מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך - שאלון 471

בקורס א רוב הציונים נמוכים, ולכן רוב השטח מתחת לגרף (השכיחויות הגבוהות) נמצא בצד שמאל של ציר הציונים, ומעט ציונים גבוהים יוצרים "זנב" ארוך ונמוך לכיוון ימין.

זה גרף 2: השיא משמאל והזנב ימינה (התפלגות עם זנב ימני).

בקורס ב ההתפלגות נורמלית: גרף בצורת פעמון, סימטרי סביב הממוצע, עם שיא אחד באמצע ושכיחויות שיורדות בהדרגה לשני הצדדים. זה גרף 1.

טעות נפוצה: לבחור לקורס א את גרף 3 בגלל שהזנב שלו "מצביע" לכיוון הציונים הנמוכים - אבל הזנב מראה איפה יש מעט ציונים; בגרף 3 רוב הציונים דווקא גבוהים.

רוב הציונים גבוהים - השכיחויות הגבוהות (השיא של הגרף) בצד ימין של ציר הציונים.

מעט ציונים נמוכים - בצד שמאל הגרף נמוך ומשתרע כזנב ארוך.

זה גרף 3: התפלגות עם זנב שמאלי.

טעות נפוצה: לבחור בגרף 2 כי "רואים בו הרבה בצד הגבוה" - כלומר לקרוא את הזנב הארוך כאילו הוא רוב הנתונים. בגרף 2 רוב הציונים נמוכים.

הרבה ציונים גבוהים והרבה ציונים נמוכים - הגרף גבוה בשני הקצוות של ציר הציונים.

מעט ציוני ביניים - הגרף נמוך באמצע.

זה גרף 4 (צורת U).

טעות נפוצה: לבחור בגרף 1 מפני שגם הוא סימטרי - אבל בגרף 1 השכיחות הגבוהה ביותר היא דווקא באמצע, כלומר רוב הציונים הם ציוני ביניים.

ציון התקן של ערך $x$ הוא

ציון התקן של 78 הוא 0, ולכן המונה מתאפס: $78-\mu=0$, כלומר $\mu=78$.

(ציון תקן 0 פירושו שהערך שווה בדיוק לממוצע.)

טעות נפוצה: לבלבל בין ציון התקן לבין הציון עצמו, ולענות שהממוצע הוא 0. ציון התקן מודד את המרחק מהממוצע (ביחידות של סטיית תקן), ו-0 פירושו מרחק 0 - הציון 78 הוא הממוצע.

בהתפלגות נורמלית העקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן חצי מהציונים נמוכים מהממוצע וחצי גבוהים ממנו.

לכן החציון שווה לממוצע (וגם לשכיח): החציון הוא 78.

טעות נפוצה: לחשוב שהחציון הוא אמצע טווח הציונים האפשריים (0 עד 100), ולענות 50 - החציון הוא אמצע הנתונים (חצי מהציונים מתחתיו), ובהתפלגות נורמלית הוא בדיוק הממוצע.

בונים עץ: בשלב הראשון בוחרים קופסה (הסתברות $\frac12$ לכל אחת), ובשלב השני מוציאים שני כדורים בלי החזרה - אחרי הכדור הראשון יש בקופסה כדור אחד פחות.

קופסה I (7 כדורים): שניים אדומים או שניים ירוקים:

קופסה II (16 כדורים):

מחברים את המסלולים בשתי הקופסאות (נוסחת ההסתברות השלמה):

טעות נפוצה: לשכוח שההוצאה בלי החזרה ולהשאיר את המכנה קבוע ($\frac37\cdot\frac37+\frac47\cdot\frac47$ וכן הלאה), ולקבל $\frac{445}{784}$.

"לכל היותר כדור אחד אדום" = 0 או 1 כדורים אדומים. המאורע המשלים: שני הכדורים אדומים.

טעות נפוצה: לחשב רק את ההסתברות לבדיוק כדור אדום אחד (ולשכוח את המקרה של 0 אדומים) ולקבל $\frac{17}{35}$.

זו הסתברות מותנית: התנאי הוא "אותו צבע" (סעיף א), והמבוקש - שהכדורים מקופסה I.

טעות נפוצה: להציב במונה את $P(\text{אותו צבע}\mid I)=\frac{3}{7}$ במקום את החיתוך (לשכוח את ה-$\frac12$ של בחירת הקופסה), ולקבל $\frac{5}{6}$.

$OA=OB$ (רדיוסים), ולכן המשולש $AOB$ שווה שוקיים.

$OM$ הוא הגובה לבסיס $AB$ במשולש שווה שוקיים, ולכן הוא גם חוצה את זווית הראש: $\angle AOM=\frac12\angle AOB$. (במילים אחרות: האנך מהמרכז למיתר חוצה את הזווית המרכזית.)

$\angle ACB$ היא זווית היקפית ו-$\angle AOB$ זווית מרכזית, ושתיהן נשענות על אותה קשת $AB$. לכן $\angle ACB=\frac12\angle AOB$.

שתי הזוויות שוות למחצית $\angle AOB$, ולכן $\angle ACB=\angle AOM$.

טעות נפוצה: לטעון שהזווית ההיקפית שווה לזווית המרכזית ($\angle ACB=\angle AOB$), ולהגיע ל-$\angle AOM=\frac12\angle ACB$ - הזווית ההיקפית היא מחצית הזווית המרכזית, לא שווה לה.

לפי סעיף א, $\angle AOM=\angle ACB=72^\circ$.

במשולש $AOM$ הזווית $M$ ישרה, $OM=8$ הוא הניצב שליד הזווית $AOM$, ו-$OA=R$ הוא היתר:

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס במקום בקוסינוס ($\sin72^\circ=\frac8R$), כאילו $OM$ מול הזווית, ולקבל $R\approx8.41$. (בדיקה: היתר צריך להיות ארוך בהרבה מ-$OM$ כשהזווית ליד $OM$ גדולה.)

במשולש $AOM$: $\tan72^\circ=\frac{AM}{OM}$, ולכן $AM=8\tan72^\circ$.

האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו, ולכן $M$ אמצע $AB$:

(אפשר גם במשפט הסינוסים: $AB=2R\sin72^\circ\approx49.24$.)

טעות נפוצה: לעצור ב-$AM\approx24.62$ ולשכוח ש-$AB$ כפול ממנו.

במשפט הסינוסים, הצלע $AC$ מול הזווית $B$:

הפתרון השני, $180^\circ-20.34^\circ$, נפסל: יחד עם $72^\circ$ הוא עובר את $180^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 ב-$2R$ ולכתוב $\sin B=\frac{18}{R}$; מתקבל $\angle B\approx44.05^\circ$ ו-$\angle CAB\approx63.95^\circ$.

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: הזווית שבין $AC$ ל-$AB$ היא $\angle CAB$ (סעיף ד).

טעות נפוצה: להשתמש בזווית $C=72^\circ$ עם הצלעות $AC$ ו-$AB$ (שהיא לא הזווית שביניהן), ולקבל $\frac12\cdot18\cdot49.24\cdot\sin72^\circ\approx421.50$.

$A(0,2)$ היא נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$, ולכן $b=2$: $y=\frac23x+2$.

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$ ($\frac{18}{12}$) ולקבל $y=\frac32x+2$.

$MD\perp$ ציר ה-$y$ ו-$MC\perp$ ציר ה-$x$: רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה (הצירים משיקים למעגל ב-$D$ וב-$C$).

גם $\angle DOC=90^\circ$ (הצירים מאונכים זה לזה).

במרובע $ODMC$ שלוש זוויות ישרות, ולכן גם הרביעית ישרה ($360^\circ-3\cdot90^\circ$) - המרובע מלבן.

$MD=MC$ (רדיוסים באותו מעגל), כלומר במלבן יש שתי צלעות סמוכות שוות - ולכן הוא ריבוע.

טעות נפוצה: להסתפק בכך שכל הזוויות ישרות ולקבוע "ריבוע" - כך מוכיחים רק מלבן; צריך גם את השוויון $MD=MC$.

המרחק של $M$ מציר ה-$y$ הוא $MD$ - שיעור ה-$x$ של $M$; המרחק מציר ה-$x$ הוא $MC$ - שיעור ה-$y$. בריבוע $MD=MC$, ולכן ל-$M$ שיעורים שווים: $M(t,t)$ (ו-$t>0$ ברביע הראשון).

$M$ על הישר $AB$:

$M(6,6)$, ורדיוס המעגל 6.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$M$ היא אמצע הקטע $AB$ ולענות $M(9,8)$ - אבל אז המרחקים מהצירים (9 ו-8) שונים, והמעגל לא יכול להשיק לשניהם.

$A(0,2)$, $O(0,0)$, $C(6,0)$, $M(6,6)$.

$AO$ ו-$CM$ מקבילים (שניהם על ישרים אנכיים: $x=0$ ו-$x=6$), ולכן $AOCM$ טרפז שבסיסיו $AO=2$ ו-$CM=6$, והגובה הוא המרחק בין הישרים, $OC=6$:

טעות נפוצה: לקחת כגובה את השוק המשופעת $AM=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$, ולקבל $\frac{(2+6)\sqrt{52}}{2}\approx28.84$.

שיפוע המשיק לגרף $f$ בנקודה שווה לערך של $f'$ בה. השיפוע אפס כש-$f'(x)=0$, כלומר בנקודות שבהן גרף הנגזרת פוגש את ציר ה-$x$.

לפי הסרטוט: $x=4$ ו-$x=8$.

טעות נפוצה: לחפש את המקום שבו גרף $f'$ "שטוח" (הנקודה העליונה של הגבעה שבין 4 ל-8) - שם $f'$ חיובית, כלומר שיפוע המשיק לגרף $f$ אינו אפס.

נקודת קיצון (פנימית) יכולה להיות רק במקום שבו $f'(x)=0$, והיא קיצון רק אם $f'$ מחליפה בו סימן.

$x=4$: גרף $f'$ משיק לציר ה-$x$ - $f'>0$ משני הצדדים. $f$ עולה לפני 4 ואחרי 4, ולכן אין שם קיצון.

$x=8$: $f'>0$ משמאל ו-$f'<0$ מימין. $f$ עוברת מעלייה לירידה - מקסימום.

לכן יש נקודת קיצון אחת בלבד, מקסימום ב-$x=8$.

טעות נפוצה: לקבוע שבכל נקודה שבה $f'=0$ יש קיצון, ולענות "מינימום ב-$x=4$ ומקסימום ב-$x=8$" - ב-4 הנגזרת לא מחליפה סימן.

שיפוע המשיק בנקודה $x=2$ הוא $f'(2)$. בגרף הנגזרת מסומנת הנקודה $(2,3)$, כלומר $f'(2)=3$.

שיפוע המשיק: 3.

טעות נפוצה: לקחת את שיעור ה-$y$ של הנקודה על גרף $f$ (0) ולענות ששיפוע המשיק 0 - זה ערך הפונקציה, לא ערך הנגזרת.

מחפשים ערכי $x$ שבהם $f'(x)=3$, כלומר נקודות חיתוך של גרף $f'$ עם הישר האופקי $y=3$.

בתחום $0\le x<4$ הנגזרת יורדת (מערך גבוה עד 0), ולכן היא שווה 3 רק פעם אחת - ב-$x=2$.

בתחום $4<x<8$ הגבעה של $f'$ נמוכה בהרבה מ-3 (לפי הסרטוט), ובתחום $8<x\le9$ הנגזרת שלילית.

לכן אין נקודה נוספת שבה שיפוע המשיק 3.

טעות נפוצה: לחפש נקודה נוספת שבה $f(x)=0$ (חיתוך של $f$ עם ציר ה-$x$), במקום נקודה שבה $f'(x)=3$, ולענות "כן" בלי בדיקה בגרף הנגזרת.

מסעיפים א-ב: $f$ עולה ב-$0<x<8$ (עם משיק אופקי ב-$x=4$ בלי קיצון), מקסימום ב-$x=8$, ויורדת ב-$8<x<9$.

גרף א - יש בו מקסימום ומינימום (שני קיצונים) - נפסל.

גרף ב - יורד בהתחלה, אבל $f'>0$ ליד $x=0$ - נפסל.

גרף ג - המקסימום שלו מוקדם, ואחריו ירידה; אבל $f$ עולה עד $x=8$ - נפסל.

גרף ד - עולה, נעשה אופקי לרגע (ב-$x=4$), ממשיך לעלות עד מקסימום ויורד. מתאים.

טעות נפוצה: לבחור בגרף ג, כאילו ב-$x=4$ (הנקודה הראשונה שבה $f'=0$) יש מקסימום ובנקודה השנייה נקודה אופקית - כלומר להחליף בין תפקידי שתי הנקודות.

המכנה $x^2$ מתאפס ב-$x=0$ והמונה לא ($0+1\neq0$), ולכן $x=0$ אסימפטוטה אנכית. האסימפטוטה $y=1$ אופקית.

בשבר $\frac{x+1}{x^2}$ מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן כש-$x\to\pm\infty$ השבר שואף ל-0, ו-$f(x)\to0+b=b$.

האסימפטוטה האופקית היא $y=b$, ולכן $b=1$.

טעות נפוצה: לחשב את האסימפטוטה של השבר כיחס המקדמים של $x$ במונה ושל $x^2$ במכנה ($\frac11=1$), להסיק שהשבר עצמו נותן $y=1$, ולענות $b=0$.

הפונקציה $f(x)=\frac{x+1}{x^2}+1$ מוגדרת כשהמכנה שונה מ-0: $x^2\neq0$, כלומר $x\neq0$.

טעות נפוצה: לפסול גם את $x=-1$ (שבו המונה מתאפס) ולכתוב $x\neq0,\ x\neq-1$ - מונה אפס מותר; ב-$x=-1$ הפונקציה שווה 1.

גוזרים את השבר בכלל המנה (הנגזרת של הקבוע 1 היא 0):

$f'(x)=0$ כש-$x=-2$.

נקודת מינימום: $\left(-2,\frac34\right)$.

טעות נפוצה: להחליף את סדר האיברים במונה של כלל המנה ולקבל $f'(x)=\frac{x+2}{x^3}$; אז הסימנים הפוכים ומתקבל "מקסימום ב-$\left(-2,\frac34\right)$".

מרכזים את הנתונים: אסימפטוטות $x=0$ ו-$y=1$; מינימום $\left(-2,\frac34\right)$; ירידה ב-$x<-2$ וב-$x>0$, עלייה ב-$-2<x<0$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2}$, והמשוואה $x^2+x+1=0$ חסרת פתרון (דיסקרימיננטה $-3$) - אין חיתוך. אין חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$ לא בתחום).

ליד $x=0$ המונה שואף ל-1 והמכנה לאפס חיובי, ולכן $f\to+\infty$ משני הצדדים.

$f(x)=1$ כש-$x+1=0$: הגרף חוצה את האסימפטוטה האופקית ב-$(-1,1)$. משמאל ל-$-1$ הגרף מתחת ל-$y=1$, ומימין ל-0 מעליה.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף השמאלי מעל $y=1$ כל הזמן, בלי לשים לב שהמינימום $\frac34$ קטן מ-1 - כלומר שהגרף חייב לחצות את האסימפטוטה (ב-$x=-1$).

$g(x)=2f(x)$ היא מתיחה אנכית פי 2: כל נקודה $(x,y)$ על גרף $f$ עוברת ל-$(x,2y)$.

גם הנגזרת מוכפלת ב-2, $g'(x)=2f'(x)$, ולכן היא מתאפסת ומחליפה סימן באותו מקום ובאותו כיוון: מינימום ב-$x=-2$.

$g(-2)=2\cdot\frac34=\frac32$. נקודת מינימום: $\left(-2,\frac32\right)$.

טעות נפוצה: לבלבל בין מתיחה להזזה ולחשוב ש-$g(x)=f(x)+2$, ולקבל $\left(-2,\frac{11}{4}\right)$.