מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 1 ברמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), ברמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · דיאגרמת עיגול וממוצע משוקלל: ספרים בחנות

בחנות ספרים יש ארבעה סוגים של ספרים: רומנים, ספרי עיון, ספרי ילדים וספרי קומיקס.
30%30\%30% מכל הספרים בחנות הם רומנים, ו-40%40\%40% מכל הספרים בחנות הם ספרי עיון.
אחוז ספרי הילדים בחנות שווה לאחוז ספרי הקומיקס בחנות.
לפניכם דיאגרמת עיגול המתארת את התפלגות הספרים בחנות, לפי הסוג.
30%40%??‫רומנים‬‫ספרי עיון‬‫ספרי ילדים‬‫ספרי קומיקס‬

א.

השלימו את האחוזים החסרים בדיאגרמת העיגול.

בחנות יש 600 ספרים סך הכול.

ב.

מצאו כמה ספרים מכל סוג יש בחנות.

בטבלה שלפניכם מוצג המחיר של כל ספר בחנות בשנת 2024, לפי הסוג.

ג.

השלימו בטבלה את מספר הספרים מכל סוג, שמצאתם בסעיף ב.
סוג הספררומןעיוןילדיםקומיקס
המחיר של כל ספר (בשקלים)60904050
מספר הספרים

סוג הספר	רומן	עיון	ילדים	קומיקס
המחיר של כל ספר (בשקלים)	60	90	40	50
מספר הספרים

ד.

מצאו את המחיר הממוצע של ספר בחנות בשנת 2024.

בשנת 2025 המחיר של כל ספר עיון עלה ב-10%10\%10%, והמחיר של כל ספר קומיקס ירד ב-10%10\%10%. מספר הספרים מכל סוג לא השתנה.

ה.

האם המחיר הממוצע של ספר בחנות בשנת 2025 גדל, קטן או לא השתנה בהשוואה לשנת 2024? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

ספרי ילדים: 15%15\%15%, ספרי קומיקס: 15%15\%15%

סכום כל הגזרות הוא 100%100\%100%. הרומנים וספרי העיון יחד:
30%+40%=70%30\%+40\%=70\%30%+40%=70%
100%−70%=30%100\%-70\%=30\%100%−70%=30%
האחוזים של ספרי הילדים ושל ספרי הקומיקס שווים, ולכן כל אחד מהם הוא חצי מ-30%30\%30%:
30%:2=15%30\%:2=15\%30%:2=15%
טעות נפוצה: לכתוב 30%30\%30% גם לספרי הילדים וגם לספרי הקומיקס - אז סכום הדיאגרמה הוא 130%130\%130%.

סעיף ב

תשובה:

180 רומנים, 240 ספרי עיון, 90 ספרי ילדים, 90 ספרי קומיקס

רומנים: 600⋅0.30=180עיון: 600⋅0.40=240\text{רומנים: }600\cdot0.30=180\qquad\text{עיון: }600\cdot0.40=240רומנים: 600⋅0.30=180עיון: 600⋅0.40=240
ילדים: 600⋅0.15=90קומיקס: 600⋅0.15=90\text{ילדים: }600\cdot0.15=90\qquad\text{קומיקס: }600\cdot0.15=90ילדים: 600⋅0.15=90קומיקס: 600⋅0.15=90
בדיקה: 180+240+90+90=600180+240+90+90=600180+240+90+90=600.
טעות נפוצה: להמשיך מהטעות של סעיף א (30%30\%30% לכל אחד משני הסוגים החסרים) ולקבל 180 ספרי ילדים ו-180 ספרי קומיקס - אבל אז סך הספרים הוא 180+240+180+180=780180+240+180+180=780180+240+180+180=780, לא 600.

סעיף ג

תשובה:

בשורת "מספר הספרים": רומן 180, עיון 240, ילדים 90, קומיקס 90

מעתיקים את התוצאות של סעיף ב, כל מספר מתחת לסוג שלו:
סוג הספררומןעיוןילדיםקומיקס
המחיר של כל ספר (בשקלים)60904050
מספר הספרים1802409090
טעות נפוצה: לכתוב בשורה את האחוזים (303030, 404040, 151515, 151515) במקום את מספרי הספרים.

סוג הספר	רומן	עיון	ילדים	קומיקס
המחיר של כל ספר (בשקלים)	60	90	40	50
מספר הספרים	180	240	90	90

סעיף ד

תשובה:

67.5 שקלים

מספר הספרים מכל סוג שונה, ולכן מחשבים ממוצע משוקלל - המחיר של כל הספרים יחד חלקי מספר הספרים:
180⋅60+240⋅90+90⋅40+90⋅50=10,800+21,600+3,600+4,500=40,500180\cdot60+240\cdot90+90\cdot40+90\cdot50=10{,}800+21{,}600+3{,}600+4{,}500=40{,}500180⋅60+240⋅90+90⋅40+90⋅50=10,800+21,600+3,600+4,500=40,500
xˉ=40,500600=67.5\bar{x}=\frac{40{,}500}{600}=67.5xˉ=60040,500​=67.5
טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של ארבעת המחירים, 60+90+40+504=60\frac{60+90+40+50}{4}=60460+90+40+50​=60 - כך 240 ספרי העיון נספרים כמו 90 ספרי הקומיקס.

סעיף ה

תשובה:

גדל (מ-67.5 ל-70.35 שקלים)

המחירים החדשים:
עיון: 90⋅1.1=99קומיקס: 50⋅0.9=45\text{עיון: }90\cdot1.1=99\qquad\text{קומיקס: }50\cdot0.9=45עיון: 90⋅1.1=99קומיקס: 50⋅0.9=45
כל ספר עיון התייקר ב-9 שקלים, וכל ספר קומיקס הוזל ב-5 שקלים. ספרי העיון גם יקרים יותר וגם רבים יותר:
240⋅9−90⋅5=2,160−450=1,710>0240\cdot9-90\cdot5=2{,}160-450=1{,}710>0240⋅9−90⋅5=2,160−450=1,710>0
המחיר של כל הספרים יחד גדל, ומספר הספרים לא השתנה - לכן הממוצע גדל:
xˉ2025=40,500+1,710600=42,210600=70.35>67.5\bar{x}_{2025}=\frac{40{,}500+1{,}710}{600}=\frac{42{,}210}{600}=70.35>67.5xˉ2025​=60040,500+1,710​=60042,210​=70.35>67.5
טעות נפוצה: להסיק שהתייקרות של 10%10\%10% והוזלה של 10%10\%10% מתקזזות ולענות שהממוצע לא השתנה - האחוזים זהים, אבל הם מחושבים ממחירים שונים ועל מספרי ספרים שונים.

שאלה 2 · הסתברות: בחירה של שני עובדים מתוך אוכלוסייה גדולה

בסקר שנערך בקרב כל העובדים בעיר גדולה נמצא שכל עובד מגיע לעבודה באחת משלוש דרכים: באוטובוס, ברכב פרטי או באופניים.
40% מן העובדים בעיר מגיעים לעבודה באוטובוס, ו-25% מן העובדים בעיר מגיעים לעבודה ברכב פרטי.
40%?25%‫אוטובוס‬‫אופניים‬‫רכב פרטי‬

א.

מהי ההסתברות שעובד שנבחר באקראי מגיע לעבודה באופניים?

בוחרים באקראי שני עובדים.

ב.

מהי ההסתברות ששניהם מגיעים לעבודה באוטובוס?

ג.

מהי ההסתברות ששניהם מגיעים לעבודה באותה דרך?

ד.

מהי ההסתברות שאחד מהם מגיע לעבודה באוטובוס והאחר מגיע ברכב פרטי?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

0.350.350.35

כל עובד מגיע באחת משלוש הדרכים, ולכן סכום האחוזים הוא 100%:
100% - 40% - 25% = 35%
ההסתברות היא 0.350.350.35.
טעות נפוצה: לענות 13\frac1331​ "כי יש שלוש דרכים" - הדרכים אינן שוות סיכוי.

סעיף ב

תשובה:

0.160.160.16

העיר גדולה, ולכן הבחירה של העובד הראשון אינה משנה את ההסתברויות עבור השני - המאורעות בלתי תלויים.
P=0.4⋅0.4=0.16P=0.4\cdot0.4=0.16P=0.4⋅0.4=0.16
טעות נפוצה: לחבר במקום לכפול, 0.4+0.4=0.80.4+0.4=0.80.4+0.4=0.8.

סעיף ג

תשובה:

0.3450.3450.345

שלושה מסלולים זרים: שניהם באוטובוס, שניהם ברכב פרטי או שניהם באופניים.
P=0.42+0.252+0.352=0.16+0.0625+0.1225=0.345P=0.4^2+0.25^2+0.35^2=0.16+0.0625+0.1225=0.345P=0.42+0.252+0.352=0.16+0.0625+0.1225=0.345
טעות נפוצה: לשכוח את המסלול "שניהם באופניים" ולקבל 0.16+0.0625=0.22250.16+0.0625=0.22250.16+0.0625=0.2225.

סעיף ד

תשובה:

0.20.20.2

יש שני סדרים: הראשון באוטובוס והשני ברכב, או הראשון ברכב והשני באוטובוס.
P=0.4⋅0.25+0.25⋅0.4=2⋅0.1=0.2P=0.4\cdot0.25+0.25\cdot0.4=2\cdot0.1=0.2P=0.4⋅0.25+0.25⋅0.4=2⋅0.1=0.2
טעות נפוצה: לחשב סדר אחד בלבד ולקבל 0.4⋅0.25=0.10.4\cdot0.25=0.10.4⋅0.25=0.1.

שאלה 3 · משולשים דומים: מתקן טיפוס בגן שעשועים

בגן שעשועים בנו מתקן טיפוס שהחזית שלו בצורת משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC).
בין שתי הצלעות של המתקן חיברו מוט אחיזה DEDEDE המקביל לקרקע BCBCBC, כמתואר בסרטוט.
ABCDEG

א.

הסבירו מדוע המשולש ABCABCABC דומה למשולש ADEADEADE.

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש ABCABCABC ובין המשולש ADEADEADE הוא 5:25:25:2.
המרחק בין רגלי המתקן, BCBCBC, הוא 6 מטרים,
ואורך הקטע ADADAD הוא 2 מטרים.

ב(1).

מצאו את אורך הצלע ABABAB.

ב(2).

מצאו את היקף חזית המתקן (△ABC\triangle ABC△ABC).

את החלק העליון של חזית המתקן, המשולש ADEADEADE (AD=AEAD=AEAD=AE), כיסו ביריעת בד.
הנקודה GGG היא אמצע הקטע DEDEDE.

ג(1).

מצאו את אורך הקטע DGDGDG.

ג(2).

מצאו את שטח יריעת הבד.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

∢A\sphericalangle A∢A משותפת, ו-∢AED=∢ACB\sphericalangle AED=\sphericalangle ACB∢AED=∢ACB (זוויות מתאימות, DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC); לכן המשולשים דומים לפי ז.ז.

מחפשים שני זוגות של זוויות שוות.
∢A\sphericalangle A∢A משותפת לשני המשולשים.
DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC ו-ACACAC חותך את שניהם, ולכן ∢AED=∢ACB\sphericalangle AED=\sphericalangle ACB∢AED=∢ACB (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).
לכן △ABC∼△ADE\triangle ABC\sim\triangle ADE△ABC∼△ADE לפי ז.ז.
טעות נפוצה: לנמק "AB=ACAB=ACAB=AC ולכן ∢B=∢C\sphericalangle B=\sphericalangle C∢B=∢C" - זה שוויון זוויות בתוך משולש אחד, ולא זוג זוויות שוות בין שני המשולשים.

סעיף ב(1)

תשובה:

AB=5AB=5AB=5 מטרים

ABABAB מתאימה ל-ADADAD, ויחס הדמיון (גדול לקטן) הוא 5:25:25:2:
ABAD=52⇒AB=2⋅52=5\frac{AB}{AD}=\frac52\quad\Rightarrow\quad AB=2\cdot\frac52=5ADAB​=25​⇒AB=2⋅25​=5
טעות נפוצה: לכפול ב-25\frac2552​ ולקבל AB=0.8AB=0.8AB=0.8 - קצר מ-ADADAD, שהוא רק חלק מ-ABABAB.

סעיף ב(2)

תשובה:

16 מטרים

AC=AB=5AC=AB=5AC=AB=5 (משולש שווה שוקיים):
PABC=5+5+6=16P_{ABC}=5+5+6=16PABC​=5+5+6=16
טעות נפוצה: לשכוח את ACACAC ולחשב 5+6=115+6=115+6=11.

סעיף ג(1)

תשובה:

DG=1.2DG=1.2DG=1.2 מטרים

DEDEDE מתאים ל-BCBCBC:
BCDE=52⇒DE=6⋅25=2.4\frac{BC}{DE}=\frac52\quad\Rightarrow\quad DE=6\cdot\frac25=2.4DEBC​=25​⇒DE=6⋅52​=2.4
GGG היא אמצע DEDEDE, ולכן DG=2.42=1.2DG=\frac{2.4}{2}=1.2DG=22.4​=1.2.
טעות נפוצה: לענות DG=2.4DG=2.4DG=2.4 - זה אורך DEDEDE כולו.

סעיף ג(2)

תשובה:

1.92 מ"ר

במשולש שווה השוקיים ADEADEADE הקטע AGAGAG (תיכון לבסיס) הוא גם גובה, ולכן המשולש ADGADGADG ישר זווית ב-GGG:
AG=AD2−DG2=22−1.22=4−1.44=2.56=1.6AG=\sqrt{AD^2-DG^2}=\sqrt{2^2-1.2^2}=\sqrt{4-1.44}=\sqrt{2.56}=1.6AG=AD2−DG2​=22−1.22​=4−1.44​=2.56​=1.6
SADE=DE⋅AG2=2.4⋅1.62=1.92S_{ADE}=\frac{DE\cdot AG}{2}=\frac{2.4\cdot1.6}{2}=1.92SADE​=2DE⋅AG​=22.4⋅1.6​=1.92
טעות נפוצה: לחבר ריבועים: AG=4+1.44≈2.33AG=\sqrt{4+1.44}\approx2.33AG=4+1.44​≈2.33 ושטח של כ-2.8 מ"ר - הניצב AGAGAG חייב להיות קצר מהיתר ADADAD.

שאלה 4 · חזית משולשת של ביתן: פיתגורס, טריגונומטריה ועלות

בחצר בית ספר בנו ביתן שהחזית שלו היא משולש ABCABCABC. הצלעות ABABAB ו-BCBCBC הן קורות הגג, והצלע ACACAC היא קורת הבסיס. BDBDBD הוא עמוד מרכזי המאונך לקורת הבסיס ACACAC (ראו סרטוט).
נתון: BD=2.4BD=2.4BD=2.4 מטרים, DC=2DC=2DC=2 מטרים.
ADCB

א.

מצאו את אורך הקורה BCBCBC.

הקורה ABABAB יוצרת עם קורת הבסיס זווית של 35∘35^\circ35∘.

ב.

מצאו את אורך הקורה ABABAB.

בעל הביתן החליט לכסות את החזית (המשולש ABCABCABC) בלוחות עץ.

ג(1).

מצאו את אורך קורת הבסיס ACACAC.

ג(2).

מצאו כמה מ"ר של לוחות עץ דרושים לכיסוי החזית.

