מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 16 ברמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), ברמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · דיאגרמת עמודות: התנדבויות בחודש

בבית ספר מסוים תלמידי שכבת י"א מתנדבים בקהילה כמה פעמים בחודש.
לפניכם דיאגרמת עמודות המתארת את התפלגות מספר ההתנדבויות בחודש של כל תלמידי השכבה.
0246810121416712616912345‫מספר ההתנדבויות‬‫מספר התלמידים‬

א.

(1)

מצאו את מספר התלמידים בשכבה.

(2)

מצאו את ממוצע מספר ההתנדבויות בחודש של תלמידי השכבה.

(3)

מצאו את חציון מספר ההתנדבויות בחודש של תלמידי השכבה.

ב.

כל תלמיד בשכבה שהתנדב פעמיים או פחות בחודש קיבל תזכורת מרכזת ההתנדבות.

מצאו את אחוז התלמידים בשכבה שקיבלו תזכורת.

ג.

גם בבית ספר אחר תלמידי שכבת י"א מתנדבים כמה פעמים בחודש.
לפניכם טבלה המתארת את התפלגות מספר ההתנדבויות בחודש של כל תלמידי השכבה בבית הספר האחר.
נסמן ב-xxx את מספר ההתנדבויות בחודש של 4 תלמידים בשכבה זו.
מספר ההתנדבויותxxx41
מספר התלמידים41011
נתון כי ממוצע מספר ההתנדבויות בחודש בשני בתי הספר זהה.

מספר ההתנדבויות	$x$	4	1
מספר התלמידים	4	10	11

מצאו את x.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א(1)

תשובה:

50 תלמידים

מספר התלמידים הוא סכום גובהי העמודות:
7+12+6+16+9=507+12+6+16+9=507+12+6+16+9=50
טעות נפוצה: לחבר את מספרי ההתנדבויות שעל הציר, 1+2+3+4+5=151+2+3+4+5=151+2+3+4+5=15, ולענות 15 תלמידים.

סעיף א(2)

תשובה:

3.163.163.16

ממוצע משוקלל: כל ערך כפול מספר התלמידים שלו.
1⋅7+2⋅12+3⋅6+4⋅16+5⋅9=7+24+18+64+45=1581\cdot7+2\cdot12+3\cdot6+4\cdot16+5\cdot9=7+24+18+64+45=1581⋅7+2⋅12+3⋅6+4⋅16+5⋅9=7+24+18+64+45=158
xˉ=15850=3.16\bar x=\frac{158}{50}=3.16xˉ=50158​=3.16
טעות נפוצה: לחשב 1+2+3+4+55=3\frac{1+2+3+4+5}{5}=351+2+3+4+5​=3 - ממוצע של הערכים בלי להתחשב במספר התלמידים בכל עמודה.

סעיף א(3)

תשובה:

3.53.53.5

50 נתונים - החציון הוא ממוצע הנתון ה-25 והנתון ה-26.
שכיחויות מצטברות: עד 1 - 7; עד 2 - 7+12=197+12=197+12=19; עד 3 - 19+6=2519+6=2519+6=25; עד 4 - 25+16=4125+16=4125+16=41.
הנתון ה-25 הוא האחרון בעמודה של 3, והנתון ה-26 הוא הראשון בעמודה של 4:
חציון=3+42=3.5\text{חציון}=\frac{3+4}{2}=3.5חציון=23+4​=3.5
טעות נפוצה: לסדר את גובהי העמודות 6,7,9,12,166,7,9,12,166,7,9,12,16 ולקחת את האמצעי, 9 - זו שכיחות, לא ערך של מספר ההתנדבויות.

סעיף ב

תשובה:

38%38\%38%

"פעמיים או פחות" כולל את העמודות של 1 ו-2 התנדבויות:
7+12=19 תלמידים7+12=19\text{ תלמידים}7+12=19 תלמידים
1950⋅100%=38%\frac{19}{50}\cdot100\%=38\%5019​⋅100%=38%
טעות נפוצה: לא לכלול את מי שהתנדב בדיוק פעמיים ולקבל 750=14%\frac{7}{50}=14\%507​=14% - "פעמיים או פחות" כולל את 2.

