בגרות במתמטיקה 172 - קיץ 2023 מועד ב'

קודם מוצאים כמה תלמידים יש במסיבה - סכום השכיחויות:

הגיל הממוצע הוא סכום כל הגילים חלקי מספר התלמידים. לכל גיל יש שכיחות אחרת, ולכן כופלים כל גיל במספר התלמידים שבגיל הזה (ממוצע משוקלל):

הגיל הממוצע הוא 16.2 שנים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שלושת הגילים בלי השכיחויות, $\frac{15+16+17}{3}=16$. יש הרבה יותר בני 17 מבני 15, ולכן הממוצע חייב להיות גדול מ-16.

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים - הגיל שיש לו השכיחות הגדולה ביותר.

השכיחויות: 24, 20, 41. הגדולה ביותר היא 41, והיא של הגיל 17.

הגיל השכיח הוא 17.

טעות נפוצה: לענות 41 - זה מספר התלמידים בני 17 (השכיחות), ולא הגיל השכיח.

הגיל הממוצע הוא 16.2 (סעיף א). הגילים הגבוהים ממנו: רק 17 (כי $16<16.2$).

מספר התלמידים בני 17 הוא 41 מתוך 85:

כ-48.24% מהתלמידים גילם גבוה מהגיל הממוצע.

טעות נפוצה: לכלול גם את בני ה-16 ("16 זה בערך הממוצע") ולחשב $\frac{20+41}{85}\cdot100\approx71.76\%$. הגיל 16 קטן מ-16.2, ולכן הוא לא גבוה מהממוצע.

כל התלמידים שהצטרפו הם בני 16, וזה גיל קטן מהממוצע הקודם, 16.2. כשמוסיפים נתונים שקטנים מהממוצע, הממוצע קטן.

אפשר לאמת בחישוב: סכום הגילים החדש $1{,}377+4\cdot16=1{,}441$, ומספר התלמידים $85+4=89$:

הגיל הממוצע קטן.

טעות נפוצה: לחשוב ש"הצטרפו עוד תלמידים, לכן הממוצע גדל". הממוצע תלוי בגיל של מי שנוסף ולא במספר הנוספים; כאן נוסף גיל שקטן מהממוצע.

במרחב המדגם 6 תוצאות שוות הסתברות - ששת הכדורים.

המספרים הגדולים מ-15 (15 עצמו לא נכלל): 16, 18, 21 - שלוש תוצאות.

טעות נפוצה: לכלול גם את 15 ("גדול או שווה") ולקבל $\frac{4}{6}=\frac23$. "גדול מ-15" לא כולל את 15.

המספרים הזוגיים: 12, 14, 16, 18 - ארבע תוצאות מתוך 6.

טעות נפוצה: לספור את 21 כזוגי (בגלל הספרה 2) ולקבל $\frac56$. מספר הוא זוגי לפי ספרת האחדות שלו, ו-21 הוא אי-זוגי.

מחשבים את סכום הספרות של כל מספר: $12\to1+2=3$, $14\to5$, $15\to6$, $16\to7$, $18\to9$, $21\to2+1=3$.

סכום ספרות 3 יש ל-12 ול-21 - שתי תוצאות.

טעות נפוצה: לשים לב רק ל-12 ולשכוח את 21, ולקבל $\frac16$. בודקים את כל המספרים.

צריך ששני התנאים יתקיימו יחד.

המספרים הזוגיים: 12, 14, 16, 18. מהם, המתחלקים ב-3: $12=3\cdot4$ ו-$18=3\cdot6$ (14 ו-16 לא מתחלקים ב-3).

שתי תוצאות מתאימות:

טעות נפוצה: לספור את כל המספרים שמתחלקים ב-3 (12, 15, 18, 21) בלי לדרוש שיהיו זוגיים, ולקבל $\frac{4}{6}=\frac23$.

היקף מלבן הוא פעמיים סכום האורך והרוחב. ההיקף 34, ולכן סכום האורך והרוחב הוא חצי ההיקף:

כל זוג מספרים חיוביים שסכומו 17 מתאים, למשל: אורך 10 מ' ורוחב 7 מ' (היקף $2\cdot17=34$), או אורך 12 מ' ורוחב 5 מ'.

טעות נפוצה: לחפש זוג שסכומו 34 (למשל 20 ו-14) - זה נותן היקף $2\cdot34=68$. ההיקף כולל כל צלע פעמיים.

במלבן $BC$ הוא הרוחב ו-$AB$ הוא האורך. מסעיף א, אורך + רוחב = 17:

אורך הצלע $AB$ הוא 12 מטרים.

טעות נפוצה: לחסר את 5 מכל ההיקף, $34-5=29$, ולשכוח שבהיקף יש שתי צלעות של 5 ושתי צלעות של $AB$.

$BD$ הוא אלכסון המלבן. במשולש $DCB$ הזווית $C$ ישרה (זווית של מלבן), $DC=AB=12$ ו-$BC=5$, ו-$BD$ הוא היתר.

לפי משפט פיתגורס:

יעל שחתה 13 מטרים.

טעות נפוצה: לחסר את הריבועים במקום לחבר, $\sqrt{144-25}=\sqrt{119}\approx10.91$. מחסרים רק כשמחפשים ניצב; כאן האלכסון הוא היתר.

