בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2025

מחט המצפן היא מגנט קטן שחופשי להסתובב במישור האופקי, והיא מתייצבת בכיוון השדה המגנטי השקול במקומה.

•כשהמגנט רחוק, השדה היחיד המשמעותי הוא הרכיב האופקי של השדה המגנטי של כדור הארץ, $B_E$, ולכן המחט מצביעה לצפון ($\alpha=0^\circ$).

•המגנט יוצר במקום המצפן שדה $B_m$ בכיוון ציר המגנט – ניצב לכיוון צפון (הקווים בדף העזר ניצבים לקו "צפון"). המחט מתייצבת בכיוון השקול של $\vec B_E+\vec B_m$, ולכן סוטה מצפון לכיוון ציר המגנט.

•עוצמת השדה של המגנט גדלה מאוד כשהמרחק קטן (לפי נוסחה 1 היא פרופורציונית ל־$\frac{1}{r^3}$). לכן כשהמגנט מתקרב באיטיות, $B_m$ גדל ביחס ל־$B_E$, השקול פונה יותר לכיוון ציר המגנט, וזווית הסטייה $\alpha$ גדלה בהדרגה. כשהמגנט קרוב מאוד, $B_m\gg B_E$ והמחט מצביעה כמעט בכיוון ציר המגנט ($\alpha\to 90^\circ$).

(אם ננסה לקרב את המגנט כשהקוטב הפונה למצפן הפוך, המחט תסטה לצד השני – אבל גם אז גודל הסטייה גדל ככל שהמגנט קרוב יותר.)

יתרון המערכת עם שני קווים מקבילים: המרחק בין הקווים שווה לרוחב מחזיק הפלסטיק, ולכן כשמזיזים את המגנט הוא "כלוא" ביניהם: מרכזו נשאר על הציר העובר במרכז המצפן, והמחזיק אינו מסתובב – ציר המגנט נשאר מקביל לקווים, כלומר ניצב לכיוון צפון. כך כל המדידות נעשות באותם תנאים: המצפן נמצא על ציר המגנט (כנדרש בנוסחה 1) והשדה $B_m$ ניצב ל־$B_E$.

יתרון המערכת עם קו ישר אחד: הקו עצמו מסמן את הציר העובר דרך מרכז המצפן. מניחים עליו את מרכז המגנט (את קצה המחזיק) ואת הסרגל, ולכן קל למקם את המגנט בדיוק על הציר ולקרוא את המרחק $r$ ישירות לאורך הקו; אין צורך לצייר שני קווים מקבילים במרחק מדויק השווה לרוחב המחזיק, ושגיאה בציור הקווים (קווים לא מקבילים או לא במרחק שווה ממרכז העיגול) אינה מזיזה את המגנט מהציר.

התרשים (במבט מלמעלה על דף העזר, צפון כלפי מעלה, המגנט מימין למצפן):

- $\vec B_E$ – חץ שיוצא ממרכז המצפן כלפי מעלה, בכיוון הקו "צפון". זהו הרכיב האופקי של השדה של כדור הארץ, שגודלו $30\,\mu\text{T}$.

- $\vec B_m$ – חץ שיוצא ממרכז המצפן אופקית, ניצב ל־$\vec B_E$, לאורך ציר המגנט (מקביל לקווים בדף העזר). המצפן נמצא על ציר המגנט, ולכן השדה של המגנט במקום המצפן מכוון לאורך הציר – לכיוון המגנט או הרחק ממנו, לפי הקוטב הפונה למצפן. בתרשים 3 המחט סוטה לכיוון המגנט, לכן משרטטים את $\vec B_m$ לכיוון המגנט (ימינה).

- כיוון המחט – חץ לאורך האלכסון של המלבן שצלעותיו $\vec B_E$ ו־$\vec B_m$, כלומר בכיוון השדה השקול $\vec B=\vec B_E+\vec B_m$. המחט המגנטית מתייצבת תמיד בכיוון השדה השקול.

- $\alpha$ – הזווית בין החץ של $\vec B_E$ (כיוון צפון) ובין החץ של המחט.

התרשים הוא משולש ישר־זווית: הניצב הסמוך ל־$\alpha$ הוא $B_E$, הניצב שמול $\alpha$ הוא $B_m$, והיתר הוא השדה השקול $B$.

טעות נפוצה: לשרטט את $\vec B_m$ בכיוון כלשהו שאינו ניצב ל־$\vec B_E$, או לסמן את $\alpha$ בין המחט ל־$\vec B_m$ במקום בין המחט לכיוון צפון.

1. מחט המצפן מתייצבת בכיוון השדה המגנטי השקול במקומה: $\vec B=\vec B_E+\vec B_m$.

2. $\vec B_E$ מכוון לצפון, ו־$\vec B_m$ מכוון לאורך ציר המגנט, שמקביל לקווים בדף העזר – כלומר ניצב לכיוון צפון. לכן $\vec B_E\perp\vec B_m$, והתרשים מסעיף א הוא משולש ישר־זווית.

3. במשולש זה $\alpha$ היא הזווית בין $\vec B_E$ לשקול; הניצב שמולה הוא $B_m$ והניצב הסמוך לה הוא $B_E$:

4. המצפן נמצא על ציר המגנט ובמרחק גדול לעומת עובי המגנט (הנחה 1), ולכן מותר להשתמש בנוסחה 1:

5. הצבה:

כשהמחט מצביעה על "צפון" שבדף (ללא המגנט), הקו האנכי בדף מקביל לכיוון השדה של כדור הארץ $\vec B_E$, והקווים האופקיים – שלאורכם מוצב המגנט – ניצבים ל־$\vec B_E$. השדה של המגנט במקום המצפן מכוון לאורך ציר המגנט, ולכן $\vec B_m\perp\vec B_E$.

רק במצב זה המשולש בתרשים הווקטורי ישר־זווית, ו־$\tan\alpha=\frac{B_m}{B_E}$ (סעיף ב) נכון. אילו הקווים לא היו ניצבים לצפון, $\vec B_m$ היה בעל רכיב לאורך $\vec B_E$, והקשר בין $\alpha$ ל־$r$ היה שונה.

בנוסף, כך המחט מתחילה מ־$0^\circ$ בסקלת המצפן, והזווית הנקראת על הסקלה היא ישירות זווית הסטייה $\alpha$ מכיוון צפון.

טענה בעד מצפן קטן בעל מחט קצרה: נוסחה 1 נותנת את השדה בנקודה שמרחקה $r$ ממרכז המגנט, והשדה משתנה מהר עם המרחק ($\propto\frac{1}{r^3}$). מחט ארוכה "מרגישה" שדות שונים בקצותיה – הקצה הקרוב למגנט נמצא בשדה חזק יותר מהקצה הרחוק – כך שהמרחק $r$ אינו מוגדר היטב והסטייה אינה מייצגת את השדה במרכז המצפן. במחט קצרה (קצרה בהרבה מ־$r$) השדה לאורך המחט כמעט אחיד, ולכן המדידה תואמת טוב יותר את המודל.

טענה בעד מצפן גדול בעל מחט ארוכה: בעיגול גדול השנתות רחוקות יותר זו מזו וקצה המחט הארוכה נע על פני קשת ארוכה יותר, ולכן קל יותר לקבוע מתי המחט נמצאת בדיוק על השנתה הרצויה – שגיאת הקריאה של הזווית $\alpha$ קטנה יותר (במצפן קטן קשה להבחין בסטייה של מעלה או שתיים).

המשתנה הבלתי תלוי הוא הגודל שהנסיין קובע מראש, והמשתנה התלוי הוא הגודל שנמדד כתוצאה מכך.

לפי סדר הפעולות, התלמיד קבע מראש את גודלי זוויות הסטייה (פעולה 1), הזיז את המגנט עד שהתקבלה כל זווית (פעולה 2), ורק אז מדד את המרחק (פעולה 3). לכן:

- המשתנה הבלתי תלוי: זווית הסטייה של מחט המצפן, $\alpha$.

- המשתנה התלוי: המרחק בין מרכז המצפן למרכז המגנט, $r$.

טעות נפוצה: לענות לפי "מה גורם למה" מבחינה פיזיקלית (המרחק גורם לסטייה) ולכן להפוך את התשובה. השאלה מתייחסת לסדר הפעולות שהתלמיד ביצע – הוא בחר את הזווית ומדד את המרחק.

המשתנה הבלתי תלוי (שאלה 5) הוא זווית הסטייה של מחט המצפן מכיוון צפון, $\alpha$. היא נקראת על סקלת המצפן, שמסומנות בה שנתות במעלות, ואכן ערכי העמודה הראשונה בטבלה הם $30,35,\dots,65$ – כפולות של $5^\circ$, כמו השנתות של המצפן.

כותרת: זווית הסטייה של מחט המצפן $\alpha$, יחידות: $[{}^\circ]$.

המשתנה התלוי הוא המרחק בין מרכז המצפן למרכז המגנט, $r$.

ערכי העמודה השנייה הם $0.226,\dots,0.155$. הסרגל באורך $30\,\text{cm}$ ומתאים למרחקים של כ־$15$–$23\,\text{cm}$, ולכן הערכים רשומים במטרים: $0.226\,\text{m}=22.6\,\text{cm}$ (בסנטימטרים הם היו קטנים מקוטר המגנט – לא אפשרי).

כותרת: מרחק המגנט ממרכז המצפן $r$, יחידות: $[\text{m}]$.

מהקשר שהוכח בשאלה 3 סעיף ב:

מכפילים את שני האגפים ב־$r^3$ ומחלקים ב־$\tan\alpha$:

הגודל $\frac{\mu_0 m}{2\pi B_E}$ קבוע בניסוי (אותו מגנט, אותו שדה של כדור הארץ).

לפי סעיף א, $r^3=\frac{\mu_0 m}{2\pi B_E}\cdot\frac{1}{\tan\alpha}$. זו צורת הקו הישר $y=kx$ כאשר:

- $y=r^3$,

- $x=\frac{1}{\tan\alpha}$,

•השיפוע $k=\frac{\mu_0 m}{2\pi B_E}$ קבוע.

לכן $r^3$ תלוי לינארית ב־$\frac{1}{\tan\alpha}$ – אפשרות 2. ($r^3$ אינו לינארי ב־$\alpha$, והוא פרופורציוני הפוך – לא ישר – ל־$\tan\alpha$.)

•עמודה שלישית (משתנה חדש לציר האופקי): $\frac{1}{\tan\alpha}$, יחידות: ללא יחידות (יחס בין שני שדות מגנטיים).

•עמודה רביעית (משתנה חדש לציר האנכי): $r^3$, יחידות: $[\text{m}^3]$.

דוגמת חישוב (מדידה ראשונה, $\alpha=30^\circ$, $r=0.226\,\text{m}$):

(מדידה רביעית: $\frac{1}{\tan45^\circ}=1.000$ – כותבים ארבע ספרות משמעותיות, לא "1".)

הטבלה המלאה (כולל העמודה החמישית מסעיף ד):

טעות נפוצה: מחשבון במצב רדיאנים – $\tan 30$ ברדיאנים נותן $-6.405$. ודאו שהמחשבון במצב מעלות (DEG). טעות נוספת: לכתוב $0.0098$ במקום $0.009800$ – אפסים בסוף הם ספרות משמעותיות.

מחלקים כל ערך של $r^3$ ב־$10^{-3}$ (מזיזים את הנקודה העשרונית שלושה מקומות ימינה):

כך מתקבלים הערכים (מ־$\alpha=30^\circ$ עד $\alpha=65^\circ$):

$11.54,\ 9.800,\ 8.242,\ 7.301,\ 6.128,\ 5.178,\ 4.411,\ 3.724$ – ביחידות $10^{-3}\,\text{m}^3$ (ראו הטבלה המלאה בסעיף ג).

ערכים אלה נוחים לסימון על ציר הגרף.

•ציר אופקי: $\frac{1}{\tan\alpha}$ (ללא יחידות), טווח $0$ עד $2$, למשל $1\,\text{cm}$ על הנייר $=0.2$.

•ציר אנכי: $r^3$ ביחידות $10^{-3}\,\text{m}^3$, טווח $0$ עד $14$, למשל $1\,\text{cm}=1\times10^{-3}\,\text{m}^3$.

מתחילים את שני הצירים מאפס כדי שאפשר יהיה לקרוא בהמשך את נקודת החיתוך עם הציר האנכי (שאלה 9).

הנקודות $\left(\frac{1}{\tan\alpha},\ r^3[10^{-3}\,\text{m}^3]\right)$:

$(1.732,\,11.54)$, $(1.428,\,9.800)$, $(1.192,\,8.242)$, $(1.000,\,7.301)$, $(0.8391,\,6.128)$, $(0.7002,\,5.178)$, $(0.5774,\,4.411)$, $(0.4663,\,3.724)$.

לכל ציר: שם הגודל, יחידות וסקלה אחידה; נקודות ברורות, בלי לחבר אותן בקו שבור.

הנקודות מסודרות בקירוב על קו ישר – כצפוי מהקשר הלינארי של שאלה 7. מעבירים קו ישר אחד שהנקודות מתפזרות סביבו משני צדדיו באופן מאוזן (לא בהכרח דרך הנקודה הראשונה והאחרונה, ולא בכוח דרך הראשית).

הקו המתאים ביותר לנתונים (שיטת הריבועים הפחותים) הוא:

(הקו המשורטט בגרף בסעיף א). קו שמועבר "בעין" ייתן שיפוע וחיתוך מעט שונים – וזה תקין.

שימו לב: הקו אינו עובר בדיוק בראשית – חותך את הציר האנכי מעט מעל $0$ (נדון בכך בשאלה 9).

מבודדים את $m$ מנוסחה 1:

יחידות: $2\pi$ חסר יחידות, $[r^3]=\text{m}^3$, $[B_m]=\text{T}$, ולפי דף הנוסחאות $[\mu_0]=\frac{\text{T}\cdot\text{m}}{\text{A}}$:

אפשרות 1. (זה מתאים גם לתמונה של לולאת זרם: מומנט מגנטי = זרם × שטח.)

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא נקודות מדידה), רחוקות זו מזו:

(יחידות השיפוע: $\text{m}^3$, כי הציר האופקי חסר יחידות.)

הקשר לשיפוע (שאלה 7): $r^3=\frac{\mu_0 m}{2\pi B_E}\cdot\frac{1}{\tan\alpha}$, ולכן

הצבה ($B_E=30\,\mu\text{T}=30\times10^{-6}\,\text{T}$, $\mu_0=1.257\times10^{-6}\,\frac{\text{T}\cdot\text{m}}{\text{A}}$ מדף הנוסחאות):

קו מגמה שמועבר ביד ייתן שיפוע מעט שונה, ולכן ערך מעט שונה של $m$ (בערך $0.90$–$0.96\,\text{A}\cdot\text{m}^2$).

טעות נפוצה: לשכוח שהערכים בציר האנכי הם ביחידות $10^{-3}\,\text{m}^3$ – ואז מתקבל $m$ גדול פי 1000. טעות נוספת: לחשב את השיפוע משתי נקודות מדידה במקום משתי נקודות על הקו.

נקודת החיתוך עם הציר האנכי היא ערך $r^3$ בקו כאשר $\frac{1}{\tan\alpha}=0$. מתוך הקו (או בחישוב מנקודה על הקו):

כלומר החיתוך הוא כ־$0.88\times10^{-3}\,\text{m}^3$ – יחידותיו כיחידות הציר האנכי, $\text{m}^3$. (הערך המדויק תלוי בקו שהעברתם.)

משמעות מתמטית־פיזיקלית: בנקודת החיתוך $\frac{1}{\tan\alpha}=0$, כלומר $\tan\alpha\to\infty$ ו־$\alpha=90^\circ$ – מצב שבו המחט מצביעה בדיוק לכיוון ציר המגנט. זה קורה רק כאשר $B_m\gg B_E$, כלומר כשהמגנט צמוד למצפן. נקודת החיתוך היא אפוא ה־$r^3$ ש"נדרש" לפי הקו לסטייה של $90^\circ$.

לפי המודל ($r^3=k\cdot\frac{1}{\tan\alpha}$) הקו צריך לעבור בראשית: חיתוך $0$.

בפועל התקבל חיתוך שונה מאפס (כאן כ־$0.88\times10^{-3}\,\text{m}^3$, השקול ל־$r\approx 9.6\,\text{cm}$). סיבות אפשריות:

- שגיאות אקראיות במדידות הקצה: קו המגמה (שיטת הריבועים הפחותים) מושפע במיוחד מהנקודות שבקצות התחום, ושם אי־הוודאות היחסית ב־$\tan\alpha$ גדולה. שגיאה אקראית בנקודות אלה יכולה "להטות" את הקו כך שלא יעבור בראשית.

- שגיאה שיטתית במרחק: $r$ צריך להימדד ממרכז המגנט, שנמצא $1.5\,\text{mm}$ מפניו (עובי המגנט $3\,\text{mm}$), ומרכז המצפן אינו מסומן – אך הסרגל מדויק רק למילימטר. הזזה קבועה של כל ערכי $r$ מזיזה ומותחת את הקו ויוצרת חיתוך שונה מאפס.

- שגיאה שיטתית בזווית: אם המחט לא הצביעה בדיוק על "צפון" לפני הצבת המגנט, כל הזוויות מוזזות בגודל קבוע, וגם זה מזיז את הקו.

שימו לב: ערך שונה של $B_E$ אינו יוצר חיתוך – הוא משנה רק את השיפוע. החיתוך אינו משפיע על חישוב $m$, שנעשה מהשיפוע בלבד – זה היתרון בשימוש בשיפוע.

הצבה ($m_{\text{גרף}}=0.932\,\text{A}\cdot\text{m}^2$ מסעיף 9ב, $m_{\text{מצופה}}=0.896\,\text{A}\cdot\text{m}^2$):

(התוצאה תלויה בערך $m$ שקיבלתם מהקו שלכם.)

סיבות אפשריות (מספיקה אחת, מוסברת):

- $B_E$ אינו בדיוק $30\,\mu\text{T}$: זהו ערך ממוצע לישראל (הנחה 2). בחדר יש ברזל בקירות, ברהיטים ובמכשירים, והשדה המקומי שונה. לפי $m=\frac{2\pi B_E k}{\mu_0}$, $m$ פרופורציוני ל־$B_E$: אם השדה המקומי קטן ב־$4\%$ מ־$30\,\mu\text{T}$, החישוב נותן $m$ גדול מדי ב־$4\%$. להמחשה: מהשיפוע ומהערך של היצרן, $B_E=\frac{\mu_0 m}{2\pi k}=\frac{1.257\times10^{-6}\cdot0.896}{2\pi\cdot6.215\times10^{-3}}\approx28.8\,\mu\text{T}$ – ערך סביר לגמרי לשדה המקומי.

- שגיאה במדידת $r$: קשה לקבוע במדויק את מרכז המגנט (בתוך המחזיק) ואת מרכז המצפן, ו־$r$ מופיע בחזקה שלישית – שגיאה יחסית של $1\%$ ב־$r$ נותנת כ־$3\%$ ב־$r^3$.

- שגיאת קריאה של הזווית: השנתות במצפן הן בהפרשים של $5^\circ$, והמחט עובה; קשה לקבוע מתי היא בדיוק על השנתה.

- הנחות המודל: נוסחה 1 מדויקת רק במרחק גדול לעומת ממדי המגנט, והמחט אינה נקודתית.

1. שינוי קטן ב־$r$ לעומת שגיאת המדידה: $\tan\alpha\propto\frac{1}{r^3}$ ו־$\tan\alpha$ גדל מהר מאוד כש־$\alpha$ מתקרבת ל־$90^\circ$. לכן מעבר מ־$65^\circ$ ל־$70^\circ$, $75^\circ$... דורש שינוי קטן מאוד במרחק. השינוי ב־$r$ בין מדידות סמוכות נעשה קטן ביחס לשגיאת המדידה של הסרגל ($1\,\text{mm}$) ולאי־הוודאות במיקום המרכזים, ולכן השגיאה היחסית במדידות אלה גדלה.

2. רגישות של $\frac{1}{\tan\alpha}$ לשגיאת הקריאה: שגיאה של $\Delta\alpha$ בקריאת הזווית גורמת לשגיאה יחסית $\frac{\Delta(\tan\alpha)}{\tan\alpha}=\frac{2\Delta\alpha}{\sin2\alpha}$, שגדלה מאוד ככל ש־$\alpha$ מתקרבת ל־$90^\circ$. למשל, לשגיאת קריאה של $1^\circ$: בערך $3.5\%$ ב־$45^\circ$, $4.6\%$ ב־$65^\circ$, אבל כ־$10\%$ ב־$80^\circ$.

3. המודל מפסיק להתאים: בזוויות גדולות המגנט קרוב מאוד למצפן, והנחה 1 (מרחק גדול מאוד בהשוואה לממדי המגנט) נחלשת; גם אורך המחט כבר אינו זניח לעומת $r$. נוסחה 1 אינה מדויקת שם, והנקודות יסטו מהקו הישר.

לכן הוספת נקודות בזוויות גדולות אינה בהכרח משפרת את הדיוק ועלולה להגדיל את השגיאה היחסית ב־$m$.

- המצפן: השנתות בהפרשים של $5^\circ$. אם קובעים מרחק ואז קוראים את הזווית, המחט תיפול בדרך כלל בין שתי שנתות, ויש לנחש את הערך – שגיאת קריאה של כ־$\pm2^\circ$, שהיא כמה אחוזים מזוויות של $30^\circ$–$65^\circ$ (ונוסף על כך המחט עובה).

- הסרגל: השנתות בהפרשים של $1\,\text{mm}$, והמרחקים הם כ־$150$–$230\,\text{mm}$ – שגיאה יחסית של פחות מ־$1\%$.

השיטה שבחר התלמיד: הוא מזיז את המגנט עד שהמחט נמצאת בדיוק על שנת של המצפן. התאמת המחט לשנתה נראית בבירור, ולכן הזווית ידועה במדויק; את המרחק – שאותו אפשר למדוד בעדינות רבה – הוא קורא בסרגל. כך שני הגדלים נמדדים בדיוק הטוב ביותר שהכלים מאפשרים.

יתרון נוסף: בחירה מראש של זוויות במרווחים שווים ($30^\circ$, $35^\circ$, ..., $65^\circ$) מאפשרת לפרוס את המדידות באופן אחיד על התחום ולהימנע מזוויות גדולות מדי (ראו שאלה 11).