מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 6 מעל רמת בגרות

הגרף מתחיל בשעה 8:00, ושם הוא חותך את הציר האנכי בערך המסומן 500.

לכן בשעה 8:00 היו בגופו של המטופל 500 מ"ג מהתרופה. זו הכמות ההתחלתית: $A_0=500$.

טעות נפוצה: לחשוב שבשעה 8:00 כבר עברה שעה של דעיכה ולענות $500\cdot0.8=400$ מ"ג. הגרף מתחיל ב-8:00, ולכן הערך בנקודת ההתחלה הוא הכמות בשעה 8:00.

ירידה של 20% בכל שעה פירושה מקדם דעיכה $q=1-0.2=0.8$.

מהשעה 8:00 עד השעה 11:00 עברו $t=11-8=3$ שעות.

בשעה 11:00 היו בגופו של המטופל 256 מ"ג מהתרופה.

טעות נפוצה: לספור את השעות 8:00, 9:00, 10:00, 11:00 כ-4 שעות ולחשב $500\cdot0.8^4=204.8$ מ"ג. בין 8:00 ל-11:00 עברו 3 שעות בלבד.

מחפשים את מספר השעות $t$ שבו $500\cdot0.8^t\approx131$. מחלקים ב-500:

מחפשים בניסוי וטעייה חזקה של 0.8 שמתאימה:

$0.8^5\approx0.328$ (עדיין גדול מדי), $0.8^6\approx0.262$ (מתאים).

לכן $t=6$: כעבור 6 שעות מהשעה 8:00, כלומר בשעה 14:00.

בדיקה: $500\cdot0.8^6\approx131.07\approx131$.

טעות נפוצה: לחשוב על הדעיכה כליניארית - 20% מ-500 הם 100 מ"ג, ולהניח שבכל שעה יורדים 100 מ"ג: $\frac{500-131}{100}=3.69$, כלומר כ-4 שעות, ולענות "בשעה 12:00". בדעיכה מעריכית בכל שעה יורדים 20% מהכמות של אותה שעה, ולכן הירידה בכל שעה הולכת וקטנה.

בשעה 8:00 כמות התרופה הנוספת שווה לכמות התרופה הראשונה, ולכן גם לתרופה הנוספת $A_0=500$ (סעיף א(1)).

מהשעה 8:00 עד השעה 10:00 עברו $t=2$ שעות, ובשעה 10:00 היו בגופו 405 מ"ג מהתרופה הנוספת:

$q=0.9=1-0.1$, כלומר כמות התרופה הנוספת קטנה בכל שעה ב-10%.

טעות נפוצה: לקרוא את המקדם כאחוז הירידה ולענות שהכמות קטנה בכל שעה ב-90%. המקדם $q=0.9$ פירושו שבכל שעה נשארים 90% מהכמות, ולכן הירידה היא $100\%-90\%=10\%$.

בשעה 8:00 היו 500 מ"ג, ובכל שעה כופלים במקדם $q=0.9$ (סעיף ג(1)):

9:00: $500\cdot0.9=450$

10:00: $450\cdot0.9=405$ (מתאים לנתון בטבלה)

11:00: $405\cdot0.9=364.5$

טעות נפוצה: למלא את 9:00 כממוצע של 500 ו-405, $\frac{500+405}{2}=452.5$, ולהמשיך באותה ירידה של 47.5 מ"ג בשעה, ולקבל ל-11:00 את $357.5$. זו השלמה ליניארית; בתהליך מעריכי כופלים בכל שעה ב-$q$.

נסמן ב-$p$ את ההסתברות שהנורה שנבחרה היא מתוצרת "אור". אז ההסתברות שהיא מתוצרת "ברק" היא $1-p$.

נורה תקינה מתקבלת בשני מסלולים, ולכן:

20% מהנורות הן מתוצרת "אור": $0.2\cdot400=80$ נורות.

טעות נפוצה: לכתוב $0.95p+0.8p=0.83$ (לשכוח שההסתברות ל"ברק" היא $1-p$), לקבל $p\approx0.474$ ולענות כ-190 נורות.

בכל בחירה ההסתברות לנורה תקינה היא 0.83, ולנורה לא תקינה $1-0.83=0.17$. הנורה מוחזרת, ולכן שתי הבחירות בלתי תלויות.

"בדיוק אחת תקינה" קורה בשני סדרים: תקינה ואז לא תקינה, או לא תקינה ואז תקינה:

טעות נפוצה: לחשב סדר אחד בלבד ולקבל $0.83\cdot0.17=0.1411$.

המאורע המשלים ל"לפחות אחת אינה תקינה" הוא "שתי הנורות תקינות":

טעות נפוצה: לחשב רק את ההסתברות ששתי הנורות אינן תקינות, $0.17^2=0.0289$, ולשכוח את המקרים שבהם בדיוק אחת אינה תקינה.

הבסיס $FG$ במשולש הקטן מתאים לבסיס $BC$ במשולש הגדול, ויחס הדמיון (גדול לקטן) הוא $5:2$:

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac52$ במקום ב-$\frac25$: $3.5\cdot\frac52=8.75$ - אבל $FG$ שייך למפרש הקטן, ולכן הוא קצר מ-$BC$.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס, ולכן $FH=\frac{FG}{2}=\frac{1.4}{2}=0.7$.

המשולש $EFH$ ישר זווית ב-$H$, ו-$EF$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס $FG=1.4$ כניצב: $\sqrt{2.4^2+1.4^2}\approx2.78$ - הניצב במשולש $EFH$ הוא רק חצי הבסיס.

$EG=EF=2.5$ (משולש שווה שוקיים), ולכן:

טעות נפוצה: לחבר רק את הצלעות שחושבו בסעיפים הקודמים, $EF+FG=3.9$, ולשכוח את השוק השנייה $EG$.

נסמן ב-$AD$ את הגובה של המשולש הגדול לבסיס $BC$ (בסרטוט). הוא מתאים לגובה $EH$ של המשולש הקטן, ולכן הוא ביחס הדמיון:

דרך אחרת: $S_{EFG}=\frac{1.4\cdot2.4}{2}=1.68$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $S_{ABC}=1.68\cdot\left(\frac52\right)^2=10.5$.

צריך $10.5$ מ"ר בד, ו-$10.5<12$, ולכן היריעה תספיק.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת שטח המשולש: $3.5\cdot6=21>12$ - ולהסיק שהיריעה לא תספיק.

האלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה. נסמן את חצי המוט הקצר ב-$x$; אז חצי המוט הארוך הוא $2x$.

במשולש ישר הזווית שבין שני חצאי האלכסונים לצלע, הצלע (25) היא היתר. לפי משפט פיתגורס:

המוט הקצר: $2x\approx22.36$ ס"מ. המוט הארוך: $4x\approx44.72$ ס"מ.

טעות נפוצה: להציב בפיתגורס את המוטות השלמים, $d^2+(2d)^2=25^2$, ולקבל מוט קצר של $11.18$ ס"מ בלבד - חצי מהאורך הנכון. הניצבים במשולש הם חצאי האלכסונים, לא האלכסונים עצמם.

במשולש ישר הזווית מסעיף א, הזווית שליד חצי המוט הארוך נמצאת בקודקוד של זווית חדה של המעוין:

האלכסון חוצה את זווית המעוין, ולכן הזווית החדה היא $2\alpha\approx53.13^\circ$, והזווית הקהה $180^\circ-53.13^\circ\approx126.87^\circ$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\alpha\approx26.57^\circ$ ולענות שזו זווית העפיפון - זו רק מחצית הזווית.

שטח מעוין הוא מחצית מכפלת האלכסונים:

טעות נפוצה: לכפול את האלכסונים בלי לחלק ב-2 ולקבל $1000$ סמ"ר.

אצל החבר חצי המוט הארוך הוא $24$. במשולש ישר הזווית שהיתר שלו הוא הצלע:

המוט הקצר של החבר: $d=14$ ס"מ, והשטח:

$500>336$, ולכן לניצן דרוש יותר בד, ב-$500-336=164$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר בפיתגורס: $\frac d2=\sqrt{25^2+24^2}\approx34.66$, ולקבל שטח $\approx1663.5$ סמ"ר - יותר מניצן. חצי האלכסון הוא ניצב, והוא קצר מהיתר (25).

התשלום = תשלום קבוע + (מחיר לנסיעה) $\cdot x$.

א': $y=25x$. ב': $y=60+10x$. ג': $y=180$ (לא תלוי ב-$x$).

טעות נפוצה: לכתוב לאפשרות ב' $y=60x+10$ - כך כל נסיעה עולה 60 שקלים.

א' ו-ב': $25x=60+10x\ \Rightarrow\ 15x=60\ \Rightarrow\ x=4$ (תשלום 100).

ב' ו-ג': $60+10x=180\ \Rightarrow\ 10x=120\ \Rightarrow\ x=12$ (תשלום 180).

א' ו-ג': $25x=180\ \Rightarrow\ x=7.2$ - מספר הנסיעות שלם, ולכן אין מספר נסיעות שבו שתי האפשרויות שוות (ב-7 נסיעות א' זולה יותר, ב-8 ג' זולה יותר).

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן: $25x+10x=60$, ולקבל $x=\frac{60}{35}\approx1.71$.

משתמשים בנקודות השוויון מסעיף ב:

עד 4 נסיעות: $25x<60+10x$ (למשל ב-1 נסיעה: 25 מול 70), ו-$25x\le100<180$ - א' הזולה.

בין 4 ל-12: ב' זולה מ-א' (מעבר לנקודה $x=4$ כל נסיעה ב-ב' זולה ב-15 שקלים), וגם מ-ג' ($60+10x<180$ כש-$x<12$).

מעל 12: $60+10x>180$, ו-$25x>180$ - ג' הזולה.

סיכום: 1-3 נסיעות - א'; 4 - א' ו-ב' (100); 5-11 - ב'; 12 - ב' ו-ג' (180); 13 ומעלה - ג'.

(בדיקה: ב-7 נסיעות: א' 175, ב' 130, ג' 180 - ב' הזולה.)

טעות נפוצה: להשוות רק בין ב' ל-ג' ולענות "ב' עד 11 נסיעות, ג' מ-13" - ושוכחים שבמעט נסיעות (1-3) אפשרות א', בלי מנוי, היא הזולה.

נסמן ב-$p$ את מחיר המנוי החופשי. התשלום באפשרות ב' גדל עם מספר הנסיעות, ולכן אם ג' לא יקרה מ-ב' ב-9 נסיעות - היא לא יקרה ממנה גם ביותר נסיעות.

התנאי ב-9 נסיעות:

המחיר הגבוה ביותר: 150 שקלים (ב-9 נסיעות שתי האפשרויות שוות, ומ-10 נסיעות ג' זולה יותר).

טעות נפוצה: להשוות לאפשרות א' במקום ל-ב': $p\le25\cdot9=225$. במחיר כזה, ב-9 נסיעות ג' (225) יקרה מ-ב' (150).

המחיר מתחיל ב-150 ויורד ב-5 שקלים בכל הוזלה:

טעות נפוצה: לכתוב $150-x$ - כאילו כל הוזלה היא בשקל אחד.

לאחר 4 הוזלות המחיר הוא $150-20=130$, ומספר המשחקים הוא $40+4k$. ההכנסה היא המכפלה:

בדיקה: $130\cdot72=9{,}360$.

טעות נפוצה: לשכוח שגם המחיר ירד ולחשב $150(40+4k)=9{,}360$ - ומקבלים $k=5.6$, שאינו מספר שלם של משחקים.

מספר המשחקים לאחר $x$ הוזלות: $40+8x$. ההכנסה היא מחיר כפול כמות:

בדיקה: $x=0$ נותן $150\cdot40=6{,}000$, ו-$x=4$ נותן $130\cdot72=9{,}360$.

טעות נפוצה: לחבר את שני הביטויים, $y=(150-5x)+(40+8x)$ - ב-$x=0$ מתקבל 190 ולא $6{,}000$.

לפני ההוזלות ($x=0$) ההכנסה היא $150\cdot40=6{,}000$. פותרים:

פותחים סוגריים:

מוציאים גורם משותף:

ולכן $x=0$ או $x=25$.

$x=0$ הוא המצב שלפני ההוזלות, ולכן התשובה היא $x=25$: מחיר $150-125=25$ שקלים, $40+200=240$ משחקים, וההכנסה $25\cdot240=6{,}000$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתיחת הסוגריים ($-5x\cdot8x=+40x^2$), לקבל $1{,}000x+40x^2=0$ ומשם $x=-25$, ולהסיק שההכנסה אף פעם לא חוזרת ל-$6{,}000$.