), ההתנגדות הכוללת מזערית – רק ההתנגדות הפנימית $r$ – והזרם מרבי.

במצב זה ההתנגדות החיצונית אפס. לפי חוק המתחים של קירכהוף ($\Sigma\varepsilon=\Sigma IR$):

הצבה:

(זהו למעשה זרם קצר של המקור.)

המתג מחובר ל־$E$, והזרם עובר בכל הנגד המשתנה, $R_{BE}$, בטור עם ההתנגדות הפנימית. לפי חוק המתחים של קירכהוף:

הצבה:

טעות נפוצה: לחשב $\frac{\varepsilon}{I}=30\,\Omega$ ולשכוח להפחית את ההתנגדות הפנימית של המקור.

הנקודה הסמוכה ל־$E$ היא $D$. הזרם עובר עכשיו רק בקטע $BD$ של הנגד המשתנה. באותו אופן:

הצבה:

(כצפוי, הזרם גדל כשקטע הנגד שבמעגל התקצר.)

קביעה: לנקודה $B$.

נימוק: במעגל I הנורה מחוברת בטור עם קטע הנגד המשתנה שבין $B$ לנקודת החיבור, עם המקור ועם מד־הזרם. הזרם במעגל:

כשהמתג ב־$B$, קטע הנגד שבמעגל הוא אפס, הזרם בנורה מרבי, ולכן ההספק שלה $P=I^2R_L$ – ועוצמת האור – מרביים.

קביעה: לנקודה $B$.

נימוק: במעגל II הנקודה $E$ מחוברת בתיל ישירות לצומת שבין מד־הזרם לנורה. לכן אם המתג מחובר לנקודה $X$ על הנגד, הנורה מחוברת במקביל לקטע הנגד $XE$, והצירוף הזה מחובר בטור לקטע $BX$ ולמקור (נגד המשמש כמחלק מתח).

•ככל שהמתג קרוב יותר ל־$B$, הקטע הטורי $BX$ קצר יותר – פחות מתח "הולך לאיבוד" עליו;

•ובאותו זמן הקטע $XE$ המקביל לנורה ארוך יותר, ולכן ההתנגדות השקולה של הצירוף המקביל גדולה יותר, והוא מקבל חלק גדול יותר מהמתח.

שני השינויים מגדילים את המתח על הנורה, ולכן ההספק שלה $P=\frac{V^2}{R_L}$ מרבי כשהמתג ב־$B$ – אז הנורה מחוברת במקביל לכל הנגד, ישירות להדקי המקור.

(בקצה השני, כשהמתג ב־$E$, הנורה מקוצרת על ידי התיל ואינה מאירה כלל.)

התנגדות הנורה – מנתוני הנורה (הספק $28.8\,\text{W}$ במתח $24\,\text{V}$), לפי $P=VI$ וחוק אוהם:

הזרם במעגל I – המתג ב־$D$, ולכן במעגל קטע הנגד $R_{BD}=14\,\Omega$ (סעיף ב(2)), בטור עם הנורה וההתנגדות הפנימית. לפי חוק המתחים של קירכהוף:

טעות נפוצה: לענות $28.8\,\text{W}$ – זה ההספק רק כשהמתח על הנורה הוא $24\,\text{V}$; כאן המתח עליה $IR_L\approx 13.3\,\text{V}$ בלבד.

המאזניים אופסו לפני שהמגנט הוצב עליהם. כאשר לא עובר זרם בתיל ($I=0$), אין כוח מגנטי בין התיל למגנט, והמאזניים מראים את כוח הכובד הפועל על המגנט בלבד: $1.500\,\text{N}$.

מדף הנוסחאות: $F=mg$, ולכן

קביעה: התלמיד לא שינה את כיוון הזרם.

נימוק: השדה המגנטי מפעיל על התיל נושא הזרם כוח $F=I\ell B\sin\alpha$ בכיוון אנכי (ניצב לתיל ולשדה). לפי החוק השלישי של ניוטון, התיל מפעיל על המגנט כוח שווה בגודלו ומנוגד בכיוונו – והוא משנה את הוריית המאזניים.

•כאשר הזרם בכיוון שבתרשים ($4\,\text{A}$), ההורייה גדלה מ־$1.500$ ל־$1.509\,\text{N}$: התיל דוחף את המגנט כלפי מטה.

•אילו התלמיד היה הופך את כיוון הזרם, הכוח היה מתהפך: התיל היה מושך את המגנט כלפי מעלה, וההורייה הייתה קטנה מ־$1.500\,\text{N}$.

בכל המדידות ההורייה גדולה מ־$1.500\,\text{N}$ (כל ערכי $F$ חיוביים, וגדלים עם הזרם), ולכן כיוון הכוח – וכיוון הזרם – לא השתנו.

קביעה: $D$ הוא הקוטב הצפוני.

1. כיוון הכוח על התיל. מסעיף ב, הוריית המאזניים גדלה, כלומר על המגנט פועל כוח כלפי מטה. לפי החוק השלישי של ניוטון, המגנט מפעיל על התיל כוח שווה בגודלו וכלפי מעלה.

2. כיוון השדה. הכוח על תיל נושא זרם ניצב לתיל ולשדה, וכיוונו נקבע לפי כלל יד ימין ($\vec F=I\vec\ell\times\vec B$): אצבעות היד בכיוון הזרם, מכופפים אותן לכיוון השדה – והאגודל מראה את כיוון הכוח. בתרשים, הרגל $E$ של המגנט קרובה אלינו (בחזית), והרגל $D$ רחוקה מאיתנו (מאחור); השדה בין הקטבים אופקי, לאורך הקו שבין $E$ ל־$D$ – כלומר "אלינו" או "מאיתנו". הזרם זורם בכיוון החצים שבתרשים – מימין לשמאל, דרך הרווח שבין הקטבים, ניצב לשדה.

נבדוק את שתי האפשרויות לפי $\vec F=I\vec\ell\times\vec B$: אצבעות יד ימין שמאלה (כיוון הזרם), ומכופפים אותן לכיוון השדה:

•אם השדה מכוון אלינו (מ־$D$ שמאחור אל $E$ שבחזית) – האגודל מצביע כלפי מעלה.

•אם השדה מכוון מאיתנו (מ־$E$ אל $D$) – האגודל מצביע כלפי מטה, המגנט היה נדחף כלפי מעלה, וההורייה הייתה קטנה – בסתירה לטבלה.

לכן השדה בין הקטבים מכוון מ־$D$ אל $E$.

3. הקוטב. קווי השדה המגנטי יוצאים מהקוטב הצפוני ונכנסים לקוטב הדרומי. השדה מכוון מ־$D$ אל $E$, ולכן $D$ הוא הקוטב הצפוני ו־$E$ הוא הקוטב הדרומי.

טעות נפוצה: לקבוע את כיוון הכוח על התיל לפי השינוי בהורייה בלי להפעיל את החוק השלישי – ההורייה מודדת את הכוח על המגנט, שהוא הפוך לכוח על התיל.

ציר אופקי: עוצמת הזרם $I$ באמפר (טווח $0$–$20\,\text{A}$). ציר אנכי: הכוח $F$ בניוטון (טווח $0$–$0.06\,\text{N}$).

הנקודות $(I\,[\text{A}],\,F\,[\text{N}])$:

$(0,\,0)$, $(4,\,0.009)$, $(8,\,0.024)$, $(12,\,0.030)$, $(16,\,0.048)$, $(20,\,0.055)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה שעובר דרך הראשית.

מעבירים קו ישר אחד בין הנקודות, כך שהן מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה. הקו עובר דרך הראשית – כצפוי, כי בלי זרם אין כוח מגנטי ($F=I\ell B$ יחסי ל־$I$).

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו: $(0,\,0)$ ו־$(20\,\text{A},\,0.056\,\text{N})$:

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים דרך הראשית נותנת כ־$2.79\cdot 10^{-3}\,\text{N/A}$ – בהתאמה טובה.)

מדף הנוסחאות, גודל הכוח הפועל על תיל נושא זרם בשדה מגנטי:

התיל ניצב לקווי השדה, ולכן $\alpha=90^\circ$ ו־$\sin\alpha=1$:

כלומר בגרף $F(I)$ השיפוע הוא $\ell B$:

הצבה (השיפוע מסעיף ד(2)):

(הכוח $F$ שבטבלה הוא הכוח על המגנט, השווה בגודלו לכוח על התיל לפי החוק השלישי של ניוטון.)

טעות נפוצה: לחשב את $B$ מנקודה אחת של הטבלה במקום מהשיפוע של קו המגמה – השאלה מבקשת שימוש בגרף.

קביעה: אי אפשר לקבוע מגרף זה.

נימוק: גם בטעינה וגם בפריקה הזרם במעגל מתחיל מערך מרבי ודועך באופן מעריכי לאפס, לפי אותה נוסחה מדף הנוסחאות:

- בטעינה: בהתחלה הקבל ריק, כל מתח המקור על הנגד והזרם מרבי ($I_0=\frac{\varepsilon}{R}$); ככל שהקבל נטען, המתח עליו גדל, המתח על הנגד קטן – והזרם דועך.

- בפריקה: בהתחלה מתח הקבל מרבי ($\varepsilon$) והזרם מרבי ($I_0=\frac{\varepsilon}{R}$); ככל שהקבל מתרוקן, המתח עליו – והזרם – דועכים.

בשני המקרים אותו נגד ואותו קבל, ולכן אותו $I_0$ ואותו קבוע זמן – הגרף של גודל הזרם זהה. (בפריקה כיוון הזרם הפוך לכיוונו בטעינה, אבל הגרף מציג ערכים חיוביים בלבד ואינו מבחין בכיוון.)

קביעה: הגרף התקבל בשלב הפריקה.

נימוק: הוולטמטר מודד את המתח על הקבל, $V_C$. לפי חוק המתחים של קירכהוף:

- בפריקה (מצב $2$): הקבל מחובר רק לנגד (ולאמפרמטר האידיאלי), ולכן המתח על הקבל שווה למתח על הנגד:

המתח יחסי ישר לזרם – גרף קווי עולה שעובר דרך הראשית, בדיוק כמו בתרשים ג.

- בטעינה (מצב $1$): $\varepsilon=V_C+IR$, ולכן $V_C=\varepsilon-IR$ – המתח על הקבל קטן כשהזרם גדל (גרף קווי יורד, שאינו עובר דרך הראשית).

לכן תרשים ג מתאים לפריקה.

מסעיף ב, הגרף בתרשים ג מתאר את הפריקה, שבה $V_C=IR$ (חוק אוהם על הנגד). לכן שיפוע הגרף $V(I)$ הוא ההתנגדות $R$:

משתי נקודות על הקו: $(0,\,0)$ ו־$(1.5\,\text{mA},\,3\,\text{V})$:

טעות נפוצה: לשכוח להמיר מיליאמפר לאמפר, ולקבל $R=2\,\Omega$.

מדף הנוסחאות: $I(t)=I_0e^{-t/\tau}$. ברגע $t=\tau$:

מתרשים ב: $I_0=1.5\,\text{mA}$, ולכן מחפשים את הרגע שבו

בגרף, הזרם $0.55\,\text{mA}$ מתקבל ברגע $t\approx 1\,\text{s}$. לכן

(בדיקה בדרך אחרת: הזרם יורד למחצית, $0.75\,\text{mA}$, ברגע $t\approx 0.7\,\text{s}$, ו־$t_{1/2}=\tau\ln 2$ נותן $\tau\approx\frac{0.7}{0.69}\approx 1\,\text{s}$.)