זמן = דרך חלקי מהירות. הדרך 13 מטרים והמהירות 1.5 מטרים לשנייה:

יעל שחתה כ-8.67 שניות.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $13\cdot1.5=19.5$ שניות. ככל שהמהירות גדולה יותר הזמן קצר יותר, ולכן מחלקים במהירות.

החישוק הוא מעגל שרדיוסו 9 מ"מ. היקף מעגל: $P=2\pi r$.

היקף החישוק הוא כ-56.55 מ"מ (בחישוב עם $\pi\approx3.14$ מתקבל $56.52$).

טעות נפוצה: לחשב $\pi\cdot9\approx28.27$ - להציב את הרדיוס בנוסחה $\pi d$ שמתאימה לקוטר. הקוטר הוא 18, לא 9.

שטח מלבן = צלע × צלע. השטח 180 וצלע אחת 12, ולכן הצלע האחרת היא:

אורך הצלע האחרת הוא 15 מ"מ.

טעות נפוצה: לחסר, $180-12=168$ - להתייחס ל-180 כאל היקף או כאל סכום. בשטח הצלעות מוכפלות, ולכן מחלקים.

שטח של אבן חן אחת: $3\cdot3=9$ ממ"ר.

מספר האבנים הוא שטח המלבן חלקי שטח אבן אחת:

בדיקה בדרך אחרת: לאורך הצלע 12 נכנסות $12:3=4$ אבנים, ולאורך הצלע 15 נכנסות $15:3=5$ אבנים, ובסך הכול $4\cdot5=20$ אבנים - הכיסוי מדויק.

טעות נפוצה: לחלק את השטח באורך הצלע של האבן במקום בשטחה, $\frac{180}{3}=60$. אבן היא ריבוע ששטחו 9 ממ"ר.

מוצאים את 1.5 על ציר המשקל ועולים עד הגרף. המשקל 1.5 נמצא במדרגה הראשונה (מעל 0 ועד 3 ק"ג), שגובהה 15.

המחיר הוא 15 שקלים.

טעות נפוצה: לחשוב שהגרף נותן מחיר לכל ק"ג ולכפול: $1.5\cdot15=22.5$ שקלים. בגרף מדרגות המחיר קבוע לכל המשקלים שבמדרגה - חבילה של 1.5 ק"ג עולה 15 שקלים.

המשקל 5 הוא נקודת קצה של שתי מדרגות. במדרגה של 20 שקלים הנקודה ב-5 מלאה (5 שייך למדרגה), ובמדרגה של 30 שקלים הנקודה ב-5 ריקה (5 לא שייך לה).

לכן המחיר של חבילה במשקל 5 ק"ג הוא 20 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 30 שקלים - לבחור את המדרגה שבה הנקודה ב-5 ריקה. נקודה ריקה פירושה שהמשקל הזה לא נכלל במדרגה.

המדרגה בגובה 40 מתחילה בנקודה ריקה ב-10 ומסתיימת בנקודה מלאה ב-20. לכן המחיר 40 מתאים לכל משקל גדול מ-10 ועד 20 ק"ג (כולל 20, לא כולל 10).

דוגמה: חבילה שמשקלה 15 ק"ג.

טעות נפוצה: לתת את הדוגמה 10 ק"ג. ב-10 הנקודה של המדרגה 40 ריקה, ומחיר חבילה של 10 ק"ג הוא 30 שקלים.

בנפרד: חבילה של 2 ק"ג עולה 15 שקלים (המדרגה הראשונה), וחבילה של 4 ק"ג עולה 20 שקלים (המדרגה מעל 3 ועד 5). סך הכול $15+20=35$ שקלים.

ביחד: חבילה אחת שמשקלה $2+4=6$ ק"ג נמצאת במדרגה מעל 5 ועד 10, ומחירה 30 שקלים.

החיסכון: $35-30=5$ שקלים.

טעות נפוצה: לענות 30 שקלים - זה המחיר של החבילה המאוחדת, לא החיסכון. החיסכון הוא ההפרש בין המחיר בנפרד (35) למחיר ביחד (30).

הגדלה ב-$40\%$ פירושה כפל ב-$1.4$ (המחיר המקורי ועוד $40\%$ ממנו):

המחיר של כרטיס למבוגר בחורף הוא 42 שקלים.

טעות נפוצה: להוסיף 40 שקלים במקום $40\%$ ולקבל $30+40=70$ שקלים. $40\%$ מ-30 הם רק $30\cdot0.4=12$ שקלים.

נסמן ב-$x$ את המחיר של כרטיס למבוגר בקיץ וב-$y$ את המחיר של כרטיס לילד בקיץ.

שתי המשפחות קנו אותו מספר כרטיסים למבוגרים (2). לכן ההפרש בתשלום נובע רק מ-3 כרטיסים נוספים לילדים. מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה:

מציבים במשוואה הראשונה:

בדיקה: $2\cdot40+6\cdot25=80+150=230$.

בקיץ כרטיס לילד עולה 25 שקלים, וכרטיס למבוגר עולה 40 שקלים.

טעות נפוצה: לחלק את ההפרש 75 ב-6 (מספר הילדים במשפחת לוי) במקום ב-3 (מספר הילדים הנוספים), ולקבל $y=12.5$ ו-$x=58.75$. ההפרש בתשלום הוא המחיר של $6-3=3$ כרטיסים בלבד.