מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ח' (נוסח 2020) - עם פתרונות מלאים

נועה בת 12, ולכן היא בקבוצת הגיל "נוער 9–13".

בקבוצה הזאת מסתכלים על העמודה של הבנות (העמודה הבהירה).

העמודה מגיעה לקו המקווקו של 28.

לכן הכמות המומלצת לנועה היא 28 גרם ביממה.

התשובה: לא, יעל אינה צודקת.

בקבוצת הגיל 1–3 שתי העמודות מגיעות ל-19 גרם, ובקבוצת הגיל 4–8 שתיהן מגיעות ל-25 גרם.

כלומר, בשתי הקבוצות האלה הכמות המומלצת לבנים שווה לכמות המומלצת לבנות, ולא גדולה ממנה.

הטענה אומרת "בכל אחת מקבוצות הגיל", ולכן מספיק להראות קבוצה אחת שבה זה לא נכון.

למה לא "כן"? מי שמסתכל רק על שלוש הקבוצות הגבוהות (מגיל 9 ומעלה) רואה שהעמודה של הבנים גבוהה יותר, אבל שוכח לבדוק את הקבוצות של הילדים הצעירים.

התשובה הנכונה: $5:54$.

סופרים בתרשים את המושבים הכהים עם סמל הכיסא: בשורה 1 יש 3 כאלה ובשורה 2 יש 2. בסך הכול 5 מושבים שמורים לנכים.

באולם יש 54 מושבים בסך הכול (6 שורות של 9 מושבים: $6\cdot9=54$).

השאלה מבקשת את היחס בין המושבים השמורים ובין כל המושבים, ולכן היחס הוא $5:54$.

למה לא $5:49$? 49 הוא מספר המושבים שאינם שמורים ($54-5=49$). זה היחס בין המושבים השמורים למושבים הרגילים, ולא לכל המושבים.

למה לא $1:5$? כאן לקחו רק את מספר המושבים השמורים (5) ולא השוו אותו למספר כל המושבים (54). היחס $1:5$ היה נכון רק אם באולם היו 25 מושבים בסך הכול.

למה לא $1:54$? זה אומר שרק מושב אחד שמור, אבל בתרשים יש 5 מושבים שמורים.

מחשבים רבע מכל המושבים:

$\frac{1}{4}\cdot54=54:4=13.5$

מספר המושבים חייב להיות מספר שלם, ו"לפחות 13.5" פירושו 14 מושבים לפחות (13 מושבים הם פחות מרבע).

כבר יש 5 מושבים שמורים, ולכן צריך להוסיף לפחות:

$14-5=9$

תשובה: 9 מושבים נוספים (אפשר גם יותר, עד 49, שהם כל המושבים הרגילים).

בדיקה: $5+9=14$, ו-$14$ גדול מ-$13.5$ ✓. אם מוסיפים רק 8, מקבלים 13 מושבים, וזה פחות מרבע.

הזווית $\alpha$ והזווית של $64^\circ$ נמצאות בין שני הישרים המקבילים, משני צדי החותך השמאלי. אלה זוויות מתחלפות, וזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

לכן $\alpha=64^\circ$.

הזווית $\beta$ והזווית של $41^\circ$ נמצאות על החותך הימני, שתיהן מעל הישר שלהן ומשמאל לחותך. אלה זוויות מתאימות, וזוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות.

לכן $\beta=41^\circ$.

מסתכלים על המשולש שנוצר מעל הישר $m$.

הזווית שלו ליד החותך השמאלי היא הזווית הקודקודית של $\alpha$, ולכן היא $64^\circ$.

הזווית שלו ליד החותך הימני היא $41^\circ$ (נתונה בסרטוט).

סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$:

$\gamma=180^\circ-64^\circ-41^\circ=75^\circ$

הנקודה $A$ נמצאת על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$ בה:

$0=x+6\Rightarrow x=-6$, ולכן $A(-6,0)$.

הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$ בה:

$y=0+6=6$, ולכן $B(0,6)$.

$OB=6$, כי $B(0,6)$ נמצאת 6 יחידות מעל $O$.

$M$ נמצאת על ציר ה-$y$, ו-$B$ היא אמצע הקטע $OM$, ולכן $M$ נמצאת עוד 6 יחידות מעל $B$:

$6+6=12$, ולכן $M(0,12)$.

ישר שמקביל לציר ה-$x$ הוא ישר אופקי: לכל הנקודות שלו אותו שיעור $y$.

הישר עובר דרך $M(0,12)$, ולכן לכל הנקודות שלו $y=12$.

משוואת הישר: $y=12$.

הנקודה $P$ נמצאת על שני הישרים, ולכן בה $y=12$ וגם $y=x+6$.

$x+6=12$

$x=6$

לכן $P(6,12)$.

משולש $AOB$ הוא ישר-זווית ב-$O$ (הזווית בין הצירים). הניצבים שלו:

$OA=6$ (מ-$O$ עד $A(-6,0)$) ו-$OB=6$.

שטח: $\frac{6\cdot6}{2}=18$ יחידות שטח.

משולש $PMB$ הוא ישר-זווית ב-$M$ (הישר $MP$ אופקי וציר ה-$y$ אנכי). הניצבים שלו:

$MB=12-6=6$ ו-$MP=6$ (מ-$x=0$ עד $x=6$).

שטח: $\frac{6\cdot6}{2}=18$ יחידות שטח.

סכום השטחים: $18+18=36$ יחידות שטח.

(אפשר גם לחשב שטח של משולש אחד, ולהסביר ששני המשולשים חופפים ולכן השטח שלהם שווה: $2\cdot18=36$.)

התשובה הנכונה: $1:4$.

לפי סדר הקודקודים: $A$ מתאים ל-$A$, $B$ ל-$D$ ו-$C$ ל-$E$. לכן הצלע $AE$ במשולש הקטן מתאימה לצלע $AC$ במשולש הגדול.

$AC=AE+CE=2+6=8$ ס"מ.

יחס הדמיון: $AE:AC=2:8=1:4$.

למה לא $1:3$? זה $AE:CE=2:6$. אבל $CE$ הוא רק חלק מהצלע $AC$, והצלע המתאימה ל-$AE$ היא כל $AC$.

למה לא $1:6$? כאן לקחו את $CE=6$ כאילו הוא הצלע המתאימה, ושכחו גם להשוות אותו ל-$AE=2$.

למה לא $1:8$? 8 הוא אכן אורך $AC$, אבל צריך להשוות אותו ל-$AE=2$ ולא ל-1: $2:8=1:4$.

במשולשים דומים, היחס בין ההיקפים שווה ליחס הדמיון.

יחס הדמיון הוא $1:4$, כלומר כל צלע במשולש $ABC$ גדולה פי 4 מהצלע המתאימה במשולש $ADE$, ולכן גם ההיקף גדול פי 4:

$14\cdot4=56$ ס"מ.

מוסיפים 11 לשני האגפים:

$6x<-53+11$

$6x<-42$

מחלקים את שני האגפים ב-6 (מספר חיובי, ולכן כיוון הסימן לא משתנה):

$x<-7$

התשובה: לא.

דרך 1 (לפי סעיף א): הפתרונות הם המספרים הקטנים מ-$-7$. המספר $-6.9$ גדול מ-$-7$ (הוא נמצא מימין ל-$-7$ על ציר המספרים), ולכן הוא אינו פתרון.

דרך 2 (הצבה באי-השוויון המקורי):

$6\cdot(-6.9)-11=-41.4-11=-52.4$

האם $-52.4<-53$? לא, כי $-52.4$ גדול מ-$-53$. לכן $-6.9$ אינו פתרון.

למה לא "כן"? טעות נפוצה היא לחשוב ש-$-6.9$ "קטן" מ-$-7$ כי 6.9 קטן מ-7. במספרים שליליים זה הפוך: $-6.9$ קרוב יותר לאפס, ולכן הוא גדול יותר.

$\angle L=90^\circ$, כי במלבן כל הזוויות ישרות.

המשולש $TLM$ שווה-שוקיים ($LT=LM$), ובמשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות: $\angle LTM=\angle M_1$.

סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$, ולכן:

$\angle M_1=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ$

גם $\angle LMN=90^\circ$ (זווית של המלבן), והיא מורכבת מ-$\angle M_1$ ומ-$\angle M_2$:

$\angle M_2=90^\circ-45^\circ=45^\circ$

$LM=x$, ולכן גם $LT=x$ (המשולש שווה-שוקיים).

מהחפיפה $\triangle TLM\cong\triangle TKN$ הצלעות המתאימות שוות: $KT=LT=x$.

לכן אורך המלבן: $KL=KT+TL=x+x=2x$, והרוחב שלו: $LM=x$.

שטח המלבן: $2x\cdot x=2x^2$ סמ"ר.

המשולש $NKT$ ישר-זווית ב-$K$, והניצבים שלו הם $KN=x$ ו-$KT=x$.

שטח המשולש: $\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^2}{2}$

שטח המלבן (מסעיף ב): $2x^2$

היחס: $\frac{x^2}{2}:2x^2$. מחלקים את שני האגפים ב-$x^2$ ומקבלים $\frac{1}{2}:2$, ואחרי כפל ב-2: $1:4$.

הסבר 1: לפי סעיף ג, שטח המשולש $NKT$ הוא רבע משטח המלבן. המשולש $TLM$ חופף לו, ולכן גם השטח שלו רבע משטח המלבן. יחד שני המשולשים תופסים $\frac14+\frac14=\frac12$ מהמלבן, ולכן מה שנשאר, המשולש $NTM$, הוא $\frac12$ מהמלבן. כלומר שטח המלבן גדול פי 2 משטח המשולש $NTM$.

הסבר 2: במשולש $NTM$ הבסיס הוא $NM=KL=2x$, והגובה אליו הוא המרחק מ-$T$ לצלע $NM$, שהוא רוחב המלבן $x$.

שטח המשולש: $\frac{2x\cdot x}{2}=x^2$. שטח המלבן: $2x^2=2\cdot x^2$, כלומר פי 2.

הסבר 3: מורידים גובה מ-$T$ לצלע $NM$. הגובה מחלק את המלבן לשני מלבנים, וכל אחד מהם מחולק באלכסון לשני משולשים חופפים. מתקבלים 4 משולשים שווי שטח, ושניים מהם מרכיבים את המשולש $NTM$, כלומר חצי מהמלבן.

שתיהן נוסעות במהירות קבועה, ולכן המרחק ביניהן גדל באותה כמות בכל שעה.

ב-3 שעות המרחק גדל ל-150 ק"מ, ולכן בכל שעה הוא גדל ב-$150:3=50$ ק"מ.

בשעה 7:00 עברה שעה אחת מהיציאה, ולכן המרחק ביניהן היה 50 ק"מ.

(מכאן גם המהירויות: המכונית עוברת בכל שעה 50 ק"מ יותר מהמשאית, ומהירותה כפולה, ולכן מהירות המשאית 50 קמ"ש ומהירות המכונית 100 קמ"ש.)

המכונית נסעה מ-6:00 עד 10:00, כלומר 4 שעות.

המשאית נוסעת לאט פי 2, ולכן היא צריכה פי 2 זמן כדי לעבור את אותה הדרך: $4\cdot2=8$ שעות.

$6:00+8$ שעות $=14:00$.

(בדיקה: הדרך היא $100\cdot4=400$ ק"מ, והמשאית עוברת אותה ב-$400:50=8$ שעות.)

כל זמן ששתיהן נוסעות, המכונית מתרחקת מהמשאית (בכל שעה ב-50 ק"מ).

בשעה 10:00 המכונית הגיעה לאילת ונעצרה, אבל המשאית ממשיכה לנסוע לכיוון אילת, ולכן מאז המרחק ביניהן רק קטן.

לכן המרחק הגדול ביותר היה בשעה 10:00 (אז הוא היה $4\cdot50=200$ ק"מ).

מהירות המשאית 50 קמ"ש, ומהירות האופנוע 100 קמ"ש (כמו המכונית).

דרך 1 (טבלה):

• 9:00 – המשאית עברה $3\cdot50=150$ ק"מ, האופנוע 0 ק"מ.

• 10:00 – המשאית 200 ק"מ, האופנוע 100 ק"מ.

• 11:00 – המשאית 250 ק"מ, האופנוע 200 ק"מ.

• 12:00 – המשאית 300 ק"מ, האופנוע 300 ק"מ. כאן האופנוע השיג את המשאית.

דרך 2 (משוואה): נסמן ב-$x$ את מספר השעות שהמשאית נסעה עד שהאופנוע השיג אותה. האופנוע נסע 3 שעות פחות, כלומר $x-3$ שעות.

$100(x-3)=50x$

$100x-300=50x$

$50x=300$

$x=6$

המשאית יצאה ב-6:00, ולכן ההשגה הייתה בשעה $6:00+6=12:00$.

דרך 3 (ביטוי אלגברי, בלי לחשב מהירויות): נסמן ב-$v$ את מהירות המשאית, ואז מהירות האופנוע $2v$. עד 12:00 המשאית נסעה 6 שעות ועברה $6v$ ק"מ, והאופנוע נסע 3 שעות ועבר $3\cdot2v=6v$ ק"מ. הדרכים שוות, ולכן בשעה 12:00 האופנוע השיג את המשאית.

(בשעה 12:00 המשאית עדיין לא הגיעה לאילת: היא עברה 300 ק"מ מתוך 400.)