מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 17 מעל רמת בגרות

לכל נתון מוצאים ציון תקן בטבלה.

$\Phi(z_1)=0.6554$: $z_1=0.4$.

2.28% ארוכים מ-30 ס"מ, ולכן משמאל ל-30 נמצאים 97.72%: $\Phi(z_2)=0.9772$, $z_2=2$.

כותבים לכל ערך $X=\mu+z\sigma$ ומקבלים מערכת:

מחסרים: $8=1.6\sigma$, ולכן $\sigma=5$, ומשם $\mu=22-0.4\cdot5=20$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.0228 ולקבל $z_2=-2$. אז $30=\mu-2\sigma$, והמערכת נותנת $\sigma\approx-3.33$ - סטיית תקן שלילית, סימן לכך שהשטח נלקח מהצד הלא נכון.

מימין ל-$c$ צריכים להיות 20% מהפרחים, ולכן משמאלו 80%: $\Phi(z)=0.8$.

בטבלה: $\Phi(0.84)=0.7995$, הערך הקרוב ביותר, ולכן $z\approx0.84$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.2, לקבל $z=-0.84$ ומשם $c=15.8$ - זה גבול שמתחתיו 20% מהפרחים, והוא אפילו קטן מ-22.

התנאי: הפרח אינו בקבוצה א', כלומר אורכו לפחות 22 ס"מ:

המאורע "בקבוצה ג'" (ארוך מ-24.2) מוכל בתנאי, ולכן החיתוך הוא המאורע עצמו, שהסתברותו 0.2:

טעות נפוצה: לענות 0.2 - זו ההסתברות שפרח כלשהו בקבוצה ג', בלי להתחשב במידע שהוא אינו בקבוצה א'.

הממוצע במשתלה האחרת הוא 20 ס"מ (סעיף א), אבל סטיית התקן שלה לא ידועה. מוצאים אותה מהנתון.

20% ארוכים מ-22, ולכן $\Phi(z)=0.8$ ו-$z\approx0.84$ (כמו בסעיף ב):

ציון התקן של 17 ס"מ:

$\Phi(-1.26)=1-0.8962=0.1038$, כלומר 10.38%.

טעות נפוצה: להניח שסטיית התקן זהה לזו של המשתלה הראשונה ($\sigma=5$). אז $z=-0.6$ ומתקבל 27.43%.

שני הניבויים הם שתי נקודות על ישר הרגרסיה: $(3,16)$ ו-$(7,34)$.

משוואת הישר: $y=4.5x+2.5$.

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע כ-$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{4}{18}\approx0.22$ ולקבל $y\approx0.22x+15.3$.

ממוצע ערכי $x$ של 6 התלמידים: $\bar x=\frac{1+3+5+5+7+9}{6}=\frac{30}{6}=5$.

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים, ולכן $\bar y=4.5\cdot5+2.5=25$.

טעות נפוצה: לחשוב שהנקודה של התלמיד השישי נמצאת על ישר הרגרסיה ולקבל $k=4.5\cdot9+2.5=43$. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים, לא בכל נקודה.

סטיות $x$ מהממוצע 5: $-4,-2,0,0,2,4$; סכום ריבועים $40$, ולכן $S_x^2=\frac{40}{6}$.

סטיות $y$ מהממוצע 25: $-15,-10,-5,5,0,25$; סכום ריבועים $225+100+25+25+0+625=1000$, ולכן $S_y^2=\frac{1000}{6}$.

השיפוע הוא $r\cdot\frac{S_y}{S_x}$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב $r=4.5\cdot\frac{S_y}{S_x}=4.5\cdot5=22.5$ - ערך גדול מ-1, ולכן הנוסחה הופעלה הפוך.

כפל כל ערכי $y$ ב-2 מכפיל את $\bar y$ ואת $S_y$ ב-2, ואינו משנה את הסידור היחסי של הנקודות - $r$ לא משתנה: $r=0.9$.

השיפוע החדש: $r\cdot\frac{2S_y}{S_x}=2\cdot4.5=9$.

הממוצע החדש: $\bar y'=50$, ו-$\bar x=5$. הישר עובר ב-$(5,50)$:

משוואת הישר: $y=9x+5$ (בדיוק פי 2 מהישר המקורי $4.5x+2.5$).

טעות נפוצה: להכפיל רק את השיפוע ולהשאיר את החותך: $y=9x+2.5$. אז הישר לא עובר בנקודת הממוצעים החדשה $(5,50)$.

פגיעה בשני - שני מסלולים: פגיעה ואז פגיעה, או החטאה ואז פגיעה:

אבל כל ההסתברויות בעץ צריכות להיות בין 0 ל-1: $P+0.15\le1$ ו-$P-0.15\ge0$, כלומר $0.15\le P\le0.85$.

לכן: $0.5<P\le0.85$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$1.3P-0.15>P$ ולענות שהתחום הוא $P>0.5$ (כלומר $0.5<P\le1$) - אבל עבור $P=0.9$, למשל, הסתברות הפגיעה אחרי פגיעה היא $1.05$, שאינה הסתברות.

בדיוק בחץ אחד: פגיעה ואז החטאה, או החטאה ואז פגיעה:

$P=0.7$ או $P=0.3$

שני הערכים בין 0.15 ל-0.85, אבל לפי סעיף א ההסתברות בחץ השני גדולה מבראשון רק כש-$P>0.5$. לכן $P=0.7$.

טעות נפוצה: לבחור $P=0.3$ - אז ההסתברות לפגוע בחץ השני היא $1.3\cdot0.3-0.15=0.24<0.3$, בניגוד לנתון.

עם $P=0.7$: החטאה ואז פגיעה: $0.3\cdot0.55=0.165$; פגיעה ואז החטאה: $0.7\cdot0.15=0.105$ (סכום $0.27$, כנתון).

נסמן: $A$ - פגע בשני, $B$ - פגע בדיוק בחץ אחד.

טעות נפוצה: להציב במונה את המסלול "פגיעה ואז החטאה" ולקבל $\frac{0.105}{0.27}=\frac{7}{18}$ - זו ההסתברות שפגע בחץ הראשון.

$\angle AOD=90^\circ$ - הזווית בין הצירים.

$CB$ מקביל לציר ה-$x$, וציר ה-$x$ מאונך לציר ה-$y$, ולכן גם $CB\perp$ ציר ה-$y$: $\angle CED=90^\circ$.

$\angle ADO=\angle CDE$ - זוויות קודקודיות.

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן $\Delta AOD\sim\Delta CED$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow E$, $D\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר קודקודים שגוי, $\Delta AOD\sim\Delta DEC$. הזווית הישרה ב-$O$ מתאימה לזווית הישרה ב-$E$, והזווית ב-$D$ לזווית ב-$D$ - ובסדר השגוי היחסים שנכתבים אחר כך יוצאים לא נכונים.

$D$ - חיתוך $AC$ עם ציר ה-$y$: $x=0$ נותן $y=3$, כלומר $D(0,3)$ ו-$DO=3$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $DE=\frac12\cdot3=1.5$.

$E$ על ציר ה-$y$, מעל $D$, במרחק 6 ממנה: $y_E=3+6=9$, כלומר $E(0,9)$.

$CB$ מקביל לציר ה-$x$ ועובר דרך $E$: $y=9$.

טעות נפוצה: לסמן את $E$ מתחת ל-$D$ ולכתוב $y=3-6=-3$. לפי הסרטוט $E$ מעל $D$.

$A$: מציבים $y=0$ במשוואת $AC$: $0=-1.5x+3$, ולכן $A(2,0)$.

$m_{AB}\cdot(-1.5)=-1$, ולכן $m_{AB}=\frac{1}{1.5}=\frac23$.

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן, $m_{AB}=-\frac23$, ולקבל $y=-\frac23x+1\frac13$.

$\angle CDE=\angle ODA$ (קודקודיות). במשולש $AOD$: $OA=2$ מול הזווית, $OD=3$ לידה:

טעות נפוצה: לחשב $\tan=\frac{OD}{OA}=\frac32$ ולקבל $56.31^\circ$ - הזווית ב-$A$.

$B$: מציבים $y=9$ במשוואת $AB$: $9=\frac23x-\frac43$, ולכן $x=15.5$ ו-$B(15.5,9)$.

הטרפז $OABE$: בסיסים $OA=2$ ו-$EB=15.5$, גובה $OE=9$:

טעות נפוצה: לחשב רק את הטרפז $OABE$ ולענות 78.75.

$y=0$: $(x-5)^2+144=169$, $(x-5)^2=25$, $x=10$ או $x=0$. $A$ על החלק החיובי של הציר: $A(10,0)$.

$M(5,12)$ אמצע $AB$: $B=(2\cdot5-10,\ 2\cdot12-0)=(0,\ 24)$.

טעות נפוצה: לשקף את $M$ דרך $A$ במקום את $A$ דרך $M$ - $B=2A-M=(15,-12)$ - נקודה שאינה על המעגל ($10^2+24^2\ne169$).

המשיק עובר ב-$B(0,24)$, שעל ציר ה-$y$: $y=\frac{5}{12}x+24$.

$y=0$: $\frac{5}{12}x=-24$, $x=-57.6$. $C(-57.6,\ 0)$.

טעות נפוצה: לקחת את שיפוע הרדיוס כשיפוע המשיק, $y=-\frac{12}{5}x+24$, ולקבל ישר שחותך את ציר ה-$x$ ב-$(10,0)$ - כלומר ב-$A$ עצמה; ישר כזה מכיל את הקוטר.

$\angle ABC=90^\circ$: המשיק $BC$ מאונך לרדיוס $MB$, ו-$MB$ מונח על $AB$.

$\angle ADB=90^\circ$: זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AB$.

$\angle BAC=\angle DAB$: $AB$ חוצה את הזווית $DAC$.

לכן $\triangle ABC\sim\triangle ADB$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow B$.

טעות נפוצה: להסתפק בזווית הישרה ובזווית המשותפת "$\angle A$" בלי לנמק שהיא אותה זווית - בשני המשולשים הזווית ב-$A$ היא זווית אחרת ($\angle BAC$ ו-$\angle DAB$), והשוויון ביניהן נובע מחוצה הזווית.

שטח $ABC$: הבסיס $AC=10-(-57.6)=67.6$ על ציר ה-$x$, והגובה הוא שיעור ה-$y$ של $B$, כלומר 24:

יחס הדמיון: $AC$ מתאים ל-$AB=2\cdot13=26$, ולכן $k=\frac{67.6}{26}=2.6$:

טעות נפוצה: לחלק ביחס הדמיון עצמו - $\frac{811.2}{2.6}=312$.

מהדמיון (סעיף ג): $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$, ולכן

$D$ נמצאת על המעגל הנתון ועל מעגל שמרכזו $A(10,0)$ ורדיוסו 10:

מחסרים: $10x-24y=0$, כלומר $y=\frac{5}{12}x$. מציבים במשוואה השנייה:

$x=0$ (ואז $y=0$) או $x=\frac{2880}{169}\approx17.04$ (ואז $y=\frac{1200}{169}\approx7.10$).

הנקודה $(0,0)$ נמצאת על הישר $AC$ עצמו (שם הזווית $DAC$ הייתה אפס), ולכן $D\left(\frac{2880}{169},\ \frac{1200}{169}\right)\approx(17.04,\ 7.10)$.

בדיקה: $DB=\sqrt{26^2-10^2}=24$, ו-$\frac12\cdot10\cdot24=120$ כמו בסעיף ד.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $(0,0)$ - הוא עקב האנך מ-$B$ לציר ה-$x$; גם שם הזווית ישרה, אבל הנקודה על הישר $AC$ ולא בצד השני של $AB$.

המכנה מתאפס כש-$x-1=0$, ולכן תחום ההגדרה: $x\neq1$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq-1$ (טעות סימן).

אנכית: ב-$x=1$ המכנה מתאפס והמונה $1+3=4\neq0$, ולכן $x=1$.

אופקית: במונה $x^2+3$ ובמכנה $x^2-2x+1$ - מעלות שוות, ויחס המקדמים המובילים $\frac11$: $y=1$.

טעות נפוצה: לחשוב שבגלל הריבוע המכנה "גדול יותר" ולכתוב $y=0$.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$ רק כשהמונה מתאפס, אבל $x^2+3\ge3>0$ לכל $x$ - אין נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$.

ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{3}{1}=3$ - $(0,3)$.

טעות נפוצה: לפתור $x^2+3=0$ כאילו היה $x^2-3=0$ ולכתוב את הנקודות $(\pm\sqrt3,0)$ - אבל $f(\sqrt3)=\frac{6}{(\sqrt3-1)^2}\neq0$.

מוציאים $2(x-1)$ ומצמצמים:

$f'=0\iff x=-3$. טבלת סימנים עם $x=-3$ ו-$x=1$:

$x<-3$: מונה חיובי, מכנה שלילי - $f'<0$ יורדת. $-3<x<1$: מונה שלילי, מכנה שלילי - $f'>0$ עולה. $x>1$: מונה שלילי, מכנה חיובי - $f'<0$ יורדת.

ב-$x=-3$ מעבר מירידה לעלייה: $f(-3)=\frac{9+3}{16}=\frac34$, ולכן $\min\left(-3,\frac34\right)$.

סקיצה: משמאל ל-$x=1$ הגרף יורד מ-$y=1$ (מתחתיה) עד $\left(-3,\frac34\right)$, עולה, חוצה את $y=1$ (ב-$x=-1$), עובר ב-$(0,3)$ ושואף לאינסוף ליד $x=1$; מימין ל-$x=1$ יורד מאינסוף ומתקרב ל-$y=1$ מלמעלה.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר בכלל המנה, לקבל $f'(x)=\frac{2(x+3)}{(x-1)^3}$ ולסווג את $\left(-3,\frac34\right)$ כמקסימום.

שיקוף ביחס לציר ה-$x$ משאיר את האסימפטוטה האנכית $x=1$ והופך את $y=1$ ל-$y=-1$.

טעות נפוצה: לשקף גם את האנכית ולכתוב $x=-1$, $y=-1$.

משקפים את הסקיצה של $f$ ביחס לציר ה-$x$: נקודת המינימום $\left(-3,\frac34\right)$ הופכת לנקודת מקסימום $\left(-3,-\frac34\right)$, ו-$(0,3)$ הופכת ל-$(0,-3)$.

משמאל ל-$x=1$ הגרף עולה מ-$y=-1$ (מעליה) עד $\left(-3,-\frac34\right)$, יורד דרך $(0,-3)$ ושואף למינוס אינסוף ליד $x=1$; מימין ל-$x=1$ עולה ממינוס אינסוף ומתקרב ל-$y=-1$ מלמטה.

טעות נפוצה: להשאיר את נקודת הקיצון במקומה, $\left(-3,\frac34\right)$, ורק להחליף את סוגה - היא אינה על ציר ה-$x$, ולכן השיקוף מעביר אותה ל-$\left(-3,-\frac34\right)$.

$f'(x)=3x^2-6x+5$. משלימים לריבוע: $f'(x)=3(x^2-2x+1)+2=3(x-1)^2+2$.

לכל $x$, $f'(x)\ge2>0$, ולכן $f$ עולה תמיד ואין לה קיצון.

שיפוע המשיק בנקודה הוא $f'(x)$, והערך הקטן ביותר של $f'$ הוא 2 (כש-$x=1$).

טעות נפוצה: לענות שהשיפוע הקטן ביותר הוא 5 - הערך של $f'(0)$, המקדם החופשי של הנגזרת, ולא המינימום שלה.

משיק בשיפוע $m$ קיים בכל נקודה שבה $f'(x)=m$: $3(x-1)^2+2=m$, כלומר $(x-1)^2=\frac{m-2}{3}$.