מחיר של 1 מ"ר לוחות עץ הוא 85 שקלים. נוסף על כך שילם בעל הביתן 450 שקלים לנגר שהתקין את הלוחות.

ד.

מהו הסכום הכולל ששילם בעל הביתן?

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

BC=9.76≈3.12BC=\sqrt{9.76}\approx3.12BC=9.76​≈3.12 מטרים

המשולש BDCBDCBDC ישר זווית ב-DDD, ו-BCBCBC הוא היתר שלו. לפי משפט פיתגורס:
BC2=BD2+DC2=2.42+22=5.76+4=9.76BC^2=BD^2+DC^2=2.4^2+2^2=5.76+4=9.76BC2=BD2+DC2=2.42+22=5.76+4=9.76
BC=9.76≈3.12BC=\sqrt{9.76}\approx3.12BC=9.76​≈3.12
טעות נפוצה: לחסר: 2.42−22≈1.33\sqrt{2.4^2-2^2}\approx1.332.42−22​≈1.33 מטרים - קצר מהניצבים, וזה בלתי אפשרי ליתר.

סעיף ב

תשובה:

AB=2.4sin⁡35∘≈4.18AB=\frac{2.4}{\sin35^\circ}\approx4.18AB=sin35∘2.4​≈4.18 מטרים

במשולש ABDABDABD (ישר זווית ב-DDD): BDBDBD הוא הניצב שמול הזווית AAA, ו-ABABAB הוא היתר:
sin⁡35∘=2.4AB⇒AB=2.4sin⁡35∘≈4.18\sin35^\circ=\frac{2.4}{AB}\qquad\Rightarrow\qquad AB=\frac{2.4}{\sin35^\circ}\approx4.18sin35∘=AB2.4​⇒AB=sin35∘2.4​≈4.18
טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס: 2.4cos⁡35∘≈2.93\frac{2.4}{\cos35^\circ}\approx2.93cos35∘2.4​≈2.93. BDBDBD מול הזווית AAA, ולכן היחס הוא סינוס.

סעיף ג(1)

תשובה:

AC≈5.43AC\approx5.43AC≈5.43 מטרים

AC=AD+DCAC=AD+DCAC=AD+DC. במשולש ABDABDABD, ADADAD הוא הניצב שליד הזווית AAA:
tan⁡35∘=2.4AD⇒AD=2.4tan⁡35∘≈3.43\tan35^\circ=\frac{2.4}{AD}\qquad\Rightarrow\qquad AD=\frac{2.4}{\tan35^\circ}\approx3.43tan35∘=AD2.4​⇒AD=tan35∘2.4​≈3.43
AC≈3.43+2=5.43AC\approx3.43+2=5.43AC≈3.43+2=5.43
טעות נפוצה: לכפול ב-tan⁡35∘\tan35^\circtan35∘: AD=2.4⋅tan⁡35∘≈1.68AD=2.4\cdot\tan35^\circ\approx1.68AD=2.4⋅tan35∘≈1.68, ואז AC≈3.68AC\approx3.68AC≈3.68.

סעיף ג(2)

תשובה:

כ-6.516.516.51 מ"ר

BDBDBD הוא הגובה לבסיס ACACAC:
S=AC⋅BD2≈5.428⋅2.42≈6.51S=\frac{AC\cdot BD}{2}\approx\frac{5.428\cdot2.4}{2}\approx6.51S=2AC⋅BD​≈25.428⋅2.4​≈6.51
טעות נפוצה: לא לחלק ב-2 ולקבל כ-13.0313.0313.03 מ"ר.

סעיף ד

תשובה:

כ-1,003.61{,}003.61,003.6 שקלים

מחיר הלוחות: 6.513⋅85≈553.66.513\cdot85\approx553.66.513⋅85≈553.6 שקלים.
ועוד התשלום לנגר: 553.6+450=1,003.6553.6+450=1{,}003.6553.6+450=1,003.6.
בעל הביתן שילם כ-1,003.6 שקלים.
טעות נפוצה: לשכוח את התשלום לנגר ולענות כ-553.6553.6553.6 שקלים.

שאלה 5 · ממוצע מטבלת שכיחויות ומשוואה: התרמה למקלט ולערכות לבעלי חיים

תלמידי שכבה י' בבית ספר מסוים אספו תרומות למקלט לבעלי חיים.
בטבלה שלפניכם מוצגת התפלגות התרומות שאספו תלמידי שכבה י' לפי מספר התורמים.
גובה התרומה (בשקלים)102050100
מספר התורמים6163315

גובה התרומה (בשקלים)	10	20	50	100
מספר התורמים	61	63	31	5

א.

מה היה מספר התורמים?

ב(1).

מצאו את גובה התרומה הממוצע.

ב(2).

מצאו את אחוז התורמים שגובה התרומה שלהם היה מעל הממוצע.

תלמידי שכבה י"א אספו גם הם תרומות למקלט. הם אספו סך הכול 3,2203{,}2203,220 שקלים.

ג.

מצאו את הסכום הכולל שאספו שתי השכבות יחד.

בכל הכסף שאספו שתי השכבות קנו התלמידים ערכות משני סוגים: ערכה לחתול וערכה לכלב.
הם הכינו 363636 ערכות לחתולים ו-606060 ערכות לכלבים.
לפניכם המוצרים בכל ערכה והמחירים (בשקלים) שבהם קנו כל מוצר. המחיר של שקית חטיפים מסומן ב-xxx:
•ערכה לחתול: שק מזון (303030), צעצוע (888), חטיפים (xxx).
•ערכה לכלב: שק מזון (454545), רצועה (121212), צעצוע (888), חטיפים (xxx), חטיפים (xxx).

ד(1).

הביעו באמצעות xxx את המחיר של כל אחת מהערכות.

ד(2).

מצאו את xxx.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

61+63+31+5=16061+63+31+5=16061+63+31+5=160 תורמים

61+63+31+5=16061+63+31+5=16061+63+31+5=160
טעות נפוצה: לחבר את גובהי התרומות: 10+20+50+100=18010+20+50+100=18010+20+50+100=180.

סעיף ב(1)

תשובה:

3,920160=24.5\frac{3{,}920}{160}=24.51603,920​=24.5 שקלים

xˉ=10⋅61+20⋅63+50⋅31+100⋅5160=610+1,260+1,550+500160=3,920160=24.5\bar x=\frac{10\cdot61+20\cdot63+50\cdot31+100\cdot5}{160}=\frac{610+1{,}260+1{,}550+500}{160}=\frac{3{,}920}{160}=24.5xˉ=16010⋅61+20⋅63+50⋅31+100⋅5​=160610+1,260+1,550+500​=1603,920​=24.5
טעות נפוצה: לחשב ממוצע של גובהי התרומה בלבד: 10+20+50+1004=45\frac{10+20+50+100}{4}=45410+20+50+100​=45.

סעיף ב(2)

תשובה:

36160=22.5%\frac{36}{160}=22.5\%16036​=22.5%

מעל 24.524.524.5 שקלים: התרומות של 505050 ושל 100100100 שקלים, 31+5=3631+5=3631+5=36 תורמים.
36160⋅100%=22.5%\frac{36}{160}\cdot100\%=22.5\%16036​⋅100%=22.5%
טעות נפוצה: לחשב את אחוז הכסף מתרומות אלה: 50⋅31+100⋅53,920=2,0503,920≈52.3%\frac{50\cdot31+100\cdot5}{3{,}920}=\frac{2{,}050}{3{,}920}\approx52.3\%3,92050⋅31+100⋅5​=3,9202,050​≈52.3%.

סעיף ג

תשובה:

3,920+3,220=7,1403{,}920+3{,}220=7{,}1403,920+3,220=7,140 שקלים

שכבה י' אספה 24.5⋅160=3,92024.5\cdot160=3{,}92024.5⋅160=3,920 שקלים.
3,920+3,220=7,1403{,}920+3{,}220=7{,}1403,920+3,220=7,140
טעות נפוצה: לחבר את מספר התורמים של שכבה י' (סעיף א) לסכום של שכבה י"א: 160+3,220=3,380160+3{,}220=3{,}380160+3,220=3,380. מחברים סכומי כסף - את סך התרומות של שכבה י', 3,9203{,}9203,920 שקלים.

סעיף ד(1)

תשובה:

ערכה לחתול: 38+x38+x38+x; ערכה לכלב: 65+2x65+2x65+2x (שקלים)

ערכה לחתול: 30+8+x=38+x30+8+x=38+x30+8+x=38+x.
ערכה לכלב: 45+12+8+x+x=65+2x45+12+8+x+x=65+2x45+12+8+x+x=65+2x.
טעות נפוצה: לספור חטיף אחד בערכה לכלב ולכתוב 65+x65+x65+x.

סעיף ד(2)

תשובה:

x=12x=12x=12 שקלים

36(38+x)+60(65+2x)=7,14036(38+x)+60(65+2x)=7{,}14036(38+x)+60(65+2x)=7,140
1,368+36x+3,900+120x=7,1401{,}368+36x+3{,}900+120x=7{,}1401,368+36x+3,900+120x=7,140
156x=1,872⇒x=12156x=1{,}872\quad\Rightarrow\quad x=12156x=1,872⇒x=12
טעות נפוצה: להשתמש ב-65+x65+x65+x לערכה לכלב: 5,268+96x=7,1405{,}268+96x=7{,}1405,268+96x=7,140, ולקבל x=19.5x=19.5x=19.5.

שאלה 6 · המודל הליניארי: קופות כיתה לטיול שנתי

שתי כיתות - כיתה א' וכיתה ב' - מתכננות טיול שנתי.
בקופת הכיתה של כיתה א' היו 5,400 שקלים, ונוסף על כך הוחלט לגבות 350 שקלים מכל תלמיד בכיתה.
בקופת הכיתה של כיתה ב' היו 1,800 שקלים, ונוסף על כך הוחלט לגבות 500 שקלים מכל תלמיד בכיתה.
לפניכם שני גרפים I-II המתארים את הסכום הכולל בקופה של כל כיתה, לפי מספר התלמידים ששילמו (הציר האופקי: מספר התלמידים ששילמו; הציר האנכי: הסכום הכולל).
III
III

א.

קבעו איזה מן הגרפים, I או II, מתאר את הסכום הכולל בקופה של כיתה א'.

נסמן ב-xxx את מספר התלמידים ששילמו בכל כיתה.

ב(1).

כתבו ביטוי אלגברי המתאר את הסכום הכולל בקופה של כיתה א' לפי מספר התלמידים ששילמו.

ב(2).

כתבו ביטוי אלגברי המתאר את הסכום הכולל בקופה של כיתה ב' לפי מספר התלמידים ששילמו.

ג.

מצאו את הערך של xxx שבעבורו הסכום הכולל בקופה של כיתה א' שווה לסכום הכולל בקופה של כיתה ב'.

בזמן מסוים היו בקופה של כיתה ב' 9,800 שקלים.

ד.

מצאו כמה תלמידים בכיתה ב' שילמו עד לאותו הזמן.

העלות של הטיול השנתי לכל כיתה היא 15,000 שקלים.
בכל אחת מן הכיתות א', ב' יש 30 תלמידים, ובכל כיתה שילמו כל התלמידים בעבור הטיול.

ה.

לפניכם שלוש טענות I-III. קבעו איזו טענה נכונה, ונמקו את קביעתכם.
I. בכל אחת מן הקופות של כיתה א' וכיתה ב' הצטבר סכום שמספיק לטיול של הכיתה.
II. רק בקופה של כיתה א' הצטבר סכום שמספיק לטיול של הכיתה.
III. רק בקופה של כיתה ב' הצטבר סכום שמספיק לטיול של הכיתה.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

גרף I

ב-x=0x=0x=0 הסכום בקופה הוא הסכום ההתחלתי. בכיתה א' הוא גדול יותר (5,400 לעומת 1,800), ולכן הגרף שלה חותך את הציר האנכי גבוה יותר - גרף I.
גם התלילות מתאימה: בכיתה א' גובים פחות מכל תלמיד (350 לעומת 500), וגרף I עולה פחות בתלילות.
טעות נפוצה: לבחור בגרף II, התלול יותר, "כי לכיתה א' יש יותר כסף" - התלילות נקבעת לפי הסכום שגובים מכל תלמיד.

סעיף ב(1)

תשובה:

5,400+350x5{,}400+350x5,400+350x

y=5,400+350xy=5{,}400+350xy=5,400+350x
טעות נפוצה: להחליף בין הקבוע לשיפוע: 350+5,400x350+5{,}400x350+5,400x.

סעיף ב(2)

תשובה:

1,800+500x1{,}800+500x1,800+500x

y=1,800+500xy=1{,}800+500xy=1,800+500x
טעות נפוצה: לכתוב 500+1,800x500+1{,}800x500+1,800x.

סעיף ג

תשובה:

x=24x=24x=24

5,400+350x=1,800+500x⇒3,600=150x⇒x=245{,}400+350x=1{,}800+500x\quad\Rightarrow\quad3{,}600=150x\quad\Rightarrow\quad x=245,400+350x=1,800+500x⇒3,600=150x⇒x=24
בדיקה: 5,400+8,400=13,8005{,}400+8{,}400=13{,}8005,400+8,400=13,800 ו-1,800+12,000=13,8001{,}800+12{,}000=13{,}8001,800+12,000=13,800.
טעות נפוצה: לחבר את הקבועים במקום לחסר: 7,200=150x7{,}200=150x7,200=150x, ומקבלים x=48x=48x=48.

סעיף ד

תשובה:

16 תלמידים

1,800+500x=9,800⇒500x=8,000⇒x=161{,}800+500x=9{,}800\quad\Rightarrow\quad500x=8{,}000\quad\Rightarrow\quad x=161,800+500x=9,800⇒500x=8,000⇒x=16
טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום ב-500: 9,800500=19.6\frac{9{,}800}{500}=19.65009,800​=19.6 - ולשכוח את 1,800 השקלים שהיו בקופה מההתחלה.

סעיף ה

תשובה:

טענה I

כל 30 התלמידים שילמו, ולכן מציבים x=30x=30x=30:
כיתה א’: 5,400+350⋅30=15,900≥15,000\text{כיתה א'}:\ 5{,}400+350\cdot30=15{,}900\ge15{,}000כיתה א’: 5,400+350⋅30=15,900≥15,000
כיתה ב’: 1,800+500⋅30=16,800≥15,000\text{כיתה ב'}:\ 1{,}800+500\cdot30=16{,}800\ge15{,}000כיתה ב’: 1,800+500⋅30=16,800≥15,000
בשתי הקופות יש מספיק, ולכן טענה I נכונה.
טעות נפוצה: לשכוח את הסכומים ההתחלתיים ולחשב רק את הגבייה, 10,50010{,}50010,500 ו-15,00015{,}00015,000 - ולבחור בטענה III.

שאלה 1 · דיאגרמת עיגול וממוצע משוקלל: ספרים בחנות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 2 · הסתברות: בחירה של שני עובדים מתוך אוכלוסייה גדולה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 3 · משולשים דומים: מתקן טיפוס בגן שעשועים

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

שאלה 4 · חזית משולשת של ביתן: פיתגורס, טריגונומטריה ועלות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ד

שאלה 5 · ממוצע מטבלת שכיחויות ומשוואה: התרמה למקלט ולערכות לבעלי חיים

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג

סעיף ד(1)

סעיף ד(2)

שאלה 6 · המודל הליניארי: קופות כיתה לטיול שנתי

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד