מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך - שאלון 471

נסמן: $B$ - נבחר בן, $G$ - נבחרה בת, $R$ - הנבחר רוצה להמשיך ללימודים אקדמיים.

נסמן ב-$x$ את מספר הבנים. מספר הבנות גדול פי 3, כלומר $3x$, וסך המשתתפים $4x$:

80% מהבנים רוצים להמשיך, ולכן לפי כלל הכפל:

כל מי שרוצה להמשיך הוא בן או בת, ולכן $P(R)=P(B\cap R)+P(G\cap R)$:

טעות נפוצה: לפרש "קטן פי 3" כ"שליש מהמשתתפים" ולקחת $P(B)=\frac13$. אז $P(B\cap R)=\frac{0.8}{3}\approx0.267$, ומקבלים $P(G\cap R)\approx0.6-0.267=\frac13$.

מחפשים הסתברות מותנית: התנאי הוא "נבחרה בת".

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי ולענות $0.6$ - זה שיעור הרוצים בקרב כל המשתתפים, לא בקרב הבנות.

בלי מידע נוסף: $P(G)=0.75$.

כשידוע שהנבחר רוצה להמשיך:

$\frac23\ne\frac34$, ולכן ההסתברות משתנה (קטנה): המאורעות "נבחרה בת" ו"הנבחר רוצה להמשיך" תלויים. הסיבה: בקרב הבנות שיעור הרוצים ($\frac{8}{15}$) נמוך מאשר בקרב הבנים (0.8).

טעות נפוצה: לענות "לא משתנה, נשארת $0.75$" בנימוק שהבנות עדיין שלושה רבעים מהמשתתפים - בלי לחשב את ההסתברות המותנית $P(G\mid R)$.

גאולה היא בת, ולכן הסיכוי שלה הוא ההסתברות המותנית $P(R\mid G)=\frac{8}{15}\approx0.533$ (סעיף ב).

דני הוא בן, והסיכוי שלו נתון: $P(R\mid B)=0.8$.

$0.8>0.533$, ולכן לדני סיכוי גבוה יותר.

טעות נפוצה: להשוות את הסתברויות החיתוך $P(B\cap R)=0.2$ ו-$P(G\cap R)=0.4$ ולקבוע שלגאולה סיכוי גבוה יותר - החיתוך גדול אצל הבנות רק כי יש יותר בנות.

ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע. העשירון הראשון (10% מתחתיו) והעשירון התשיעי (10% מעליו) נמצאים במרחק שווה מהממוצע, ולכן הממוצע באמצע:

מתחת לעשירון התשיעי נמצאים 90% מהנבחנים. בטבלה: $\Phi(1.28)=0.8997\approx0.9$, ולכן ציון התקן של 84 הוא $z=1.28$:

טעות נפוצה: לחשוב שהעשירון התשיעי נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע ולקבל $\sigma=84-76=8$.

ההסתברות שנבחן אחד קיבל ציון מעל העשירון התשיעי היא $0.1$ (ומתחתיו $0.9$). האוכלוסייה גדולה, ולכן שתי הבחירות בלתי תלויות.

"בדיוק אחד" - שני סדרים אפשריים: הראשון מעל והשני לא, או להפך:

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד, $0.1\cdot0.9=0.09$.

ציוני התקן של קצות התחום הם $z=-1$ ו-$z=1$. מהטבלה:

מספר הנבחנים:

טעות נפוצה: לקחת רק את החצי שבין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו, $0.3413$, ולקבל $2000\cdot0.3413\approx683$ נבחנים.

$BA=BC$ - קטעי משיקים למעגל מנקודה אחת שווים.

$OA=OC$ - רדיוסים.

הנקודה $B$ שווה מרחק מ-$A$ ומ-$C$, ולכן היא על האנך האמצעי של $AC$; גם $O$ שווה מרחק מ-$A$ ומ-$C$, ולכן גם היא על האנך האמצעי. דרך שתי נקודות עובר ישר אחד, ולכן הישר $OB$ הוא האנך האמצעי של $AC$:

(בדרך אחרת: $\triangle OAB\cong\triangle OCB$ לפי צ.צ.צ., ולכן $OB$ חוצה את $\angle AOC$, ובמשולש שווה השוקיים $AOC$ חוצה זווית הראש מאונך לבסיס.)

טעות נפוצה: לנמק רק ב-$BA=BC$ ("$B$ על האנך האמצעי ולכן $OB\perp AC$") - נקודה אחת לא קובעת את האנך האמצעי; צריך גם את $OA=OC$.

$\angle OAB=90^\circ$ - משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

מסעיף א: $\angle OKA=\angle AKB=90^\circ$.

במשולש $OAK$: $\angle AOK=90^\circ-\angle OAK$.

מהזווית הישרה ב-$A$: $\angle KAB=90^\circ-\angle OAK$.

לכן $\angle AOK=\angle KAB$, ויחד עם $\angle OKA=\angle AKB=90^\circ$ המשולשים $OAK$ ו-$ABK$ דומים (ז.ז.), בהתאמה $O\leftrightarrow A$, $A\leftrightarrow B$, $K\leftrightarrow K$.

טעות נפוצה: לנמק את הדמיון רק בזווית הישרה, $\angle OKA=\angle AKB=90^\circ$ - זוג זוויות אחד אינו מספיק לדמיון ז.ז.; חסר הזוג השני, $\angle AOK=\angle KAB$, שנובע מהזווית הישרה $\angle OAB$ (משיק ורדיוס).

אורכי הקטעים על האלכסון $OB$ (נוסחת המרחק):

מהדמיון בסעיף ב ($O\leftrightarrow A$, $A\leftrightarrow B$, $K\leftrightarrow K$):

טעות נפוצה: להכפיל את $OK$ בכל האלכסון $OB=10\sqrt2$ במקום ב-$KB$: $AK^2=20$ ו-$AK=2\sqrt5\approx4.47$.

הרדיוס הוא $OA$. במשולש ישר הזווית $OKA$ ($\angle OKA=90^\circ$):

המרכז $O(-2,1)$, ולכן:

טעות נפוצה: לטעות בסימנים של המרכז ולכתוב $(x-2)^2+(y+1)^2=20$ - מעגל שמרכזו $(2,-1)$.

$OA=OC=\sqrt{20}=2\sqrt5$ (רדיוסים).

$AB$ - יתר במשולש ישר הזווית $AKB$:

$BC=AB=6\sqrt5$ (קטעי משיקים).

טעות נפוצה: לחשב את $AB$ בפיתגורס במשולש $OAB$ כאילו $AB$ הוא היתר: $AB^2=OA^2+OB^2=20+200=220$, ולקבל היקף $4\sqrt5+4\sqrt{55}\approx38.61$. היתר במשולש $OAB$ הוא $OB$, כי הזווית הישרה ב-$A$.

השיפוע של ישר שווה לטנגנס הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-$x$: $m_{AD}=\tan\beta=-3$.

הישר עובר דרך $A(0,9)$, שהיא נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: לקחת שיפוע חיובי (את הטנגנס של הזווית החדה ב-$D$) ולכתוב $y=3x+9$ - ישר שחותך את ציר ה-$x$ ב-$(-3,0)$, משמאל ל-$B$.

נקודת החיתוך של $AD$ עם ציר ה-$x$: $0=-3x+9$, ולכן $D(3,0)$, $BD=3$, $AB=9$.

במשולש ישר הזווית $ABD$:

$AD$ חוצה את $\angle BAC$, ולכן $\angle BAC=2\cdot18.43^\circ=36.87^\circ$.

במשולש ישר הזווית $ABC$: $\angle ACB=90^\circ-36.87^\circ=53.13^\circ$.

הישר $AC$ יורד ויוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-$x$ זווית של $180^\circ-53.13^\circ=126.87^\circ$:

(בדיקה: $BC=\frac{AB}{\tan53.13^\circ}=\frac{9}{4/3}=6.75$, ו-$C(6.75,0)$ על הישר.)

טעות נפוצה: לחשוב שחוצה הזווית חוצה גם את הצלע שמולה, כלומר ש-$D$ אמצע $BC$; אז $C(6,0)$ ומתקבל $y=-1.5x+9$.

$C$ היא נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה-$x$: $0=-\frac43x+9$, $x=6.75$, ולכן $C(6.75,0)$.

הבסיס $DC$ על ציר ה-$x$: $DC=6.75-3=3.75$. הגובה לבסיס זה הוא $AB=9$:

טעות נפוצה: לקחת את כל $BC=6.75$ כבסיס ולקבל $30.375$ - זה השטח של $\triangle ABC$.

בציור יש לגרף אסימפטוטה אנכית $x=2$, ולכן המכנה מתאפס ב-$x=2$:

המונה ב-$x=2$ שווה $9\ne0$, ולכן זו באמת אסימפטוטה ולא "חור".

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע ולכתוב $2a-4=0$, ומקבלים $a=2$.

המכנה מתאפס ב-$x=0$ וב-$x=2$, ולכן התחום: $x\ne0$, $x\ne2$.

טעות נפוצה: לרשום רק $x\ne2$ (האסימפטוטה שמסומנת בציור) ולשכוח את $x=0$ - ציר ה-$y$ הוא גם אסימפטוטה.

נגזרת לפי כלל המנה:

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $-2(2x-1)(x+1)$: מתאפס ב-$x=-1$ וב-$x=\frac12$, חיובי ביניהן ושלילי מחוץ להן.

עלייה: $-1<x<0$ ו-$0<x<\frac12$. ירידה: $x<-1$, $\frac12<x<2$, $x>2$.

(נקודות הקיצון: מינימום $(-1,-1)$, מקסימום $\left(\frac12,-4\right)$.)

טעות נפוצה: להפוך את הסדר במונה של כלל המנה, לקבל $f'$ עם סימן הפוך ולענות עלייה ב-$x<-1$, $\frac12<x<2$, $x>2$ וירידה ב-$-1<x<0$, $0<x<\frac12$ - בסתירה לציור.

אנכיות: המכנה מתאפס ב-$x=0$ וב-$x=2$, והמונה אינו מתאפס שם ($2$ ו-$-18$), ולכן $x=0$ ו-$x=2$.

אופקית: מעלת המונה 2 ומעלת המכנה 4, ולכן $f'(x)\to0$ כש-$x\to\pm\infty$: $y=0$.

טעות נפוצה: לבלבל בין אפסי הנגזרת לאסימפטוטות ולענות $x=-1$, $x=\frac12$ - שם הנגזרת מתאפסת, היא לא שואפת לאינסוף.

מסעיף ג: בתחום $0<x<\frac12$ הפונקציה עולה, ולכן $f'>0$; ב-$x=\frac12$ יש מקסימום, ולכן $f'\left(\frac12\right)=0$; בתחום $\frac12<x<2$ הפונקציה יורדת, ולכן $f'<0$.

מסעיף ד(1): $x=0$ ו-$x=2$ אסימפטוטות של $f'$. ליד $x=0$ המונה שואף ל-2 (חיובי), ולכן $f'\to+\infty$; ליד $x=2$ המונה שואף ל-$-18$, ולכן $f'\to-\infty$.

הסקיצה: עקומה שיורדת מ-$+\infty$ (ליד ציר ה-$y$), חותכת את ציר ה-$x$ ב-$x=\frac12$ ויורדת ל-$-\infty$ ליד $x=2$.

טעות נפוצה: לסרטט את $f'$ שלילית בכל התחום כי $f$ שלילית בו - הסימן של $f'$ נקבע לפי העלייה והירידה של $f$, לא לפי הסימן של $f$.

המכנה $x^2$ מתאפס רק ב-$x=0$: התחום $x\ne0$.

ליד $x=0$ המכנה שואף ל-0 והמונה 1, ולכן $g(x)\to+\infty$: אסימפטוטה אנכית $x=0$.

כש-$x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x^2}\to0$: אסימפטוטה אופקית $y=0$.

טעות נפוצה: לטעון שאין אסימפטוטה אופקית כי $g(x)$ לעולם אינה שווה 0, ולענות רק $x=0$ - אסימפטוטה היא ערך שהפונקציה מתקרבת אליו, לא ערך שהיא מקבלת.

$g'$ אינה מתאפסת. כש-$x<0$: $x^3<0$, ולכן $g'(x)>0$ - עלייה. כש-$x>0$: $g'(x)<0$ - ירידה.

טעות נפוצה: להסתכל רק על המונה $-2$ ולקבוע שהפונקציה יורדת לכל $x\ne0$ - הסימן של $x^3$ משתנה.

מרכזים: $g(x)>0$ לכל $x\ne0$, $g$ זוגית (סימטרית לציר ה-$y$), עולה ב-$x<0$ ויורדת ב-$x>0$, אסימפטוטות $x=0$ ו-$y=0$.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף השמאלי מתחת לציר ה-$x$ (כמו בגרף של $\frac1x$) - אבל $x^2>0$ גם עבור $x$ שלילי.

$f(x)=g(x-2)+1$: הזזה של הגרף של $g$ ב-2 יחידות ימינה וב-1 יחידה למעלה.

האסימפטוטה האנכית עוברת ל-$x=2$, והאופקית ל-$y=1$. הגרף כולו מעל $y=1$, ועובר בנקודה $(0,1.25)$.

טעות נפוצה: להזיז שמאלה (כי כתוב $x-2$) ולסרטט אסימפטוטה ב-$x=-2$ - ב-$g(x-2)$ ההזזה היא ימינה.

ההזזה מזיזה את האסימפטוטות ואת תחומי המונוטוניות: $x=0$ עוברת ל-$x=2$, $y=0$ עוברת ל-$y=1$.

$g$ עולה ב-$x<0$ ויורדת ב-$x>0$, ולכן $f$ עולה ב-$x<2$ ויורדת ב-$x>2$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$+1$ ולכתוב אסימפטוטה אופקית $y=0$.

$f(1)=\frac{1}{(1-2)^2}+1=2$: נקודת ההשקה $(1,2)$.

טעות נפוצה: לחשב $(-1)^3=1$ ולקבל $f'(1)=-2$, ואז $y=-2x+4$.

השטח בין $x=0$ (ציר ה-$y$) ל-$x=1$ (נקודת ההשקה). בתחום זה הגרף של $f$ מעל המשיק (ב-$x=0$: $f(0)=1.25$ והמשיק $0$).

טעות נפוצה: לחשב רק את השטח מתחת לגרף של $f$, $\int_0^1f(x)\,dx=1.5$, בלי להחסיר את השטח שמתחת למשיק.

נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של $B$. אז $B\left(t,\sqrt{2t-4}\right)$, והצלעות:

$BC=\sqrt{2t-4}$ (הגובה מעל ציר ה-$x$), $CD=10-t$ (מ-$C$ עד הישר $x=10$).

$B$ בין $F$ לבין הישר: $2<t<10$.

גוזרים כמכפלה (הנגזרת של $\sqrt{2t-4}$ היא $\frac{2}{2\sqrt{2t-4}}=\frac{1}{\sqrt{2t-4}}$):

$S'(t)=0$ כאשר $t=\frac{14}{3}$. משמאל לנקודה $S'>0$ ומימינה $S'<0$ - מקסימום.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית (2) של $2t-4$, לכתוב $\frac{10-t}{2\sqrt{2t-4}}$, ולקבל $-2(2t-4)+10-t=0$, כלומר $t=3.6$ ו-$B(3.6,\,1.79)$.

$F$: $\sqrt{2x-4}=0$, $x=2$, ולכן $F(2,0)$.