בגרות במתמטיקה 172 - חורף 2023

מספר המשפחות הוא סכום השכיחויות (השורה התחתונה בטבלה):

בבניין 32 משפחות.

טעות נפוצה: לחבר את הערכים שבשורה העליונה, $0+1+2+3=6$, ולענות 6 משפחות. השורה העליונה היא מספר המכוניות, לא מספר המשפחות.

זהו ממוצע משוקלל: כל ערך (מספר מכוניות) כפול השכיחות שלו (מספר המשפחות), וסכום המכפלות מחולק במספר המשפחות:

בממוצע $1.375$ מכוניות למשפחה.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת הערכים בלי השכיחויות, $\frac{0+1+2+3}{4}=1.5$.

השכיח הוא הערך שהשכיחות שלו היא הגדולה ביותר.

השכיחות הגדולה ביותר היא 18 (יותר מ-3, 7 ו-4), והיא שייכת לערך 1.

לכן המספר השכיח של מכוניות למשפחה הוא 1.

טעות נפוצה: לענות 18 - זו השכיחות (כמה משפחות), ולא הערך השכיח (כמה מכוניות).

"לכל היותר 2 מכוניות" פירושו 0, 1 או 2 מכוניות (2 כלול).

מספר המשפחות האלה: $3+18+7=28$.

האחוז מתוך 32 המשפחות:

טעות נפוצה: לפרש "לכל היותר 2" כ"פחות מ-2", לספור רק $3+18=21$ משפחות ולקבל $\frac{21}{32}\cdot100=65.625\%$.

מספר הכדורים הלבנים: $12-7=5$.

ההסתברות היא מספר הכדורים הלבנים חלקי מספר כל הכדורים:

טעות נפוצה: לחלק את מספר הכדורים השחורים במספר הכדורים, $\frac{7}{12}$ - זו ההסתברות להוציא כדור שחור.

הכדור הראשון הוחזר לקופסה, ולכן בהוצאה השנייה יש שוב 12 כדורים, 7 שחורים ו-5 לבנים. שתי ההוצאות בלתי תלויות.

ההסתברות של "לבן ואז שחור" היא מכפלת ההסתברויות:

טעות נפוצה: לשכוח שהכדור הוחזר ולחשב כאילו נשארו 11 כדורים, $\frac{5}{12}\cdot\frac{7}{11}=\frac{35}{132}$.

"אותו צבע" פירושו: שניהם לבנים או שניהם שחורים. אלה שתי אפשרויות זרות, ולכן מחברים את ההסתברויות שלהן.

שניהם לבנים: $\frac{5}{12}\cdot\frac{5}{12}=\frac{25}{144}$.

שניהם שחורים: $\frac{7}{12}\cdot\frac{7}{12}=\frac{49}{144}$.

טעות נפוצה: לחשב רק את האפשרות של שני כדורים שחורים ולענות $\frac{49}{144}$, ולשכוח ששני כדורים לבנים הם גם "אותו צבע".

רדיוס המפה גדול מרדיוס השולחן ב-$0.5$ מטר:

רדיוס המפה הוא $1.5$ מטר.

טעות נפוצה: להוסיף את הגלישה פעמיים (משני צדי השולחן), $1+2\cdot0.5=2$ מטר. הגלישה משני הצדדים מגדילה את הקוטר ב-1, אבל את הרדיוס רק ב-$0.5$.

המפה היא עיגול שרדיוסו $1.5$ מטר. שטח עיגול: $S=\pi R^2$.

דרושים כ-$7.07$ מ"ר בד.

טעות נפוצה: לחשב את שטח השולחן במקום את שטח המפה, $\pi\cdot1^2\approx3.14$ מ"ר.

שולי המפה הם מעגל שרדיוסו $1.5$ מטר, ואורך הסרט הוא היקף המעגל: $P=2\pi R$.

אורך הסרט כ-$9.42$ מטר.

טעות נפוצה: לחשב את היקף השולחן במקום את היקף המפה, $2\pi\cdot1\approx6.28$ מטר.

המחיר למ"ר כופלים בשטח (סעיף א(2)), והמחיר למטר כופלים באורך (סעיף ב):

בד: $30\cdot2.25\pi=67.5\pi\approx212.06$ שקלים.

סרט: $10\cdot3\pi=30\pi\approx94.25$ שקלים.

סך הכול משלמים כ-306 שקלים (אם מציבים את הערכים המעוגלים $7.07$ ו-$9.42$ מקבלים $212.1+94.2=306.3$).

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים - לכפול את השטח ב-10 ואת האורך ב-30: $22.5\pi+90\pi=112.5\pi\approx353.43$ שקלים.

קודם מביאים את כל המידות לאותה יחידה: 4 מטרים הם $4\cdot100=400$ ס"מ.

מספר האריחים לאורך הקיר: $400:20=20$.

מספר האריחים לרוחב הקיר: $60:20=3$.

צריך 60 אריחים.

טעות נפוצה: לחלק את שטח הקיר באורך הצלע של האריח במקום בשטח האריח, $\frac{400\cdot60}{20}=1200$ אריחים. שטח אריח הוא $20\cdot20=400$ סמ"ר.

גדול ב-15% פירושו כפל ב-$1.15$:

משפחת לוי קנתה 69 אריחים.

טעות נפוצה: לחשב רק את התוספת, $60\cdot0.15=9$, ולענות 9 אריחים.

ההפרש במספר האריחים: $69-60=9$ אריחים, וכל אריח עולה 14 שקלים:

(או: $69\cdot14-60\cdot14=966-840=126$.)

ההפרש הוא 126 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 966 שקלים - המחיר הכולל ששילמה המשפחה - במקום ההפרש בין שני המחירים.

לפי המקרא, כל ♫ הוא 200 כרטיסים וכל ♪ הוא 100 כרטיסים. סופרים את הסמלים בכל שורה:

50 שקלים: $6\cdot200+1\cdot100=1{,}300$.

60 שקלים: $2\cdot200+1\cdot100=500$.

70 שקלים: $1\cdot100=100$.

80 שקלים: $3\cdot200=600$.

טעות נפוצה: להתעלם מהמקרא ולספור כל סמל כ-200 כרטיסים, ולקבל למשל $7\cdot200=1{,}400$ כרטיסים במחיר 50 שקלים.

מחברים את ארבעת המספרים מהטבלה:

טעות נפוצה: לספור את הסמלים ($7+3+1+3=14$) ולכפול את כולם ב-200, $14\cdot200=2{,}800$.

לכל מחיר: מספר הכרטיסים כפול המחיר, ואז מחברים:

טעות נפוצה: לכפול את מספר הכרטיסים הכולל בממוצע המחירים, $2{,}500\cdot65=162{,}500$ - לא לכל מחיר נמכר אותו מספר כרטיסים.

הכרטיס היקר ביותר עולה 80 שקלים, ונמכרו 600 כרטיסים כאלה מתוך 2,500:

טעות נפוצה: לקחת את המחיר שנמכרו ממנו הכי הרבה כרטיסים (50 שקלים) במקום את היקר ביותר, $\frac{1{,}300}{2{,}500}\cdot100=52\%$.

מחשבים את התשלום הכולל בכל הצעה עבור 48 עמודים.

הצעה 1: הדפסה של 48 עמודים ועוד הכריכה: $2\cdot48+50=96+50=146$ שקלים.

הצעה 2: הדפסה בלבד: $3\cdot48=144$ שקלים.

$144<146$, ולכן כדאי לשחר לבחור בהצעה 2 (הוא חוסך 2 שקלים).

טעות נפוצה: לשכוח את 50 השקלים של הכריכה בהצעה 1 ($2\cdot48=96<144$), ולבחור בהצעה 1.

נסמן ב-$x$ את מספר העמודים בעבודה של לירון. בהצעה 1 היא שילמה 2 שקלים לכל עמוד ועוד 50 שקלים לכריכה, וסך הכול 166 שקלים:

בדיקה: $2\cdot58+50=116+50=166$.

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום במחיר לעמוד בלי להפחית את מחיר הכריכה, $166:2=83$ עמודים.

בכל הצעה המחיר הכולל הוא המחיר לעמוד כפול מספר העמודים $x$, ועוד תשלום קבוע (אם יש).

הצעה 1: 2 שקלים לעמוד ועוד 50 שקלים קבועים לכריכה: $y=2x+50$ - ביטוי III.

הצעה 2: 3 שקלים לעמוד ואין תשלום קבוע: $y=3x$ - ביטוי II.

(ביטוי I, $y=50x$, אומר 50 שקלים לכל עמוד - הוא לא מתאר אף הצעה.)

טעות נפוצה: לבחור בביטוי I לתיאור הצעה 1 בגלל המספר 50, כאילו מחיר הכריכה משולם על כל עמוד.