סעיף ג

תשובה:

x=7x=7x=7

בבית הספר האחר יש 11+10+4=2511+10+4=2511+10+4=25 תלמידים בשכבה. הממוצע שם:
1⋅11+4⋅10+x⋅425=51+4x25\frac{1\cdot11+4\cdot10+x\cdot4}{25}=\frac{51+4x}{25}251⋅11+4⋅10+x⋅4​=2551+4x​
הממוצע שווה לממוצע בבית הספר הראשון (סעיף א(2)):
51+4x25=3.16\frac{51+4x}{25}=3.162551+4x​=3.16
51+4x=79⇒4x=28⇒x=751+4x=79\quad\Rightarrow\quad 4x=28\quad\Rightarrow\quad x=751+4x=79⇒4x=28⇒x=7
טעות נפוצה: לחשב 1+4+x3=3.16\frac{1+4+x}{3}=3.1631+4+x​=3.16 בלי מספרי התלמידים, ולקבל x=4.48x=4.48x=4.48.

שאלה 2 · גלגל צבעים: "גם וגם", "אף פעם" ו"לפחות פעם אחת"

בתוכנית טלוויזיה המתמודד מסובב גלגל המחולק ל-8 חלקים שווים: 3 חלקים כחולים, 2 אדומים, 2 ירוקים ו-1 צהוב. הצבע שעליו נעצר המחוג קובע את נושא השאלה. מסובבים את הגלגל פעם אחת בכל תור.

א.

מהי ההסתברות שהמחוג ייעצר על אדום גם בתור הראשון וגם בתור השני?

ב.

מהי ההסתברות שבשלושת התורות הראשונים המחוג לא ייעצר על כחול?

ג.

מהי ההסתברות שהמחוג ייעצר על כחול לפחות פעם אחת בשני התורות הראשונים?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

116=0.0625\frac{1}{16}=0.0625161​=0.0625

2 מתוך 8 החלקים השווים אדומים, ולכן בכל תור ההסתברות לאדום היא 28=14\frac28=\frac1482​=41​.
התורות בלתי תלויים, ולכן:
P=14⋅14=116=0.0625P=\frac14\cdot\frac14=\frac{1}{16}=0.0625P=41​⋅41​=161​=0.0625
טעות נפוצה: לחבר: 14+14=12\frac14+\frac14=\frac1241​+41​=21​. ל"גם וגם" של מאורעות בלתי תלויים כופלים.

סעיף ב

תשובה:

(58)3=125512≈0.244\left(\frac58\right)^3=\frac{125}{512}\approx0.244(85​)3=512125​≈0.244

3 מתוך 8 החלקים כחולים, ולכן בכל תור ההסתברות ל"לא כחול" היא 1−38=581-\frac38=\frac581−83​=85​.
"לא כחול בשלושת התורות" = לא כחול בכל אחד מהם, והתורות בלתי תלויים:
P=(58)3=125512≈0.244P=\left(\frac58\right)^3=\frac{125}{512}\approx0.244P=(85​)3=512125​≈0.244
טעות נפוצה: לחשב 1−(38)3=485512≈0.9471-\left(\frac38\right)^3=\frac{485}{512}\approx0.9471−(83​)3=512485​≈0.947 - המשלים של "כחול בכל שלושת התורות", שאינו המאורע "אף פעם לא כחול".

סעיף ג

תשובה:

1−(58)2=3964≈0.6091-\left(\frac58\right)^2=\frac{39}{64}\approx0.6091−(85​)2=6439​≈0.609

המשלים של "לפחות פעם אחת כחול" הוא "אף פעם לא כחול" בשני התורות:
ההסתברות ל"אף פעם":
58⋅58=2564\frac58\cdot\frac58=\frac{25}{64}85​⋅85​=6425​
ההסתברות ל"לפחות פעם אחת":
1−2564=3964≈0.6091-\frac{25}{64}=\frac{39}{64}\approx0.6091−6425​=6439​≈0.609
טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק פעם אחת": 2⋅38⋅58=1532≈0.4692\cdot\frac38\cdot\frac58=\frac{15}{32}\approx0.4692⋅83​⋅85​=3215​≈0.469, ולשכוח את המקרה של כחול בשני התורות.

שאלה 3 · משולשים דומים: הקיר הקדמי של שני מחסנים

בחצר בית ספר בנו שני מחסנים: מחסן גדול לציוד ספורט ומחסן קטן לכלי גינון (ראו סרטוט).
הקיר הקדמי של כל מחסן הוא בצורת משולש שווה שוקיים, המשולש ABCABCABC והמשולש EFGEFGEFG (AB=ACAB=ACAB=AC, EF=EGEF=EGEF=EG).
המשולשים ABCABCABC ו-EFGEFGEFG דומים זה לזה ויחס הדמיון ביניהם הוא 4:34:34:3.
בסרטוט: משמאל - הקיר של המחסן הגדול (ABCABCABC), מימין - הקיר של המחסן הקטן (EFGEFGEFG).
BCAFGEDH

א.

אורך הבסיס של הקיר של המחסן הקטן (FGFGFG) הוא 2.7 מטר.

מצאו את אורך הבסיס של הקיר של המחסן הגדול (BCBCBC).

ב.

ADADAD היא קורת תמיכה בקיר של המחסן הגדול, והיא מאונכת לבסיס BCBCBC. אורך הקורה ADADAD הוא 1.35 מטר.

(1)

מצאו את אורך הצלע ABABAB.

(2)

מצאו את ההיקף של הקיר של המחסן הגדול (△ABC\triangle ABC△ABC).

ג.

רוצים לצבוע את הקיר הקדמי של המחסן הקטן.

פחית צבע מספיקה לצביעת 1.3 מ"ר. האם פחית אחת תספיק כדי לצבוע את הקיר של המחסן הקטן? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

BC=3.6BC=3.6BC=3.6 מטר

BCBCBC מתאים ל-FGFGFG, ויחס הדמיון (גדול לקטן) הוא 4:34:34:3:
BCFG=43⇒BC=2.7⋅43=3.6\frac{BC}{FG}=\frac43\quad\Rightarrow\quad BC=2.7\cdot\frac43=3.6FGBC​=34​⇒BC=2.7⋅34​=3.6
טעות נפוצה: לכפול ב-34\frac3443​ ולקבל BC≈2.03BC\approx2.03BC≈2.03 - קטן מ-FGFGFG, אף על פי ש-BCBCBC שייך למחסן הגדול.

סעיף ב(1)

תשובה:

AB=2.25AB=2.25AB=2.25 מטר

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את הבסיס: BD=3.62=1.8BD=\frac{3.6}{2}=1.8BD=23.6​=1.8.
במשולש ישר הזווית ABDABDABD (זווית ישרה ב-DDD):
AB=AD2+BD2=1.352+1.82=1.8225+3.24=5.0625=2.25AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1.35^2+1.8^2}=\sqrt{1.8225+3.24}=\sqrt{5.0625}=2.25AB=AD2+BD2​=1.352+1.82​=1.8225+3.24​=5.0625​=2.25
טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס כניצב: 1.352+3.62≈3.84\sqrt{1.35^2+3.6^2}\approx3.841.352+3.62​≈3.84.

סעיף ב(2)

תשובה:

8.1 מטר

AC=AB=2.25AC=AB=2.25AC=AB=2.25, ולכן:
PABC=2.25+2.25+3.6=8.1P_{ABC}=2.25+2.25+3.6=8.1PABC​=2.25+2.25+3.6=8.1
טעות נפוצה: לשכוח את השוק השנייה ולחשב AB+BC=5.85AB+BC=5.85AB+BC=5.85.

סעיף ג

תשובה:

לא; שטח הקיר של המחסן הקטן הוא כ-1.371.371.37 מ"ר, יותר מ-1.3

הגובה של המשולש הקטן, EHEHEH, מתאים ל-ADADAD:
EH=1.35⋅34=1.0125EH=1.35\cdot\frac34=1.0125EH=1.35⋅43​=1.0125
SEFG=2.7⋅1.01252≈1.367S_{EFG}=\frac{2.7\cdot1.0125}{2}\approx1.367SEFG​=22.7⋅1.0125​≈1.367
דרך אחרת: SABC=3.6⋅1.352=2.43S_{ABC}=\frac{3.6\cdot1.35}{2}=2.43SABC​=23.6⋅1.35​=2.43, ו-SEFG=2.43⋅(34)2≈1.367S_{EFG}=2.43\cdot\left(\frac34\right)^2\approx1.367SEFG​=2.43⋅(43​)2≈1.367.
1.367>1.31.367>1.31.367>1.3, ולכן פחית אחת לא תספיק.
טעות נפוצה: לחשב את השטח עם חצי הבסיס: 1.35⋅1.01252≈0.68<1.3\frac{1.35\cdot1.0125}{2}\approx0.68<1.321.35⋅1.0125​≈0.68<1.3 - ולהסיק שהפחית תספיק.

שאלה 4 · טריגונומטריה: שני כבלים של גשר מיתרים

בגשר מיתרים יש עמוד ABABAB הניצב למשטח הגשר בנקודה AAA (משטח הגשר מישורי).
מהנקודה BBB שבראש העמוד מתוחים שני כבלים אל משטח הגשר, שניהם באותו צד של העמוד.
כבל אחד מחובר למשטח הגשר בנקודה CCC, והכבל השני מחובר בנקודה DDD הנמצאת על הקטע ACACAC, כמתואר בסרטוט.
אורך הכבל BCBCBC הוא 50 מטרים.
הכבל BCBCBC יוצר עם משטח הגשר זווית של 35∘35^\circ35∘ (∠ACB\angle ACB∠ACB).
ADCB

א.

מצאו את אורך הקטע CACACA.

ב.

מצאו את הגובה של העמוד מעל משטח הגשר (ABABAB).

ג.

נתון כי אורך הכבל BDBDBD הוא 36 מטרים.

מצאו את גודל הזווית שהכבל BDBDBD יוצר עם משטח הגשר (∠BDA\angle BDA∠BDA).

ד.

מצאו את המרחק בין שתי הנקודות שבהן מחוברים הכבלים למשטח הגשר (CDCDCD).

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

CA≈40.96CA\approx40.96CA≈40.96 מטרים

העמוד ניצב למשטח הגשר, ולכן המשולש ABCABCABC ישר זווית ב-AAA, והכבל BCBCBC הוא היתר.
CACACA הוא הניצב שליד הזווית 35∘35^\circ35∘, ולכן משתמשים בקוסינוס:
cos⁡35∘=CABC⇒CA=50⋅cos⁡35∘≈50⋅0.8192≈40.96\cos35^\circ=\frac{CA}{BC}\quad\Rightarrow\quad CA=50\cdot\cos35^\circ\approx50\cdot0.8192\approx40.96cos35∘=BCCA​⇒CA=50⋅cos35∘≈50⋅0.8192≈40.96
טעות נפוצה: לחלק במקום לכפול, CA=50cos⁡35∘≈61.04CA=\frac{50}{\cos35^\circ}\approx61.04CA=cos35∘50​≈61.04 - יוצא ארוך מהכבל, אבל ניצב קצר מהיתר.

סעיף ב

תשובה:

AB≈28.68AB\approx28.68AB≈28.68 מטרים

ABABAB הוא הניצב שמול הזווית 35∘35^\circ35∘, ולכן משתמשים בסינוס:
sin⁡35∘=ABBC⇒AB=50⋅sin⁡35∘≈50⋅0.5736≈28.68\sin35^\circ=\frac{AB}{BC}\quad\Rightarrow\quad AB=50\cdot\sin35^\circ\approx50\cdot0.5736\approx28.68sin35∘=BCAB​⇒AB=50⋅sin35∘≈50⋅0.5736≈28.68
(אפשר גם לפי פיתגורס: AB=502−40.962≈28.68AB=\sqrt{50^2-40.96^2}\approx28.68AB=502−40.962​≈28.68.)
טעות נפוצה: להציב בסינוס את הניצב CACACA במקום את היתר: AB=40.96⋅sin⁡35∘≈23.49AB=40.96\cdot\sin35^\circ\approx23.49AB=40.96⋅sin35∘≈23.49 - אבל סינוס הוא היחס בין הניצב שמול הזווית ובין היתר BCBCBC.

סעיף ג

תשובה:

∠BDA≈52.8∘\angle BDA\approx52.8^\circ∠BDA≈52.8∘

במשולש ישר הזווית ABDABDABD (זווית ישרה ב-AAA) ידועים היתר BD=36BD=36BD=36 והניצב שמול הזווית DDD, AB≈28.68AB\approx28.68AB≈28.68 (סעיף ב):
sin⁡∠BDA=ABBD≈28.6836≈0.7967⇒∠BDA≈52.8∘\sin\angle BDA=\frac{AB}{BD}\approx\frac{28.68}{36}\approx0.7967\quad\Rightarrow\quad\angle BDA\approx52.8^\circsin∠BDA=BDAB​≈3628.68​≈0.7967⇒∠BDA≈52.8∘
טעות נפוצה: להשתמש בטנגנס, כאילו BDBDBD הוא הניצב שליד הזווית: tan⁡∠BDA=28.6836\tan\angle BDA=\frac{28.68}{36}tan∠BDA=3628.68​, ומקבלים ≈38.5∘\approx38.5^\circ≈38.5∘ - אבל BDBDBD הוא היתר במשולש ABDABDABD.

סעיף ד

תשובה:

CD≈19.2CD\approx19.2CD≈19.2 מטרים

קודם מוצאים את ADADAD במשולש ABDABDABD (הניצב שליד הזווית DDD):
AD=BD⋅cos⁡52.8∘≈36⋅0.6046≈21.77AD=BD\cdot\cos52.8^\circ\approx36\cdot0.6046\approx21.77AD=BD⋅cos52.8∘≈36⋅0.6046≈21.77
(או לפי פיתגורס: AD=362−28.682≈21.76AD=\sqrt{36^2-28.68^2}\approx21.76AD=362−28.682​≈21.76.)
DDD נמצאת על הקטע ACACAC, בין AAA ל-CCC, ולכן:
CD=CA−AD≈40.96−21.77≈19.2CD=CA-AD\approx40.96-21.77\approx19.2CD=CA−AD≈40.96−21.77≈19.2
טעות נפוצה: לחבר את הקטעים, CD=CA+AD≈62.7CD=CA+AD\approx62.7CD=CA+AD≈62.7, כאילו הכבלים משני צדי העמוד - אבל שניהם באותו צד, ו-DDD בין AAA ל-CCC.

שאלה 5 · דיאגרמות עיגול: הוצאות חודשיות של שלוש משפחות

הדיאגרמות I-III שלפניכם מתארות את התפלגות ההוצאות החודשיות של שלוש משפחות: משפחת דהן, משפחת לוי ומשפחת פרץ.
I30%10%20%14%12%14%‫דיור 30%‬‫נסיעות 10%‬‫מזון 20%‬‫חינוך ותרבות 14%‬‫בריאות 12%‬‫לבוש 14%‬
II22%14%18%22%12%12%‫דיור 22%‬‫נסיעות 14%‬‫מזון 18%‬‫חינוך ותרבות 22%‬‫בריאות 12%‬‫לבוש 12%‬
III27%12%21%18%9%13%‫דיור 27%‬‫נסיעות 12%‬‫מזון 21%‬‫חינוך ותרבות 18%‬‫בריאות 9%‬‫לבוש 13%‬
ידוע כי הסכום שמשפחת לוי מוציאה על בריאות שווה לסכום שהיא מוציאה על לבוש.
ידוע כי הסכום שמשפחת פרץ מוציאה על דיור גדול פי 3 מן הסכום שהיא מוציאה על נסיעות.

א.

התאימו לכל משפחה את הדיאגרמה המתארת את התפלגות ההוצאות החודשיות שלה. הסבירו את קביעותיכם.

ב.

בחודש יולי הוציאה משפחת דהן 13,000 שקלים סך הכול.

מהו הסכום שהוציאה משפחת דהן על חינוך ותרבות בחודש יולי?

ג.

בחודש יולי הוציאה משפחת לוי 11,000 שקלים סך הכול, ומשפחת פרץ הוציאה בחודש זה 18,000 שקלים סך הכול.

איזו משפחה משלוש המשפחות הוציאה את הסכום הגבוה ביותר על חינוך ותרבות בחודש יולי? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

משפחת לוי - דיאגרמה II; משפחת פרץ - דיאגרמה I; משפחת דהן - דיאגרמה III

משפחת לוי: בריאות ולבוש באותו אחוז. ב-I: 12% ו-14%; ב-II: 12% ו-12%; ב-III: 9% ו-13%. לכן משפחת לוי - דיאגרמה II.
משפחת פרץ: דיור פי 3 מנסיעות. ב-I: 30%10%=3\frac{30\%}{10\%}=310%30%​=3; ב-III: 27%12%=2.25\frac{27\%}{12\%}=2.2512%27%​=2.25. לכן משפחת פרץ - דיאגרמה I.
הדיאגרמה שנשארה, III, היא של משפחת דהן.
טעות נפוצה: לבדוק את הדיור מול תחום אחר - ב-III דיור (27%) גדול פי 3 מבריאות (9%) - ולשייך את משפחת פרץ לדיאגרמה III ואת משפחת דהן לדיאגרמה I.

סעיף ב

תשובה:

2,340 שקלים

משפחת דהן - דיאגרמה III, ושם חינוך ותרבות הם 18%:
0.18⋅13000=23400.18\cdot13000=23400.18⋅13000=2340
טעות נפוצה: לחלק באחוז במקום לכפול, 1300018≈722\frac{13000}{18}\approx7221813000​≈722 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

משפחת פרץ (2,520 שקלים)

משווים סכומים בשקלים, כי הסכומים הכוללים שונים:
משפחת לוי (II, 22%): 0.22⋅11000=24200.22\cdot11000=24200.22⋅11000=2420 שקלים.
משפחת פרץ (I, 14%): 0.14⋅18000=25200.14\cdot18000=25200.14⋅18000=2520 שקלים.
משפחת דהן: 2,340 שקלים (סעיף ב).
2520>2420>23402520>2420>23402520>2420>2340, ולכן משפחת פרץ הוציאה את הסכום הגבוה ביותר - אף שאצלה האחוז של חינוך ותרבות הוא הנמוך ביותר.
טעות נפוצה: להשוות אחוזים ולענות משפחת לוי, שאצלה האחוז הגבוה ביותר (22%). הסכום הכולל של משפחת לוי קטן בהרבה.

שאלה 6 · המודל הליניארי: מחיר משלוח בשתי חברות שליחויות

בעיר מסוימת יש שתי חברות שליחויות, חברה א' וחברה ב'.
אופן חישוב המחיר של משלוח שונה בין שתי החברות.
בחברה א' משלמים 30 שקלים בעבור כל משלוח, ונוסף על כך 4 שקלים בעבור כל קילומטר של נסיעה.
בחברה ב' משלמים 18 שקלים בעבור כל משלוח, ונוסף על כך 6 שקלים בעבור כל קילומטר של נסיעה.
לפניכם שני גרפים I-II, המתארים את המחיר של משלוח אחד בכל אחת מן החברות.
בגרף: הציר האופקי - מרחק המשלוח (בק"מ), הציר האנכי - המחיר (בשקלים).
III

א.

קבעו איזה גרף, I או II, מתאר את המחיר בחברה א'.

ב.

לפניכם שני היגדים (1)-(2). קבעו בעבור כל אחד מן ההיגדים אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם.

(1)

משלוח למרחק 4 ק"מ זול יותר בחברה ב' מבחברה א'.

(2)

משלוח למרחק 6 ק"מ זול יותר בחברה א' מבחברה ב'.

ג.

חנות צעצועים שולחת את כל המשלוחים שלה עם חברה א' למחסן שלה, שנמצא במרחק 11 ק"מ.

מצאו את המחיר שמשלמת חנות הצעצועים בעבור כל משלוח.

ד.

מאפייה שולחת את כל המשלוחים שלה עם חברה ב' לבית קפה קבוע. בעבור כל משלוח היא משלמת 66 שקלים.

מצאו את המרחק של כל משלוח של המאפייה.

ה.

בחודש מסוים מספר המשלוחים של חנות הצעצועים היה גדול ב-4 ממספר המשלוחים של המאפייה.
המחיר סך הכול ששילמו חנות הצעצועים והמאפייה יחד בעבור המשלוחים באותו החודש היה 1,976 שקלים.

מצאו את מספר המשלוחים של המאפייה בחודש זה.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

גרף II

בחברה א' המחיר הוא y=30+4xy=30+4xy=30+4x (xxx - מרחק המשלוח בק"מ), ובחברה ב' - y=18+6xy=18+6xy=18+6x.
נקודת החיתוך עם הציר האנכי (x=0x=0x=0) היא התשלום הקבוע למשלוח: בחברה א' 30 שקלים, בחברה ב' 18 שקלים. לכן הגרף של חברה א' מתחיל גבוה יותר - זה גרף II.
גם השיפוע מתאים: בחברה א' התוספת לק"מ (4) קטנה יותר, ולכן הגרף שלה פחות תלול - וגרף II אכן פחות תלול.
טעות נפוצה: לבחור בגרף I מתוך מחשבה שחברה א' זולה יותר לכל ק"מ ולכן הגרף שלה "נמוך יותר" - הגובה בהתחלה נקבע לפי התשלום הקבוע, והמחיר לק"מ קובע רק את התלילות.

סעיף ב(1)

תשובה:

נכון

חברה א’: 30+4⋅4=46חברה ב’: 18+6⋅4=42\text{חברה א': }30+4\cdot4=46\qquad\text{חברה ב': }18+6\cdot4=42חברה א’: 30+4⋅4=46חברה ב’: 18+6⋅4=42
42<4642<4642<46, ולכן משלוח של 4 ק"מ זול יותר בחברה ב'. ההיגד נכון.
טעות נפוצה: להשוות רק את התשלום לפי המרחק, 4⋅4=164\cdot4=164⋅4=16 בחברה א' מול 6⋅4=246\cdot4=246⋅4=24 בחברה ב', ולקבוע שההיגד לא נכון - בלי התשלום הקבוע; היתרון של חברה ב' בתשלום הקבוע (12 שקלים) גדול מהפער לפי המרחק (8 שקלים).

סעיף ב(2)

תשובה:

לא נכון

חברה א’: 30+4⋅6=54חברה ב’: 18+6⋅6=54\text{חברה א': }30+4\cdot6=54\qquad\text{חברה ב': }18+6\cdot6=54חברה א’: 30+4⋅6=54חברה ב’: 18+6⋅6=54
בשתי החברות המחיר שווה - 54 שקלים - ולכן המשלוח אינו זול יותר בחברה א'. ההיגד לא נכון.
טעות נפוצה: לקבוע שההיגד נכון כי בחברה א' כל ק"מ זול יותר (4 לעומת 6) - ב-6 ק"מ החיסכון של חברה א' לפי המרחק (6⋅2=126\cdot2=126⋅2=12) רק משלים את הפער בתשלום הקבוע (12 שקלים).

סעיף ג

תשובה:

74 שקלים

30+4⋅11=30+44=7430+4\cdot11=30+44=7430+4⋅11=30+44=74
טעות נפוצה: לכפול את כל התשלום במרחק, (30+4)⋅11=374(30+4)\cdot11=374(30+4)⋅11=374 - התשלום הקבוע משולם פעם אחת בכל משלוח, לא בכל ק"מ.

סעיף ד

תשובה:

8 ק"מ

נסמן ב-xxx את מרחק המשלוח בק"מ:
18+6x=66⇒6x=48⇒x=818+6x=66\quad\Rightarrow\quad6x=48\quad\Rightarrow\quad x=818+6x=66⇒6x=48⇒x=8
טעות נפוצה: לחלק את כל המחיר במחיר לק"מ, 666=11\frac{66}{6}=11666​=11, ולענות 11 ק"מ - בלי להפחית קודם את התשלום הקבוע.

סעיף ה

תשובה:

12 משלוחים

נסמן ב-xxx את מספר המשלוחים של המאפייה. לחנות הצעצועים היו x+4x+4x+4 משלוחים.
חנות הצעצועים משלמת 74 שקלים למשלוח (סעיף ג), והמאפייה - 66 שקלים למשלוח:
74(x+4)+66x=1,97674(x+4)+66x=1{,}97674(x+4)+66x=1,976
74x+296+66x=1,976⇒140x=1,680⇒x=1274x+296+66x=1{,}976\quad\Rightarrow\quad140x=1{,}680\quad\Rightarrow\quad x=1274x+296+66x=1,976⇒140x=1,680⇒x=12
בדיקה: 74⋅16+66⋅12=1,184+792=1,97674\cdot16+66\cdot12=1{,}184+792=1{,}97674⋅16+66⋅12=1,184+792=1,976.
טעות נפוצה: להוסיף את ה-4 למאפייה במקום לחנות הצעצועים, 74x+66(x+4)=1,97674x+66(x+4)=1{,}97674x+66(x+4)=1,976, ולקבל 140x=1,712140x=1{,}712140x=1,712, x≈12.23x\approx12.23x≈12.23 - מספר משלוחים לא שלם הוא סימן שהמשוואה נבנתה הפוך.

שאלה 1 · דיאגרמת עמודות: התנדבויות בחודש

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף א(3)

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 2 · גלגל צבעים: "גם וגם", "אף פעם" ו"לפחות פעם אחת"

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 3 · משולשים דומים: הקיר הקדמי של שני מחסנים

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג

שאלה 4 · טריגונומטריה: שני כבלים של גשר מיתרים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 5 · דיאגרמות עיגול: הוצאות חודשיות של שלוש משפחות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 6 · המודל הליניארי: מחיר משלוח בשתי חברות שליחויות

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד