מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 9 ברמת בגרות

גרף I מתחיל בראשית $(0,0)$ - הרכב שלו יצא בזמן 0, כשהאוטובוס יצא.

גרף II מתחיל בנקודה $(2,0)$ - הרכב שלו יצא שעתיים אחר כך.

המונית יצאה שעתיים אחרי האוטובוס, ולכן גרף II מתאר את המונית וגרף I מתאר את האוטובוס.

טעות נפוצה: לבחור לפי מי שהגיע ראשון ליעד (210 ק"מ) - גרף II מגיע ראשון - ולענות שגרף II הוא האוטובוס "כי הוא יצא ראשון". מי שיצא ראשון הוא מי שהגרף שלו מתחיל ראשון על ציר הזמן.

האוטובוס הוא גרף I (סעיף א). מעל $x=2$ גרף I נמצא בגובה $y=100$ (שם הקו משנה את השיפוע שלו).

לכן שעתיים אחרי שיצא היה האוטובוס 100 ק"מ מן התחנה.

טעות נפוצה: לקרוא את גרף II ב-$x=2$ ולענות 0 ק"מ - זו המונית, שבדיוק אז יוצאת לדרך.

מחפשים בגרף I (האוטובוס) את הנקודה שבה $y=120$.

בין $x=2$ ל-$x=5$ גרף I עולה מ-100 ל-160 ק"מ, 20 ק"מ בכל שעה: $100\to120\to140\to160$.

הגרף מגיע לגובה 120 מעל $x=3$, כלומר 3 שעות אחרי שהאוטובוס יצא.

טעות נפוצה: לקרוא את הגרף התלול, גרף II, בגובה 120 ולענות $2+\frac{120}{70}=\frac{26}{7}\approx3.71$ שעות - זה הזמן שבו המונית הייתה 120 ק"מ מן התחנה.

5 שעות אחרי שהאוטובוס יצא - זה $x=5$.

האוטובוס (גרף I) ב-$x=5$: 160 ק"מ.

המונית (גרף II) ב-$x=5$: 210 ק"מ - בדיוק אז היא מגיעה ליעד.

המונית נמצאת 50 ק"מ לפני האוטובוס.

טעות נפוצה: לקרוא רק את גרף האוטובוס ב-$x=5$ ולענות 160 ק"מ - זה המרחק של האוטובוס מן התחנה, לא המרחק בין שני כלי הרכב.

שני הגרפים נחתכים בנקודה $(4,140)$: 4 שעות אחרי שהאוטובוס יצא, שני כלי הרכב נמצאים 140 ק"מ מן התחנה.

לפני הנקודה הזו האוטובוס היה לפני המונית (גרף I מעל גרף II), ואחריה המונית עקפה אותו.

לכן הם נפגשו, 140 ק"מ מן התחנה.

טעות נפוצה: לחשוב שהם נפגשו ביעד, 210 ק"מ מן התחנה, כי שני הגרפים מגיעים לגובה 210 - אבל המונית הגיעה ל-210 אחרי 5 שעות והאוטובוס אחרי 6. מפגש הוא אותו מקום באותו זמן, כלומר נקודת חיתוך של הגרפים.

כל גרף מתחיל על ציר הזמן (מרחק 0) בשעת היציאה: גרף אחד ב-$0$ דקות (8:00) והשני ב-$60$ דקות (9:00).

משאית ב' יצאה מאוחר יותר, ולכן הגרף שמתחיל ב-9:00 הוא שלה.

משאית א' יצאה בשעה 8:00, ומשאית ב' בשעה 9:00.

טעות נפוצה: לזהות את משאית א' לפי הגרף הגבוה יותר בסוף (160 ק"מ) "כי היא יצאה ראשונה" - הזיהוי נעשה לפי שעת היציאה, והגרף הגבוה יותר הוא דווקא של משאית ב'.

השעה 10:30 היא $150$ דקות אחרי 8:00.

משאית א': $100$ ק"מ מן המחסן. משאית ב': $120$ ק"מ מן המחסן.

המרחק בין המשאיות היה 20 ק"מ (משאית ב' כבר עקפה את משאית א').

טעות נפוצה: לענות $120$ ק"מ - המרחק של משאית ב' מן המחסן, ולא המרחק בין שתי המשאיות.

בשעה 11:00 ($180$ דקות) קוראים את גובה כל גרף:

משאית א': $120$ ק"מ. משאית ב': $160$ ק"מ.

טעות נפוצה: לענות רק את ההפרש $160-120=40$ ק"מ - הסעיף מבקש את המרחק של כל משאית.

מהירות = דרך חלקי זמן.

משאית א': $120$ ק"מ ב-$3$ שעות (8:00 עד 11:00):

כלומר 40 קמ"ש.

משאית ב': $160$ ק"מ ב-$2$ שעות (9:00 עד 11:00):

כלומר 80 קמ"ש.

משאית ב' מהירה יותר (פי 2), וגם הקו שלה בגרף תלול יותר.

טעות נפוצה: לחלק את $160$ ב-$3$ שעות (כל חלון הזמן), $\frac{160}{3}\approx53.33$ קמ"ש - משאית ב' נסעה רק שעתיים.

היקף הגלגל האחורי הוא $140\pi$ ס"מ, כ-439.82 ס"מ.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת השטח, $\pi\cdot70^2=4900\pi$.

אורך הרדיוס של הגלגל הקדמי הוא 49 ס"מ.

טעות נפוצה: לחלק רק ב-$\pi$ ולקבל 98 ס"מ - זה הקוטר.

ההפרש בין הרדיוסים: $70-49=21$ ס"מ.

משווים לרדיוס של הגלגל האחורי ("מן הרדיוס של הגלגל האחורי"):

הרדיוס של הגלגל הקדמי קטן ב-30%.

טעות נפוצה: לחלק ברדיוס של הגלגל הקדמי, $\frac{21}{49}\cdot100\approx42.9\%$.

בכל סיבוב הגלגל הקדמי מתקדם מרחק השווה להיקף שלו, $98\pi$ ס"מ.

זה המרחק בסנטימטרים; מחלקים ב-100 כדי לעבור למטרים:

הטרקטור עבר $490\pi$ מטרים, כ-1539.4 מטרים.

טעות נפוצה: להשתמש בהיקף של הגלגל האחורי, $500\cdot140\pi=70000\pi$ ס"מ, ולקבל $700\pi\approx2199.1$ מטרים.

$ABLK$ מלבן, ולכן $BL\perp CD$ והמשולש $BLC$ ישר זווית ($\angle BLC=90^\circ$), עם היתר $BC$.

אורך הקטע $BL$ הוא 48 ס"מ.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים, $\sqrt{50^2+14^2}=\sqrt{2696}\approx51.92$ ס"מ - יוצא ניצב ארוך מהיתר.

$0.84$ מטרים הם $84$ ס"מ.

בטרפז שווה שוקיים הגבהים $AK$ ו-$BL$ חותכים מהבסיס הגדול קטעים שווים: $DK=LC=14$ ס"מ.

אורך הקטע $KL$ הוא 56 ס"מ.

טעות נפוצה: לחסר רק את $LC$, $84-14=70$ ס"מ.

שטח המלבן הוא 2,688 סמ"ר.

טעות נפוצה: לכפול בשוק $BC$ במקום בגובה, $56\cdot50=2800$ סמ"ר.

$AB=KL=56$ ס"מ (צלעות נגדיות במלבן), והגובה $BL=48$ ס"מ.

שטח החלון גדול פי $1.25$ משטח הזכוכית השקופה.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בשטח הטרפז, $140\cdot48=6720$, ולענות פי $2.5$.

4 ק"ג נמצא בין 3 ל-5, והמדרגה בתחום הזה נמצאת בגובה 30.

לכן המחיר 30 שקלים.

טעות נפוצה: לקרוא את המדרגה שמסתיימת ב-3 ק"ג ולענות 25 שקלים. 4 גדול מ-3, ולכן הוא במדרגה הבאה.

המדרגה בגובה 25 מתחילה ב-1 ק"ג (נקודה ריקה) ומסתיימת ב-3 ק"ג (נקודה מלאה).

הנקודה המלאה ב-3 אומרת שמשלוח של 3 ק"ג עולה 25 שקלים, ולכן המשקל הגבוה ביותר הוא 3 ק"ג.

טעות נפוצה: לענות 1 ק"ג, המשקל שבו מתחילה המדרגה. שם הנקודה ריקה, וממילא זה הקצה הנמוך של המדרגה.

בנפרד: חבילה של 0.8 ק"ג (בין 0 ל-1) עולה 15 שקלים, וחבילה של 2.5 ק"ג (בין 1 ל-3) עולה 25 שקלים. סך הכול $15+25=40$ שקלים.

במשלוח אחד: $0.8+2.5=3.3$ ק"ג, בין 3 ל-5, ולכן המחיר 30 שקלים.

החיסכון: $40-30=10$ שקלים.

טעות נפוצה: לקרוא את 3.3 ק"ג במדרגה של 25 שקלים, כאילו הוא עדיין עד 3 ק"ג, ולקבל חיסכון של $40-25=15$ שקלים. 3.3 גדול מ-3, ולכן המשלוח המאוחד במדרגה של 30 שקלים.

טעות נפוצה: לשלם את דמי הפתיחה בעבור כל שעה, $(40+35)\cdot3=225$.

בדיקה: $40+35\cdot8=320$.

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום ב-35 בלי להוריד את דמי הפתיחה: $\frac{320}{35}\approx9.14$.

בדיקה מול סעיף א: $40+35\cdot3=145$.

טעות נפוצה: לכתוב $35+40x$ - עבור 3 שעות זה נותן 155, ולא 145.

המחיר של מסלול ב': $100+25x$.

בדיקה: $40+35\cdot6=250$ ו-$100+25\cdot6=250$.

טעות נפוצה: להעביר אגפים עם סימן שגוי, $10x=100+40=140$, ולקבל $x=14$ - אבל עבור 14 שעות המחירים שונים (530 לעומת 450).