מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 8 מעל רמת בגרות

חומר מחטא הורג חיידקים, ולכן בתרבית א' מספר החיידקים קטן עם הזמן - הגרף שלה יורד.

בחממה החיידקים מתרבים, ולכן בתרבית ב' מספר החיידקים גדל - הגרף שלה עולה.

גרף I יורד, ולכן הוא מתאר את תרבית א'. גרף II עולה, ולכן הוא מתאר את תרבית ב'.

טעות נפוצה: לקשר "הכניסו חומר לתרבית" לכמות שעולה, ולענות שגרף II מתאר את תרבית א' וגרף I את תרבית ב'. חומר מחטא מקטין את מספר החיידקים, ולכן הגרף של תרבית א' יורד.

השעה 8:00 היא תחילת הציר האופקי, ולכן מספרי החיידקים בשעה זו הם הנקודות שבהן הגרפים פוגשים את הציר האנכי.

גרף I (תרבית א', לפי סעיף א) מתחיל ב-3,000, וגרף II (תרבית ב') מתחיל ב-500.

בשעה 8:00 היו בתרבית א' 3,000 אלף חיידקים (3 מיליון) ובתרבית ב' 500 אלף חיידקים.

טעות נפוצה: להחליף בין התרביות ולענות שבתרבית א' היו 500 אלף חיידקים ובתרבית ב' 3,000 אלף.

מספר החיידקים קטן בכל שעה ב-20%, ולכן נשארים בכל שעה 80%: $q=1-0.2=0.8$.

מהשעה 8:00 עד השעה 12:00 עוברות 4 שעות: $t=4$. הכמות ההתחלתית $A_0=3000$ (באלפים).

בשעה 12:00 היו בתרבית א' 1,228.8 אלף חיידקים.

טעות נפוצה: לקחת את אחוז הירידה כמקדם, $q=0.2$, ולקבל $3000\cdot0.2^4=4.8$ אלף חיידקים - כאילו בכל שעה נשארים רק 20% מהחיידקים.

בשעה 12:00 מספרי החיידקים שווים, ולכן גם בתרבית ב' היו בשעה 12:00 1,228.8 אלף חיידקים (סעיף ג).

בתרבית ב': $A_0=500$, $t=4$ ו-$A_4=1228.8$:

בכל שעה גדל מספר החיידקים בתרבית ב' פי 1.25 בערך (כלומר ב-25%).

טעות נפוצה: לחלק ב-4 במקום להוציא שורש רביעי: $\frac{2.4576}{4}\approx0.61$ - מקדם קטן מ-1, שמתאר דעיכה ולא גדילה.

נסמן ב-$n$ את מספר המשתתפים. בכל תור ההסתברות שנועה תיבחר היא $\frac1n$, והתורות בלתי תלויים:

($n$ הוא מספר משתתפים, ולכן חיובי.)

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות של שני התורות: $\frac2n=\frac{1}{49}$, ולקבל $n=98$.

בכל תור ההסתברות שנועה לא תיבחר היא $1-\frac17=\frac67$, ושלושת התורות בלתי תלויים:

טעות נפוצה: לחשב $1-\left(\frac17\right)^3=\frac{342}{343}\approx0.997$ - המשלים של "נועה בכל שלושת התורות", ולא "אף פעם נועה".

המשלים: נועה לא נבחרת באף אחד משני התורות, בהסתברות $\left(\frac67\right)^2=\frac{36}{49}$.

טעות נפוצה: לחבר $\frac17+\frac17=\frac27\approx0.286$ - כך המקרה שבו נועה נבחרת בשני התורות נספר פעמיים.

כמו בסעיף ג, עבור $n$ משתתפים:

ככל שיש יותר משתתפים, הסיכוי של נועה בכל תור קטן, ולכן $P$ קטנה כש-$n$ גדל. בודקים בניסוי וטעייה:

$n=8$: $1-\left(\frac78\right)^2=\frac{15}{64}\approx0.234>0.2$

$n=9$: $1-\left(\frac89\right)^2=\frac{17}{81}\approx0.210>0.2$

$n=10$: $1-\left(\frac{9}{10}\right)^2=0.19<0.2$

לכן המספר הגדול ביותר הוא $9$.

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות ל"בדיוק פעם אחת", $2\cdot\frac1n\cdot\frac{n-1}{n}$: עבור $n=9$ מתקבל $\frac{16}{81}\approx0.198<0.2$, ועבור $n=8$ מתקבל $\frac{14}{64}\approx0.219$, ולכן עונים $8$.

במלבן הצלעות הנגדיות שוות, ולכן $AD=BC=30$ מטר - שני חצאי העיגול שווים.

הרדיוס הוא מחצית הקוטר:

טעות נפוצה: לקחת את הצלע הארוכה כקוטר ולקבל $r=\frac{60}{2}=30$ מטר - חצאי העיגול נשענים על הצלעות הקצרות $AD$ ו-$BC$.

המסלול $PQ$ מורכב משלושה קטעים:

$PK$ - רדיוס של חצי העיגול השמאלי: 15 מטר.

$KO$ - מאמצע $AD$ לאמצע $BC$, ולכן שווה ל-$AB$: 60 מטר.

$OQ$ - רדיוס של חצי העיגול הימני: 15 מטר.

טעות נפוצה: להוסיף רק רדיוס אחד - $60+15=75$ מטר - המסלול חוצה את שני חצאי העיגול.

כל החלקה לאורך המסלול האמצעי היא 90 מטר (סעיף ב):

טעות נפוצה: לחלק באורך המלבן בלבד, $3600:60=60$ פעמים - המסלול כולל גם שני רדיוסים.

המסלול צמוד לשפת המשטח: הצלע $AB$, הקשת מ-$B$ ל-$C$, הצלע $CD$ והקשת מ-$D$ ל-$A$. הצלעות $AD$ ו-$BC$ נמצאות בתוך המשטח ואינן חלק מהשפה.

שתי הקשתות הן שני חצאי מעגל שרדיוסם 15, כלומר יחד - היקף מעגל שלם:

טעות נפוצה: להוסיף גם את $AD$ ו-$BC$ - $60+60+30+30+30\pi\approx274.25$ מטר - אלה קווים פנימיים.

נסמן $CD=x$. $FE$ ו-$DC$ אופקיים, $CE$ ו-$FD$ אנכיים, ולכן $FD=CE=5$ ו-$FE=x$.

את $DB$ אפשר לבטא בשתי דרכים:

מ-$C$ (משולש $BCD$): $DB=x\cdot\tan28^\circ$.

מ-$E$ (משולש $BEF$): $FB=x\cdot\tan33^\circ$, ו-$FB=FD+DB=5+DB$.

טעות נפוצה: להחסיר את הזוויות ולפתור $x\cdot\tan5^\circ=5$ - ומקבלים כ-$57.15$ מ'. מחסירים את הניצבים ($FB-DB$), לא את הזוויות.

מהנקודה $C$, עם $x\approx42.48$:

טעות נפוצה: לחבר את הזוויות ולחשב $x\cdot\tan44^\circ\approx41.02$ מ'.

הנקודה $F$ על הבניין נמצאת 5 מ' מעל $D$, ולכן החלק של הבניין שמעל $F$ הוא:

במשולש $AFE$ הזווית $F$ ישרה, $AF$ מול זווית הגובה ו-$FE=x$ לידה:

טעות נפוצה: להוסיף את 5 המטרים במקום להחסיר ($AF=AD+5$) - ומקבלים כ-$22.0^\circ$. כשעולים למעלה, ראש הבניין נעשה "פחות גבוה" ביחס לעין, וזווית הגובה קטנה.

אחוז הזרים המיוחדים: $100\%-40\%-25\%-15\%=20\%$.

קטן: $0.4\cdot160=64$. בינוני: $0.25\cdot160=40$. גדול: $0.15\cdot160=24$. מיוחד: $0.2\cdot160=32$.

טעות נפוצה: להשתמש באחוזים כמספרי זרים (40, 25, 15, 20) - סכומם 100 ולא 160.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי שכיחויות, $\frac{40+60+90+120}{4}=77.5$.

160 נתונים - החציון הוא ממוצע הנתונים במקומות ה-80 וה-81.

40 שקלים - מקומות 1-64; 60 שקלים - מקומות 65-104. שני המקומות האמצעיים נמצאים בקבוצה של 60 שקלים:

טעות נפוצה: לענות 40 - המחיר השכיח (הקבוצה הגדולה ביותר), ולא החציון.

מחיר זר מיוחד בהנחה: $120\cdot0.75=90$ שקלים.

נסמן ב-$k$ את מספר הזרים שנמכרו בערב. סכום המחירים החדש הוא $10{,}960+90k$, ומספר הזרים $160+k$:

בדיקה: $\frac{10{,}960+1{,}080}{172}=\frac{12{,}040}{172}=70$.

טעות נפוצה: לשכוח את ההנחה ולהציב 120: $\frac{10{,}960+120k}{160+k}=70$, ולקבל $k=4.8$ - אפילו לא מספר שלם של זרים.

כל הזרים הנוספים במחיר 90, יותר מ-60, ולכן הם נוספים בסוף הרשימה הממוינת. הזרים במחיר 40 ו-60 נשארים במקומות 1-104.

נסמן ב-$k$ את מספר הזרים הנוספים; יש $160+k$ נתונים.

החציון נשאר 60 כל עוד שני המקומות האמצעיים (או המקום האמצעי) נמצאים עד מקום 104.

אם $k=47$: 207 נתונים, החציון הוא הנתון במקום ה-104 - כלומר 60.

אם $k=48$: 208 נתונים, החציון הוא ממוצע המקומות ה-104 וה-105: $\frac{60+90}{2}=75$ - החציון השתנה.

לכן צריך למכור לפחות 48 זרים כאלה, והחציון יהיה אז 75 שקלים. הטענה של בעל החנות אינה נכונה.

טעות נפוצה: לחפש מתי שני המקומות האמצעיים עוברים שניהם את מקום 104 ולענות 49 (אז החציון 90). כבר ב-48 המקום ה-105 הוא 90, והחציון השתנה ל-75.

ב-40 מ"ר המחירים שווים:

טעות נפוצה: לשכוח את התשלום הבסיסי של הצעה א': $60\cdot40=b+45\cdot40$, ולקבל $b=600$.

נסמן ב-$x$ את השטח במ"ר. הצעה ב' צריכה להיות זולה גם מהצעה א' וגם מהצעה ג'.

זולה מהצעה א':

זולה מהצעה ג':

שני התנאים יחד: $40<x<42.22$. בשטח קטן מ-40 מ"ר זולה הצעה א', ובשטח גדול מ-42.22 מ"ר - הצעה ג'.

טעות נפוצה: להשוות רק להצעה א' ולענות "$x>40$" - בשטחים גדולים התשלום הכללי של הצעה ג' זול יותר.

נסמן ב-$a$ את התשלום הבסיסי החדש: המחיר $a+60x$.

ההפרש בין הצעה א' לכל אחת מההצעות האחרות גדל ככל שהשטח גדל (בהצעה א' המחיר למ"ר הגבוה ביותר), ולכן מספיק לבדוק את השטח הגדול ביותר, 45 מ"ר.

לעומת הצעה ב':

לעומת הצעה ג':

שני התנאים צריכים להתקיים, ולכן $a\le300$: יש להוריד את התשלום הבסיסי ב-$500-300=200$ שקלים לפחות.

טעות נפוצה: להשוות רק להצעה ב' ($a\le425$) ולענות שמספיק להוריד 75 שקלים - אז ב-45 מ"ר הצעה א' עולה 3,125 שקלים, יותר מהצעה ג'.