מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 16 מעל רמת בגרות

בשקיות נארזים התפוחים שקוטרם קטן מ-8 ס"מ: מחפשים את $P(X<8)$.

בטבלה המצטברת: $\Phi(0.6)=0.7257$.

72.57% מהתפוחים נארזים בשקיות.

טעות נפוצה: לענות $1-0.7257$, כלומר 27.43% - זה אחוז התפוחים שנארזים בארגזים.

הקטנים במיוחד הם שליש מתוך התפוחים שקוטרם קטן מ-8 ס"מ, ולפי סעיף א אלה 72.57% מכל התפוחים.

טעות נפוצה: לענות 33.33% - השליש נלקח מתוך התפוחים הקטנים מ-8 ס"מ, לא מכל התפוחים.

הקטנים במיוחד הם 24.19% התפוחים הקטנים ביותר, ולכן הקוטר המבוקש הוא הערך שמשמאלו שטח 0.2419.

השטח קטן מחצי, ולכן ציון התקן שלילי. בטבלה $\Phi(0.70)=0.7580$, ולכן $\Phi(-0.70)=0.2420\approx0.2419$: $z=-0.7$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולקבל $x=7.1+1.05=8.15$ ס"מ - קוטר גדול מ-8, שאינו יכול להיות של תפוח שנארז בשקית.

בהתפלגות נורמלית חצי מהערכים קטנים מהממוצע (סימטריה), ולכן במשלוח החדש $\mu=7.6$.

10.03% גדולים מ-9.84, ולכן השטח משמאל ל-9.84 הוא $1-0.1003=0.8997$.

בטבלה: $\Phi(1.28)=0.8997$, ולכן $z=1.28$.

טעות נפוצה: להשתמש בממוצע של המשלוח הקודם, 7.1, ולקבל $\sigma=\frac{9.84-7.1}{1.28}\approx2.14$.

$\bar x=\frac{150}{6}=25$. סטיות: $\pm1,\pm3,\pm5$, סכום ריבועים 70, ולכן $S_x=\sqrt{\frac{70}{6}}\approx3.416$.

ממוצע $y$ לא ניתן ישירות, אבל ישר הרגרסיה תמיד עובר בנקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)$:

טעות נפוצה: לחשב את סטיית התקן בחלוקה ב-5 ולקבל $S_x=\sqrt{14}\approx3.742$.

השיפוע של ישר הרגרסיה קשור למקדם המתאם ולסטיות התקן:

טעות נפוצה: להשתמש ביחס ההפוך, $m=r\cdot\frac{S_x}{S_y}$, ולקבל $S_y=\frac{0.9\cdot3.416}{0.15}\approx20.5$ ליטר - פיזור שאינו אפשרי לצריכת מים יומית.

$w=4-y=-1\cdot y+4$: כפל בקבוע שלילי ואז הוספת קבוע.

הוספת קבוע לא משנה את המתאם. כפל ב-$(-1)$ הופך כל סטייה מהממוצע לסטייה הפוכה בסימנה, ולכן סכום מכפלות הסטיות מחליף סימן, בעוד שסטיית התקן לא משתנה ($S_w=S_y$). לכן $r_{xw}=-0.9$.

גם השיפוע מחליף סימן: $m_w=r_{xw}\cdot\frac{S_w}{S_x}=-0.15$.

$\bar w=4-2.5=1.5$, והישר עובר ב-$(25,\,1.5)$:

(בדיקה: $w=4-(0.15x-1.25)=-0.15x+5.25$ - אותו ישר.)

טעות נפוצה: לקבוע ש-$r$ לא משתנה "כי מקדם המתאם לא תלוי בשינוי יחידות" ולענות $r=0.9$. כפל בקבוע שלילי הופך את כיוון הקשר: ביום חם נשאר פחות מים.

ישר הרגרסיה חושב מנתונים שבהם $20\le x\le30$. בתחום זה הקשר קרוב ללינארי ($r=0.9$), אבל אין לנו מידע על ימים חמים יותר - ייתכן שצריכת המים שם מתנהגת אחרת. ניבוי מחוץ לתחום הנתונים (אקסטרפולציה) אינו אמין.

טעות נפוצה: לטעון שהניבוי אמין כי $r=0.9$ קרוב ל-1. מקדם המתאם מתאר את הקשר רק בתחום שבו נאספו הנתונים.

נסמן: $M$ - נבחר גבר, $W$ - נבחרה אישה, $S$ - הנבחר מעוניין להצטרף לחוג.

נסמן ב-$x$ את מספר הגברים. מספר הנשים גדול פי 4, כלומר $4x$, וסך המשתתפים $5x$:

טעות נפוצה: לפרש "קטן פי 4" כ"רבע מהמשתתפים" ולקחת $P(M)=\frac14$. אז $P(M\cap S)=0.175$, ומקבלים $P(W\cap S)=0.38-0.175=0.205$.

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי ולענות $0.38$ - זה שיעור המעוניינים בקרב כל המשתתפים, לא בקרב הנשים.

בלי מידע נוסף: $P(W)=0.8$.

כשידוע שהנבחר מעוניין להצטרף:

$0.632\ne0.8$, ולכן ההסתברות משתנה (קטנה) - המאורעות תלויים. בקרב הנשים שיעור המעוניינים (0.3) נמוך מאשר בקרב הגברים (0.7).

טעות נפוצה: לענות "לא משתנה, נשארת $0.8$" כי הנשים עדיין ארבע חמישיות מהמשתתפים - בלי לחשב את $P(W\mid S)$.

רונית היא אישה: הסיכוי שלה הוא $P(S\mid W)=0.3$ (סעיף ב).

יוסי הוא גבר: הסיכוי שלו נתון, $P(S\mid M)=0.7$.

$0.7>0.3$, ולכן ליוסי סיכוי גבוה יותר.

טעות נפוצה: להשוות את הסתברויות החיתוך $P(M\cap S)=0.14$ ו-$P(W\cap S)=0.24$ ולקבוע שלרונית סיכוי גבוה יותר - החיתוך גדול אצל הנשים רק כי יש יותר נשים.

$AB\parallel CD$, ולכן $\sphericalangle ABC+\sphericalangle BCD=180^\circ$ (זוויות חד-צדדיות).

$BE$ ו-$CE$ חוצי זוויות, ולכן $\sphericalangle EBC+\sphericalangle ECB=\frac12\big(\sphericalangle ABC+\sphericalangle BCD\big)=90^\circ$.

במשולש $BEC$: $\sphericalangle BEC=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.

טעות נפוצה: לחצות רק את הזווית $ABC$ ולכתוב $\sphericalangle EBC+\sphericalangle ECB=\frac12\sphericalangle ABC+\sphericalangle BCD=90^\circ+\frac12\sphericalangle BCD$, ומקבלים $\sphericalangle BEC=90^\circ-\frac12\sphericalangle BCD$ - גם $CE$ חוצה זווית, ולכן מחצים את שתיהן.

לפי סעיף א, $EC\perp EB$. $m_{EB}=\frac{6-4}{3-2}=2$, ולכן $m_{EC}=-\frac12$:

$C$ על ציר ה-$x$: $0-4=-\frac12(x-2)$, $x=10$. $C(10,0)$.

טעות נפוצה: לתת ל-$EC$ שיפוע $\frac12$ (בלי החלפת סימן), ולקבל $C(-6,0)$.

מורידים מ-$E$ אנך $EF$ לצלע $BC$.

המשולשים $ABE$ ו-$FBE$: $\sphericalangle BAE=\sphericalangle BFE=90^\circ$, $\sphericalangle ABE=\sphericalangle FBE$ ($BE$ חוצה זווית), ו-$BE$ צלע משותפת. לכן הם חופפים (ז.ז.צ.), ו-$AB=FB$, $AE=FE$.

באותו אופן המשולשים $DCE$ ו-$FCE$ חופפים: $CD=CF$, $DE=FE$.

לכן $AB+CD=BF+FC=BC$ ($F$ בין $B$ ל-$C$), ו-$AE=EF=ED$ - כלומר $E$ אמצע $AD$.

טעות נפוצה: לנסות להוכיח $AE=ED$ מחפיפת המשולשים $ABE$ ו-$DCE$ - הם אינם חופפים (רק ישרי זווית), ולכן הדרך עוברת דרך האנך $EF$.

לפי סעיף ג: $AB+CD=BC$, והגובה $AD=2EF$, כאשר $EF$ הגובה של המשולש $BEC$ לצלע $BC$.

המשולש $BEC$ ישר זווית ב-$E$: $EB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$, $EC=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת שטח הטרפז: $(AB+CD)\cdot AD=BC\cdot2EF=40$.

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות $180^\circ$: $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$, והן שוות - לכן כל אחת $90^\circ$.

$\angle ABC$ היא זווית היקפית ישרה הנשענת על $AC$, ולכן $AC$ קוטר.

טעות נפוצה: לטעון שהזוויות שוות כי הן "נשענות על אותה קשת" - הן נשענות על שתי הקשתות המשלימות של $AC$, ובלי משפט הזוויות הנגדיות לא מגיעים ל-$90^\circ$.

$AC$ קוטר, ולכן המרכז הוא אמצע $AC$: $M=\left(\frac{4-8}{2},\frac{3-1}{2}\right)=(-2,1)$.

המשוואה: $(x+2)^2+(y-1)^2=40$.

טעות נפוצה: להציב כ-$R^2$ את ריבוע הקוטר $AC^2=160$.

על ציר ה-$y$ מציבים $x=0$:

לפי הסרטוט $B$ למעלה: $B(0,7)$, $D(0,-5)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ ולקבל $(x+2)^2=39$, $x=-2\pm\sqrt{39}$ - אלה נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$.

הזווית ההיקפית $ABD$ נשענת על הקשת $AD$, כמו הזווית המרכזית $AMD$.

שיפוע $MA$: $\frac{3-1}{4+2}=\frac13$. שיפוע $MD$: $\frac{-5-1}{0+2}=-3$. המכפלה $-1$, ולכן $\angle AMD=90^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $90^\circ$ - זו הזווית המרכזית ולא ההיקפית.

$A$, $E$ ו-$C$ על האלכסון $AC$. הבסיסים: $AE$ במשולש $EDA$ ו-$EC$ במשולש $EDC$.

הגובה לשניהם הוא האנך $h$ מ-$D$ לישר $AC$:

טעות נפוצה: להסיק שהשטחים שווים כי לשני המשולשים צלע משותפת $DE$ - צלע משותפת אינה גובה משותף.

באסימפטוטה אנכית המכנה מתאפס (והמונה $1\ne0$):

טעות נפוצה: להציב $x=1$ ולאבד סימן: $-1-a-8=0$, כלומר $a=-9$ - ואז המכנה $-x^2-9x-8$ מתאפס ב-$-1$ וב-$-8$, לא ב-1.

המכנה: $-x^2+9x-8=-(x-1)(x-8)$, ולכן אסימפטוטות אנכיות $x=1$, $x=8$. מעלות שוות: $y=\frac{1}{-1}=-1$.

$f'=0$ ב-$x=0$ וב-$x=\frac{16}9$. $x<0$: עולה; $0<x<\frac{16}9$ (חוץ מ-1): יורדת; $x>\frac{16}9$ (חוץ מ-8): עולה.

$\max(0,0)$. במינימום: $-\frac{256}{81}+16-8=\frac{-256+648}{81}=\frac{392}{81}$, ולכן $f\left(\frac{16}9\right)=\frac{256}{392}=\frac{32}{49}$: $\min\left(\frac{16}9,\frac{32}{49}\right)$.

טעות נפוצה: לכתוב אסימפטוטה אופקית $y=1$ (להתעלם מהמקדם $-1$).

מתארים את טווח הערכים של כל ענף (מסעיף ב):

$x<0$: עולה מ-$-1$ (לא כולל) עד 0, כלומר ערכים בתחום $(-1,0]$.

$0<x<1$: יורדת מ-0 ל-$-\infty$ (המכנה שלילי שם) - כל ערך שלילי פעם אחת.

$1<x<8$: המכנה חיובי - "קערה" מ-$+\infty$ למינימום $\frac{32}{49}$ ובחזרה ל-$+\infty$: כל ערך גדול מ-$\frac{32}{49}$ פעמיים.

$x>8$: עולה מ-$-\infty$ אל $-1$ מלמטה ($f+1=\frac{9x-8}{-x^2+9x-8}<0$): כל ערך קטן מ-$-1$ פעם אחת.

סופרים: $m>\frac{32}{49}$ - שני פתרונות (בענף האמצעי). $0<m\le\frac{32}{49}$ - אף אחד או אחד. $m=0$ - אחד. $-1<m<0$ - אחד בענף $x<0$ ואחד ב-$0<x<1$: שניים. $m=-1$ - רק ב-$0<x<1$ ($x=\frac89$): אחד. $m<-1$ - אחד ב-$0<x<1$ ואחד ב-$x>8$: שניים.

טעות נפוצה: לשכוח את הענף הימני (שערכיו מתחת ל-$-1$) ולענות רק $m>\frac{32}{49}$ או $-1<m<0$.

כש-$x<0$ הנגזרת חיובית ומתאפסת ב-0, ולכן השטח הוא $\int_t^0f'(x)\,dx=f(0)-f(t)=-f(t)$.

$t=\frac45$ נפסל ($t<0$), ולכן $t=-8$. בדיקה: $f(-8)=\frac{64}{-144}=-\frac49$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(t)=\frac49$ (בלי הסימן) ולקבל $13t^2-36t+32=0$, שאין לה פתרון - ולהסיק שאין $t$ כזה.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי: $x\ge0$.

טעות נפוצה: לדרוש שגם הגורם $\sqrt x-3$ יהיה אי-שלילי ולכתוב $x\ge9$ - רק הביטוי שבתוך השורש מוגבל.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $x(\sqrt x-3)=0$. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0: $x=0$ או $\sqrt x=3$, כלומר $x=9$.

שני הערכים בתחום, ולכן הנקודות $(0,0)$ ו-$(9,0)$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=0$ - אותה נקודה $(0,0)$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה ב-$x$ ולמצוא רק את $(9,0)$ - החלוקה מאבדת את הפתרון $x=0$.

גוזרים לפי כלל המכפלה:

$f'(x)=0$ כש-$\sqrt x=2$, כלומר $x=4$. ($f'$ מוגדרת גם ב-$x=0$, קצה התחום, ושם $f'(0)=-3$.)

טבלת סימנים: ב-$0<x<4$ (למשל $x=1$) $f'<0$ - יורדת; ב-$x>4$ (למשל $x=9$) $f'>0$ - עולה.

לכן $(4,-4)$ מינימום. בקצה התחום $x=0$ הפונקציה מתחילה ב-$f(0)=0$ ויורדת, ולכן $(0,0)$ מקסימום (קיצון קצה).

טעות נפוצה: לגזור את המכפלה כמכפלת הנגזרות, $f'=1\cdot\frac{1}{2\sqrt x}$, שאינה מתאפסת, ולהסיק שאין לפונקציה נקודות קיצון.

מסמנים את מה שמצאנו: התחום $x\ge0$, נקודות חיתוך $(0,0)$ ו-$(9,0)$, מקסימום קצה $(0,0)$ ומינימום $(4,-4)$.

משמאל ל-$x=0$ אין גרף. בין 0 ל-4 הגרף יורד מתחת לציר ה-$x$, ומשם עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$(9,0)$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף גם ב-$x<0$ - השורש לא מוגדר שם.

$g(x)=f(x)+k$ - הזזה של גרף $f$ ב-$k$ יחידות למעלה.

הערך הקטן ביותר של $f$ הוא ערך המינימום, $-4$. כדי שגרף $g$ יהיה כולו מעל ציר ה-$x$ צריך $-4+k>0$, כלומר $k>4$.

דוגמה: $k=5$.

טעות נפוצה: לבחור $k=4$ - ערך המינימום של $g$ יהיה בדיוק 0, והגרף נוגע בציר ה-$x$ בנקודה $(4,0)$, כלומר עדיין יש לו נקודה משותפת עם הציר.

הזזה אנכית לא משנה את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון ולא את סוגן, ורק מוסיפה $k$ לשיעור ה-$y$.

עבור $k=5$: מקסימום $(0,0+5)=(0,5)$, מינימום $(4,-4+5)=(4,1)$.

טעות נפוצה: להזיז את שיעורי ה-$x$ במקום את שיעורי ה-$y$ ולקבל $(-5,0)$ ו-$(-1,-4)$ - $+k$ מחוץ לפונקציה מזיז למעלה, לא הצידה.