מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 15 ברמת בגרות

מספר המתנדבים הוא סכום הגבהים של כל העמודות בדיאגרמה (השכיחויות):

טעות נפוצה: לחבר את הערכים שעל הציר האופקי (מספרי השתילים) במקום את השכיחויות: $4+7+9+13+16=49$.

ממוצע מדיאגרמת שכיחויות הוא ממוצע משוקלל: כל ערך כפול מספר המתנדבים שנטעו אותו, חלקי מספר המתנדבים.

סך השתילים שנטעו ביום הראשון:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של חמשת הערכים בלי שכיחויות: $\frac{4+7+9+13+16}{5}=9.8$ - כך כל ערך נספר פעם אחת, אף על פי ש-6 מתנדבים נטעו 9 שתילים ורק 2 נטעו 16.

מספר המתנדבים גדל ב-25% מתוך 24 המתנדבים של היום הראשון (סעיף א(1)), ולכן כופלים ב-$1+0.25=1.25$:

טעות נפוצה: לחשב רק את 25% מ-24, $24\cdot0.25=6$, ולענות 6 מתנדבים - זו התוספת, ולא מספר המתנדבים ביום השני.

סך כל השכיחויות בטבלה הוא מספר המתנדבים ביום השני, 30 (סעיף ב).

בטבלה כבר רשומים $6+6+7=19$ מתנדבים, ולכן:

טעות נפוצה: להשלים למספר המתנדבים ביום הראשון: $24-19=5$ - אבל הטבלה מתארת את היום השני, ובו השתתפו 30 מתנדבים.

ממוצע השתילים ביום השני שווה לממוצע ביום הראשון, 9 (סעיף א(2)), וביום השני השתתפו 30 מתנדבים. לכן סך השתילים ביום השני:

סך השתילים מהטבלה (עם 11 המתנדבים שנטעו 3 שתילים, סעיף ג):

טעות נפוצה: לשכוח לכפול את $x$ בשכיחות שלו (6 מתנדבים) ולכתוב $186+x=270$, ומקבלים $x=84$.

סך השתילים ביום השני הוא 270 (סעיף ד). אילו שירה הייתה משתתפת ונוטעת 9 שתילים:

הממוצע נשאר 9, ולכן הטענה של שירה נכונה.

אפשר גם לנמק בלי חישוב: 9 שתילים הם בדיוק הממוצע, ונתון ששווה לממוצע אינו משנה את הממוצע.

טעות נפוצה: להוסיף את 9 השתילים לסכום אבל לא להוסיף את שירה למספר המתנדבים: $\frac{279}{30}=9.3>9$ - ולהסיק שהממוצע היה גדל ושהטענה אינה נכונה.

אורית קנתה בסכום כולל של $185+45=230$ שקלים. הסכום בין 200 ל-400 שקלים, ולכן היא מקבלת מעטפה אחת.

במעטפה אחת, הדרך היחידה לזכות בדיוק ב-25 שקלים היא לקבל מעטפה עם שובר של 25 שקלים. ב-$30\%$ מן המעטפות יש שובר כזה:

טעות נפוצה: לחשוב ש-230 שקלים, שהם יותר מ-200, מזכים בשתי מעטפות, ולחשב 25 שקלים בדיוק משתי מעטפות (25 ואז כלום, או כלום ואז 25): $2\cdot0.3\cdot0.55=0.33$. שתי מעטפות מקבלים רק בקנייה של יותר מ-400 שקלים.

יוסי קנה ב-420 שקלים, יותר מ-400 שקלים, ולכן הוא מקבל שתי מעטפות.

בכל מעטפה אפשר לזכות לכל היותר ב-50 שקלים, ולכן 100 שקלים מתקבלים רק אם בשתי המעטפות יש שובר של 50 שקלים.

בכל מעטפה $P(50)=0.15$, והתוכן של שתי המעטפות בלתי תלוי:

טעות נפוצה: לחשוב שיש שני סדרים ולהכפיל ב-2: $2\cdot0.0225=0.045$ - אבל "50 ואז 50" הוא מסלול אחד בלבד; אין סדר אחר שבו שתי המעטפות הן של 50 שקלים.

בכל מעטפה: $P(50)=0.15$, $P(25)=0.3$, ו-$P(\text{נסו בפעם הבאה})=1-0.15-0.3=0.55$.

בשתי מעטפות יש שלוש דרכים לזכות בדיוק ב-50 שקלים:

50 שקלים ואז "נסו בפעם הבאה": $0.15\cdot0.55=0.0825$

"נסו בפעם הבאה" ואז 50 שקלים: $0.55\cdot0.15=0.0825$

25 שקלים ואז שוב 25 שקלים: $0.3\cdot0.3=0.09$

הדרכים זרות זו לזו, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לחשוב רק על זכייה בשובר של 50 שקלים במעטפה אחת ולשכוח את המסלול "25 ועוד 25", ולקבל $0.0825+0.0825=0.165$.

מיכל קנתה בסכום כולל של $160+30=190$ שקלים. זה פחות מ-200 שקלים, ולכן היא אינה מקבלת מעטפה כלל.

בלי מעטפה אי אפשר לזכות בשום סכום, ולכן זה מאורע בלתי אפשרי:

טעות נפוצה: להניח שכל לקוח מקבל לפחות מעטפה אחת ולענות $P(50)=0.15$ - אבל בקנייה של פחות מ-200 שקלים לא מקבלים מעטפה.

דנה עומדת זקופה והבניין ניצב לקרקע: $\angle PQR=\angle TSR=90^\circ$.

לפי הנתון $\angle PRQ=\angle TRS$.

שני זוגות של זוויות שוות - לפי משפט ז.ז. $\triangle PRQ\sim\triangle TRS$, בהתאמה $P\leftrightarrow T$, $R\leftrightarrow R$, $Q\leftrightarrow S$.

טעות נפוצה: לרשום את ההתאמה $Q\leftrightarrow T$ (לפי סדר האותיות בשם) - ואז לבנות יחס בין $QR$ לבין $TR$, שאינן צלעות מתאימות.

יחס הדמיון הוא יחס הגבהים:

ולכן $RS=30\cdot QR$. המראה בין דנה לבניין: $QR+RS=62$. נסמן $QR=x$:

טעות נפוצה: לחלק את 62 ב-30 ולקבל $QR\approx2.07$ - 62 הוא המרחק מדנה עד הבניין, ולא $RS$.

$RS=62-2=60$ מ'. במשולש ישר הזווית $TRS$:

טעות נפוצה: להשתמש ב-62 במקום ב-$RS$: $\sqrt{62^2+45^2}\approx76.61$.

הבסיס התחתון של הטרפז הוא כל רוחב החצר, 30 מ', והבסיס העליון 18 מ'. גובה הטרפז הוא 16 מ'.

שטח הריצוף הוא 384 מ"ר.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $(30+18)\cdot16=768$ מ"ר - יותר משטח החצר כולה (480 מ"ר).

הריצוף עלה 28,800 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול את שטח החצר כולה במחיר: $480\cdot75=36{,}000$ שקלים.

שטח החצר: $30\cdot16=480$ מ"ר. הפרחים בשטח שנשאר:

בדיקה: למשולש ניצבים $30-18=12$ מ' ו-16 מ', ושטחו $\frac{12\cdot16}{2}=96$ מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב את שטח המשולש בלי לחלק ב-2: $12\cdot16=192$ מ"ר.

טעות נפוצה: לחלק את שטח הפרחים בשטח הריצוף במקום בשטח החצר כולה: $\frac{96}{384}\cdot100\%=25\%$.

הגדר היא השוק המשופעת של הטרפז, כלומר היתר של משולש הפרחים.

הניצב האופקי של המשולש: $30-18=12$ מ'; הניצב האנכי: 16 מ'.

טעות נפוצה: לחסר את הריבועים במקום לחבר: $\sqrt{16^2-12^2}\approx10.58$ מ' - היתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש.

טעות נפוצה: לחבר את שורת המחירים ולקבל $240$.

ממוצע משוקלל לפי מספר המשתתפים:

טעות נפוצה: ממוצע של ארבעת המחירים, $\frac{70+90+45+35}{4}=60$.

הכי הרבה משתתפים (60) קנו כרטיס לשיט בקיאקים, ולכן זו הפעילות השכיחה.

טעות נפוצה: לענות "60" - זו השכיחות, והשכיח הוא שם הפעילות.

טעות נפוצה: לענות 60% - 60 הוא מספר המשתתפים, והאחוז מחושב מתוך 150.

המחירים החדשים: שיט $70\cdot1.1=77$ (עלייה של 7 שקלים); רכיבה $90-20=70$.

השינוי בסכום הכולל:

שיט: $+7\cdot60=+420$; רכיבה: $-20\cdot18=-360$.

הסכום הכולל גדל ב-$420-360=60$ שקלים, ומספר המשתתפים לא השתנה, ולכן הממוצע גדל:

טעות נפוצה: להשוות רק את השינוי בכרטיס אחד - הרכיבה הוזלה ב-20 שקלים והשיט התייקר רק ב-7 - ולהסיק שהממוצע קטן. ההתייקרות חלה על 60 משתתפים וההוזלה רק על 18, ולכן הסכום הכולל דווקא גדל.

השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגבוהה ביותר: העמודה הגבוהה ביותר (18 עובדים) היא של $6{,}000$ ₪.

טעות נפוצה: לענות 18 - זה מספר העובדים, לא השכר.

מספר העובדים: $18+14+12+6=50$.

טעות נפוצה: ממוצע של ארבעת ערכי השכר בלי שכיחויות - $\frac{6{,}000+7{,}500+9{,}000+12{,}000}{4}=8{,}625$.

50 עובדים - החציון הוא ממוצע האיבר ה-25 והאיבר ה-26.

שכיחויות מצטברות: עד $6{,}000$ - 18; עד $7{,}500$ - 32.

האיברים ה-25 וה-26 נמצאים בין ה-19 ל-32, ולכן שניהם $7{,}500$. החציון: $7{,}500$ שקלים.

טעות נפוצה: לקחת את האמצע של ערכי השכר שעל הציר - $\frac{7{,}500+9{,}000}{2}=8{,}250$.

סטיות מהממוצע $7{,}860$, בריבוע, כפול השכיחות:

סכום: $182{,}520{,}000$.

טעות נפוצה: לחלק ב-49 (מספר העובדים פחות 1) במקום ב-50 - ומקבלים כ-$1{,}930.00$. בנוסחה של סטיית התקן מחלקים במספר הנתונים.

השכר של העובד החדש ($7{,}500$) נמוך מהממוצע ($7{,}860$), ולכן הממוצע יורד.

בחישוב: $\frac{393{,}000+7{,}500}{51}=\frac{400{,}500}{51}\approx7{,}852.94$.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של $7{,}860$ ו-$7{,}500$ - $7{,}680$ - כאילו לעובד החדש משקל של 50 עובדים.