דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 4 מעל רמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), מעל רמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · גדילה ודעיכה: דגים בשתי בריכות

בבריכת דגים א' היו בתחילת העונה 625 דגים.

בכל שבוע גדל מספר הדגים בבריכה זו ב-20%.

בבריכת דגים ב' היו בתחילת העונה 4,096 דגים.

בגלל זיהום המים קטן מספר הדגים בבריכה זו מדי שבוע בצורה מעריכית.

היעזרו בגרפים שלפניכם וענו על הסעיפים הבאים.

גרף 1גרף 2
‫שבועות‬‫מספר הדגים‬012345678
א.

איזה מבין הגרפים 1 או 2 מתאים לבריכה א' ואיזה לבריכה ב'? נמקו.

ב(1).

כעבור כמה שבועות מיום המדידה הראשון היה בשתי הבריכות אותו מספר דגים?

ב(2).

כמה דגים היו בכל אחת מהבריכות בשבוע זה?

ג.

בכמה אחוזים קטן מספר הדגים בבריכה ב' מדי שבוע?

כדי להציל את הדגים בבריכה ב' הוחלט להעביר דגים מבריכה א' לבריכה ב'.

ההעברה התחילה לאחר שבבריכה א' היו יותר מ-2,000 דגים.

ד(1).

כעבור כמה שבועות מיום המדידה הראשון החלו בהעברת הדגים?

ד(2).

כמה דגים בערך היו בשבוע זה בבריכה ב' לפני ההעברה?

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

גרף 1 - בריכה א'; גרף 2 - בריכה ב'

בבריכה א' מספר הדגים גדל, ולכן הגרף שלה עולה; בבריכה ב' מספר הדגים קטן, ולכן הגרף שלה יורד.

גם נקודת ההתחלה מתאימה: בשבוע 0 גרף 2 גבוה (4,096 דגים) וגרף 1 נמוך (625 דגים).

לכן גרף 1 (עולה, מתחיל נמוך) - בריכה א', וגרף 2 (יורד, מתחיל גבוה) - בריכה ב'.

טעות נפוצה: להתאים לפי הגובה בסוף הסרטוט - גרף 1 גבוה בשבוע 8, ולכן לשייך אותו לבריכה ב' שהתחילה עם יותר דגים - ולקבל את ההתאמה ההפוכה (גרף 1 - ב', גרף 2 - א').

סעיף ב(1)

תשובה:

כעבור 4 שבועות

מספר הדגים בשתי הבריכות שווה בנקודת החיתוך של הגרפים.

הקו המקווקו העובר בנקודת החיתוך פוגש את ציר השבועות בשבוע 4.

לכן כעבור 4 שבועות היה בשתי הבריכות אותו מספר דגים.

טעות נפוצה: לענות "5 שבועות" - השבוע הראשון שבו בבריכה א' יש יותר דגים - במקום הזמן שבו המספרים שווים: נקודת החיתוך עצמה, בשבוע 4.

סעיף ב(2)

תשובה:

1,296 דגים בכל בריכה

בשבוע 4 מספר הדגים בשתי הבריכות שווה, ובבריכה א' ידוע המקדם: גדילה של 20% היא q=1.2q=1.2.

A4=625⋅1.24=625⋅2.0736=1296A_4=625\cdot1.2^4=625\cdot2.0736=1296

בשבוע זה היו 1,296 דגים בכל אחת מהבריכות.

טעות נפוצה: להוסיף בכל שבוע 20% מהכמות ההתחלתית (125 דגים): 625+4⋅125=1125625+4\cdot125=1125 - זה תהליך ליניארי, לא מעריכי.

סעיף ג

תשובה:

ב-25% מדי שבוע

בבריכה ב': A0=4096A_0=4096, וכעבור 4 שבועות היו בה 1,296 דגים (סעיף ב).

4096⋅q4=1296⇒q4=12964096=0.316406254096\cdot q^4=1296\quad\Rightarrow\quad q^4=\frac{1296}{4096}=0.31640625

מוציאים שורש רביעי: q=0.316406254=0.75q=\sqrt[4]{0.31640625}=0.75.

q=0.75=1−0.25q=0.75=1-0.25, ולכן מספר הדגים קטן ב-25% מדי שבוע.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה הכוללת, 4096−12964096≈68.4%\frac{4096-1296}{4096}\approx68.4\%, ולחלק ב-4 שבועות - כ-17.1% לשבוע.

סעיף ד(1)

תשובה:

כעבור 7 שבועות

מחפשים את מספר השבועות השלם הראשון שבו 625⋅1.2t>2000625\cdot1.2^t>2000. בניסוי וטעייה:

t=6: 625⋅1.26≈1866.2<2000t=6:\ 625\cdot1.2^6\approx1866.2<2000
t=7: 625⋅1.27≈2239.5>2000t=7:\ 625\cdot1.2^7\approx2239.5>2000

לכן ההעברה החלה כעבור 7 שבועות.

טעות נפוצה: לעצור ב-t=6t=6, כי 18661866 "קרוב ל-2,000" - אבל בשבוע 6 עדיין לא היו בבריכה יותר מ-2,000 דגים.

סעיף ד(2)

תשובה:

כ-547 דגים

בבריכה ב': A0=4096A_0=4096, q=0.75q=0.75 (סעיף ג), t=7t=7 (סעיף ד(1)).

A7=4096⋅0.757=546.75≈547A_7=4096\cdot0.75^7=546.75\approx547

לפני ההעברה היו בבריכה ב' כ-547 דגים.

טעות נפוצה: להתחיל מ-1,296 הדגים של שבוע 4 ובכל זאת להעלות בחזקת 7: 1296⋅0.757≈1731296\cdot0.75^7\approx173. משבוע 4 עד שבוע 7 עוברים רק 3 שבועות.

שאלה 2 · הסתברות: מספר אסימונים לא ידוע ושליפה בלי החזרה

במשחק קופסה יש שקית ובה 60 אסימונים: 25 אסימונים אדומים, והשאר אסימונים כחולים ואסימונים ירוקים.

רון שולף מהשקית אסימון באקראי, רושם את צבעו ומחזיר אותו לשקית. אחר כך יעל שולפת מהשקית אסימון באקראי.

ההסתברות ששניהם שלפו אסימון ירוק היא 116\frac{1}{16}.

א.

כמה אסימונים כחולים יש בשקית?

ב.

מהי ההסתברות ששניהם שלפו אסימון באותו הצבע?

בסיבוב הבא שינו את הכללים: רון שולף אסימון באקראי ולא מחזיר אותו לשקית, ואחר כך יעל שולפת אסימון באקראי מתוך האסימונים שנשארו בשקית.

ג.

מהי ההסתברות ששניהם שלפו אסימון אדום?

ד.

לפי הכללים החדשים, מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם שלף אסימון ירוק?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

20 אסימונים

נסמן ב-gg את מספר האסימונים הירוקים. רון מחזיר את האסימון, ולכן השליפות בלתי תלויות:

(g60)2=116⇒g60=14⇒g=15\left(\frac{g}{60}\right)^2=\frac{1}{16}\quad\Rightarrow\quad\frac{g}{60}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad g=15

(לוקחים את השורש החיובי - הסתברות אינה שלילית.)

מספר האסימונים הכחולים: 60−25−15=2060-25-15=20.

טעות נפוצה: לשכוח להחסיר את האסימונים האדומים ולענות 60−15=4560-15=45.

סעיף ב

תשובה:

2572≈0.347\frac{25}{72}\approx0.347

שלושה מקרים זרים - שניהם אדום, שניהם כחול, שניהם ירוק:

P=252+202+152602=625+400+2253,600=1,2503,600=2572≈0.347P=\frac{25^2+20^2+15^2}{60^2}=\frac{625+400+225}{3{,}600}=\frac{1{,}250}{3{,}600}=\frac{25}{72}\approx0.347

טעות נפוצה: לשכוח את המקרה "שניהם ירוק" (הצבע שמספרו נמצא בסעיף א) ולקבל 1,0253,600=41144≈0.285\frac{1{,}025}{3{,}600}=\frac{41}{144}\approx0.285.

סעיף ג

תשובה:

1059≈0.169\frac{10}{59}\approx0.169

עכשיו השליפות תלויות: אחרי שרון שלף אסימון ולא החזיר אותו, יעל שולפת מתוך 59 אסימונים.

אם רון שלף אסימון אדום, נשארו 24 אסימונים אדומים מתוך 59:

P=2560⋅2459=6003,540=1059≈0.169P=\frac{25}{60}\cdot\frac{24}{59}=\frac{600}{3{,}540}=\frac{10}{59}\approx0.169

טעות נפוצה: להמשיך לחשב כמו עם החזרה, (2560)2=25144≈0.174\left(\frac{25}{60}\right)^2=\frac{25}{144}\approx0.174 - בלי החזרה יעל שולפת מ-59 אסימונים, ונשארו בהם רק 24 אדומים.

סעיף ד

תשובה:

2659≈0.441\frac{26}{59}\approx0.441

המשלים של "לפחות אחד ירוק" הוא "אף אחד לא ירוק". יש 60−15=4560-15=45 אסימונים שאינם ירוקים:

P(אף אחד)=4560⋅4459=1,9803,540=3359P(\text{אף אחד})=\frac{45}{60}\cdot\frac{44}{59}=\frac{1{,}980}{3{,}540}=\frac{33}{59}
P(לפחות אחד)=1−3359=2659≈0.441P(\text{לפחות אחד})=1-\frac{33}{59}=\frac{26}{59}\approx0.441

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק אחד ירוק", 2⋅1560⋅4559=45118≈0.3812\cdot\frac{15}{60}\cdot\frac{45}{59}=\frac{45}{118}\approx0.381, ולשכוח את המקרה ששניהם שלפו ירוק.

שאלה 3 · משולשים דומים: חלון משולש עם מסגרת

בחזית של בית יש חלון בצורת משולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB=AC).

בתוך החלון מותקנת זכוכית בצורת משולש שווה שוקיים DEFDEF (DE=DFDE=DF). הצלע EFEF מקבילה לצלע BCBC, וזוויות הראש של שני המשולשים שוות: ∠EDF=∠BAC\angle EDF=\angle BAC.

השטח שבין שני המשולשים הוא מסגרת עץ, כמתואר בסרטוט.

ABCDEFK
א.

הסבירו מדוע המשולשים ABCABC ו-DEFDEF הם משולשים דומים.

נתון: AB=AC=65AB=AC=65 ס"מ, BC=50BC=50 ס"מ.

AKAK הוא גובה לצלע BCBC במשולש ABCABC, כמתואר בסרטוט.

ב(1).

מצאו את אורך הגובה AKAK.

ב(2).

חשבו את שטח החלון כולו (△ABC\triangle ABC).

נתון כי אורך הצלע EFEF הוא 30 ס"מ.

ג(1).

מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים ABCABC ו-DEFDEF.

ג(2).

חשבו את שטח הזכוכית (△DEF\triangle DEF).

ד.

חשבו את שטח מסגרת העץ.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

∠BAC=∠EDF\angle BAC=\angle EDF (נתון), וזוויות הבסיס בכל משולש שווה שוקיים הן 180∘−זווית הראש2\frac{180^\circ-\text{זווית הראש}}{2}, ולכן גם ∠B=∠E\angle B=\angle E; לפי ז.ז. המשולשים דומים.

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולכן:

∠B=∠C=180∘−∠BAC2,∠E=∠F=180∘−∠EDF2\angle B=\angle C=\frac{180^\circ-\angle BAC}{2},\qquad \angle E=\angle F=\frac{180^\circ-\angle EDF}{2}

נתון ש-∠BAC=∠EDF\angle BAC=\angle EDF, ולכן גם ∠B=∠E\angle B=\angle E.

יש שני זוגות של זוויות שוות (∠A=∠D\angle A=\angle D, ∠B=∠E\angle B=\angle E), ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז.

טעות נפוצה: לנמק "שני המשולשים שווי שוקיים, ולכן הם דומים" - שני משולשים שווי שוקיים אינם דומים בהכרח (למשל משולש עם זווית ראש 30∘30^\circ ומשולש עם זווית ראש 100∘100^\circ). צריך גם את השוויון של זוויות הראש.

סעיף ב(1)

תשובה:

AK=60AK=60 ס"מ

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס: BK=502=25BK=\frac{50}{2}=25.

במשולש ישר הזווית ABKABK היתר הוא AB=65AB=65:

AK=652−252=4225−625=3600=60AK=\sqrt{65^2-25^2}=\sqrt{4225-625}=\sqrt{3600}=60

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס כניצב: 652−502≈41.53\sqrt{65^2-50^2}\approx41.53.

סעיף ב(2)

תשובה:

15001500 סמ"ר

SABC=BC⋅AK2=50⋅602=1500S_{ABC}=\frac{BC\cdot AK}{2}=\frac{50\cdot60}{2}=1500

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 3,000.

סעיף ג(1)

תשובה:

53\frac53 (כלומר 5:35:3)

הצלע BCBC מתאימה לצלע EFEF (שתיהן מול זוויות הראש השוות):

BCEF=5030=53\frac{BC}{EF}=\frac{50}{30}=\frac53

טעות נפוצה: לחשב את היחס בין השוק ABAB לבסיס EFEF, 6530=136\frac{65}{30}=\frac{13}{6} - אלה אינן צלעות מתאימות.

סעיף ג(2)

תשובה:

540540 סמ"ר

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

SDEF=SABC⋅(35)2=1500⋅925=540S_{DEF}=S_{ABC}\cdot\left(\frac35\right)^2=1500\cdot\frac{9}{25}=540

דרך אחרת: הגובה של DEFDEF הוא 60⋅35=3660\cdot\frac35=36, ו-SDEF=30⋅362=540S_{DEF}=\frac{30\cdot36}{2}=540.

טעות נפוצה: להקטין את השטח ביחס הדמיון עצמו: 1500⋅35=9001500\cdot\frac35=900.

סעיף ד

תשובה:

960960 סמ"ר

S=SABC−SDEF=1500−540=960S=S_{ABC}-S_{DEF}=1500-540=960

טעות נפוצה: לחשב שטח של משולש שהבסיס שלו הוא הפרש הבסיסים והגובה שלו הוא הפרש הגבהים: (50−30)⋅(60−36)2=240\frac{(50-30)\cdot(60-36)}{2}=240 - המסגרת אינה משולש.

שאלה 4 · בניין ואנטנה: שתי זוויות ראייה מאותה נקודה

נועה עומדת בנקודה A, במרחק לא ידוע מבניין. הבסיס של הבניין בנקודה B וראש הבניין בנקודה C.

על גג הבניין מוצבת אנטנה שאורכה 8 מטרים, והקצה העליון שלה בנקודה D. DB מאונך ל-AB (ראו סרטוט).

זווית הגובה מ-A לראש הבניין היא ∠CAB=32∘\angle CAB=32^\circ, וזווית הגובה מ-A לקצה האנטנה היא ∠DAB=41∘\angle DAB=41^\circ.

32°ABCDG
א.

מצאו את המרחק AB.

ב.

מצאו את גובה הבניין BC.

ג.

מצאו את המרחק מנועה לקצה האנטנה (AD).

נועה החלה ללכת מן הנקודה A לכיוון הנקודה B, ועצרה בנקודה G שממנה זווית הגובה לקצה האנטנה היא ∠DGB=60∘\angle DGB=60^\circ.

ד.

מצאו כמה מטרים הלכה נועה מן הנקודה A עד הנקודה G.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

AB≈32.73AB\approx32.73 מטרים

נסמן AB=xAB=x. בכל אחד מהמשולשים ישרי הזווית ABC ו-ABD ידוע הניצב שליד הזווית (xx), והניצב שמול הזווית מובע בעזרתו בטנגנס:

BC=xtan⁡32∘,BD=xtan⁡41∘BC=x\tan32^\circ,\qquad BD=x\tan41^\circ

ההפרש ביניהם הוא אורך האנטנה:

xtan⁡41∘−xtan⁡32∘=8⇒x=8tan⁡41∘−tan⁡32∘≈80.8693−0.6249≈32.73x\tan41^\circ-x\tan32^\circ=8\quad\Rightarrow\quad x=\frac{8}{\tan41^\circ-\tan32^\circ}\approx\frac{8}{0.8693-0.6249}\approx32.73

טעות נפוצה: "לחסר את הזוויות" ולחשב x=8tan⁡9∘≈50.51x=\frac{8}{\tan9^\circ}\approx50.51 - הזווית 9∘9^\circ אינה זווית במשולש ישר זווית שבו 8 הוא ניצב.

סעיף ב

תשובה:

BC≈20.45BC\approx20.45 מטרים

BC=AB⋅tan⁡32∘≈32.73⋅0.6249≈20.45BC=AB\cdot\tan32^\circ\approx32.73\cdot0.6249\approx20.45

(בדיקה: BD=32.73⋅tan⁡41∘≈28.45BD=32.73\cdot\tan41^\circ\approx28.45, ו-28.45−20.45=828.45-20.45=8.)

טעות נפוצה: להשתמש בזווית 41∘41^\circ ולקבל 28.4528.45 - זה הגובה של קצה האנטנה, BD, ולא של הבניין.

סעיף ג

תשובה:

AD≈43.37AD\approx43.37 מטרים

AD הוא היתר במשולש ABD, ו-AB הניצב שליד הזווית 41∘41^\circ:

cos⁡41∘=ABAD⇒AD=32.73cos⁡41∘≈43.37\cos41^\circ=\frac{AB}{AD}\quad\Rightarrow\quad AD=\frac{32.73}{\cos41^\circ}\approx43.37

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, 32.73⋅cos⁡41∘≈24.7032.73\cdot\cos41^\circ\approx24.70 - קצר מהניצב AB, ולכן בלתי אפשרי ליתר.

סעיף ד

תשובה:

כ-16.3 מטרים

במשולש ישר הזווית GBD ידוע הניצב BD≈28.45BD\approx28.45 שמול הזווית 60∘60^\circ, והנעלם הוא הניצב שליד הזווית:

tan⁡60∘=BDGB⇒GB=28.45tan⁡60∘≈16.43\tan60^\circ=\frac{BD}{GB}\quad\Rightarrow\quad GB=\frac{28.45}{\tan60^\circ}\approx16.43

נועה הלכה את ההפרש בין המרחק ההתחלתי למרחק הנותר:

AG=AB−GB≈32.73−16.43=16.3AG=AB-GB\approx32.73-16.43=16.3

טעות נפוצה: לעצור ב-GB≈16.43GB\approx16.43 - זה המרחק שנשאר לה עד הבניין, לא המרחק שהלכה.

שאלה 5 · סטטיסטיקה: דיאגרמת עיגול, ממוצע וחציון בבית קפה

בבית קפה נמכרו ביום מסוים משקאות מארבעה סוגים.

בדיאגרמת העיגול שלפניכם מוצגת התפלגות המכירות בבית הקפה באותו יום לפי סוג המשקה.

15%35%30%?‫תה‬‫מיץ‬‫קפה‬‫שייק‬
א.

מהו אחוז השייקים מתוך כלל המשקאות שנמכרו באותו יום?

בטבלה שלפניכם מוצגים המחירים של ארבעת סוגי המשקאות.

באותו יום נמכרו 300 משקאות סך הכול.

סוג המשקהתהמיץקפהשייק
מחיר המשקה (בשקלים)8101220
מספר המשקאות
ב.

העתיקו את הטבלה למחברת הבחינה והשלימו אותה.

ג(1).

חשבו את המחיר הממוצע של כל המשקאות שנמכרו באותו יום.

ג(2).

חשבו את חציון המחירים של המשקאות שנמכרו באותו יום.

בסוף אותו היום נמכרו בבית הקפה 40 שייקים נוספים. השייקים הנוספים נמכרו בהנחה של 50% לכל שייק.

ד.

האם לאחר מכירת השייקים הנוספים, המחיר הממוצע של כל המשקאות שנמכרו באותו היום גדל או קטן? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

20%

סכום הגזרות בדיאגרמת עיגול הוא 100%:

100%−15%−35%−30%=20%100\%-15\%-35\%-30\%=20\%

טעות נפוצה: לענות 80% - זה סכום שלוש הגזרות הנתונות, ולא החלק שחסר להן עד 100%.

סעיף ב

תשובה:

תה: 45, מיץ: 105, קפה: 90, שייק: 60

תה: 0.15⋅300=450.15\cdot300=45. מיץ: 0.35⋅300=1050.35\cdot300=105. קפה: 0.30⋅300=900.30\cdot300=90. שייק: 0.20⋅300=600.20\cdot300=60.

בדיקה: 45+105+90+60=30045+105+90+60=300.

סוג המשקהתהמיץקפהשייק
מחיר המשקה (בשקלים)8101220
מספר המשקאות451059060

טעות נפוצה: לרשום את האחוזים כמספר המשקאות (15, 35, 30, 20). סכומם 100, ולא 300.

סעיף ג(1)

תשובה:

12.3 שקלים

xˉ=45⋅8+105⋅10+90⋅12+60⋅20300=360+1,050+1,080+1,200300=3,690300=12.3\bar x=\frac{45\cdot8+105\cdot10+90\cdot12+60\cdot20}{300}=\frac{360+1{,}050+1{,}080+1{,}200}{300}=\frac{3{,}690}{300}=12.3

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי שכיחויות, 8+10+12+204=12.5\frac{8+10+12+20}{4}=12.5.

סעיף ג(2)

תשובה:

11 שקלים

300 נתונים - החציון הוא הממוצע של הנתונים במקומות ה-150 וה-151 (אחרי סידור המחירים מהקטן לגדול).

8 שקלים - מקומות 1-45; 10 שקלים - מקומות 46-150; 12 שקלים - מקומות 151-240; 20 שקלים - מקומות 241-300.

Me=10+122=11\text{Me}=\frac{10+12}{2}=11

טעות נפוצה: לקחת רק את הנתון במקום ה-150 ולענות 10.

סעיף ד

תשובה:

קטן: מחיר שייק בהנחה הוא 10 שקלים, פחות מהממוצע 12.312.3

מחיר שייק אחרי הנחה של 50%: 20⋅0.5=1020\cdot0.5=10 שקלים.

כל הנתונים שנוספו (10) קטנים מהממוצע הקודם (12.3), ולכן הממוצע קטן.

בדיקה:

xˉnew=3,690+40⋅10340=4,090340≈12.03<12.3\bar x_{\text{new}}=\frac{3{,}690+40\cdot10}{340}=\frac{4{,}090}{340}\approx12.03<12.3

טעות נפוצה: להשוות את המחיר המלא של שייק (20 שקלים) לממוצע ולהסיק שהממוצע גדל - ולשכוח את ההנחה.

שאלה 6 · המודל הליניארי: תשלום לא ידוע ונקודת השוויון

שתי קבוצות כדורסל - קבוצה א' וקבוצה ב' - אוספות כסף לקניית מדים.

בקופה של קבוצה א' היו 7,200 שקלים, ונוסף על כך כל שחקן בקבוצה משלם 450 שקלים.

בקופה של קבוצה ב' היו 2,700 שקלים, ונוסף על כך כל שחקן בקבוצה משלם סכום קבוע, אחר מזה של קבוצה א'.

ידוע שכאשר 15 שחקנים שילמו בכל קבוצה, הסכום הכולל בשתי הקופות היה שווה.

א.

כמה משלם כל שחקן בקבוצה ב'?

ב.

נסמן ב-xx את מספר השחקנים ששילמו בכל קבוצה. כתבו ביטוי אלגברי לסכום הכולל בקופה של כל קבוצה.

ג.

לאילו ערכים של xx הסכום בקופה של קבוצה א' גדול מן הסכום בקופה של קבוצה ב'?

המחיר של מדים לקבוצה הוא 16,000 שקלים.

ד.

בכל קבוצה יש nn שחקנים, וכולם שילמו. לאילו ערכים של nn רק בקופה של קבוצה ב' יהיה סכום שמספיק לקניית המדים?

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

750 שקלים

נסמן ב-pp את הסכום שמשלם כל שחקן בקבוצה ב'. כש-15 שחקנים שילמו:

7,200+450⋅15=2,700+15p⇒13,950=2,700+15p⇒15p=11,250⇒p=7507{,}200+450\cdot15=2{,}700+15p\quad\Rightarrow\quad13{,}950=2{,}700+15p\quad\Rightarrow\quad15p=11{,}250\quad\Rightarrow\quad p=750

טעות נפוצה: להשוות את 2,700 + התשלומים של קבוצה ב' רק לסכום ההתחלתי של קבוצה א': 2,700+15p=7,2002{,}700+15p=7{,}200, ומקבלים p=300p=300 - בקופה של קבוצה א' כבר נוספו גם 15 תשלומים של 450.

סעיף ב

תשובה:

א': 7,200+450x7{,}200+450x; ב': 2,700+750x2{,}700+750x

א’: y=7,200+450xב’: y=2,700+750x\text{א'}:\ y=7{,}200+450x\qquad\text{ב'}:\ y=2{,}700+750x

טעות נפוצה: לכתוב לקבוצה ב' 2,700x+7502{,}700x+750 - הסכום ההתחלתי אינו מוכפל במספר השחקנים.

סעיף ג

תשובה:

כשמספר השחקנים ששילמו קטן מ-15 (0≤x<150\le x<15)

7,200+450x>2,700+750x⇒4,500>300x⇒x<157{,}200+450x>2{,}700+750x\quad\Rightarrow\quad4{,}500>300x\quad\Rightarrow\quad x<15

כלומר כל עוד שילמו פחות מ-15 שחקנים בכל קבוצה, הקופה של קבוצה א' גדולה יותר; ב-15 הן שוות, ומעבר לכך הקופה של קבוצה ב' גדולה יותר, כי כל שחקן בה מוסיף יותר.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון אי-השוויון ולענות x>15x>15 - בדיקה עם x=0x=0 מראה שבהתחלה דווקא לקבוצה א' יש יותר (7,200 מול 2,700).

סעיף ד

תשובה:

n=18n=18 או n=19n=19

קבוצה ב' מספיקה כאשר

2,700+750n≥16,000⇒n≥17.73⇒n≥182{,}700+750n\ge16{,}000\quad\Rightarrow\quad n\ge17.73\quad\Rightarrow\quad n\ge18

קבוצה א' מספיקה כאשר

7,200+450n≥16,000⇒n≥19.56⇒n≥207{,}200+450n\ge16{,}000\quad\Rightarrow\quad n\ge19.56\quad\Rightarrow\quad n\ge20

רק קבוצה ב' מספיקה כש-n≥18n\ge18 אבל n<20n<20, כלומר n=18n=18 או n=19n=19.

בדיקה: n=19n=19: קבוצה ב' 16,950≥16,00016{,}950\ge16{,}000, קבוצה א' 15,750<16,00015{,}750<16{,}000; n=20n=20: קבוצה א' 16,20016{,}200 - כבר שתיהן מספיקות.

טעות נפוצה: לענות n≥18n\ge18 - אבל מ-20 שחקנים גם הקופה של קבוצה א' מספיקה, ואז לא רק קבוצה ב'.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.