בגרות במתמטיקה 371 - חורף 2022

את בריכת המבוגרים מרוקנים, ולכן כמות המים בה קטנה עם הזמן - הגרף שלה יורד.

את בריכת הילדים ממלאים, ולכן כמות המים בה גדלה עם הזמן - הגרף שלה עולה.

גרף 2 יורד, ולכן הוא מתאר את בריכת המבוגרים. גרף 1 עולה, ולכן הוא מתאר את בריכת הילדים.

טעות נפוצה: להתאים לפי הגודל - "בריכת המבוגרים גדולה יותר, ולכן היא הגרף שמגיע הכי גבוה בסוף" - ולענות שגרף 1 מתאר את בריכת המבוגרים וגרף 2 את בריכת הילדים. מה שקובע הוא כיוון השינוי: מרוקנים - הגרף יורד.

השעה 10:00 היא תחילת הציר האופקי, ולכן הכמויות בשעה זו הן הנקודות שבהן הגרפים פוגשים את הציר האנכי.

גרף 2 (בריכת המבוגרים, לפי סעיף א) מתחיל ב-1,600, וגרף 1 (בריכת הילדים) מתחיל ב-380.

בשעה 10:00 היו בבריכת המבוגרים 1,600 מ"ק ובבריכת הילדים 380 מ"ק.

טעות נפוצה: לקרוא את הערכים בלי להיעזר בהתאמה של סעיף א, ולענות שבבריכת המבוגרים היו 380 מ"ק ובבריכת הילדים 1,600 מ"ק.

הכמות קטנה בכל שעה ב-10%, ולכן בכל שעה נשארים 90% ממנה: מקדם הדעיכה הוא $q=1-0.1=0.9$.

מהשעה 10:00 עד השעה 15:00 עוברות 5 שעות, ולכן $t=5$.

הכמות ההתחלתית היא $A_0=1600$ (סעיף ב).

בשעה 15:00 היו בבריכת המבוגרים כ-944.78 מ"ק.

טעות נפוצה: לספור את השעות 10, 11, 12, 13, 14, 15 ולקחת $t=6$. מקבלים $1600\cdot0.9^6\approx850.31$ מ"ק - כמות המים בשעה 16:00.

בשעה 15:00 הכמויות שוות, ולכן גם בבריכת הילדים היו בשעה 15:00 כ-944.78 מ"ק (סעיף ג).

בבריכת הילדים: $A_0=380$, $t=5$ ו-$A_5\approx944.78$. מציבים בנוסחה:

בכל שעה גדלה כמות המים בבריכת הילדים פי 1.2 בערך (כלומר ב-20%).

טעות נפוצה: לחלק ב-5 במקום להוציא שורש חמישי: $\frac{2.486}{5}\approx0.5$. מקבלים מקדם קטן מ-1 - מקדם של דעיכה, ולא של גדילה.

בארנק 10 שטרות, ולכל אחד מהם אותו סיכוי לצאת. רק שטר אחד הוא של 200 שקלים:

טעות נפוצה: לחשוב על שלושה "סוגים" של שטרות כשלוש תוצאות שוות סיכוי ולענות $\frac13$. לשטרות של 20 ושל 50 יש סיכוי גדול יותר לצאת, כי יש מהם יותר.

שטר מספיק לתשלום של 45 שקלים אם ערכו לפחות 45: שטר של 50 או שטר של 200.

שטר של 20 אינו מספיק.

יש 4 שטרות של 50 ושטר אחד של 200, כלומר 5 שטרות מתאימים:

טעות נפוצה: לספור רק את השטרות של 50 (הקרובים ביותר ל-45) ולשכוח שגם שטר של 200 מספיק, ולקבל $\frac{4}{10}=0.4$.

בודקים אילו זוגות שטרות מגיעים יחד ל-250 שקלים לפחות:

20+20=40, 20+50=70, 50+50=100, 20+200=220 - לא מספיקים.

50+200=250 - מספיק. (שני שטרות של 200 אי אפשר להוציא - יש רק אחד.)

לכן צריך להוציא את השטר של 200 ושטר של 50, באחד משני הסדרים. ההוצאה ללא החזרה, ולכן בהוצאה השנייה נשארים 9 שטרות:

טעות נפוצה: לחשב רק את הסדר "200 ואז 50" ולקבל $\frac{4}{90}\approx0.044$. גם הוצאה של שטר של 50 ואחריו השטר של 200 מספיקה לתשלום.

