מתכונת 4 בפיזיקה - חשמל ומגנטיות 36371

השדה החשמלי מכוון בכיוון שבו הפוטנציאל יורד. מדף הנוסחאות:

בין $K$ ל־$G$ ($0<x<4\,\text{cm}$): הפוטנציאל עולה מ־$0$ ל־$80\,\text{V}$ ככל ש־$x$ גדל, כלומר $\frac{\Delta V}{\Delta x}>0$ ולכן $E<0$: השדה מכוון בכיוון השלילי של ציר $x$ – מן הרשת $G$ אל הקתודה $K$.

בין $G$ ל־$C$ ($4<x<6\,\text{cm}$): הפוטנציאל יורד מ־$80\,\text{V}$ ל־$20\,\text{V}$, כלומר $\frac{\Delta V}{\Delta x}<0$ ולכן $E>0$: השדה מכוון בכיוון החיובי של ציר $x$ – מן הרשת $G$ אל הלוח $C$.

טעות נפוצה: לקבוע את כיוון השדה לפי ערך הפוטנציאל (למשל "בין $G$ ל־$C$ הפוטנציאל חיובי, ולכן השדה בכיוון החיובי") – הכיוון נקבע לפי השינוי בפוטנציאל.

בכל אזור הגרף הוא קו ישר, ולכן השדה בו אחיד. מדף הנוסחאות:

בין $K$ ל־$G$: $\Delta V=80-0=80\,\text{V}$, $\Delta x=4\,\text{cm}=0.04\,\text{m}$:

בין $G$ ל־$C$: $\Delta V=20-80=-60\,\text{V}$, $\Delta x=6-4=2\,\text{cm}=0.02\,\text{m}$:

טעות נפוצה: להציב את המרחק בסנטימטרים – יש להמיר למטרים.

•בין $K$ ל־$G$ הגרף $V(x)$ הוא קו ישר: השיפוע $\frac{\Delta V}{\Delta x}$ קבוע, ולכן השדה החשמלי אחיד – $2000\,\text{V/m}$ בכל נקודה באזור, ובאותו כיוון.

•כוח הכובד זניח, ולכן הכוח היחיד על האלקטרון הוא הכוח החשמלי $F=qE$. המטען והשדה קבועים, ולכן הכוח קבוע בגודלו ובכיוונו.

•לפי החוק השני של ניוטון, $\Sigma F=ma$, התאוצה $a=\frac{|q|E}{m}$ קבועה – התנועה שוות תאוצה.

כיוון הכוח: מטען האלקטרון שלילי, ולכן הכוח מנוגד לשדה. השדה מכוון מ־$G$ אל $K$, ולכן הכוח מכוון מ־$K$ אל $G$: האלקטרון, שיוצא ממנוחה, מואץ בקו ישר לעבר הרשת.

האלקטרון מואץ לאורך כל הדרך מ־$K$ ל־$G$ (סעיף ג), ולכן מהירותו המרבית באזור זה היא ברגע ההגעה לרשת.

מדף הנוסחאות – עבודת הכוח החשמלי בין שתי נקודות:

הצבה, $V_K=0$, $V_G=80\,\text{V}$:

העבודה חיובית – הכוח בכיוון התנועה.

הכוח החשמלי הוא הכוח היחיד, ולכן לפי משפט עבודה–אנרגייה ($v_0=0$):

טעות נפוצה: להתעלם מסימן המטען ולקבל עבודה שלילית – מטען שלילי שנע מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה מקבל עבודה חיובית מן הכוח החשמלי.

קביעה: האלקטרון יגיע ללוח $C$.

נימוק: בין $G$ ל־$C$ השדה מכוון מ־$G$ אל $C$ והמטען שלילי, ולכן הכוח עליו מכוון מ־$C$ אל $G$ – נגד כיוון התנועה. האלקטרון מאט, אבל השאלה היא אם האנרגייה הקינטית שלו תספיק.

עבודת הכוח החשמלי מ־$G$ עד $C$:

האנרגייה הקינטית של האלקטרון ב־$G$ היא $1.28\cdot 10^{-17}\,\text{J}$ (סעיף ד) – יותר מ־$9.6\cdot 10^{-18}\,\text{J}$ שהוא מאבד בדרך. לפי משפט עבודה–אנרגייה, ב־$C$:

לכן האלקטרון מגיע ללוח $C$ (במהירות $v=\sqrt{\frac{2\cdot 3.2\cdot 10^{-18}}{9.11\cdot 10^{-31}}}\approx 2.7\cdot 10^{6}\,\text{m/s}$).

(בדרך קצרה: מטען שלילי שיצא ממנוחה בפוטנציאל $0$ יכול להגיע לכל נקודה שבה הפוטנציאל אינו נמוך מ־$0\,\text{V}$. הפוטנציאל של $C$ הוא $+20\,\text{V}$, ולכן הוא מגיע אליו.)

טעות נפוצה: לקבוע שהאלקטרון "ייעצר ויחזור" רק משום שהכוח באזור $GC$ מנוגד לתנועה – כוח מאט אינו מבטיח עצירה; יש להשוות אנרגיות.

על הכדור פועלים שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, לאורך החוט מהכדור לעבר נקודת התלייה (כלפי מעלה, בזווית $\alpha$ לאנך).

3. הכוח החשמלי $F_E=|q_1|E$ – מופעל על ידי השדה החשמלי של הלוחות. השדה בין שני לוחות גדולים ומקבילים אחיד וניצב ללוחות, ולכן הכוח אופקי; כיוונו לעבר הלוח $A$, כי הכדור סטה לעבר $A$.

הכדור במנוחה, ולכן שקול שלושת הכוחות הוא אפס.

טעות נפוצה: לסרטט את הכוח החשמלי בזווית או לאורך החוט – השדה ניצב ללוחות, ולכן הכוח החשמלי אופקי.

על הציר האופקי מסמנים את $\sigma$ (ביחידות של $10^{-7}\,\text{C/m}^2$) ועל הציר האנכי את $\tan(\alpha)$ (ללא יחידות). הנקודות מהטבלה:

הנקודות מסודרות בקירוב לאורך קו ישר. לפי הקשר התאורטי (סעיף ד) $\tan\alpha$ יחסי ל־$\sigma$, ולכן קו המגמה הוא קו ישר העובר בראשית ($\sigma=0$ – אין שדה, החוט אנכי) ועובר בין הנקודות כך שהן מתפזרות משני צדיו. קו כזה עובר, למשל, דרך $(0,\,0)$ ו־$(5,\,0.23)$.

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור במקום לסרטט קו מגמה ישר אחד.

בוחרים שתי נקודות על קו המגמה (לא מהטבלה), רחוקות זו מזו: $(0,\,0)$ ו־$(5\cdot10^{-7}\,\text{C/m}^2,\;0.23)$.

(ביחידות הצירים: $0.046$ לכל $10^{-7}\,\text{C/m}^2$.)

תוצאה בתחום $4.4\cdot10^5$–$4.9\cdot10^5\,\text{m}^2/\text{C}$ מתאימה לקו מגמה שסורטט היטב (קו המגמה המיטבי שאינו מאולץ לעבור בראשית נותן כ־$4.8\cdot10^5$).

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע משתי נקודות מהטבלה שאינן מונחות על הקו.

השדה בין הלוחות. כל לוח גדול יוצר שדה אחיד שגודלו (מדף הנוסחאות):

השדה של $A$ (החיובי) מכוון הרחק ממנו, והשדה של $B$ (השלילי) מכוון אליו. בין הלוחות שני השדות מכוונים מ־$A$ אל $B$, ולכן הם מתחברים:

(זו גם התוצאה לשדה בין לוחות קבל.)

שיווי משקל. הכוח החשמלי אופקי: $F_E=|q_1|E=\dfrac{|q_1|\sigma}{\varepsilon_0}$. מפרקים את המתיחות לרכיבים:

ציר אנכי: $T\cos\alpha=mg$

ציר אופקי: $T\sin\alpha=F_E$

מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה:

$\tan\alpha$ יחסי ישר ל־$\sigma$, והשיפוע הוא $\dfrac{|q_1|}{\varepsilon_0 mg}$.

טעות נפוצה: להשתמש ב־$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (שדה של לוח יחיד) ולשכוח את תרומת הלוח השני.

קביעה: $q_1$ שלילי.

נימוק: השדה החשמלי בין הלוחות מכוון מהלוח החיובי $A$ אל הלוח השלילי $B$. הכדור סטה לעבר $A$, כלומר הכוח החשמלי עליו מכוון נגד כיוון השדה. לפי $\vec F=q\vec E$, כוח שכיוונו מנוגד לשדה פועל רק על מטען שלילי (הלוח החיובי מושך אותו והלוח השלילי דוחה אותו).

לפי סעיף ד:

הצבה ($m=2\,\text{g}=2\cdot10^{-3}\,\text{kg}$, $\varepsilon_0=8.85\cdot10^{-12}\,\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$, $g=10\,\text{m/s}^2$):

(עם שיפוע בתחום $4.4$–$4.9\cdot10^{5}\,\text{m}^2/\text{C}$ מתקבל $7.8$–$8.7\cdot10^{-8}\,\text{C}$.)

טעות נפוצה: מי שהשתמש בשדה של לוח יחיד, $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, מקבל מטען גדול פי 2; וגם לשכוח להמיר גרמים לקילוגרמים.

קביעה: תרשים 1.

נימוק: החוטים אנכיים, ולכן על כל כדור שקול הכוחות האופקיים אפס. $q_1$ שלילי (סעיף ה), ולכן $q_2$ חיובי. בין הכדורים פועל כוח קולון של משיכה (מטענים מנוגדים). כוח זה אינו אפס, ולכן על כל כדור חייב לפעול כוח חשמלי מהלוחות שמאזן אותו.

השדה של הלוחות: בין הלוחות השדה הוא $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, מ־$A$ אל $B$ (סעיף ד). מחוץ ללוחות השדות של שני הלוחות שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם, ולכן השדה שם אפס.

- תרשים 1 ($A$ – $q_1$ – $q_2$ – $B$): על $q_1$ (שלילי) השדה מפעיל כוח לעבר $A$, ו־$q_2$ מושך אותו לעבר $B$. על $q_2$ (חיובי) השדה מפעיל כוח לעבר $B$, ו־$q_1$ מושך אותו לעבר $A$. בשני הכדורים הכוחות מנוגדים, ובמרחק מתאים בין הכדורים הם שווים בגודלם ($k\frac{q^2}{r^2}=|q|E$, כאשר גודלי המטענים שווים ולכן גם הכוחות מהשדה על שני הכדורים שווים) – אפשרי.

- תרשים 2 ($A$ – $q_2$ – $q_1$ – $B$): על $q_1$ השדה מפעיל כוח לעבר $A$ וגם $q_2$ (שנמצא בצד של $A$) מושך אותו לעבר $A$ – שני הכוחות באותו כיוון, לא אפשרי.

- תרשים 3 (שני הכדורים מימין ללוח $B$): שם השדה של הלוחות אפס, ועל כל כדור פועל רק כוח המשיכה של הכדור האחר – לא אפשרי.

- תרשים 4 (שני הכדורים משמאל ללוח $A$): מאותה סיבה – השדה אפס ופועלת רק המשיכה – לא אפשרי.

לכן רק תרשים 1 אפשרי.

טעות נפוצה: לחשוב שגם מחוץ ללוחות פועל שדה $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ של הלוח הקרוב – השדות של שני הלוחות מבטלים זה את זה שם.

הגרף. ציר אופקי: המתח $V$ (וולט), ציר אנכי: הזרם $I$ (אמפר). הנקודות $(V,I)$:

$(0,0)$, $(1.5,0.18)$, $(3.0,0.38)$, $(4.5,0.55)$, $(6.0,0.76)$, $(7.5,0.93)$.

מעבירים את הישר המתאים ביותר לנקודות – הוא עובר דרך הראשית:

קביעה: החוט מקיים את חוק אוהם – הנקודות מסתדרות (עם פיזור קטן של מדידה) על קו ישר העובר דרך הראשית, כלומר הזרם יחסי למתח, והיחס $\frac{V}{I}$ כמעט קבוע (בין $7.9$ ל־$8.3\,\Omega$).

חישוב ההתנגדות משיפוע הישר. שתי נקודות על הקו: $(0,0)$ ו־$(7.5\,\text{V},\,0.935\,\text{A})$:

מדף הנוסחאות, חוק אוהם $V=RI$, ולכן $I=\frac{1}{R}V$: השיפוע שווה ל־$\frac1R$.

טעות נפוצה: לחשב את ההתנגדות מנקודה אחת בטבלה, או לשכוח שבגרף $I(V)$ השיפוע הוא $\frac1R$ ולא $R$.

שטח החתך. הקוטר $0.35\,\text{mm}$, ולכן הרדיוס $r=0.175\,\text{mm}=1.75\cdot 10^{-4}\,\text{m}$:

ההתנגדות הסגולית. מדף הנוסחאות:

הצבה:

(ערך אופייני לסגסוגות המשמשות לבניית נגדים.)

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס בנוסחת שטח העיגול (מקבלים תוצאה גדולה פי 4), או לשכוח להמיר מילימטרים למטרים.

קביעה: $R_{\text{ב}}>R_{\text{א}}$.

הסבר: מדף הנוסחאות $R=\rho\frac{\ell}{A}$. לשני החוטים אותה התנגדות סגולית $\rho$ (אותו חומר) ואותו שטח חתך $A$ (אותו קוטר), ולכן ההתנגדות יחסית לאורך $\ell$. חוט ב ארוך יותר – ולכן התנגדותו גדולה יותר. (באופן פיזיקלי: חוט ארוך יותר שקול לכמה קטעים של חוט קצר המחוברים בטור.)

גם חוט ב הוא מוליך מתכתי שמקיים את חוק אוהם, ולכן הגרף $I(V)$ שלו הוא קו ישר שעובר דרך הראשית. שיפוע הקו הוא $\frac1R$, והתנגדותו של חוט ב גדולה יותר – לכן הקו פחות תלול: באותו מתח עובר בו זרם קטן יותר.

(השיפוע של חוט ב בגרף הוא להמחשה בלבד – אין נתון על אורכו.)

טעות נפוצה: לסרטט את הקו של חוט ב תלול יותר "כי ההתנגדות גדולה יותר" – בגרף $I(V)$ השיפוע הוא $\frac1R$.

קביעה: ההיגד אינו מתאים.

נימוק: זרם יחסי למתח פירושו קו ישר שעובר דרך הראשית. בגרף, בתחום שבו עובר זרם (מעל כ־$1.6\,\text{V}$), העקומה מתעקלת בחדות כלפי מעלה ואינה קו ישר דרך הראשית. לדוגמה (קריאה מקורבת מהגרף): ב־$1.9\,\text{V}$ הזרם כ־$0.005\,\text{A}$, וב־$2.1\,\text{V}$ הוא כ־$0.020\,\text{A}$ – המתח גדל בכ־$10\%$ בלבד, אבל הזרם גדל פי 4.

קביעה: ההיגד אינו מתאים.

נימוק: כשהפוטנציאל הגבוה מחובר להדק אחד, המתח על הנורית $+2\,\text{V}$, ולפי הגרף עובר בה זרם של כ־$0.010\,\text{A}$. כשהופכים את החיבור, המתח על הנורית $-2\,\text{V}$, ובכל התחום השלילי (עד $-3\,\text{V}$) הזרם בגרף אפס. כלומר, אופן החיבור קובע אם יעבור זרם – הנורית מוליכה בכיוון אחד בלבד.

קביעה: ההיגד מתאים לגרף.

נימוק: ההתנגדות של רכיב בנקודת עבודה היא היחס $R=\frac{V}{I}$ (מחוק אוהם $V=RI$). קריאה מקורבת מהגרף:

כלומר ההתנגדות ב־$2.1\,\text{V}$ קטנה יותר.

סיכום סעיף ד: היגדים 1 ו־2 אינם מתאימים לגרף; היגד 3 מתאים.

טעות נפוצה: לחשב התנגדות משיפוע העקומה בנקודה – ההתנגדות היא היחס בין המתח לזרם באותה נקודה.

שלב 1 – כיוון הכוח המגנטי (מהטבלה): ככל שהזרם גדל, הוריית החיישן גדלה. בלי זרם החיישן מראה $mg$; הגדלת ההוריה פירושה שהכוח המגנטי על המסגרת מכוון כלפי מטה ומוסיף למשקל.

שלב 2 – כיוון הזרם בצלע התחתונה (מתרשים 1): בצלע השמאלית הזרם זורם כלפי מטה, ולכן בפינה השמאלית התחתונה הוא פונה אל הצלע התחתונה וזורם בה ימינה (בכל הכריכות באותו כיוון).

שלב 3 – כלל יד ימין ($\vec F=i\vec L\times\vec B$, לכל כריכה): זרם ימינה וכוח כלפי מטה מחייבים שדה אל מחוץ לדף – כלומר מהקוטב $Y$ (מאחורי הדף) אל הקוטב $X$ (לפני הדף). ($Y$ הוא הקוטב הצפוני.)

טעות נפוצה: להסיק את כיוון הכוח מכך ש"זרם תמיד מרים" – יש לבדוק בטבלה אם ההוריה גדלה או קטנה.

על המסגרת פועלים:

•כוח הכובד $mg$ – כלפי מטה (כדור הארץ).

•הכוח של החיישן $F$ – כלפי מעלה (לפי החוק השלישי של ניוטון, זה גם הכוח שהמסגרת מפעילה על החיישן, כלומר ההוריה).

•הכוח המגנטי – כלפי מטה (סעיף א). מדף הנוסחאות, לכל כריכה: $iLB\sin 90^\circ=iLB$; בצלע התחתונה יש $N$ תילים נושאי זרם באותו כיוון, ולכן:

(הצלעות האחרות מחוץ לשדה.)

המסגרת במנוחה, ולכן שקול הכוחות אפס:

זו פונקציה קווית עולה של $i$: נקודת החיתוך $mg$ והשיפוע $NBL$.

טעות נפוצה: לשכוח את מספר הכריכות $N$ ולכתוב $F=mg+iLB$.

ציר אופקי: הזרם $i$ באמפר (טווח $0$–$2.2\,\text{A}$). ציר אנכי: ההוריה $F$ בניוטון (טווח $0$–$0.8\,\text{N}$, כדי שאפשר יהיה לקרוא את החיתוך עם הציר).

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה – כמצופה מהביטוי שבסעיף ב.

מעבירים קו ישר אחד כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה, וממשיכים אותו עד הציר האנכי:

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל $(0.2\,\text{A},\,0.434\,\text{N})$ ו־$(2.0\,\text{A},\,0.695\,\text{N})$:

נקודת החיתוך עם ציר $F$ (ב־$i=0$): $F_0\approx 0.405\,\text{N}$.

טעות נפוצה: לחבר את נקודות המדידה בקו שבור, או לחשב את השיפוע משתי נקודות מהטבלה.

משווים את משוואת קו המגמה לביטוי מסעיף ב:

המסה – מנקודת החיתוך:

השדה המגנטי – מהשיפוע ($L=5.0\,\text{cm}=0.05\,\text{m}$, $N=20$):

טעות נפוצה: לשכוח את $N$ – ולקבל שדה גדול פי 20 ($2.9\,\text{T}$, ערך לא סביר למגנט פרסה).

