מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 7 מעל רמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), מעל רמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · גדילה מעריכית: הכמות ההתחלתית מתוך תוספת שנתית

מספר התושבים ביישוב חדש גדל באופן מעריכי (בכל שנה באותו אחוז).
מתחילת שנת 2015 עד תחילת שנת 2018 גדל מספר התושבים ב-72.8%72.8\%72.8%.
בשנה שבין תחילת 2018 לתחילת 2019 נוספו ליישוב 4,3204{,}3204,320 תושבים.

א.

בכמה אחוזים גדל מספר התושבים ביישוב מדי שנה?

ב.

כמה תושבים היו ביישוב בתחילת שנת 2015?

ג.

בהנחה שקצב הגידול יישאר ללא שינוי, בתחילת איזו שנה יעלה מספר התושבים ביישוב לראשונה על 50,00050{,}00050,000?

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

ב-20%20\%20%

מתחילת 2015 עד תחילת 2018 עברו t=3t=3t=3 שנים. גידול כולל של 72.8%72.8\%72.8% פירושו שמספר התושבים גדל פי 1.7281.7281.728:
A0⋅q3=1.728⋅A0⇒q3=1.728A_0\cdot q^3=1.728\cdot A_0\quad\Rightarrow\quad q^3=1.728A0​⋅q3=1.728⋅A0​⇒q3=1.728
q=1.7283=1.2q=\sqrt[3]{1.728}=1.2q=31.728​=1.2
כלומר, גדילה של 20%20\%20% בשנה.
טעות נפוצה: לחלק את הגידול הכולל במספר השנים - 72.8%3≈24.27%\frac{72.8\%}{3}\approx24.27\%372.8%​≈24.27% בשנה. בתהליך מעריכי האחוזים מצטברים, ולכן מוציאים שורש מהמקדם הכולל.

סעיף ב

תשובה:

12,50012{,}50012,500 תושבים

נסמן ב-AAA את מספר התושבים בתחילת 2018. במשך 2018 הוא גדל ב-20%20\%20%, והגידול הוא 4,3204{,}3204,320 תושבים:
0.2⋅A=4,320⇒A=21,6000.2\cdot A=4{,}320\quad\Rightarrow\quad A=21{,}6000.2⋅A=4,320⇒A=21,600
(בדיקה: 21,600⋅1.2=25,92021{,}600\cdot1.2=25{,}92021,600⋅1.2=25,920, ו-25,920−21,600=4,32025{,}920-21{,}600=4{,}32025,920−21,600=4,320.)
21,60021{,}60021,600 הם התושבים של תחילת 2018, שלוש שנים אחרי 2015. חוזרים אחורה בחלוקה ב-q3q^3q3:
A0=21,6001.23=21,6001.728=12,500A_0=\frac{21{,}600}{1.2^3}=\frac{21{,}600}{1.728}=12{,}500A0​=1.2321,600​=1.72821,600​=12,500
טעות נפוצה: לעצור ב-21,60021{,}60021,600 ולענות שזה מספר התושבים בתחילת 2015 - זה מספר התושבים בתחילת 2018, שממנו התחיל הגידול של 4,3204{,}3204,320.

סעיף ג

תשובה:

בתחילת שנת 2023

מחפשים את ה-ttt הקטן ביותר (בשנים מתחילת 2015) שעבורו 12,500⋅1.2t>50,00012{,}500\cdot1.2^t>50{,}00012,500⋅1.2t>50,000, כלומר:
1.2t>41.2^t>41.2t>4
מנסים חזקות שלמות:
1.27≈3.583(12,500⋅3.583≈44,790)1.2^7\approx3.583\quad(12{,}500\cdot3.583\approx44{,}790)1.27≈3.583(12,500⋅3.583≈44,790)
1.28≈4.300(12,500⋅4.300≈53,748)1.2^8\approx4.300\quad(12{,}500\cdot4.300\approx53{,}748)1.28≈4.300(12,500⋅4.300≈53,748)
לראשונה המספר עולה על 50,00050{,}00050,000 כאשר t=8t=8t=8, כלומר 8 שנים אחרי תחילת 2015 - בתחילת שנת 2023.
טעות נפוצה: לראות ש-1.2t=41.2^t=41.2t=4 מתקבל בערך ב-t≈7.6t\approx7.6t≈7.6, לעגל כלפי מטה ל-t=7t=7t=7 ולענות "בתחילת 2022" - אבל אז יש רק כ-44,79044{,}79044,790 תושבים. כאן מחפשים את הפעם הראשונה שהסף נחצה, ולכן מעגלים כלפי מעלה.

שאלה 2 · הסתברות: שטרות בארנק - מספיק לתשלום

לעומר יש 12 שטרות בארנק:
6 שטרות של 20 שקלים,
2 שטרות של 50 שקלים,
3 שטרות של 100 שקלים,
שטר אחד של 200 שקלים.
עומר הוציא באקראי מן הארנק שטר אחד.

א.

(1)

מהי ההסתברות שהשטר שהוציא עומר הוא שטר של 50 שקלים?

(2)

מהי ההסתברות שהשטר שהוציא עומר הספיק לתשלום בעבור כדור שמחירו 75 שקלים?

ב.

עומר לא קנה דבר בשטר שהוציא, אלא החזיר אותו לארנק.
לאחר מכן הוא נכנס לחנות ספורט, והחליט לקנות בה נעלי ריצה שמחירן 280 שקלים.
ליד הקופה הוא הוציא באקראי שטר אחד מן הארנק ואחריו הוציא באקראי שטר נוסף (הוצאה ללא החזרה).

מהי ההסתברות ששני השטרות שהוציא עומר הספיקו יחד לתשלום בעבור הנעליים?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א(1)

תשובה:

212=16\frac{2}{12}=\frac16122​=61​

בארנק 12 שטרות, ושניים מהם של 50 שקלים:
P(50)=212=16P(50)=\frac{2}{12}=\frac16P(50)=122​=61​
טעות נפוצה: לחשוב על ארבעה סוגי שטרות כארבע תוצאות שוות סיכוי ולענות 14\frac1441​.

סעיף א(2)

תשובה:

412=13\frac{4}{12}=\frac13124​=31​

שטר מספיק אם ערכו לפחות 75: שטר של 100 או שטר של 200. שטרות של 20 ושל 50 אינם מספיקים.
יש 3 שטרות של 100 ושטר אחד של 200:
P=3+112=412=13P=\frac{3+1}{12}=\frac{4}{12}=\frac13P=123+1​=124​=31​
טעות נפוצה: לספור רק את השטרות של 100 ולשכוח שגם השטר של 200 מספיק, ולקבל 312=14\frac{3}{12}=\frac14123​=41​.

סעיף ב

תשובה:

6132=122≈0.045\frac{6}{132}=\frac{1}{22}\approx0.0451326​=221​≈0.045

בודקים אילו זוגות מגיעים ל-280 שקלים לפחות. הצירופים עם השטר של 200:
200+20=220, 200+50=250 - לא מספיקים; 200+100=300 - מספיק.
בלי השטר של 200 הסכום הגדול ביותר הוא 100+100=200 - לא מספיק.
לכן צריך להוציא את השטר של 200 ושטר של 100, באחד משני הסדרים (ללא החזרה - בהוצאה השנייה נשארים 11 שטרות):
P(200 ואז 100)=112⋅311=3132P(100 ואז 200)=312⋅111=3132P(200\text{ ואז }100)=\frac{1}{12}\cdot\frac{3}{11}=\frac{3}{132}\qquad P(100\text{ ואז }200)=\frac{3}{12}\cdot\frac{1}{11}=\frac{3}{132}P(200 ואז 100)=121​⋅113​=1323​P(100 ואז 200)=123​⋅111​=1323​
P=3132+3132=6132=122≈0.045P=\frac{3}{132}+\frac{3}{132}=\frac{6}{132}=\frac{1}{22}\approx0.045P=1323​+1323​=1326​=221​≈0.045
טעות נפוצה: לחשב כאילו השטר הראשון הוחזר, עם 12 שטרות גם בהוצאה השנייה: 2⋅112⋅312=124≈0.0422\cdot\frac{1}{12}\cdot\frac{3}{12}=\frac{1}{24}\approx0.0422⋅121​⋅123​=241​≈0.042.

שאלה 3 · גדר עץ: רכיב חסר, רכיב מגביל ומספר נסיעות

לבניית מטר אחד של גדר עץ דרושים 555 לוחות עץ, 333 מטרים של קורה אופקית וכמות קבועה של ברגים. לוח עץ אחד שוקל 222 ק"ג, ומטר אחד של קורה שוקל 1.51.51.5 ק"ג.

א.

המשקל הכולל של כל החומרים לגדר באורך 404040 מטר הוא 600600600 ק"ג. כמה ק"ג ברגים דרושים למטר אחד של גדר?

ב.

לפרויקט אחר סופקו 1,0001{,}0001,000 לוחות עץ ו-500500500 מטרים של קורה. מהו האורך המקסימלי (במטרים שלמים) של גדר שאפשר לבנות בחומרים אלה?

ג.

כמה מטרים של קורה צריך להוסיף כדי לבנות גדר שבה ינוצלו כל 1,0001{,}0001,000 הלוחות?

ד.

אחרי שהוסיפו את הקורות, בנו גדר באורך 200200200 מטר. את כל החומרים לגדר (לוחות, קורות וברגים) מובילים במשאית שיכולה להוביל עד 1.21.21.2 טון בכל נסיעה. כמה נסיעות לפחות נדרשות?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

0.50.50.5 ק"ג

משקל החומרים למטר אחד של גדר:
60040=15 kg\frac{600}{40}=15\text{ kg}40600​=15 kg
נסמן ב-sss את משקל הברגים למטר. למטר אחד: 555 לוחות של 222 ק"ג, 333 מטרים של קורה של 1.51.51.5 ק"ג למטר, ו-sss:
5⋅2+3⋅1.5+s=15⇒10+4.5+s=15⇒s=0.55\cdot2+3\cdot1.5+s=15\quad\Rightarrow\quad10+4.5+s=15\quad\Rightarrow\quad s=0.55⋅2+3⋅1.5+s=15⇒10+4.5+s=15⇒s=0.5
טעות נפוצה: לספור רק מטר אחד של קורה למטר גדר: 10+1.5+s=1510+1.5+s=1510+1.5+s=15, ולקבל s=3.5s=3.5s=3.5 ק"ג.

סעיף ב

תשובה:

166166166 מטר

בודקים כמה גדר מספיק כל רכיב:
לוחות: 1,0005=200\frac{1{,}000}{5}=20051,000​=200 מטר.
קורה: 5003≈166.7\frac{500}{3}\approx166.73500​≈166.7 מטר.
הגדר צריכה את שני הרכיבים, ולכן הרכיב שנגמר קודם (הקורה) קובע. במטרים שלמים: 166166166 מטר (ל-167167167 מטר דרושים 501501501 מטרים של קורה).
טעות נפוצה: לחשב רק לפי הלוחות ולענות 200200200 מטר - אבל לגדר כזו דרושים 600600600 מטרים של קורה, ויש רק 500500500.

סעיף ג

תשובה:

100100100 מטר

כל הלוחות מספיקים ל-200200200 מטר גדר (סעיף ב). לגדר כזו דרושים:
200⋅3=600 m200\cdot3=600\text{ m}200⋅3=600 m
של קורה. יש 500500500, ולכן צריך להוסיף 600−500=100600-500=100600−500=100 מטר.
טעות נפוצה: לחסר את אורכי הגדר מסעיף ב, 200−166.7≈33.3200-166.7\approx33.3200−166.7≈33.3, ולענות שצריך 33.333.333.3 מטר קורה. זה הפרש באורך הגדר; לכל מטר גדר דרושים 3 מטרים של קורה.

סעיף ד

תשובה:

333 נסיעות

משקל החומרים למטר גדר הוא 151515 ק"ג (סעיף א), ולכן לגדר של 200200200 מטר:
200⋅15=3,000 kg=3 ton200\cdot15=3{,}000\text{ kg}=3\text{ ton}200⋅15=3,000 kg=3 ton
31.2=2.5\frac{3}{1.2}=2.51.23​=2.5
בשתי נסיעות אפשר להוביל רק 2.42.42.4 טון, ולכן צריך לעגל כלפי מעלה: 333 נסיעות.
טעות נפוצה: לעגל כלפי מטה ולענות 222 נסיעות - כך נשארים 0.60.60.6 טון של חומרים בלי הובלה.

שאלה 4 · טריגונומטריה: רמפת העמסה למשאית

כדי להעמיס ארגזים על משאית, הציבו רמפה ישרה ABABAB (ראו סרטוט).
הקצה BBB של הרמפה מונח על הקרקע המישורית, והקצה AAA מונח על רצפת המשאית.
ACACAC הוא הגובה של רצפת המשאית מעל הקרקע (AC⊥BCAC\perp BCAC⊥BC, CCC על הקרקע), ואורכו 1.2 מטר.
מתחת לרמפה יש רגל תמיכה DEDEDE המאונכת לקרקע: DDD על הרמפה, ו-EEE על הקרקע בין BBB ל-CCC.
אורך רגל התמיכה DEDEDE הוא 0.48 מטר, והמרחק BEBEBE הוא 1.4 מטר.
BECDA

א.

מצאו את אורך החלק של הרמפה שבין הקרקע ובין רגל התמיכה (BDBDBD).

ב.

מצאו את זווית השיפוע של הרמפה (∠ABC\angle ABC∠ABC).

ג.

מצאו את אורך הרמפה (ABABAB).

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

BD=1.48BD=1.48BD=1.48 מטר

DEDEDE מאונך לקרקע, ולכן המשולש BDEBDEBDE ישר זווית ב-EEE. הניצבים הם DE=0.48DE=0.48DE=0.48 ו-BE=1.4BE=1.4BE=1.4, ו-BDBDBD (מול הזווית הישרה) הוא היתר.
לפי משפט פיתגורס:
BD=BE2+DE2=1.42+0.482=1.96+0.2304=2.1904=1.48BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{1.4^2+0.48^2}=\sqrt{1.96+0.2304}=\sqrt{2.1904}=1.48BD=BE2+DE2​=1.42+0.482​=1.96+0.2304​=2.1904​=1.48
טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, 1.42−0.482≈1.32\sqrt{1.4^2-0.48^2}\approx1.321.42−0.482​≈1.32 - כאילו BEBEBE הוא היתר; אבל היתר הוא מול הזווית הישרה שב-EEE, כלומר BDBDBD.

סעיף ב

תשובה:

∠ABC≈18.9∘\angle ABC\approx18.9^\circ∠ABC≈18.9∘

DDD על ABABAB ו-EEE על BCBCBC, ולכן ∠ABC=∠DBE\angle ABC=\angle DBE∠ABC=∠DBE, ואפשר לחשב אותה במשולש BDEBDEBDE.
מול הזווית BBB נמצא הניצב DE=0.48DE=0.48DE=0.48, וליד הזווית - הניצב BE=1.4BE=1.4BE=1.4:
tan⁡∠DBE=DEBE=0.481.4≈0.3429⇒∠ABC≈18.9∘\tan\angle DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{0.48}{1.4}\approx0.3429\quad\Rightarrow\quad\angle ABC\approx18.9^\circtan∠DBE=BEDE​=1.40.48​≈0.3429⇒∠ABC≈18.9∘
טעות נפוצה: להשתמש בסינוס עם שני הניצבים, sin⁡B=0.481.4\sin B=\frac{0.48}{1.4}sinB=1.40.48​, ולקבל ≈20.1∘\approx20.1^\circ≈20.1∘ - בסינוס המכנה הוא היתר BD=1.48BD=1.48BD=1.48, ולא הניצב BEBEBE.

סעיף ג

תשובה:

AB≈3.7AB\approx3.7AB≈3.7 מטר

עוברים למשולש ABCABCABC: AC⊥BCAC\perp BCAC⊥BC, ולכן הוא ישר זווית ב-CCC, ו-ABABAB הוא היתר.
הזווית BBB במשולש ABCABCABC היא הזווית מסעיף ב, ו-AC=1.2AC=1.2AC=1.2 הוא הניצב שמולה:
sin⁡B=ACAB⇒AB=ACsin⁡18.9∘≈1.20.3239≈3.7\sin B=\frac{AC}{AB}\quad\Rightarrow\quad AB=\frac{AC}{\sin18.9^\circ}\approx\frac{1.2}{0.3239}\approx3.7sinB=ABAC​⇒AB=sin18.9∘AC​≈0.32391.2​≈3.7
טעות נפוצה: להשתמש בטנגנס, 1.2tan⁡18.9∘≈3.5\frac{1.2}{\tan18.9^\circ}\approx3.5tan18.9∘1.2​≈3.5 - זה המרחק האופקי BCBCBC, ולא אורך הרמפה (היתר).

שאלה 5 · משכורות במסעדה: שכיחות חסרה מהממוצע, וכמה עובדים צריך לגייס כדי להזיז את החציון

בטבלה שלפניכם מוצגות המשכורות במסעדה לפי תפקיד, ומספר העובדים בכל תפקיד. מספר הטבחים, nnn, אינו ידוע.
התפקידמנהל משמרתטבחמלצר
המשכורת (בשקלים)16,00012,0008,000
מספר העובדים4nnn15
המשכורת הממוצעת של עובד במסעדה היא 10,240 שקלים.

התפקיד	מנהל משמרת	טבח	מלצר
המשכורת (בשקלים)	16,000	12,000	8,000
מספר העובדים	4	$n$	15

א.

מצאו את nnn.

ב.

מצאו את חציון המשכורות במסעדה.

ג.

המסעדה מגייסת טבחים חדשים, כל אחד במשכורת של 12,000 שקלים. מהו המספר הקטן ביותר של טבחים שצריך לגייס כדי שחציון המשכורות יהיה גדול מ-8,000 שקלים? מהו החציון אז?

ד.

מה תהיה המשכורת הממוצעת במסעדה אחרי הגיוס שמצאתם בסעיף ג?

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

n=6n=6n=6

מספר העובדים במסעדה הוא 4+n+15=19+n4+n+15=19+n4+n+15=19+n, והוא מופיע במכנה:
16,000⋅4+12,000n+8,000⋅1519+n=10,240\frac{16{,}000\cdot4+12{,}000n+8{,}000\cdot15}{19+n}=10{,}24019+n16,000⋅4+12,000n+8,000⋅15​=10,240
184,000+12,000n=10,240⋅(19+n)=194,560+10,240n184{,}000+12{,}000n=10{,}240\cdot(19+n)=194{,}560+10{,}240n184,000+12,000n=10,240⋅(19+n)=194,560+10,240n
1,760n=10,560⇒n=61{,}760n=10{,}560\quad\Rightarrow\quad n=61,760n=10,560⇒n=6
טעות נפוצה: לחלק ב-19 בלבד (לשכוח את הטבחים במכנה): 184,000+12,000n=194,560184{,}000+12{,}000n=194{,}560184,000+12,000n=194,560, ולקבל n=0.88n=0.88n=0.88 - מספר עובדים לא שלם הוא סימן לטעות.

סעיף ב

תשובה:

8,000 שקלים

במסעדה 25 עובדים. מסדרים מהקטנה לגדולה: 8,000 (15 עובדים), 12,000 (6 עובדים), 16,000 (4 עובדים).
25 נתונים - החציון הוא הנתון שבמקום ה-13, ובמקומות 1-15 המשכורת היא 8,000.
החציון: 8,000.
טעות נפוצה: לקחת את המשכורת האמצעית בטבלה (12,000) - החציון נקבע לפי מספר העובדים בכל משכורת, לא לפי מספר המשכורות השונות.

סעיף ג

תשובה:

5 טבחים; החציון יהיה 10,000 שקלים

15 העובדים הראשונים בסדר העולה מקבלים 8,000. החציון יהיה גדול מ-8,000 רק כשלפחות אחד מהנתונים האמצעיים יהיה אחרי המקום ה-15.
בודקים לפי מספר העובדים הכולל, 25+k25+k25+k:
- k=4k=4k=4: 29 עובדים, החציון במקום ה-15 - עדיין 8,000.
- k=5k=5k=5: 30 עובדים, החציון הוא ממוצע המקומות 15 ו-16: 8,000+12,0002=10,000\frac{8{,}000+12{,}000}{2}=10{,}00028,000+12,000​=10,000.
צריך לגייס לפחות 5 טבחים, והחציון יהיה 10,000.
טעות נפוצה: לדרוש ששני הנתונים האמצעיים יהיו 12,000 ולענות "6 טבחים, חציון 12,000" - כבר ב-30 עובדים אחד מהשניים הוא 12,000, והחציון 10,000 גדול מ-8,000.

סעיף ד

תשובה:

כ-10,533 שקלים

נוספו 5 טבחים במשכורת 12,000, ובמסעדה 30 עובדים:
xˉ=25⋅10,240+5⋅12,00030=256,000+60,00030=316,00030≈10,533\bar x=\frac{25\cdot10{,}240+5\cdot12{,}000}{30}=\frac{256{,}000+60{,}000}{30}=\frac{316{,}000}{30}\approx10{,}533xˉ=3025⋅10,240+5⋅12,000​=30256,000+60,000​=30316,000​≈10,533
הממוצע עלה, כי המשכורת של הטבחים החדשים (12,000) גבוהה מהממוצע הקודם.
טעות נפוצה: להוסיף את המשכורות החדשות לסכום אבל להשאיר את המכנה 25: 316,00025=12,640\frac{316{,}000}{25}=12{,}64025316,000​=12,640.

שאלה 6 · מדדי מרכז ומיקום מדיאגרמת עוגה: תעריפי שמרטפות

בני נוער רבים עובדים בשמרטפות. בסקר שנערך בקרב 800800800 בני נוער שעובדים בשמרטפות, התברר שכל אחד מהם מקבל אחד משישה תעריפים לשעה.
לפניך התפלגות התעריפים של 800800800 בני הנוער:
10%22%28%20%12%8%30 ₪ (10)35 ₪ (22)40 ₪ (28)45 ₪ (20)50 ₪ (12)55 ₪ (8)
(לפי הדיאגרמה: 303030 ₪ - 10%10\%10%, 353535 ₪ - 22%22\%22%, 404040 ₪ - 28%28\%28%, 454545 ₪ - 20%20\%20%, 505050 ₪ - 12%12\%12%, 555555 ₪ - 8%8\%8%.)
בסעיפים א-ג, קבע את התעריף בכל אחד מהמקרים הבאים, והסבר את משמעותו.

א.

חשב את התעריף הממוצע לשעה.

ב.

מה החציון של התעריפים?

ג.

(1)

תנו דוגמה לתעריף שהוא מתחת לרבעון התחתון (Q1Q_1Q1​) של התעריפים.

(2)

רון מקבל 454545 ₪ לשעה. האם הוא מתחת לעשירון השמיני (D8D_8D8​)?

ד.

אם נבחר באקראי אחד מבני הנוער שבסקר, מה ההסתברות שהוא מקבל תעריף מתחת לתעריף החציוני?

ה.

לסקר נוספו עוד 202020 בני נוער, שכל אחד מהם מקבל 404040 ₪ לשעה. האם התעריף הממוצע של כל בני הנוער (כולל המצטרפים החדשים) גדל / נשאר ללא שינוי / קטן? הסבר.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

41.341.341.3 ₪

ממוצע משוקלל לפי השכיחויות היחסיות:
xˉ=0.10⋅30+0.22⋅35+0.28⋅40+0.20⋅45+0.12⋅50+0.08⋅55\bar x=0.10\cdot30+0.22\cdot35+0.28\cdot40+0.20\cdot45+0.12\cdot50+0.08\cdot55xˉ=0.10⋅30+0.22⋅35+0.28⋅40+0.20⋅45+0.12⋅50+0.08⋅55
xˉ=3+7.7+11.2+9+6+4.4=41.3\bar x=3+7.7+11.2+9+6+4.4=41.3xˉ=3+7.7+11.2+9+6+4.4=41.3
משמעות: אילו כולם היו מקבלים אותו תעריף, וסך התשלום לשעה היה נשאר זהה, התעריף היה 41.341.341.3 ₪.
טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של ששת התעריפים: 30+35+40+45+50+556=42.5\frac{30+35+40+45+50+55}{6}=42.5630+35+40+45+50+55​=42.5 ₪.

סעיף ב

תשובה:

404040 ₪

מספר בני הנוער בכל תעריף: אחוז כפול 800800800.
תעריף לשעה (₪)303540455055
מספר בני נוער801762241609664
שכיחות מצטברת80256480640736800
800800800 נתונים - החציון הוא ממוצע האיברים במקומות 400400400 ו-401401401. האיברים 257257257 עד 480480480 הם 404040 ₪, ולכן החציון 404040 ₪.
משמעות: לפחות חצי מבני הנוער מקבלים 404040 ₪ לשעה או פחות, ולפחות חצי - 404040 ₪ או יותר.
טעות נפוצה: לקחת את אמצע רשימת ששת התעריפים, 40+452=42.5\frac{40+45}{2}=42.5240+45​=42.5 ₪, בלי להתחשב בשכיחויות.

תעריף לשעה (₪)	30	35	40	45	50	55
מספר בני נוער	80	176	224	160	96	64
שכיחות מצטברת	80	256	480	640	736	800

סעיף ג(1)

תשובה:

Q1=35Q_1=35Q1​=35 ₪; דוגמה: 303030 ₪

מיקום Q1Q_1Q1​: 800⋅0.25=200800\cdot0.25=200800⋅0.25=200 - מספר שלם, ולכן Q1Q_1Q1​ הוא ממוצע האיברים במקומות 200200200 ו-201201201.
האיברים 818181 עד 256256256 הם 353535 ₪, ולכן Q1=35Q_1=35Q1​=35 ₪: כרבע מבני הנוער מקבלים 353535 ₪ או פחות.
תעריף מתחת לרבעון התחתון: 303030 ₪.
טעות נפוצה: לענות 353535 ₪ כי "קבוצת ה-353535 נמצאת ברבע התחתון". 353535 הוא הרבעון עצמו, ולא תעריף שמתחתיו.

סעיף ג(2)

תשובה:

כן. D8=47.5D_8=47.5D8​=47.5 ₪, ו-45<47.545<47.545<47.5

מיקום D8D_8D8​: 800⋅0.8=640800\cdot0.8=640800⋅0.8=640 - מספר שלם, ולכן D8D_8D8​ הוא ממוצע האיברים במקומות 640640640 ו-641641641.
לפי השכיחות המצטברת, האיבר ה-640640640 הוא האחרון בקבוצת ה-454545 ₪, והאיבר ה-641641641 הוא הראשון בקבוצת ה-505050 ₪:
D8=45+502=47.5D_8=\frac{45+50}{2}=47.5D8​=245+50​=47.5
משמעות: כ-80%80\%80% מבני הנוער מקבלים פחות מ-47.547.547.5 ₪ לשעה.
45<47.545<47.545<47.5, ולכן רון מתחת לעשירון השמיני.
טעות נפוצה: לקחת רק את האיבר במקום ה-640640640 ולקבל D8=45D_8=45D8​=45 ₪, ואז לענות "רון לא מתחת לעשירון השמיני - הוא בדיוק עליו". כשהמיקום שלם לוקחים ממוצע עם האיבר שאחריו.

סעיף ד

תשובה:

0.320.320.32

התעריף החציוני הוא 404040 ₪. מתחת לו: 303030 ו-353535 ₪.
P=0.10+0.22=0.32P=0.10+0.22=0.32P=0.10+0.22=0.32
טעות נפוצה: לכלול גם את מי שמקבלים בדיוק 404040 ₪: 0.10+0.22+0.28=0.60.10+0.22+0.28=0.60.10+0.22+0.28=0.6. "מתחת לחציון" פירושו פחות מ-404040.

סעיף ה

תשובה:

קטן (לכ-41.2741.2741.27 ₪)

המצטרפים מקבלים 404040 ₪ - פחות מהממוצע הקיים (41.341.341.3 ₪). הוספת נתונים שקטנים מהממוצע מקטינה אותו.
בחישוב: 41.3⋅800=33,04041.3\cdot800=33{,}04041.3⋅800=33,040; אחרי ההוספה 33,040+20⋅40=33,84033{,}040+20\cdot40=33{,}84033,040+20⋅40=33,840.
xˉnew=33,840820≈41.27\bar x_{\text{new}}=\frac{33{,}840}{820}\approx41.27xˉnew​=82033,840​≈41.27
הממוצע קטן.
טעות נפוצה: לענות "נשאר ללא שינוי" כי 404040 הוא החציון. הממוצע משתנה לפי היחס בין הנתונים החדשים לממוצע, לא לחציון.

שאלה 1 · גדילה מעריכית: הכמות ההתחלתית מתוך תוספת שנתית

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 2 · הסתברות: שטרות בארנק - מספיק לתשלום

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

שאלה 3 · גדר עץ: רכיב חסר, רכיב מגביל ומספר נסיעות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 4 · טריגונומטריה: רמפת העמסה למשאית

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 5 · משכורות במסעדה: שכיחות חסרה מהממוצע, וכמה עובדים צריך לגייס כדי להזיז את החציון

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 6 · מדדי מרכז ומיקום מדיאגרמת עוגה: תעריפי שמרטפות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ד

סעיף ה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד