מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 5 מעל רמת בגרות

מספר הילדים: $5+7+1+5+6=24$.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הערכים בלי שכיחויות: $\frac{2+4+5+7+9}{5}=5.4$.

מספר הילדים קטן ב-25%, ולכן נשארו 75% מ-24:

טעות נפוצה: לחלק ב-0.75 במקום לכפול: $\frac{24}{0.75}=32$ - אבל מספר הילדים קטן, ולכן התוצאה חייבת להיות קטנה מ-24.

סכום השכיחויות בטבלה הוא 18 (סעיף ב). רשומים כבר $2+5+5=12$ ילדים:

טעות נפוצה: להשלים ל-24 ילדי האימון: $24-12=12$.

הממוצע בתחרות: $5.5+0.5=6$ גולים לילד, ובתחרות השתתפו 18 ילדים. סך הגולים בתחרות:

סך הגולים מהטבלה (עם 6 הילדים שהבקיעו 3 גולים):

בדיקה: $6<8<10$, כמו הסדר בטבלה, ו-8 גולים אפשריים מ-10 בעיטות.

טעות נפוצה: לשכוח לכפול את $x$ בשכיחות שלו (5 ילדים): $68+x=108$, ומקבלים $x=40$ - יותר גולים ממספר הבעיטות.

נסמן ב-$n$ את מספר הילדים שמצטרפים. כל אחד מוסיף 2 גולים לסכום וילד אחד למספר הילדים:

רוצים שהממוצע יהיה קטן מ-5.5 (סעיף א):

$n$ שלם, ולכן צריך לפחות 3 ילדים.

בדיקה: עם 2 ילדים $\frac{112}{20}=5.6$ - עדיין לא קטן מ-5.5; עם 3 ילדים $\frac{114}{21}\approx5.43<5.5$.

טעות נפוצה: לעגל את $2.57$ כלפי מטה ולענות 2 ילדים - אבל עם 2 ילדים הממוצע הוא 5.6, גדול מ-5.5.

בגלגל א' ארבע גזרות שוות, ולכל מספר הסתברות $\frac14$.

המספרים הקטנים מ-4 הם 1, 2, 3 - שלוש גזרות מתוך ארבע:

טעות נפוצה: לבלבל עם המשלים ולענות $\frac14$ - זו ההסתברות לעצור על 4, המספר היחיד שאינו קטן מ-4.

בגלגל א': $P(3)=\frac14$. בגלגל ב' הגזרה של 3 היא רבע עיגול: $P(3)=\frac14$.

הגלגלים בלתי תלויים, ולכן:

טעות נפוצה: לתת לכל מספר בגלגל ב' הסתברות $\frac13$ ולקבל $\frac14\cdot\frac13=\frac1{12}$. הגזרות בגלגל ב' אינן שוות.

המספרים המשותפים לשני הגלגלים הם 1 ו-3 (6 אינו בגלגל א', ו-2, 4 אינם בגלגל ב'):

טעות נפוצה: לספור בטבלת אפשרויות $4\times3=12$ תאים, מתוכם 2 מתאימים, ולענות $\frac2{12}=\frac16$. התאים אינם שווי הסתברות.

זוגות (גלגל א', גלגל ב') שסכומם 7: $(1,6)$ ו-$(4,3)$. הזוג $(6,1)$ אינו אפשרי, כי בגלגל א' אין 6.

טעות נפוצה: לחבר רק את ההסתברויות של גלגל ב' ($\frac14+\frac14$) בלי לכפול בהסתברויות של גלגל א', ולקבל $\frac12$.

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את הבסיס: $CF=\frac{70}{2}=35$.

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס: $\sqrt{12^2+70^2}\approx71.02$.

האורך הכולל של הכבלים הוא סכום ששולם חלקי המחיר למטר:

$AB=AC=37$, ולכן $DC+DE=133.2-2\cdot37=59.2$. המשולש $DCE$ שווה שוקיים, כלומר $DC=DE$:

לפי סדר האותיות $ABC\sim DCE$, הצלע $AC$ מתאימה ל-$DE$:

טעות נפוצה: לשכוח ש-$DC=DE$ ולייחס את כל ה-59.2 מטרים לכבל $DE$ - ואז יחס הדמיון יוצא $\frac{37}{59.2}=\frac58$.

הבסיס $CE$ מתאים לבסיס $BC$, והמשולש $DCE$ קטן פי $\frac54$:

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac54$ ולקבל $CE=87.5$ ו-$BE=157.5$.

במשולשים דומים כל הקטעים המתאימים נמצאים ביחס הדמיון - גם הגבהים לבסיסים. $DG$ הוא הגובה של $DCE$ לבסיס, והוא מתאים ל-$AF$:

בדיקה בפיתגורס: $CG=\frac{56}{2}=28$, ו-$\sqrt{29.6^2-28^2}=\sqrt{92.16}=9.6$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולקבל $DG=12\cdot\frac54=15$ - עמוד גבוה מ-$AF$ במשולש הקטן.

המשולש $BDC$ ישר זווית ב-$D$, ו-$BC$ הוא היתר שלו. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחסר: $\sqrt{2.4^2-2^2}\approx1.33$ מטרים - קצר מהניצבים, וזה בלתי אפשרי ליתר.

במשולש $ABD$ (ישר זווית ב-$D$): $BD$ הוא הניצב שמול הזווית $A$, ו-$AB$ הוא היתר:

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס: $\frac{2.4}{\cos35^\circ}\approx2.93$. $BD$ מול הזווית $A$, ולכן היחס הוא סינוס.

$AC=AD+DC$. במשולש $ABD$, $AD$ הוא הניצב שליד הזווית $A$:

טעות נפוצה: לכפול ב-$\tan35^\circ$: $AD=2.4\cdot\tan35^\circ\approx1.68$, ואז $AC\approx3.68$.

$BD$ הוא הגובה לבסיס $AC$:

טעות נפוצה: לא לחלק ב-2 ולקבל כ-$13.03$ מ"ר.

מחיר הלוחות: $6.513\cdot85\approx553.6$ שקלים.

ועוד התשלום לנגר: $553.6+450=1{,}003.6$.

בעל הביתן שילם כ-1,003.6 שקלים.

טעות נפוצה: לשכוח את התשלום לנגר ולענות כ-$553.6$ שקלים.

ההכנסה מכל הכרטיסים חלקי מספר הכרטיסים שווה לממוצע:

טעות נפוצה: לשכוח במונה את ההכנסה מהכרטיסים שמספרם $k$ (את $20k$) ולפתור $\frac{2{,}150}{70+k}=25$, כלומר $70+k=86$, ולקבל $k=16$.

מספר הכרטיסים: $40+80+25+5=150$. במחיר נמוך מ-$25$ שקלים נמכרו $40+80=120$ כרטיסים:

מעט הכרטיסים היקרים (של $50$ ושל $100$ שקלים) מעלים את הממוצע הרבה מעל רוב המחירים, ולכן רוב הכרטיסים מתחתיו.

טעות נפוצה: לחשוב שבדיוק מחצית מהנתונים מתחת לממוצע ולענות $50\%$ - זה נכון לחציון, לא לממוצע.

ההכנסה מהופעת הערב: $25\cdot150=3{,}750$. מהופעת הבוקר: $35\cdot90=3{,}150$.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שני הממוצעים: $\frac{25+35}{2}=30$. בהופעת הערב נמכרו יותר כרטיסים, ולכן הממוצע שלה "שוקל" יותר.

בכל ההכנסה - $6{,}900$ שקלים (סעיף ג) - נקנו $160$ משחקים. נסמן ב-$n$ את מספר המשחקים הקטנים; אז $160-n$ משחקים גדולים:

נקנו $55$ משחקים קטנים ו-$160-55=105$ משחקים גדולים. (בדיקה: $30\cdot55+50\cdot105=1{,}650+5{,}250=6{,}900$.)

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ($50n+30(160-n)$) כש-$n$ מסמן את המשחקים הקטנים, ולקבל $105$ משחקים קטנים ו-$55$ גדולים.

כל לקוח מופיע בשורה אחת בטבלה, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לספור את 11 הלקוחות של השטיפה עם הווקס פעמיים (שטיפה וגם ווקס) ולענות 54 - הם קיבלו שירות אחד מהמחירון, ומופיעים בשורה אחת.

מצרפים את המחירון לטבלה: המחיר הוא הערך, ומספר הלקוחות הוא השכיחות.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי השכיחויות - $\frac{35+25+50+80}{4}=47.5$ שקלים.

הלקוח הנוסף שילם 50 שקלים - בדיוק התשלום הממוצע, ולכן הממוצע לא משתנה:

טעות נפוצה: להוסיף את 50 לסכום ולחלק שוב ב-43 - $\frac{2200}{43}\approx51.16$ - ולענות "גדל".

הממוצע לא השתנה, ולכן סכום ריבועי הסטיות של 43 הלקוחות הקודמים לא השתנה.

הלקוח החדש שילם בדיוק את הממוצע, הסטייה שלו 0, והוא מוסיף 0 למונה; המכנה גדל מ-43 ל-44 - ולכן סטיית התקן קטנה.

בחישוב: $7\cdot15^2+9\cdot25^2+16\cdot0^2+11\cdot30^2=17100$; לפני: $\sqrt{\frac{17100}{43}}\approx19.94$, אחרי: $\sqrt{\frac{17100}{44}}\approx19.71$.

טעות נפוצה: להוסיף למונה את ריבוע התשלום ($50^2=2500$) במקום את ריבוע הסטייה - $\sqrt{\frac{17100+2500}{44}}\approx21.11$ - ולענות "גדלה".