בגרות במתמטיקה 571 - חורף 2024

הטענה היא על מספרים זוגיים בלבד, ולכן הבסיס הוא $n=2$ והצעד הוא מ-$n$ ל-$n+2$.

שלב הבסיס ($n=2$): באגף שמאל איבר אחד, $6\cdot2\cdot4=48$. אגף ימין: $2\cdot4\cdot6=48$. שווים.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n$ זוגי מסוים מתקיים $48+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$.

שלב הצעד: נוכיח עבור הזוגי הבא, $n+2$. האיבר הבא בטור מתקבל מהצבת $n+2$ במקום $n$ באיבר הכללי: $6(n+2)(n+4)$.

מוציאים גורם משותף $(n+2)(n+4)$:

זה בדיוק אגף ימין עבור $n+2$: $(n+2)\big((n+2)+2\big)\big((n+2)+4\big)$.

לפי עקרון האינדוקציה (בסיס ב-2, צעד של 2) הטענה נכונה לכל $n$ זוגי.

טעות נפוצה: לעשות צעד מ-$n$ ל-$n+1$ ולהוסיף את $6(n+1)(n+3)$ - $n+1$ אי-זוגי ואינו בטור; מקבלים $n(n+2)(n+4)+6(n+1)(n+3)$, שאינו $(n+1)(n+3)(n+5)$ (למשל עבור $n=2$: $138\neq105$).

המרובע BCED חסום במעגל. B, D, A על ישר אחד, ולכן $\angle ADE$ היא זווית חיצונית של המרובע בקודקוד D, והיא שווה לזווית הפנימית שמולה: $\angle ADE=\angle BCE=\angle ACB$ (E על CA).

הזווית $\angle A$ משותפת לשני המשולשים.

לכן $\triangle AED\sim\triangle ABC$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $E\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle ADE=\angle ABC$ ולהתאים את D ל-B - הזווית החיצונית ב-D שווה לזווית שמולה במרובע, $\angle BCE$, ולא לזווית ב-B.

נסמן $CE=x$. אז $AD=x$, $AE=2x$, $AC=AE+EC=3x$.

מהדמיון ($E\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow C$): $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$, ולכן

(זה גם משפט שני החותכים: $AD\cdot AB=AE\cdot AC$.)

טעות נפוצה: לכתוב את היחס בהתאמה הפוכה, $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$, לקבל $AB=1.5x$ ו-$\frac{AB}{AC}=\frac12$.

C, E, A על ישר אחד, ולכן $\angle AED=180^\circ-150^\circ=30^\circ$. מהדמיון $\angle ABC=\angle AED=30^\circ$.

משפט הסינוסים במשולש ABC (כל צלע מול הזווית שמולה):

לכן $\angle ACB=90^\circ$, כלומר $\angle BCE=90^\circ$. זו זווית היקפית הנשענת על המיתר BE, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר. לכן BE קוטר: כן.

טעות נפוצה: להצמיד בכל צלע את הזווית הלא נכונה, $\frac{AC}{\sin\angle ACB}=\frac{AB}{\sin\angle ABC}$, לקבל $\sin\angle ACB=\frac14$ ולענות "לא".

אסימפטוטות אנכיות: ב-I וב-III המכנה $\sqrt{x^2+16}$ חיובי לכל $x$ - אין אסימפטוטות אנכיות. נפסלים.

ב-II וב-IV התחום $x^2-16>0$, כלומר $|x|>4$, והמכנה מתאפס ב-$x=\pm4$ כשהמונה שונה מ-0: שתי אסימפטוטות אנכיות, $x=\pm4$.

אסימפטוטות אופקיות: $\sqrt{x^2-16}=|x|\sqrt{1-\frac{16}{x^2}}$.

IV: $\frac{x^2}{|x|\sqrt{1-\frac{16}{x^2}}}=\frac{|x|}{\sqrt{1-\frac{16}{x^2}}}\to\infty$ בשני הכיוונים - אין אסימפטוטה אופקית. נפסל.

II: $\frac{x}{|x|\sqrt{1-\frac{16}{x^2}}}$. כאשר $x\to\infty$, $\frac{x}{|x|}=1$ והגבול 1; כאשר $x\to-\infty$, $\frac{x}{|x|}=-1$ והגבול $-1$. שתי אסימפטוטות אופקיות $y=1$, $y=-1$, כמו בסרטוט (גם הסימן מתאים: הענף השמאלי שלילי והימני חיובי).

התשובה: ביטוי II.

טעות נפוצה: לקבוע אסימפטוטה אופקית לפי השוואת חזקות כמו בפונקציה רציונלית ולהתעלם מהשורש ("$x^2$ במכנה"): ל-II יוצא "מונה ממעלה 1, מכנה ממעלה 2", כלומר $y=0$, שאינו מתאים לסרטוט; ל-IV יוצא "מעלות שוות", כלומר $y=1$ - ובוחרים בביטוי IV. אבל $\sqrt{x^2-16}$ מתנהג כמו $|x|$ (מעלה 1), ולכן ל-IV אין אסימפטוטה אופקית כלל.

$g$ עולה היכן ש-$g'(x)>0$, כלומר היכן ש-$f(x)>-\frac53$. התחום: $|x|>4$.

עבור $x>4$: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}>0>-\frac53$, ולכן $g'>0$.

עבור $x<-4$: $f(x)<0$. נכתוב $f(x)>-\frac53$ כ-$\frac{-x}{\sqrt{x^2-16}}<\frac53$; שני האגפים חיוביים, ומותר להעלות בריבוע:

עם $x<-4$: $x<-5$. כלומר $g'>0$ עבור $x<-5$, ו-$g'<0$ עבור $-5<x<-4$.

עלייה: $x<-5$ ו-$x>4$. ירידה: $-5<x<-4$.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע את $\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}>-\frac53$ כמו שהוא, כשהאגף השמאלי שלילי, לקבל $x^2<25$ ולענות הפוך: עלייה ב-$-5<x<-4$ וירידה ב-$x<-5$.

בנקודות קיצון של פונקציה הנגזרת מתאפסת. גרף I חותך את ציר ה-$x$ בדיוק בשיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון A, B, C של גרף II.

גם הסימנים מתאימים: היכן שגרף II עולה (משמאל ל-A, בין B ל-C) גרף I חיובי, והיכן שגרף II יורד (בין A ל-B, מימין ל-C) גרף I שלילי.

להפך זה לא עובד: בנקודות הקיצון של גרף I, גרף II אינו מתאפס. לכן II הוא $f(x)$ ו-I הוא $f'(x)$.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי "יש לו נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$" - נקודות האפס של $f'$ (לא של $f$) הן שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $f$.

בנקודת פיתול של $f$ מתחלפת הקעירות, כלומר $f'$ עוברת מעלייה לירידה או להפך - אלה נקודות הקיצון של $f'$.

לגרף I ($f'$) יש שלוש נקודות קיצון: מינימום בין A ל-B, מקסימום בין B ל-C ומינימום מימין ל-C (וכל נקודות הקיצון מתוארות בסרטוט).

לכן ל-$f$ יש 3 נקודות פיתול.

טעות נפוצה: לספור רק את נקודות הקיצון של גרף I שבין A ל-C, ולשכוח את המינימום שמימין ל-C - ולענות 2.

גרף I הוא $f'$. בין $x_A$ ל-$x_B$ הוא מתחת לציר (f יורדת), ובין $x_B$ ל-$x_C$ מעליו.

לפי המשפט היסודי: $\int_{x_A}^{x_B}f'(x)\,dx=f(x_B)-f(x_A)=2-6=-4$. האינטגרל שלילי, והשטח שמתחת לציר הוא 4.

השטח שמעל הציר: $\int_{x_B}^{x_C}f'(x)\,dx=y_C-y_B=y_C-2$.

טעות נפוצה: לחשב את השטח כאינטגרל אחד מ-$x_A$ עד $x_C$, $y_C-y_A=7$, ולקבל $y_C=13$ - השטח שמתחת לציר נכנס לאינטגרל בסימן שלילי.

מוצאים את ההפרש מתוך שני האיברים הנתונים: $a_3=a_1+2d$, ולכן

סדרה חשבונית עולה בדיוק כאשר ההפרש שלה חיובי:

טעות נפוצה: לא לפתוח נכון את הסוגריים בחיסור, לכתוב $-16+2k-4-4k=-20-2k$, לקבל $d=-10-k$, ומשם שהסדרה עולה עבור $k<-10$.

סדרה חשבונית יורדת בדיוק כאשר ההפרש שלה שלילי:

טעות נפוצה: לענות $k\le2$ - עבור $k=2$ ההפרש הוא 0 והסדרה קבועה, לא יורדת.

סדרה חשבונית קבועה בדיוק כאשר ההפרש שלה הוא 0:

(ואז כל האיברים שווים ל-$a_1=-12$.)

טעות נפוצה: לחשוב ש"סדרה קבועה" פירושה שכל האיברים שווים 0, לדרוש $a_1=-4-4k=0$ ולקבל $k=-1$.

לפי נוסחת האיבר הכללי $a_{17}=a_1+16d$:

טעות נפוצה: לכתוב $a_{17}=a_1+17d$ (במקום $16d$), ולקבל $47k-106=-232$, כלומר $k=-\frac{126}{47}$.

מציבים $k=-3$: $a_1=-4+12=8$ ו-$d=3\cdot(-3)-6=-15$, ולכן

מחשבים את ההפרש בין שני איברים סמוכים כלליים:

ההפרש קבוע (לא תלוי ב-$n$), ולכן B סדרה חשבונית שהפרשה 9 ואיברה הראשון $b_1=49$.

טעות נפוצה: לחשב רק $b_1=49$, $b_2=58$, $b_3=67$ ולראות שההפרשים שווים - זו בדיקה של שלושה איברים בלבד ולא הוכחה לכל $n$.

מצמדים את האיברים בזוגות ומשתמשים בהפרש ריבועים. לכל זוג:

כי $b_{2m}-b_{2m-1}=9$ (ההפרש של B).

לכן הסכום כולו הוא $-9$ כפול סכום כל 30 האיברים:

$b_1=49$, $b_{30}=9\cdot30+40=310$:

טעות נפוצה: לכתוב $b_{2m-1}-b_{2m}=9$ (הפרש בסדר הפוך) ולקבל $+48465$ - האיבר האי-זוגי קטן מהזוגי שאחריו, ולכן כל זוג תורם מספר שלילי.

בונים טבלה דו-ממדית (גיל × עמדה). ההסתברות שהתושב מבוגר היא $1-p$.

כל המבוגרים תמכו, ולכן $P(\text{מבוגר}\cap\text{תומך})=1-p$ ו-$P(\text{מבוגר}\cap\text{מתנגד})=0$.

התומכים הם צעירים תומכים ומבוגרים תומכים:

טעות נפוצה: להניח שגיל ועמדה בלתי תלויים ולכתוב $P(\text{צעיר}\cap\text{תומך})=p\cdot k$ - הם תלויים (כל המבוגרים תומכים).

"מחצית מן הצעירים תמכו" היא הסתברות מותנית בתוך הצעירים:

"$\frac37$ מן התומכים היו צעירים" היא הסתברות מותנית בתוך התומכים:

מהמשוואה הראשונה $k=1-\frac p2$. מציבים בשנייה:

$k=1-0.3=0.7$.

טעות נפוצה: לתרגם "$\frac37$ מן התומכים היו צעירים" כהסתברות החיתוך $k-1+p=\frac37$ (בלי להתנות בתומכים), ולקבל $p=\frac67$, $k=\frac47$.

הראיונות נעשים בתוך הצעירים בלבד, ולכן ההסתברות שמרואיין תמך היא ההסתברות המותנית $P(\text{תומך}\mid\text{צעיר})=\frac12$ (מסעיף ב), וכך גם להתנגדות.

המאורע המשלים ל"לפחות תומך אחד ולפחות מתנגד אחד" הוא "כל השישה מאותה עמדה" - כולם תומכים או כולם מתנגדים:

טעות נפוצה: להוריד רק את המקרה "כולם תומכים" ולקבל $1-\left(\frac12\right)^6=\frac{63}{64}$ - גם "כולם מתנגדים" אינו מקיים את הדרישה.

עכשיו המרואיינים נבחרים מכל המשתתפים, וההסתברות שמרואיין צעיר היא $p=0.6$ (בלתי תלוי בין המרואיינים).

המרואיין החמישי צעיר, ולכן בין ארבעת הראשונים יש בדיוק 2 צעירים (ברנולי עם $n=4$):

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי על המרואיין האחרון ולחשב $\binom53(0.6)^3(0.4)^2=0.3456$ - זו ההסתברות לבדיוק 3 צעירים בכל סדר שהוא.

הנקודות A, B, E, D נמצאות על המעגל השמאלי, ולכן המרובע ABED חסום במעגל, וסכום כל שתי זוויות נגדיות בו הוא $180^\circ$:

הנקודות C, B, E על ישר אחד, ולכן $\angle CBA$ ו-$\angle ABE$ זוויות צמודות: $\angle CBA=180^\circ-\angle ABE$.

מכאן $\angle EDA=\angle CBA$. (זווית חיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמול הזווית הצמודה לה.)

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle EDA=\angle EBA$ כי שתיהן "נשענות על הקשת EA" - הנקודות D ו-B נמצאות משני צדי המיתר EA, ולכן הזוויות האלה משלימות זו את זו ל-$180^\circ$, ולא שוות.

במעגל הימני: $\angle CBA=\angle CFA$ - זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת CA (הנקודות B ו-F באותו צד של המיתר CA).

יחד עם סעיף א: $\angle EDA=\angle CFA$.

במרובע GDAF:

הזווית בקודקוד D: E נמצאת על הקטע DG, ולכן $\angle GDA=\angle EDA=\angle CFA$.

הזווית בקודקוד F: G, F, C על ישר אחד, ולכן $\angle GFA=180^\circ-\angle CFA$.

D ו-F הם קודקודים נגדיים במרובע GDAF, וסכום הזוויות בהם $180^\circ$, ולכן המרובע בר חסימה במעגל.

טעות נפוצה: להראות ש-$\angle GDA=\angle CFA$ ולהסיק מיד שהמרובע בר חסימה כי "יש בו זוויות שוות" - התנאי הוא סכום $180^\circ$ של זוויות נגדיות, ו-$\angle CFA$ היא זווית חיצונית למרובע.

$\angle GEC$ היא זווית חיצונית למשולש EDC (G, E, D על ישר אחד), ולכן היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

באותו אופן, $\angle CHA$ היא זווית חיצונית למשולש HFC (A, H, F על ישר אחד):

$\angle EDC=\angle EDA$ (A על DC) ו-$\angle HFC=\angle AFC$ (H על AF), ולפי סעיף ב $\angle EDA=\angle CFA$. לכן $\angle EDC=\angle HFC$.

נתון $\angle GEC=\angle CHA$, ולכן גם המחוברים הנותרים שווים: $\angle ECD=\angle HCF$.

$\angle HCF$ היא הזווית בין CB (=CE) ל-CF (=CG), כלומר $\angle ECG$. לכן $\angle DCE=\angle ECG$: הקטע CE חוצה את הזווית GCD במשולש GCD.

לפי משפט חוצה הזווית, חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה:

טעות נפוצה: לכתוב את משפט חוצה הזווית בהתאמה הפוכה, $\frac{CG}{CD}=\frac{DE}{GE}$ - הקטע GE צמוד לצלע CG, ולכן הוא מתאים לה.

CE מאונך ל-AB, ולכן $\angle CBA=90^\circ$, ולפי סעיף א גם $\angle EDA=90^\circ$. מכאן במשולש GDC: $\angle GDC=90^\circ$.

נסמן $EG=y$. לפי סעיף ג: $\frac{CG}{36}=\frac{y}{18}$, ולכן $CG=2y$. כמו כן $GD=GE+ED=y+18$.

משפט פיתגורס במשולש GDC (היתר CG):

$y=30$ (הפתרון $y=-18$ נפסל כי אורך חיובי). לכן $EG=30$, $CG=60$.

טעות נפוצה: לכתוב $GD=y$ (לשכוח את הקטע DE), לקבל $4y^2=y^2+1296$ ומשם $EG=12\sqrt3\approx20.8$.

$OD\perp DE$: רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן $\angle ODE=90^\circ$.

$C$ אמצע המיתר $AB$, והקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר, ולכן $\angle OCE=90^\circ$.

במשולש ישר הזווית $OCA$: $OC=0.5R$ (המרחק של $O$ מהמיתר) ו-$OA=R$ (יתר), ולכן

$\angle DOC=\angle DOA+\angle AOC=2\alpha+60^\circ$.

סכום הזוויות במרובע הוא $360^\circ$:

טעות נפוצה: לכתוב $\sin\angle AOC=\frac{0.5R}{R}$ (כאילו $OC$ הוא הניצב שמול הזווית) ולקבל $\angle AOC=30^\circ$, ומכאן $\angle DOC=2\alpha+30^\circ$ ו-$\angle DEC=150^\circ-2\alpha$.

במשולש $DOA$: $OD=OA=R$ והזווית ביניהן $2\alpha$. הגובה מ-$O$ חוצה את הבסיס ואת זווית הראש, ולכן $DA=2R\sin\alpha$.

זוויות הבסיס במשולש שווה-השוקיים: $\angle ODA=\angle OAD=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$.

$\angle ADE=\angle ODE-\angle ODA=90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha$ (זו הזווית בין המשיק למיתר $DA$ - מחצית הזווית המרכזית $2\alpha$).

במשולש $OCA$: $\angle OAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

$B$, $A$ ו-$E$ על ישר אחד, ולכן

ו-$\angle DEA=180^\circ-\alpha-(60^\circ+\alpha)=120^\circ-2\alpha$ (כמו בסעיף א).

משפט הסינוסים במשולש $DAE$:

טעות נפוצה: לחשב את המיתר לפי הזווית המרכזית כולה, $DA=2R\sin2\alpha$, ולקבל $DE=\frac{2R\sin2\alpha\cdot\sin(60^\circ+\alpha)}{\sin(120^\circ-2\alpha)}$.

במשולש $AOD$ הצלע $DA$ נמצאת מול הזווית $\angle DOA=2\alpha$. לפי משפט הסינוסים, עם רדיוס המעגל החוסם:

$\sin\alpha\ne0$, ולכן $\frac{1}{\cos\alpha}=\frac87$, כלומר $\cos\alpha=\frac78$.

$\alpha\approx28.96^\circ$ (ומתקיים $\alpha\le60^\circ$).