מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך - שאלון 371

השכיח הוא הציון שמופיע הכי הרבה פעמים.

ספרות: הציון $7$ מופיע 3 פעמים, וכל ציון אחר מופיע לכל היותר פעמיים. השכיח: $7$.

לשון: הציון $4$ מופיע פעמיים והציון $10$ מופיע פעמיים, וכל ציון אחר מופיע פעם אחת. יש שני שכיחים: $4$ ו-$10$.

טעות נפוצה: לענות בספרות "3" - זו השכיחות (מספר הפעמים שהציון מופיע), ולא הציון השכיח עצמו, שהוא $7$.

החציון הוא הנתון האמצעי ברשימה מסודרת לפי גודל. הרשימות כבר מסודרות.

יש $9$ נתונים (מספר אי-זוגי), ולכן החציון הוא הנתון במקום $\frac{9+1}{2}=5$.

ספרות: $4, 6, 6, 7, \underline{7}, 7, 8, 8, 10$ - החציון $7$.

לשון: $4, 4, 5, 6, \underline{7}, 8, 9, 10, 10$ - החציון $7$.

טעות נפוצה: לחשב בלשון ממוצע של שני נתונים אמצעיים, כאילו מספר הנתונים זוגי: $\frac{6+7}{2}=6.5$. כשמספר הנתונים אי-זוגי יש נתון אמצעי אחד - המקום החמישי.

הממוצע הוא סכום הנתונים חלקי מספר הנתונים.

ספרות:

לשון:

טעות נפוצה: לסכם כל ציון פעם אחת בלבד ($4+6+7+8+10=35$) ולחלק במספר התלמידים: בספרות $\frac{35}{9}\approx3.89$. כל ציון נספר כמספר הפעמים שהוא מופיע.

נוסחת סטיית התקן (הממוצע בשני המקצועות $\bar x=7$, מסעיף (3)):

ספרות - ריבועי הסטיות מהממוצע:

$(4-7)^2=9$, $(6-7)^2=1$ פעמיים, $(7-7)^2=0$ שלוש פעמים, $(8-7)^2=1$ פעמיים, $(10-7)^2=9$.

לשון - ריבועי הסטיות מהממוצע:

$(4-7)^2=9$ פעמיים, $(5-7)^2=4$, $(6-7)^2=1$, $(7-7)^2=0$, $(8-7)^2=1$, $(9-7)^2=4$, $(10-7)^2=9$ פעמיים.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולענות $\frac{22}{9}\approx2.44$ בספרות ו-$\frac{46}{9}\approx5.11$ בלשון - זו השונות, לא סטיית התקן.

סטיית התקן מודדת את הפיזור של הנתונים סביב הממוצע: ככל שהיא גדולה יותר, הנתונים מפוזרים יותר.

לפי סעיף (4): בלשון $\sigma\approx2.26$ ובספרות $\sigma\approx1.56$.

לכן פיזור הציונים בלשון גדול יותר. רואים זאת גם ברשימות: בספרות רוב הציונים צמודים ל-7, ובלשון רוב הציונים רחוקים ממנו.

טעות נפוצה: להשוות לפי הטווח (ההפרש בין הציון הגבוה לנמוך): בשני המקצועות $10-4=6$, ולענות "הפיזור זהה". הטווח תלוי רק בשני ציונים קיצוניים; סטיית התקן מתחשבת בכל הציונים.

השעון מחולק ל-5 חלקים שווים, ולכן בכל תור ההסתברות שהמחוג יצביע על רמי היא $\frac15$.

התורות בלתי תלויים: תוצאת הסיבוב הראשון לא משפיעה על השני. לכן ההסתברות ל"גם וגם" היא מכפלת ההסתברויות:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום לכפול: $\frac15+\frac15=\frac25=0.4$. חיבור מתאים ל"או" של מאורעות זרים, לא ל"גם וגם".

בכל תור ההסתברות שהמחוג לא יצביע על חיה היא המשלים: $1-\frac15=\frac45$.

המאורע "לא חיה בשלושת התורות" פירושו: לא חיה בתור הראשון, וגם לא בשני, וגם לא בשלישי. התורות בלתי תלויים:

טעות נפוצה: לחשב את המשלים של "חיה בכל שלושת התורות": $1-\left(\frac15\right)^3=\frac{124}{125}=0.992$. זו ההסתברות ש"לא בכל התורות חיה", ולא ש"אף פעם לא חיה".

"לפחות פעם אחת" הוא המאורע המשלים של "אף פעם": המחוג לא מצביע על חיה באף אחד משני התורות.

ההסתברות ל"אף פעם":

ההסתברות ל"לפחות פעם אחת":

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק פעם אחת": $2\cdot\frac15\cdot\frac45=\frac{8}{25}=0.32$, ולשכוח את המקרה שבו המחוג מצביע על חיה בשני התורות.

במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה וחוצים את זוויות המעוין.

זוויות סמוכות במעוין משלימות ל-$180^\circ$, ולכן זוויות העפיפון הן $62^\circ$ ו-$118^\circ$. נסמן כך שהזווית החדה היא $\angle A=62^\circ$ (כמו בסרטוט).

במשולש $AOB$: $\angle AOB=90^\circ$, היתר $AB=30$, ו-$\angle OAB=\frac{62^\circ}{2}=31^\circ$.

המוט הקצר הוא $BD$. הניצב $BO$ נמצא מול הזווית $31^\circ$:

טעות נפוצה: לעבוד עם הזווית $62^\circ$ בלי לחצות אותה: $2\cdot30\sin62^\circ\approx52.98$. האלכסון חוצה את הזווית, ולכן במשולש $AOB$ הזווית היא $31^\circ$.

באותו משולש $AOB$, הניצב $AO$ צמוד לזווית $31^\circ$:

האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן:

טעות נפוצה: לשכוח להכפיל ב-2 ולענות $25.72$ ס"מ - זה רק חצי מהאלכסון (הקטע $AO$).

הבד מכסה את כל המעוין, ולכן צריך את שטח המעוין. שטח מעוין הוא מחצית מכפלת האלכסונים:

(דרך אחרת: המעוין מורכב מ-4 משולשים ישרי זווית חופפים כמו $AOB$, כל אחד בשטח $\frac{25.72\cdot15.45}{2}$.)

טעות נפוצה: לכפול את האלכסונים בלי לחלק ב-2: $51.43\cdot30.90\approx1589.3$ סמ"ר - זה שטח המלבן שהמעוין חסום בו.

הזווית הקהה $118^\circ$, ולכן הזווית החדה הסמוכה לה היא $180^\circ-118^\circ=62^\circ$.

כלומר לעפיפון של איתמר אותה צלע ($30$ ס"מ) ואותן זוויות כמו לעפיפון של רועי - זה אותו מעוין.

אפשר גם לחשב ישירות: האלכסון $BD$ חוצה את הזווית הקהה, ולכן במשולש $AOB$: $\angle OBA=59^\circ$.

המוט הקצר $BD\approx30.90$ ס"מ והמוט הארוך $AC\approx51.43$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחשב את הזווית החדה כ-$118^\circ-90^\circ=28^\circ$ (במקום $180^\circ-118^\circ$) ולקבל במשולש זווית $14^\circ$: מוט קצר $60\sin14^\circ\approx14.52$ ומוט ארוך $60\cos14^\circ\approx58.22$.

לפי סעיף ג(1), האלכסונים של העפיפון של איתמר שווים לאלה של רועי ($30.90$ ו-$51.43$ ס"מ).

השטח הוא מחצית מכפלת האלכסונים, ולכן הוא שווה לשטח שחושב בסעיף ב: $\approx794.7$ סמ"ר.

הסיבה: במעוין יש שתי זוויות חדות ושתי זוויות קהות, ו"אחת הזוויות $62^\circ$" ו"הזווית הקהה $118^\circ$" מתארים את אותו מעוין.

טעות נפוצה: לחשב את השטח כ"צלע כפול צלע" כמו בריבוע, $30\cdot30=900$ סמ"ר, ולענות שאיתמר צריך יותר בד. השטח של מעוין קטן מזה של ריבוע עם אותה צלע.

המסגרת עוברת לאורך שולי העפיפון, כלומר אורכה הוא היקף המעוין.

במעוין ארבע הצלעות שוות:

טעות נפוצה: לחבר את אורכי המוטות (האלכסונים) במקום את הצלעות: $30.90+51.43\approx82.33$ ס"מ. המוטות נמצאים בתוך העפיפון; המסגרת היא ההיקף.

הכמויות נתונות למטר אחד של מסילה, ולכן קודם ממירים את אורך המסילה למטרים:

לכל מטר דרושים $100$ ק"ג חצץ:

כלומר $3{,}500{,}000$ ק"ג, שהם $3{,}500$ טון.

טעות נפוצה: לכפול ישר $35\cdot100=3{,}500$ ק"ג בלי להמיר ק"מ למטרים. הכמות נתונה לכל מטר, לא לכל ק"מ.

לכל מטר של מסילה דרושות $4$ קורות עץ. מספר המטרים שאפשר לבנות הוא מספר הקורות חלקי מספר הקורות למטר:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק: $6{,}000\cdot4=24{,}000$ מטר. אם כל מטר "צורך" 4 קורות, מספר המטרים קטן ממספר הקורות.

לכל מטר של מסילה דרושות $2$ קורות מתכת, כל אחת באורך מטר אחד, כלומר $2$ מטרים של מתכת למטר מסילה.

לפי סעיף ב(1) אורך המסילה $1{,}500$ מטר:

טעות נפוצה: לכפול את מספר קורות העץ במספר קורות המתכת: $6{,}000\cdot2=12{,}000$ מטר. מספר קורות המתכת נקבע לפי אורך המסילה, לא לפי מספר קורות העץ.

המשפחה צורכת אותו מספר קוט"ש בשני החודשים, והמחיר לקוט"ש לא השתנה - ולכן התשלום על הצריכה זהה בשני החודשים.

ההפרש בין החשבונות נובע רק מהעלאת הסכום הקבוע:

נסמן ב-$x$ את הסכום הקבוע. ההעלאה היא $20\%$ ממנו:

(בדיקה: אחרי ההעלאה הסכום הקבוע $1.2\cdot75=90$, ו-$90-75=15$.)

טעות נפוצה: לחשוב שההפרש $15$ הוא הסכום הקבוע עצמו ולענות $15$ שקלים. $15$ הוא רק התוספת - $20\%$ מהסכום הקבוע.

בחודש הראשון: סכום קבוע $75$ ועוד תשלום על הצריכה. נסמן ב-$k$ את מספר הקוט"ש:

(בדיקה בחודש השני: $90+2.05\cdot160=90+328=418$.)

טעות נפוצה: לחלק את כל החשבון במחיר לקוט"ש בלי להפחית את הסכום הקבוע: $\frac{403}{2.05}\approx196.6$ קוט"ש.

ירידה של $12\%$ בשנה פירושה שבכל שנה המחיר נכפל במקדם $q=1-0.12=0.88$.

בעוד שנה:

בעוד שנתיים (ירידה של $12\%$ מהמחיר של השנה הקודמת):

טעות נפוצה: להוריד בכל שנה $12\%$ מהמחיר המקורי ($16{,}800$ שקלים), ולקבל בעוד שנתיים $140{,}000-2\cdot16{,}800=106{,}400$. בשנה השנייה האחוז מחושב מהמחיר שאחרי השנה הראשונה.

מקדם הדעיכה הוא היחס בין המחיר בעוד שנה למחיר היום:

$q=1-\frac{p}{100}$, ולכן $\frac{p}{100}=1-0.92=0.08$: המחיר יורד ב-$8\%$ בשנה.

טעות נפוצה: לענות $92\%$ - זה המקדם (המחיר החדש הוא $92\%$ מהקודם), ולא אחוז הירידה.

משתמשים בנוסחה $A_t=A_0\cdot q^t$ עם $t=5$.

מכונית א':

מכונית ב' (לפי סעיף ב, $q=0.92$):

$73{,}882>72{,}499$, ולכן בעוד 5 שנים מכונית א' תהיה יקרה יותר (בכ-$1{,}383$ שקלים).

טעות נפוצה: להוריד כל שנה את אותו סכום (ירידה ליניארית): א' - $140{,}000-5\cdot16{,}800=56{,}000$, ב' - $110{,}000-5\cdot8{,}800=66{,}000$, ולענות שמכונית ב' יקרה יותר.