בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2021

•הקצה העליון של החלק המלופף של הקפיץ (מתחת לדסקית) נמצא מול השנתה $11$: $P_0=11.0\,\text{cm}$.

•הקצה התחתון של החלק המלופף (הליפוף האחרון, מעל הלולאה) נמצא כ־3 מילימטרים מתחת לשנתה $19$: $P_n\approx 19.3\,\text{cm}$.

שימו לב: $L_0$ אינו האורך הרפוי של הקפיץ – הקופסה הריקה כבר תלויה עליו. כל ההתארכויות בהמשך נמדדות ביחס למצב זה, ולכן משקל הקופסה הריקה "מתקזז" (ראו שאלה 4).

הערה: הערכים נקראו מהתצלומים בדיוק של כ־$\pm 0.1\,\text{cm}$ (מיקום קצה הקפיץ נקבע לפי הליפוף התחתון, מעל הלולאה). קריאות שלכם עשויות להיות שונות מעט, והתוצאות בהמשך ישתנו בהתאם.

טעות נפוצה: לכלול בקריאה את הלולאות שבקצות הקפיץ – השאלה מבקשת במפורש את האורך הפעיל, ללא הלולאות.

בחלק המוגדל התחתון של תצלום 2, הליפוף התחתון של הקפיץ נמצא מעט מעל השנתה $20$ – כ־2 מילימטרים מעליה:

(הקצה העליון לא זז: $P_0=11.0\,\text{cm}$ בכל התצלומים.)

קוראים בכל תצלום את מיקום הליפוף התחתון של הקפיץ מול הסרגל שבחלק המוגדל התחתון:

בדיקת סבירות: כל משקולת נוספת מאריכה את הקפיץ בכ־$4.2\,\text{cm}$ – מרווחים כמעט שווים, כפי שמצופה מחוק הוק.

הערה: הערכים נקראו מהתצלומים בדיוק של כ־$\pm 0.1\,\text{cm}$ (מיקום קצה הקפיץ נקבע לפי הליפוף התחתון, מעל הלולאה). קריאות שלכם עשויות להיות שונות מעט, והתוצאות בהמשך ישתנו בהתאם.

לכל שורה: $L=P_n-P_0$ עם $P_0=11.0\,\text{cm}$, ו־$\Delta L=L-L_0$ עם $L_0=8.3\,\text{cm}$ (שאלה 1). למשל עבור $n=3$:

($n$ – מספר משקולות, חסר יחידות; שאר העמודות בסנטימטרים. אפשר גם לרשום במטרים.)

שימו לב: עבור $n=2$ ההתארכות קטנה מאוד ($0.5\,\text{cm}$) – כוח הציפה כמעט מאזן את משקלן של שתי המשקולות.

מתייחסים לקופסה יחד עם המשקולות שבתוכה כגוף אחד (המסה של הקופסה הריקה – $M$, מסת המשקולות – $nm$). הגוף נמצא במנוחה, ופועלים עליו שלושה כוחות:

1. כוח הכובד (משקל) $W=(M+nm)g$ – מופעל על־ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה, נקודת האחיזה במרכז הכובד של הגוף.

2. הכוח האלסטי של הקפיץ $F_k$ – מופעל על־ידי הקפיץ (דרך הוו שבמכסה), אנכית כלפי מעלה, נקודת האחיזה בוו שבראש הקופסה.

3. כוח הציפה $F_B=\rho gV$ – מופעל על־ידי המים, אנכית כלפי מעלה, נקודת האחיזה במרכז הנפח השקוע.

בתרשים: חץ ארוך כלפי מטה ($W$), ושני חצים כלפי מעלה ($F_k$ ו־$F_B$) שסכום אורכיהם שווה לאורך חץ המשקל, כי הגוף בשיווי משקל:

טעות נפוצה: לצייר את כוח המשקולות על רצפת הקופסה ככוח נוסף – כאשר הגוף הוא "קופסה + משקולות" זהו כוח פנימי. וכן: לשכוח את כוח הציפה או לצייר אותו כלפי מטה.

נסמן ב־$L^*$ את האורך הרפוי של הקפיץ (ללא שום גוף תלוי), וב־$M$ את מסת הקופסה הריקה.

מצב 1 – קופסה ריקה תלויה באוויר (אורך הקפיץ $L_0$): על הקופסה פועלים משקלה וכוח הקפיץ. לפי חוק הוק ושיווי משקל:

מצב 2 – קופסה עם $n$ משקולות, שקועה במלואה במים (אורך הקפיץ $L$): על הגוף פועלים משקל, כוח הקפיץ וכוח הציפה (שאלה 3). לפי קשר (2) ברקע העיוני $F_B=\rho gV$, ולכן:

חיסור משוואת מצב 1 ממשוואת מצב 2 (האורך הרפוי ומשקל הקופסה מתקזזים):

ומכיוון ש־$\Delta L=L-L_0$:

מחלקים ב־$k$:

במילים: התוספת לכוח הקפיץ, $k\Delta L$, שווה למשקל המשקולות שנוספו פחות כוח הציפה (שקבוע, כי הקופסה תמיד שקועה במלואה – $V$ קבוע). הקשר הוא קו ישר ב־$n$ עם שיפוע $\frac{mg}{k}$ וחיתוך שלילי $-\frac{\rho Vg}{k}$ עם הציר האנכי.

ציר אופקי: $n$ (מספר המשקולות, $0$ עד $8$). ציר אנכי: $\Delta L\,[\text{cm}]$ (מ־$-2$ עד $24$, כדי שיהיה מקום להמשך הקו עד לחיתוך עם הצירים). מסמנים את הנקודות מהטבלה:

יש לרשום שמות צירים ויחידות, ולבחור קנה מידה שבו הנקודות תופסות את רוב שטח הדף.

הנקודות מסודרות כמעט בדיוק על קו ישר, ולכן מעבירים קו ישר אחד שעובר בין הנקודות, כך שהן מתפזרות באופן שווה משני צדדיו (לא מחברים נקודה לנקודה).

הקו המתאים ביותר (ריבועים פחותים):

שתי נקודות על הקו (לשימוש בשאלה 7): $(2,\ 0.49)$ ו־$(7,\ 21.38)$.

מאריכים את הקו עד שהוא חותך את הציר האופקי (סביב $n\approx 1.9$) – זה ישמש בשאלה 8.

הקשר התיאורטי $\Delta L=\frac{mg}{k}n-\frac{\rho Vg}{k}$ הוא פונקצייה קווית של $n$ (כי $m,g,k,\rho,V$ קבועים):

•שיפוע חיובי $\frac{mg}{k}$ – כל משקולת נוספת מאריכה את הקפיץ באותה מידה.

•חיתוך שלילי עם ציר $\Delta L$, $-\frac{\rho Vg}{k}$ – בגלל כוח הציפה.

הנקודות הניסיוניות מונחות היטב על קו ישר (המרווח בין נקודות סמוכות קבוע בקירוב, כ־$4.2\,\text{cm}$), השיפוע חיובי, והמשך הקו חותך את הציר האנכי בערך שלילי (כ־$-7.9\,\text{cm}$). לכן הגרף תואם את הקשר שהוכח.

בוחרים שתי נקודות רחוקות על קו המגמה (לא נקודות מדידה): $(2,\ 0.49\,\text{cm})$ ו־$(7,\ 21.38\,\text{cm})$.

יחידות: $n$ הוא מספר טהור (חסר יחידות), ולכן יחידות השיפוע הן יחידות של אורך – מטר (או ס"מ) – והמשמעות: התארכות הקפיץ לכל משקולת נוספת.

לפי הקשר משאלה 4, השיפוע הוא $a=\dfrac{mg}{k}$, ולכן:

הצבה, עם $m=20\,\text{gr}=0.020\,\text{kg}$ ו־$g=9.8\,\text{m/s}^2$ (ערך זה תואם את הנתון בשאלה 11: $nmg=1.372\,\text{N}$ עבור 7 משקולות):

טעות נפוצה: להציב את השיפוע בס"מ ($4.18$) – יש להמיר למטרים כדי לקבל $k$ ביחידות $\text{N/m}$.

בנקודת החיתוך עם הציר האופקי $\Delta L=0$. ממשוואת קו המגמה:

שיעורי הנקודה: $(1.88,\ 0)$ – כלומר בערך $(1.9,\ 0)$.

כאשר $\Delta L=0$, אורך הקפיץ כשהקופסה שקועה במים שווה לאורכו $L_0$ כשהקופסה הריקה תלויה באוויר. מהקשר שבשאלה 4:

כלומר $n_0$ הוא מספר המשקולות שמשקלן הכולל שווה לכוח הציפה הפועל על הקופסה השקועה במלואה. במצב זה כוח הציפה בדיוק מאזן את המשקל שנוסף, והקפיץ "מרגיש" רק את משקל הקופסה הריקה.

מכאן גם ערך כוח הציפה: $F_B=1.88\cdot 0.196\approx 0.37\,\text{N}$, ואת $n_0$ אפשר לבטא כ־$n_0=\frac{\rho V}{m}$ – היחס בין מסת המים שהקופסה דוחקת למסת משקולת אחת.

מסעיף א, כוח הציפה על הקופסה השקועה במלואה שקול למשקל של כ־$1.9$ משקולות. עם משקולת אחת בלבד, כוח הציפה ($\approx 0.37\,\text{N}$) גדול ממשקל המשקולת ($0.196\,\text{N}$), ולכן:

•ההתארכות $\Delta L$ הייתה שלילית – הקפיץ היה צריך להיות קצר מ־$L_0$. קפיץ כזה (שליפופיו צמודים) כמעט אינו יכול להתכווץ, ובאזור זה הוא לא מקיים את חוק הוק כמו בהתארכות.

•הקופסה הקלה הייתה נוטה לצוף, וקשה היה להשקיע אותה במלואה ולשמור עליה שקועה במנוחה – בניגוד לתנאי חלק א' (הגוף שקוע במלואו, $V$ קבוע).

עם שתי משקולות המשקל שנוסף ($0.392\,\text{N}$) כבר גדול מכוח הציפה, הקפיץ מתארך ($\Delta L>0$), והמדידה תקינה.

מהאיור: קוטר $29\,\text{mm}$, ולכן $r=14.5\,\text{mm}=0.0145\,\text{m}$; גובה $H=55\,\text{mm}=0.055\,\text{m}$.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס – זה מגדיל את הנפח פי 4.

לפי הקשר משאלה 4, החיתוך של הקו עם הציר האנכי ($n=0$) הוא:

מקו המגמה $b\approx -7.87\,\text{cm}=-0.0787\,\text{m}$ ו־$k=4.69\,\text{N/m}$ (שאלה 7ב):

דרך שקולה, מנקודת החיתוך עם הציר האופקי (שאלה 8): $n_0mg=\rho Vg$, ולכן

(שימו לב שבדרך זו אין צורך כלל ב־$k$ וב־$g$.)

השגיאה קטנה – המדידה בחלק א' טובה. מקורות אפשריים לשגיאה: דיוק הקריאה של קצות הקפיץ בתצלומים (כ־$1\,\text{mm}$), דיוק מידות הקופסה (הוו והמכסה מוסיפים מעט נפח), ודיוק המסות של המשקולות.

הערה: הערכים נקראו מהתצלומים בדיוק של כ־$\pm 0.1\,\text{cm}$ (מיקום קצה הקפיץ נקבע לפי הליפוף התחתון, מעל הלולאה). קריאות שלכם עשויות להיות שונות מעט, והתוצאות בהמשך ישתנו בהתאם.

מאותו שיקול כמו בשאלה 4 (הפרש בין שיווי המשקל במים לשיווי המשקל של הקופסה הריקה באוויר, כך שמשקל הקופסה מתקזז):

כוח הציפה שווה למשקל המשקולות פחות התוספת לכוח הקפיץ (ביחס למצב הקופסה הריקה באוויר).

קריאות מהתצלומים ($P_0=11.0\,\text{cm}$ בכל התצלומים):

חישוב לכל שורה (דוגמה עבור $h=0.01\,\text{m}$):

ולפי שאלה 10:

הטבלה המלאה (עם $k=4.69\,\text{N/m}$ משאלה 7ב ו־$L_0=0.083\,\text{m}$ משאלה 1):

ככל שהקופסה שוקעת עמוק יותר, הקפיץ מתקצר – כוח הציפה גדל.

הערה: הערכים נקראו מהתצלומים בדיוק של כ־$\pm 0.1\,\text{cm}$ (מיקום קצה הקפיץ נקבע לפי הליפוף התחתון, מעל הלולאה). קריאות שלכם עשויות להיות שונות מעט, והתוצאות בהמשך ישתנו בהתאם. בחלק זה $F_B$ מתקבל כהפרש קטן בין שני מספרים גדולים ($1.372$ ו־$\approx 1.2\,\text{N}$), ולכן הוא רגיש מאוד גם לשגיאה ב־$k$ וגם לשגיאת קריאה של מילימטר.

טעות נפוצה: לשכוח להמיר ס"מ למטרים לפני ההכפלה ב־$k$.

ציר אופקי: $h\,[\text{m}]$ מ־$0$ עד $0.06$ (כדאי להתחיל מ־$0$ כדי לבדוק בשאלה 13ג אם הקו עובר בראשית). ציר אנכי: $F_B\,[\text{N}]$ מ־$0$ עד כ־$0.4$.

מעבירים קו ישר אחד שהנקודות מתפזרות סביבו באופן שווה. הקו המתאים ביותר:

שתי נקודות על הקו: $(0.01,\ 0.063)$ ו־$(0.05,\ 0.355)$. הקו עובר כמעט בראשית הצירים.

שימו לב לנקודה האחרונה ($h=0.05\,\text{m}$): גובה הקופסה הוא $55\,\text{mm}$ (איור לשאלה 9), ובתצלום 12 רואים שהקופסה כולה, כולל המכסה, נמצאת מתחת למים – בפועל היא שקועה במלואה, והקריאה זהה לקריאה עבור 7 משקולות בחלק א' ($P_n=40.8\,\text{cm}$). לכן נקודה זו נמצאת מעט מעל הקו שעובר דרך ארבע הנקודות הראשונות, ו"מושכת" את השיפוע כלפי מעלה (ראו שאלה 13ב).

משתי נקודות על קו המגמה:

יחידות: ניוטון למטר ($\text{N/m}$) – תוספת כוח הציפה לכל מטר של עומק שקיעה.

לפי קשר (2): $F_B=\rho gV$, והנפח השקוע של גליל בעומק $h$ הוא $V=\pi r^2h$. לכן:

זהו קו ישר דרך הראשית ששיפועו $a=\rho g\pi r^2$, ולכן:

הצבה, עם $r=0.0145\,\text{m}$ (שאלה 9):

ההתאמה לערך התקני ($1{,}000\,\text{kg/m}^3$) פחות טובה מאשר בחלק א' (שגיאה יחסית של כ־13%). (לשם השוואה: לצפיפות $1{,}000\,\text{kg/m}^3$ היה מתקבל שיפוע של כ־$6.5\,\text{N/m}$.) שתי סיבות עיקריות:

- הנקודה האחרונה: בתצלום 12 הקופסה (שגובהה $55\,\text{mm}$) שקועה כולה, כך שהעומק האפקטיבי הוא כ־$0.055\,\text{m}$ ולא $0.05\,\text{m}$, וכוח הציפה שם הוא כוח הציפה על הקופסה כולה. נקודה זו מגדילה את השיפוע. אם מעבירים את הקו דרך ארבע הנקודות הראשונות בלבד, מתקבל שיפוע של כ־$6.9\,\text{N/m}$ ו־$\rho\approx 1.07\cdot10^3\,\text{kg/m}^3$; ואם מציבים לנקודה האחרונה $h=0.055\,\text{m}$, מתקבל שיפוע של כ־$6.6\,\text{N/m}$ ו־$\rho\approx 1.02\cdot10^3\,\text{kg/m}^3$.

- רגישות החישוב: $F_B$ חושב כהפרש קטן בין שני כוחות גדולים ($nmg=1.372\,\text{N}$ ו־$k\Delta L\approx 1.0\text{–}1.3\,\text{N}$), ולכן שגיאה של 1% ב־$k$ או של מילימטר בקריאה גורמת לשגיאה של אחוזים רבים ב־$F_B$ ובשיפוע.

הערה: הערכים נקראו מהתצלומים בדיוק של כ־$\pm 0.1\,\text{cm}$ (מיקום קצה הקפיץ נקבע לפי הליפוף התחתון, מעל הלולאה). קריאות שלכם עשויות להיות שונות מעט, והתוצאות בהמשך ישתנו בהתאם.

כן. לפי $F_B=\rho g\pi r^2h$, כוח הציפה יחסי ישר לעומק השקיעה. כאשר $h=0$ אף חלק מהקופסה אינו בתוך המים, הנפח השקוע הוא אפס, ולכן גם כוח הציפה הוא אפס – הנקודה $(0,0)$ נמצאת על הקו.

בגרף שלנו החיתוך עם הציר האנכי הוא כ־$-0.01\,\text{N}$ – קרוב מאוד לאפס, בתחום שגיאות המדידה.

השגיאה המוחלטת $\delta L$ נקבעת על־ידי הסרגל (שנתות של מילימטר) ואינה תלויה באורך הנמדד. כאשר מגדילים את $n$, משקל הקופסה גדל, הקפיץ מתארך יותר ו־$L$ גדל. מכנה גדול יותר עם אותו מונה – ולכן $\frac{\delta L}{L}$ קטֵנה.

בנוזל צפוף יותר כוח הציפה $F_B=\rho gV$ גדול יותר. לפי $k\Delta L=nmg-\rho Vg$, כוח הקפיץ קטן, ולכן הקפיץ מתארך פחות ו־$L$ קטן. עם אותה שגיאה מוחלטת $\delta L$ ואורך קטן יותר – $\frac{\delta L}{L}$ גדֵלה.