קביעה: גרף 3.

נימוק: בתוך סילונית ארוכה השדה המגנטי מכוון לאורך הציר שלה. הצלע התחתונה מונחת לאורך הציר, ולכן הזרם בה מקביל לשדה: הזווית ביניהם $\alpha=0^\circ$ (או $180^\circ$). מדף הנוסחאות:

כלומר השדה של הסילונית אינו מפעיל כוח על הצלע התחתונה, בלי קשר לעוצמת הזרם $i$. (על הקטעים הקצרים של הצלעות האנכיות שבתוך הסילונית הזרם ניצב לשדה האופקי, אבל הכוחות עליהם אופקיים (ניצבים לדף). בצלע השמאלית הזרם כלפי מטה ובימנית כלפי מעלה, ולשני הקטעים אותו אורך בתוך הסילונית (מהציר עד הכריכות), ולכן שני הכוחות שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם – הם מבטלים זה את זה, ובכל מקרה אינם משנים את הכוח האנכי שהחיישן מודד.)

נשארים בציר האנכי רק כוח הכובד והכוח של החיישן:

קבוע לכל ערך של $i$ – קו אופקי בגובה $mg$, גרף 3.

(גרף 2 שגוי – החיישן עדיין נושא את משקל המסגרת; גרפים 1 ו־4 מתאימים לכוח מגנטי אנכי.)

טעות נפוצה: לבחור בגרף 4 מתוך הנחה שכל שדה מגנטי מפעיל כוח על תיל נושא זרם – הכוח מתאפס כאשר הזרם מקביל לשדה.

תנועה מעגלית. באזור השדה המגנטי פועל על הפרוטון רק הכוח המגנטי (כוח לורנץ). מדף הנוסחאות:

המהירות ניצבת לשדה ($\alpha=90^\circ$), ולכן $F=evB$. הכוח ניצב תמיד למהירות, ולכן אינו מבצע עבודה ואינו משנה את גודל המהירות – $v$ קבוע. כוח שגודלו קבוע וכיוונו ניצב תמיד למהירות גורם לתנועה מעגלית קצובה, והוא משמש ככוח רדיאלי:

הרדיוס. בין הלוחות השדה החשמלי מבצע על הפרוטון עבודה $W=eEd$ (כאשר $d$ המרחק בין הלוחות), ולכן האנרגייה הקינטית שלו בכניסה לשדה המגנטי $\tfrac12m_pv^2=eEd$. שדה חשמלי חזק יותר ← אנרגייה קינטית ומהירות גדולות יותר. לפי $r=\frac{m_pv}{eB}$, כש־$m_p$, $e$ ו־$B$ קבועים הרדיוס יחסי למהירות – ולכן הוא גדול יותר.

ברגע הכניסה מהירות הפרוטון מכוונת כלפי מעלה, והשדה המגנטי לתוך הדף. לפי כלל יד ימין לכוח לורנץ ($\vec F=q\vec v\times\vec B$, מטען חיובי): מהירות כלפי מעלה ושדה לתוך הדף נותנים כוח שמאלה.

הכוח הרדיאלי מכוון אל מרכז המעגל, ולכן מרכז המסלול נמצא משמאל לסדק, על הגבול התחתון של אזור השדה. הפרוטון עולה ומתעקל שמאלה – זהו סיבוב נגד כיוון השעון. אחרי חצי מעגל הוא חוזר אל הגבול התחתון, במרחק $2r$ משמאל לסדק, ופוגע שם בגלאי.

טעות נפוצה: להפעיל את כלל היד כאילו החלקיק שלילי – עבור אלקטרון הכיוון היה הפוך.

באזור השדה המגנטי הפרוטון עובר חצי מעגל, שאורכו $\pi r$, במהירות קבועה $v$. לכן זמן התנועה:

מסעיף א: $r=\frac{m_pv}{eB}$. מציבים: