בגרות במתמטיקה 172 - קיץ 2023 מועד א'

כל עוד תמר לא מסתפרת, השיער מתארך והגרף עולה. תספורת היא ירידה פתאומית באורך השיער, כלומר "קפיצה" של הגרף כלפי מטה.

בגרף יש שלוש קפיצות כאלה: בחודש 3 (מ-9 ס"מ ל-4 ס"מ), בחודש 5 (מ-6 ל-4) ובחודש 10 (מ-9 ל-3).

לכן תמר הסתפרה 3 פעמים.

טעות נפוצה: לספור את הקטעים העולים של הגרף במקום את הקפיצות, ולענות 4 פעמים. יש 4 קטעים, אבל רק 3 תספורות ביניהם (תמר לא הסתפרה בתחילת השנה ולא בסופה).

בין תספורת לתספורת הגרף עולה ברציפות. אורך כל קטע כזה על ציר הזמן הוא משך הזמן שבו תמר לא הסתפרה:

מחודש 0 עד חודש 3: $3-0=3$ חודשים.

מחודש 3 עד חודש 5: $5-3=2$ חודשים.

מחודש 5 עד חודש 10: $10-5=5$ חודשים.

מחודש 10 עד חודש 12: $12-10=2$ חודשים.

משך הזמן הארוך ביותר הוא 5 חודשים, מחודש 5 עד חודש 10.

טעות נפוצה: לספור את מספרי החודשים $5,6,7,8,9,10$ במקום את ההפרש ביניהם, ולענות 6 חודשים.

האורך המקסימלי הוא הנקודה הגבוהה ביותר שהגרף מגיע אליה.

הגרף מגיע לגובה 9 ס"מ פעמיים: בחודש 3 ובחודש 10, רגע לפני התספורת. בשני המקרים הנקודה מלאה, כלומר האורך 9 ס"מ אכן התקבל.

לכן האורך המקסימלי היה 9 ס"מ.

טעות נפוצה: להסתכל רק על סוף השנה ולענות 5 ס"מ. בסוף השנה השיער היה באורך 5 ס"מ, אבל במהלך השנה הוא היה ארוך יותר.

מוצאים את קצב הצמיחה מקטע אחד של הגרף, למשל הקטע הראשון: מחודש 0 עד חודש 3 השיער התארך מ-6 ס"מ ל-9 ס"מ.

קצב הצמיחה:

כלומר 1 ס"מ לחודש.

(בכל הקטעים האחרים הקצב זהה: למשל מחודש 5 עד חודש 10 השיער התארך מ-4 ל-9, כלומר 5 ס"מ ב-5 חודשים.)

בשלושה חודשים, באותו קצב: $1\cdot3=3$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחלק את האורך במספר החודשים במקום את השינוי באורך, $\frac{9}{3}=3$ ס"מ לחודש, ולקבל שהשיער צמח $3\cdot3=9$ ס"מ.

הקובייה מאוזנת, ולכן לכל אחת משש הפאות אותו סיכוי. התוצאה 2 מופיעה על פאה אחת בלבד.

טעות נפוצה: לחשוב שיש רק שתי אפשרויות - הקובייה נופלת על 2 או לא נופלת על 2 - ולענות $\frac{1}{2}$. שתי האפשרויות אינן שוות סיכוי: ל-"לא 2" יש 5 פאות ול-2 רק אחת.

שתי הזריקות אינן תלויות זו בזו: תוצאת הזריקה הראשונה לא משפיעה על השנייה.

ההסתברות ששני מאורעות בלתי תלויים יתרחשו יחד היא מכפלת ההסתברויות:

(אפשר גם לספור: מתוך $36$ זוגות תוצאות אפשריים רק הזוג $(4,4)$ מתאים.)

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום להכפיל, $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$.

גיל מנצח בשתי תוצאות שונות: קודם 2 ואחר כך 4, או קודם 4 ואחר כך 2.

ההסתברות שגיל מנצח:

מתן מנצח רק בתוצאה אחת, $(5,5)$:

ההסתברות שמתן מנצח:

$\frac{2}{36}>\frac{1}{36}$, ולכן לא: לגיל סיכוי כפול לנצח, כי אצלו שני סדרים מתאימים ואצל מתן רק אחד.

טעות נפוצה: לספור אצל גיל רק את הסדר $(2,4)$, לקבל $\frac{1}{36}$ ולענות שהסיכויים שווים. גם $(4,2)$ מתאימה לתנאי "באחת הפעמים 2 ובפעם האחרת 4".

בסיס התבנית הוא עיגול שרדיוסו 14 ס"מ. שטח עיגול: $S=\pi r^2$.

שטח בסיס התבנית הוא כ-615.75 סמ"ר.

טעות נפוצה: לחשב היקף במקום שטח, $2\pi\cdot14=28\pi\approx87.96$.

השטח המצופה בשוקולד הוא עיגול שרדיוסו 8 ס"מ:

השטח המצופה בשוקולד הוא כ-201.06 סמ"ר.

טעות נפוצה: לשכוח להעלות את הרדיוס בריבוע ולחשב $\pi\cdot8\approx25.13$.

השטח המצופה בקצפת הוא הטבעת שבין העיגול הגדול לעיגול הקטן: שטח העוגה כולה פחות השטח המצופה בשוקולד.

השטח המצופה בקצפת הוא כ-414.69 סמ"ר.

טעות נפוצה: לחסר את הרדיוסים ואז להעלות בריבוע, $\pi(14-8)^2=36\pi\approx113.10$. מחסרים את השטחים, לא את הרדיוסים.

קוטר העוגה של גיא: $2\cdot14=28$ ס"מ.

קוטר העוגה של יעל גדול ב-20%, כלומר פי $1.2$:

עוגה עגולה נכנסת במגש ריבועי אם הקוטר שלה אינו גדול מצלע הריבוע.

מגש 3 (30 ס"מ) ומגש 2 (32 ס"מ) קטנים מ-33.6 ס"מ - העוגה לא תיכנס. מגש 1 (34 ס"מ) גדול מ-33.6 - העוגה נכנסת.

המגש המתאים הוא מגש 1.

טעות נפוצה: להגדיל את הרדיוס במקום את הקוטר, $14\cdot1.2=16.8$ ס"מ, להשוות אותו לצלעות ולהסיק שהעוגה נכנסת בכל המגשים ולבחור את הקטן, מגש 3.

$ABME$ מלבן, ולכן $BM\perp CD$ והמשולש $BMC$ ישר זווית ($\angle BMC=90^\circ$).

במשולש הזה $BC$ הוא היתר (מול הזווית הישרה), ו-$BM$, $MC$ הם הניצבים. לפי משפט פיתגורס:

אורך הקטע $BM$ הוא 60 ס"מ.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים כאילו $BM$ הוא היתר, $\sqrt{87^2+63^2}=\sqrt{11538}\approx107.42$ ס"מ - ניצב אינו יכול להיות ארוך מהיתר.

קודם מביאים את כל הנתונים לאותה יחידה: $2.01$ מטרים הם $201$ ס"מ.

בטרפז שווה שוקיים הגבהים $AE$ ו-$BM$ חותכים מהבסיס הגדול שני קטעים שווים: $DE=MC=63$ ס"מ.

אורך הקטע $EM$ הוא 75 ס"מ.

טעות נפוצה: לחסר רק את $MC$ ולשכוח את הקטע $DE$ שבצד השני, $201-63=138$ ס"מ.

צלעות המלבן הן $EM=75$ ס"מ (סעיף ב) ו-$BM=60$ ס"מ (סעיף א).

שטח המלבן הוא 4,500 סמ"ר.

טעות נפוצה: לכפול בשוק $BC$ במקום בגובה, $75\cdot87=6525$ סמ"ר.

במלבן צלעות נגדיות שוות, ולכן $AB=EM=75$ ס"מ. הגובה של הטרפז הוא $BM=60$ ס"מ.

השטח הצבוע באדום הוא שטח המלבן, 4,500 סמ"ר. "פי כמה" - מחלקים:

שטח השולחן גדול פי $1.84$ מהשטח הצבוע באדום.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת שטח הטרפז, לקבל $276\cdot60=16560$ סמ"ר ולענות פי $3.68$.

הדר שילמה 130 שקלים על 100 דקות, והשתמשה בכולן. המחיר לדקה הוא המחיר הכולל חלקי מספר הדקות:

הדר שילמה $1.3$ שקלים לדקת שיחה.

טעות נפוצה: לחלק בסדר ההפוך, $\frac{100}{130}\approx0.77$ - זה מספר הדקות לשקל אחד, לא המחיר של דקה.

נעמה משלמת 10 שקלים פעם אחת, ועוד $1.5$ שקלים לכל דקה:

נעמה שילמה 28 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול גם את הסכום החד-פעמי במספר הדקות, $(10+1.5)\cdot12=138$ שקלים - את 10 השקלים משלמים פעם אחת בלבד.

הדר שילמה 130 שקלים על החבילה, בלי קשר למספר הדקות. מחיר שלא משתנה כשמספר הדקות גדל מתואר בקו אופקי - גרף 3.

נעמה שילמה 10 שקלים עוד לפני שדיברה דקה אחת, ולכן בגרף שלה המחיר עבור 0 דקות הוא 10 - הגרף חותך את ציר ה-$y$ מעל הראשית. אחר כך המחיר עולה עם מספר הדקות. זה גרף 2.

(גרף 1 יוצא מהראשית - חבילה בלי תשלום חד-פעמי.)

טעות נפוצה: לבחור לחבילה של הדר את גרף 1, כי "הדר שילמה $1.3$ שקלים לדקה" - אבל הדר שילמה סכום קבוע של 130 שקלים על החבילה, ולא לפי הדקות שבהן השתמשה.

נסמן ב-$x$ את מספר הדקות שבהן שוחחה נעמה. הסכום ששילמה נעמה: $10+1.5x$. הסכום ששילמה הדר: 130 שקלים.

נעמה שוחחה 80 דקות.

טעות נפוצה: לשכוח את התשלום החד-פעמי ולפתור $1.5x=130$, ולקבל $x\approx86.67$ דקות.

קוראים את גובה כל עמודה לפי קווי הרשת: גבינה 4, חמאה 1, שמנת 3, יוגורט 6.

משפחת לוי קונה 14 מוצרי חלב בשבוע.

טעות נפוצה: לספור את העמודות (סוגי המוצרים) ולענות 4 - זה מספר הסוגים, לא מספר המוצרים.

השכיח הוא המוצר שקונים ממנו הכי הרבה יחידות - העמודה הגבוהה ביותר בדיאגרמה: יוגורט (6 יחידות).

טעות נפוצה: לענות 6 - זו השכיחות של היוגורט (מספר היחידות), והשאלה מבקשת את המוצר עצמו.

המחיר הממוצע של מוצר הוא ההוצאה הכוללת חלקי מספר המוצרים. מצמידים לכל מוצר בדיאגרמה את המחיר שלו בטבלה (הסדר בטבלה שונה מהסדר בדיאגרמה):

יוגורט: $6\cdot6=36$, שמנת: $3\cdot4=12$, חמאה: $1\cdot9=9$, גבינה: $4\cdot5=20$.

המחיר הממוצע של מוצר חלב הוא $5.5$ שקלים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים שבטבלה בלי להתחשב בכמויות, $\frac{6+4+9+5}{4}=6$ שקלים.

מחיר גבינה הוא 5 שקלים, והוא נמוך מהמחיר הממוצע הנוכחי ($5.5$ שקלים). כשמוסיפים נתונים שקטנים מהממוצע, הממוצע קטן.

בדיקה בחישוב: ההוצאה תהיה $77+2\cdot5=87$ שקלים, ומספר המוצרים $14+2=16$:

המחיר הממוצע יקטן.

טעות נפוצה: לנמק שההוצאה השבועית גדלה (מ-77 ל-87 שקלים) ולכן "הממוצע יגדל" - אבל גם מספר המוצרים גדל, והמחיר של כל גבינה נוספת נמוך מהממוצע.