מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 2 ברמת בגרות

מספר התלמידים הוא סכום גובהי העמודות (השכיחויות):

בשכבה 40 תלמידים.

טעות נפוצה: לחבר את הערכים שעל הציר האופקי, $1+2+3+4+5+6=21$, במקום את השכיחויות.

ממוצע משוקלל: כל ערך כפול השכיחות שלו, הסכום חלקי מספר התלמידים.

בממוצע קראו התלמידים 3.6 ספרים.

טעות נפוצה: לחשב את הממוצע של גובהי העמודות, $\frac{40}{6}\approx6.67$.

יש 40 נתונים (מספר זוגי), ולכן החציון הוא ממוצע האיבר ה-20 והאיבר ה-21 ברשימה המסודרת.

האיבר ה-20 הוא 3 (האחרון מבין ה-3), והאיבר ה-21 הוא 4.

טעות נפוצה: להשתמש בכלל של מספר אי-זוגי - מקום החציון $\frac{40+1}{2}=20.5$ - לעגל אותו למקום ה-21 ולקחת רק את האיבר הזה, ולענות 4.

הממוצע של שני הנתונים שנוספו הוא $\frac{2+3}{2}=2.5$, נמוך מהממוצע 3.6, ולכן הממוצע קטן.

בדיקה בחישוב: הסכום החדש $144+2+3=149$, ומספר התלמידים 42:

טעות נפוצה: להוסיף את 5 הספרים לסכום אבל לחלק עדיין ב-40: $\frac{149}{40}\approx3.73$, ולהסיק שהממוצע גדל.

אחרי ההוספה יש 42 תלמידים: לערך 2 שכיחות 6, ולערך 3 שכיחות 13.

החציון הוא ממוצע האיבר ה-21 והאיבר ה-22.

שכיחויות מצטברות חדשות: 3, 9, 22, 31, 38, 42. האיברים 10 עד 22 הם 3, ולכן האיבר ה-21 והאיבר ה-22 הם שניהם 3.

החציון קטן מ-3.5 ל-3: שני הנתונים נוספו מתחת לחציון, ולכן האמצע זז שמאלה.

טעות נפוצה: לעדכן את מספר התלמידים ל-42 אבל לחפש את האיברים ה-21 וה-22 בטבלה הישנה (שבה הם 4 ו-4), ולהסיק שהחציון גדל ל-4.

מיכל קנתה ב-$23+31=54$ שקלים - בין 50 ל-150 שקלים - ולכן היא מוציאה כדור אחד.

בהוצאה אחת, 20 שקלים מתקבלים רק מכדור זהוב. יש 5 כדורים זהובים מתוך 20:

טעות נפוצה: לספור שלושה צבעים ולענות $\frac13$ - הצבעים אינם שווי סיכוי, כי מספר הכדורים מכל צבע שונה.

יונתן קנה ב-162 שקלים, יותר מ-150, ולכן הוא מוציא כדור פעמיים (עם החזרה).

בכל הוצאה אפשר לזכות לכל היותר ב-20 שקלים, ולכן 40 שקלים מתקבלים רק משני כדורים זהובים.

הכדור מוחזר לשקית, ולכן בכל הוצאה $P(20)=0.25$ וההוצאות בלתי תלויות:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות, $0.25+0.25=0.5$ - כשצריך זהוב גם בפעם הראשונה וגם בשנייה, כופלים.

בכל הוצאה: $P(20)=0.25$, $P(10)=\frac{6}{20}=0.3$, $P(0)=\frac{9}{20}=0.45$.

שלוש דרכים לזכות בדיוק ב-20 שקלים בשתי הוצאות:

זהוב ואז לבן: $0.25\cdot0.45=0.1125$

לבן ואז זהוב: $0.45\cdot0.25=0.1125$

כסוף ואז שוב כסוף: $0.3\cdot0.3=0.09$

טעות נפוצה: לשכוח את המסלול "כסוף ועוד כסוף" (10 ועוד 10) ולקבל $0.1125+0.1125=0.225$.

נגה קנתה ב-$89+58=147$ שקלים. זה פחות מ-150 שקלים, ולכן היא מוציאה כדור אחד בלבד.

בהוצאה אחת אפשר לזכות ב-20 שקלים, ב-10 שקלים או לא לזכות - אין כדור של 30 שקלים, ולכן זה מאורע בלתי אפשרי:

טעות נפוצה: לחשוב שסכום קרוב ל-150 מזכה בשתי הוצאות, ולחשב 20 ו-10 בשני סדרים: $2\cdot0.25\cdot0.3=0.15$.

$EC\perp BC$ ו-$AD\perp AB$, ולכן $\angle ECB=\angle DAB=90^\circ$.

$\angle CBE=\angle ABD$ (נתון).

שתי זוויות שוות, ולכן $\triangle CBE\sim\triangle ABD$ (ז.ז.), בהתאמה $C\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow B$, $E\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לנמק את הדמיון בכך ש"הקטעים $AB$ ו-$BC$ נמצאים על אותו ישר". זה לא שוויון זוויות; צריך שתי זוויות שוות - הזווית הישרה והזווית שב-$B$.

$CB$ מתאימה ל-$AB$:

טעות נפוצה: לחלק את כל המרחק מיואב למגדל, $AC=97.5$, ב-1.5 ולקבל $65$.

$CE$ מתאימה ל-$AD$:

גובה המגדל: 80 מטרים.

טעות נפוצה: לכפול את $AB$ ביחס הדמיון: $64\cdot1.5=96$ - זה אורך $CB$, לא הגובה.

הדרך היא גובה המגדל, 80 מטרים:

טעות נפוצה: לחלק את המרחק האופקי $CB=96$ במהירות ולקבל $38.4$ שניות.

במשולש ישר הזווית $ABC$ (הזווית הישרה ב-$C$): $AC$ מול הזווית $63^\circ$, ו-$BC$ לידה:

טעות נפוצה: לחלק במקום לכפול, $AC=\frac{6}{\tan63^\circ}\approx3.057$ - הניצב שמול זווית של $63^\circ$ ארוך מהניצב שלידה, ולא קצר ממנו.

$AB$ הוא היתר, ו-$BC$ הוא הניצב שליד הזווית $63^\circ$:

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס, $AB=\frac{6}{\sin63^\circ}\approx6.734$ - יוצא יתר קצר מהניצב $AC$, וזה בלתי אפשרי.

$D$ נמצאת בין $B$ ל-$C$, ולכן $DC=BC-BD=6-1.5=4.5$.

במשולש ישר הזווית $ADC$:

טעות נפוצה: להציב את $BD=1.5$ במקום $DC$: $\tan\sphericalangle ADC=\frac{11.776}{1.5}$ ולקבל כ-$82.74^\circ$.

לפי משפט פיתגורס במשולש $ADC$:

טעות נפוצה: להניח שהסולם התקצר בדיוק במרחק שהרכב זז, כלומר ב-1.5 מטרים - הסולם הוא יתר, והוא משתנה פחות מהתזוזה על הכביש.

$q=1.035$, $A_0=45{,}000$, ומתחילת 2019 עד תחילת 2025 עברו $t=6$ שנים:

טעות נפוצה: לקחת $t=7$ (לספור את 2019 ואת 2025 שתיהן) ולקבל $45{,}000\cdot1.035^7\approx57{,}253$.

$1.035^3\approx1.1087$, $1.035^4\approx1.1475$ - ולכן $t=4$, ובדיקה: $45{,}000\cdot1.035^4\approx51{,}639$.

4 שנים אחרי תחילת 2019: בתחילת שנת 2023.

טעות נפוצה: לספור את 2019 כשנה הראשונה ולענות 2022 - בתחילת 2022 היו כ-$49{,}892$ שקלים.

מתחילת 2022 עד תחילת 2024 עברו 2 שנים:

$q=0.9=1-0.1$ - המחיר קטן ב-10% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה בשתי השנים יחד, $\frac{64{,}000-51{,}840}{64{,}000}=0.19$, ולענות 19% בכל שנה.

מחיר האופנוע בתחילת 2025:

בתוכנית החיסכון בתחילת 2025: כ-$55{,}316$ שקלים (סעיף א).

$55{,}316>46{,}656$, ולכן הסכום הספיק.

טעות נפוצה: להשוות למחיר ההתחלתי של האופנוע, $64{,}000$ שקלים, ולענות שהסכום לא הספיק - אבל בתחילת 2025 המחיר כבר ירד.

בתוכנית א' כל דקה עולה $0.4$ שקלים מהדקה הראשונה, ולכן המחיר עולה מתחילת הגרף - ישר עולה: גרף $2$.

בתוכנית ב' המחיר קבוע ($60$ שקלים) עד $50$ דקות - קטע אופקי - ואחר כך עולה: גרף $1$.

טעות נפוצה: לבחור בגרף $1$ כי לתוכנית א' יש תשלום חודשי קבוע ($30$ שקלים), ולחשוב שהקטע האופקי מתאר אותו.

טעות נפוצה: לחשב רק $0.4\cdot150=60$ ולשכוח את התשלום החודשי.

המקדם החופשי הוא התשלום החודשי הקבוע, והמקדם של $x$ הוא המחיר לדקה.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $y=0.4+30x$.

לפי תוכנית ב', על $150$ דקות משלמים $60$ שקלים בעבור $50$ הדקות הראשונות, ועוד $150-50=100$ דקות במחיר $p$ לדקה:

התשובה היא II.

טעות נפוצה: לא להפחית את $50$ הדקות הכלולות ולכתוב $60+150p=90$, ולקבל $p=0.2$ - אפשרות I.

יואב שילם יותר מ-$60$ שקלים, ולכן דיבר יותר מ-$50$ דקות:

טעות נפוצה: לעצור ב-$90$ דקות - אלה רק הדקות הנוספות, מעבר ל-$50$ הכלולות.