מתכונת 7 בפיזיקה - חשמל ומגנטיות 36371

שלב 1 – מטען הכיפה. מחוץ לכדור מוליך טעון (ועל פניו) הפוטנציאל הוא כמו של מטען נקודתי $Q$ הנמצא במרכזו. מדף הנוסחאות:

על פני הכיפה $r=R=0.2\,\text{m}$ ו־$V=-60{,}000\,\text{V}$:

(נוח לעבוד עם המכפלה $kQ=VR=-12{,}000\,\text{V}\cdot\text{m}$.)

שלב 2 – המרחק של הקו $-30\,\text{kV}$. הנקודה $A$ נמצאת על הקו שערכו $V_A=-30{,}000\,\text{V}$:

(בדרך קצרה: $V\propto\frac1r$, ולכן $r_A=R\cdot\frac{60}{30}=0.2\cdot 2=0.4\,\text{m}$.)

טעות נפוצה: להציב $R=20$ בסנטימטרים יחד עם $k$ ביחידות SI.

מחוץ לכיפה השדה הוא כמו של מטען נקודתי $Q$ במרכזה. מדף הנוסחאות:

הצבה, עם $|kQ|=12{,}000\,\text{V}\cdot\text{m}$ ו־$r_A=0.4\,\text{m}$:

(בדיקה: לשדה של מטען נקודתי $E=\frac{|V|}{r}=\frac{30{,}000}{0.4}=7.5\cdot 10^4\,\text{N/C}$.)

כיוון: המטען $Q$ שלילי, ולכן השדה מכוון רדיאלית פנימה, אל מרכז הכיפה. הנקודה $A$ נמצאת משמאל למרכז, ולכן השדה בה מכוון ימינה (מ־$A$ אל $O$). זה מתאים לכלל שהשדה מכוון מפוטנציאל גבוה לנמוך: ככל שמתקרבים לכיפה הפוטנציאל יורד (נעשה שלילי יותר).

טעות נפוצה: לסמן את השדה החוצה מהכיפה, מתוך הרגל ממטען חיובי.

הנקודה $P$ נמצאת $8\,\text{cm}$ מהמרכז, כלומר בתוך הכיפה המוליכה ($8\,\text{cm}<20\,\text{cm}$).

במוליך במצב שיווי משקל אלקטרוסטטי המטען כולו נמצא על פני השטח החיצוניים, והשדה החשמלי בתוכו הוא אפס (אילו היה שם שדה, הוא היה מניע את האלקטרונים החופשיים, והמצב לא היה סטטי).

מהקשר בין שדה לפוטנציאל, $E=-\frac{\Delta V}{\Delta x}$: בתוך הכיפה $E=0$, ולכן הפוטנציאל אינו משתנה בתוכה – הוא קבוע ושווה לפוטנציאל על פניה:

טעות נפוצה: לחשב $V=k\frac{Q}{0.08}=-150{,}000\,\text{V}$ – הנוסחה של מטען נקודתי תקפה רק מחוץ לכדור (ועל פניו).

על הגוף פועל רק הכוח החשמלי (הכבידה זניחה), שהוא כוח משמר, ולכן האנרגייה הכוללת (קינטית + פוטנציאלית חשמלית) נשמרת. מדף הנוסחאות $U_E=qV$:

הצבה:

- $\tfrac12m_1v_A^2=\tfrac12\cdot 5\cdot 10^{-4}\cdot 2^2=1\cdot 10^{-3}\,\text{J}$

- $q_1(V_A-V_B)=2\cdot 10^{-8}\cdot\big(-30{,}000-(-20{,}000)\big)=2\cdot 10^{-8}\cdot(-10{,}000)=-2\cdot 10^{-4}\,\text{J}$

המהירות קטנה, כמצופה: גוף $1$ טעון במטען חיובי והוא נמשך אל הכיפה השלילית; כשהוא מתרחק ממנה הכוח החשמלי מכוון נגד תנועתו ומאט אותו.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של הפרש הפוטנציאלים ($V_A-V_B=-10{,}000\,\text{V}$, כי $A$ קרובה יותר לכיפה השלילית) ולקבל שהמהירות גדלה.

קביעה: $AC<AB$.

נימוק: גוף $2$ טעון במטען שלילי $q_2=-2\cdot 10^{-8}\,\text{C}$ ונע ימינה – לעבר הכיפה השלילית, שדוחה אותו – ולכן מהירותו קטנה. לפי שימור אנרגייה, השינוי באנרגייה הקינטית הוא $-q\Delta V$. שני הגופים בעלי אותה מסה ואותה מהירות התחלתית, וגוף $2$ מגיע ל־$C$ באותה מהירות שבה גוף $1$ הגיע ל־$B$ – ולכן אותו שינוי באנרגייה הקינטית:

ומאחר ש־$q_2=-q_1$:

כלומר $C$ נמצאת על הקו שווה הפוטנציאל $-40{,}000\,\text{V}$ – קו אחד פנימה מהקו של $A$.

בין $A$ ל־$B$ וגם בין $A$ ל־$C$ הפרש הפוטנציאלים זהה בגודלו ($10\,\text{kV}$), אבל השדה החשמלי חזק יותר ככל שמתקרבים לכיפה ($E=k\frac{|Q|}{r^2}$). מאחר ש־$|\Delta V|\approx E\,\Delta x$, באזור שבו השדה חזק יותר אותו הפרש פוטנציאלים מתקבל במרחק קצר יותר. רואים זאת גם בתרשים: הקווים שווי הפוטנציאל צפופים יותר קרוב לכיפה.

חישוב: $r_C=\frac{kQ}{V_C}=\frac{-12{,}000}{-40{,}000}=0.3\,\text{m}$, $r_B=\frac{-12{,}000}{-20{,}000}=0.6\,\text{m}$, ולכן

הפוטנציאל בנקודה $S$ נוצר רק על ידי המטען $q_1$. מדף הנוסחאות, פוטנציאל סביב מטען נקודתי (כאשר $V=0$ באין־סוף):

הצבה, עם $r=12\,\text{cm}=0.12\,\text{m}$:

סימן המטען: הפוטנציאל ב־$S$ חיובי, ו־$k$ ו־$r$ חיוביים, ולכן גם $q_1$ חיובי.

טעות נפוצה: להציב את המרחק בסנטימטרים.

מדף הנוסחאות, גודל השדה סביב מטען נקודתי:

(בדיקה: עבור מטען נקודתי $E=\frac{|V|}{r}=\frac{1500}{0.12}=12{,}500\,\text{V/m}$.)

כיוון: המטען חיובי, והשדה שלו מכוון הרחק ממנו – ב־$S$ השדה מכוון לאורך המסילה, מ־$A$ אל $S$ (ימינה בתרשים).

הכדור $B_2$ מובא באיטיות (ללא שינוי באנרגייה הקינטית), ולכן העבודה של הכוח החיצוני שווה לשינוי באנרגייה הפוטנציאלית החשמלית של המערכת:

מדף הנוסחאות $U_E=qV$, כאשר $V_S$ הוא הפוטנציאל שיוצר $q_1$ בנקודה $S$ (סעיף א).

משמעות הסימן: המטענים מנוגדים בסימנם ולכן נמשכים זה אל זה. $B_2$ "נמשך" לעבר $B_1$, והכוח החיצוני צריך לבלום אותו כדי שיתקדם באיטיות – כוח נגד כיוון התנועה, ולכן עבודתו שלילית. האנרגייה הפוטנציאלית של המערכת קטנה.

טעות נפוצה: לכתוב עבודה חיובית "כי השקענו מאמץ", או להציב את גודל המטען בלי סימנו.

קביעה: איור 4.

- סימני המטענים: $q_1>0$ ו־$q_2<0$ – המטענים מנוגדים. קווי שדה יוצאים ממטען חיובי ונכנסים למטען שלילי, ולכן הקווים צריכים לצאת מהכדור השמאלי ($B_1$) ולהיכנס לכדור הימני ($B_2$). כך נפסלים איורים 3 ו־5 (שני המטענים באותו סימן – קווים יוצאים משניהם או נכנסים לשניהם) ואיור 2 (הקווים נכנסים לשמאלי ויוצאים מהימני – הסימנים הפוכים).

- גודל המטענים: מספר קווי השדה היוצאים ממטען או נכנסים אליו יחסי לגודל המטען. $|q_1|=2|q_2|$, ולכן מ־$B_1$ צריכים לצאת פי 2 יותר קווים מאלה הנכנסים ל־$B_2$. באיור 1 המספרים שווים (מטענים שווים בגודלם), ובאיור 6 דווקא הכדור הימני הוא בעל מספר הקווים הכפול – שניהם נפסלים.

•באיור 4 הקווים יוצאים מ־$B_1$ ונכנסים ל־$B_2$, ומ־$B_1$ יוצאים פי 2 קווים מאלה הנכנסים ל־$B_2$: מחצית הקווים היוצאים מ־$B_1$ מסתיימים ב־$B_2$, והשאר ממשיכים הרחק – כנדרש.

טעות נפוצה: לבחור באיור 6 – הסימנים נכונים, אך בו הכדור הימני הוא בעל המטען הגדול.

קביעה: גודל הכוח הפועל על $B_1$ שווה לגודל הכוח הפועל על $B_2$.

נימוק: הכדורים משוחררים ונעים בו־זמנית, ולכן ברגע שבו $B_1$ ב־$D$, באותו רגע $B_2$ ב־$H$. הכוח החשמלי על $B_1$ מופעל על ידי $B_2$, והכוח החשמלי על $B_2$ מופעל על ידי $B_1$. לפי החוק השלישי של ניוטון ($\vec F_{1,2}=-\vec F_{2,1}$) אלה זוג כוחות פעולה ותגובה – שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם (כל אחד מכוון אל הכדור השני, כי המטענים נמשכים).

אותו דבר עולה מחוק קולון: $F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}$ – ביטוי אחד, סימטרי בשני המטענים.

טעות נפוצה: לטעון שעל $B_2$ פועל כוח קטן יותר "כי מטענו קטן", או שעל $B_1$ פועל כוח גדול יותר "כי מטענו גדול" – הכוחות שווים תמיד.

קביעה: גודל המהירות של $B_1$ קטן מגודל המהירות של $B_2$.

(הסבר, אף שאינו נדרש: לאורך המסילה אין חיכוך, ולכן בכיוון התנועה הכוחות היחידים הם הכוחות החשמליים ההדדיים – מערכת שתי העגלות סגורה ותנעה נשמר. העגלות שוחררו ממנוחה, ולכן התנע הכולל אפס בכל רגע:

לחלופין: על שתי העגלות פועלים כוחות שווים (סעיף ה), ומסת $B_1$ גדולה פי 3, ולכן תאוצתו קטנה פי 3 בכל רגע. העובדה שמטען $B_1$ גדול יותר אינה משנה דבר.)

מבנה המעגל: $S_1$ פתוח, ולכן בענף של $R_1$ ו־$S_1$ לא עובר זרם. הזרם יוצא מההדק החיובי של המקור (הלוח הארוך, משמאל), יורד בתיל השמאלי אל $M$, עובר לאורך כל הנגד המשתנה אל $N$, דרך $S_2$ (הסגור) אל התיל הימני, דרך $R_2$ וחזרה אל המקור. כל הרכיבים בטור:

לפי חוק אוהם למעגל שלם:

המתח על $S_1$: הקצה הימני של $S_1$ מחובר דרך $R_1$ אל הגררה $K$. ב־$R_1$ אין זרם, ולכן אין עליו מפל מתח, והקצה הזה בפוטנציאל של $K$. הקצה השמאלי של $S_1$ מחובר לתיל השמאלי, כלומר הוא בפוטנציאל של $M$. לכן המתח על $S_1$ שווה למתח על הקטע $MK$ של הנגד המשתנה, שהתנגדותו מחצית מ־$20\,\Omega$:

טעות נפוצה: לחשוב שעל מפסק פתוח המתח תמיד אפס – אין דרכו זרם, אבל בין קצותיו יכול להיות הפרש פוטנציאלים.

קביעה: ההוריה אינה משתנה.

נימוק: הזרם עובר מ־$M$ לאורך כל הנגד המשתנה אל $N$, וממנו דרך $S_2$ ו־$R_2$ חזרה למקור. הגררה מחוברת רק לענף של $R_1$, שבו המפסק $S_1$ פתוח – בענף זה אין זרם. לכן מיקום הגררה אינו משפיע על דרכו של הזרם: ההתנגדות הכוללת נשארת $20+3+1=24\,\Omega$, והזרם נשאר

הוולטמטר מחובר להדקי המקור ומודד את מתח ההדקים, שנשאר

טעות נפוצה: להניח שכל הזזה של גררה משנה את ההתנגדות במעגל – היא משנה אותה רק כשהזרם עובר דרך הגררה.

תשובה: אפס.

נימוק: בענף של $R_1$ ו־$S_1$ אין זרם, ולכן הקצה של $S_1$ המחובר ל־$R_1$ נמצא בפוטנציאל של הגררה $K$. הגררה נמצאת כעת בקצה $M$, ולכן זהו הפוטנציאל של $M$.

הקצה האחר של $S_1$ מחובר לתיל השמאלי, המחובר ישירות אל $M$ (תיל אידיאלי, ללא מפל מתח) – גם הוא בפוטנציאל של $M$.

שני קצות $S_1$ באותו פוטנציאל, ולכן המתח ביניהם אפס. (בהתאם לסעיף א: $V_{S_1}=IR_{MK}$, ועכשיו $R_{MK}=0$.)

קביעה: ההוריה קטנה.

נימוק: כעת $S_1$ סגור, ולכן הענף של $R_1$ מחבר את $K$ אל $M$ – הוא מחובר במקביל לקטע $MK$ של הנגד המשתנה. הזרם עובר מ־$M$ דרך הצירוף המקבילי ($MK$ עם $R_1$) אל $K$, ומשם בקטע $KN$, דרך $S_2$ ו־$R_2$ חזרה למקור:

כשהגררה זזה מ־$M$ לעבר $N$, קטע באורך מסוים "עובר" מ־$KN$ (שבו הוא נמצא בטור) אל $MK$ (שבו הוא במקביל ל־$R_1$). התנגדות הצירוף המקבילי גדלה פחות ממה ש־$R_{KN}$ קטן: תוספת התנגדות לענף אחד של צירוף מקבילי מגדילה את השקולה פחות מגודל התוספת, כי חלק מהזרם עוקף אותה דרך $R_1$ (וממילא השקולה תמיד קטנה מ־$R_1=5\,\Omega$). לכן ההתנגדות הכוללת קטנה. הזרם $I=\frac{\varepsilon}{R_{\text{ח}}+r}$ גדל, המפל על ההתנגדות הפנימית $Ir$ גדל, ומתח ההדקים שמודד הוולטמטר קטן:

מספרית: הגררה ב־$M$ ($R_1$ מקוצר): $R_{\text{ח}}=3+0+20=23\,\Omega$, $I=\frac{12}{24}=0.5\,\text{A}$, $V=11.5\,\text{V}$. הגררה ב־$N$: $R_{\text{ח}}=3+\frac{5\cdot20}{5+20}+0=7\,\Omega$, $I=\frac{12}{8}=1.5\,\text{A}$, $V=12-1.5=10.5\,\text{V}$.

טעות נפוצה: לחשוב שהוולטמטר על המקור תמיד מורה את הכא"מ – הוא מורה את מתח ההדקים, שקטן כשהזרם גדל.

קביעה: ההדק החיובי מחובר ל־$D$.

נימוק: ב־$R_2$ אין זרם, ולכן גם במקור הראשי, בתיל הימני, ב־$S_2$ ובקטע $KN$ אין זרם (כולם בטור עם $R_2$). מכאן:

•אין מפל מתח על $r$ ועל $R_2$, ולכן $V_M$ שווה לפוטנציאל ההדק החיובי של $\varepsilon$, והתיל הימני – לפוטנציאל ההדק השלילי.

•אין מפל מתח על $KN$, ולכן $V_K=V_N$ = פוטנציאל ההדק השלילי.

לכן $V_M-V_K=\varepsilon=12\,\text{V}>0$, ובקטע $MK$ זורם זרם מ־$M$ אל $K$. בגררה הזרם אינו יכול להמשיך בקטע $KN$ (אין בו זרם), ולכן הוא חוזר אל $M$ דרך הענף של $R_1$ ו־$\varepsilon^*$: מ־$K$ דרך $R_1$ אל $C$, דרך המקור אל $D$, ואל $M$.

בענף זה הזרם עובר מנקודה בפוטנציאל נמוך ($K$) לנקודה בפוטנציאל גבוה ($M$), ובדרך גם יורד הפוטנציאל על $R_1$. רק מקור יכול להעלות את הפוטנציאל, והזרם בתוך מקור עולה בפוטנציאל כשהוא עובר מההדק השלילי אל החיובי – כלומר מ־$C$ אל $D$. לכן ההדק החיובי מחובר ל־$D$.

טעות נפוצה: לחשוב ש־$\varepsilon^*$ חייב "להתנגד" למקור הראשי – כאן הוא המקור היחיד שמניע זרם, והוא מניע אותו בלולאה $\varepsilon^*\to M\to K\to R_1$.

מסעיף ה: אין זרם במקור הראשי ובקטע $KN$, ולכן $V_M-V_K=\varepsilon=12\,\text{V}$.

הזרם בקטע $MK$ (התנגדותו מחצית מ־$20\,\Omega$):

כל הזרם הזה חוזר מ־$K$ אל $M$ דרך $R_1$ ו־$\varepsilon^*$.

חוק המתחים של קירכהוף בלולאה $M\to K\to R_1\to C\to D\to M$ (המקור אידיאלי, ולכן המתח עליו שווה לכא"מ):

(בדיקה: בין $K$ ל־$M$ דרך הענף: $-1.2\cdot5+18=12\,\text{V}=V_M-V_K$ ✓; והוולטמטר מורה $12\,\text{V}$ – את הכא"מ, כי במקור הראשי אין זרם.)

טעות נפוצה: לחשב $\varepsilon^*=\varepsilon=12\,\text{V}$ ולשכוח את המפל על $R_1$ – בענף של $\varepsilon^*$ זורם זרם.

קביעה: איור $b$.

נימוק: במקום המצפן פועלים שני שדות מגנטיים אופקיים:

- הרכיב האופקי של שדה כדור הארץ, $B_{E\parallel}$ – כיוונו צפונה.

- השדה של התיל, $B_2$ – קווי השדה של תיל ישר הם מעגלים סביבו, והשדה משיק למעגל, כלומר ניצב לקו המחבר את התיל למצפן. התיל צפונית למצפן, ולכן $B_2$ בכיוון מזרח–מערב.

כיוון $B_2$ (כלל יד ימין): אגודל ימין בכיוון הזרם – כלפי מעלה; האצבעות מתעקלות סביב התיל נגד כיוון מחוגי השעון במבט מלמעלה. בנקודה שנמצאת דרומית לתיל (המצפן), התנועה נגד כיוון מחוגי השעון היא לכיוון מזרח. (בדיקה: במבט מלמעלה עם צפון למעלה, נגד כיוון השעון בנקודה שמתחת למרכז המעגל פירושו ימינה – מזרח.)

השדה השקול נמצא בין הצפון למזרח, והקצה הצפוני של המחט מצביע בכיוונו – צפון־מזרח. במבט־על כשהצפון מימין, המזרח נמצא בצד התחתון של האיור (כנתון), ולכן הקצה הכהה מצביע ימינה ומטה – זה איור $b$. (באיור $a$ המחט מצביעה לצפון־מערב.)

קביעה: איור $d$.

נימוק: $i_1$ שלילי, ולכן השדה של הכריכות במרכזן מכוון מערבה – מנוגד לשדה של התיל (מזרחה). משווים את הגדלים, מדף הנוסחאות:

עם אותו זרם $i$:

שדה הכריכות חזק בהרבה, ולכן השדה השקול של שני המקורות מכוון מערבה – המחט סוטה לצפון־מערב, לצד השני (איור $c$ נפסל), ולא נשארת בכיוון צפון (איור $e$ נפסל, כי השדות אינם מבטלים זה את זה). השדה המערבי גדול פי $17.8$ משדה התיל לבדו, ולכן הסטייה גדולה – כמו באיור $d$.

טעות נפוצה: להניח ש"זרמים שווים ומנוגדים מבטלים זה את זה" – השדה תלוי בגאומטרייה: $N$ כריכות ברדיוס $R$ לעומת תיל במרחק $d$.

שדה הכריכות ושדה התיל שניהם בכיוון מזרח–מערב, ניצבים לרכיב האופקי של שדה כדור הארץ (צפונה). מודדים אותם בכיוון מזרח (החיובי). לכן זווית סטיית המחט מהצפון מקיימת:

בנקודת החיתוך עם הציר האופקי $\tan\theta=0$ – המחט מצביעה צפונה, והשדה השקול של הכריכות והתיל אפס:

$i_1$ שלילי, ובערך מוחלט:

מהגרף, קו המגמה חותך את הציר האופקי ב־$i_1=-0.30\,\text{A}$. לפי סעיף ב(1):

מסעיף ב, $\tan\theta$ הוא פונקציה קווית של $i_1$ ששיפועה:

שיפוע – משתי נקודות על הקו: $(-0.30\,\text{A},\,0)$ ו־$(0.70\,\text{A},\,1.0)$:

הצבה ($\mu_0=1.257\cdot 10^{-6}\,\text{T}\cdot\text{m/A}$):

בדיקה מהחיתוך עם הציר האנכי ($i_1=0$, $\tan\theta=0.30$): אז רק שדה התיל פועל,