$CD\perp AB$, ולכן המשולש $ADC$ ישר זווית ($\sphericalangle D=90^\circ$), ו-$AC$ הוא היתר שלו.

$CD$ הוא הניצב שמול הזווית $\sphericalangle A=59^\circ$, ולכן משתמשים בסינוס:

המסוק נמצא בגובה של כ-1,084.3 מטרים מעל פני הים.

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס, $CD=1265\cdot\cos59^\circ\approx651.5$ - זה הניצב $AD$ שליד הזווית, ולא הניצב שמולה.

הגובה $CD$ מחלק את $AB$ לשני קטעים: $AB=AD+DB$.

במשולש $ADC$, $AD$ הוא הניצב שליד הזווית $59^\circ$:

במשולש $BDC$ ($\sphericalangle D=90^\circ$) ידוע הניצב $CD$ שמול הזווית $38^\circ$, ו-$BD$ הוא הניצב שלידה:

המסוק נמצא במרחק של כ-2,039.4 מטרים מנדב.

טעות נפוצה: לכפול בטנגנס במקום לחלק בו: $BD=1084.3\cdot\tan38^\circ\approx847.2$, ולקבל $AB\approx1498.7$ מטרים.

המסוק צריך לעבור את המרחק AB (סעיף ב). זמן = דרך חלקי מהירות:

דקה אחת היא 60 שניות, ו-$51<60$, ולכן המסוק יוכל להגיע לשפת הצוק בפחות מדקה.

(אפשר גם כך: בדקה המסוק עובר $40\cdot60=2400$ מטרים, יותר מ-2,039.4.)

טעות נפוצה: לקרוא את התוצאה $\frac{2039.4}{40}\approx51$ כ-51 דקות (ולא שניות) ולהסיק שהמסוק לא יגיע בפחות מדקה. המהירות נתונה במטרים לשנייה, ולכן הזמן יוצא בשניות.

השחקנית והרשת עומדות אנכית לקרקע, ולכן $\sphericalangle ABE=\sphericalangle CDE=90^\circ$.

הזווית $\sphericalangle E$ (בין מסלול הכדור לקרקע) משותפת לשני המשולשים.

שתי זוויות שוות - ולכן לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\triangle ABE\sim\triangle CDE$.

סדר הקודקודים מראה את ההתאמה: $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow E$, ולכן $AB\leftrightarrow CD$, $BE\leftrightarrow DE$, $AE\leftrightarrow CE$.

טעות נפוצה: לכתוב $\triangle ABE\sim\triangle DCE$ (סדר קודקודים שאינו מתאים לזוויות). אז נראה כאילו $AB$ מתאימה ל-$DC$ אבל $B$ מתאים ל-$C$ - וזווית $C$ אינה ישרה.

המשולש $ABE$ ישר זווית ב-$B$, ו-$AE$ הוא היתר (מול הזווית הישרה). לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים במקום לחסר: $\sqrt{5.85^2+2.25^2}\approx6.27$ - ניצב ארוך מהיתר, וזה בלתי אפשרי.

$D$ נמצאת על $BE$, ולכן $DE=BE-BD$:

טעות נפוצה: לחסר את $BD$ מאורך המסלול $AE$ במקום מ-$BE$: $5.85-3.24=2.61$. $AE$ הוא קו משופע, ו-$D$ לא נמצאת עליו.

לפי סעיף א, $\triangle ABE\sim\triangle CDE$, ולכן היחס בין הצלעות המתאימות שווה:

גובה הרשת הוא 0.9 מטרים.

טעות נפוצה: להתאים את $DE$ ל-$BD$ במקום ל-$BE$: $\frac{CD}{2.25}=\frac{2.16}{3.24}$, ולקבל $CD=1.5$ מטרים. $BD$ אינה צלע של המשולש $ABE$.

בכל מסלול: תשלום = התשלום הקבוע + המחיר לדקה כפול מספר הדקות.

המסלול הרגיל: $10+0.5\cdot100=10+50=60$ שקלים.

המסלול המותאם: $4+0.6\cdot100=4+60=64$ שקלים.

מסלול קבוע: 40 שקלים (לא תלוי במספר הדקות).

טעות נפוצה: לשכוח את התשלום הקבוע ולחשב רק את הדקות: 50 שקלים במסלול הרגיל ו-60 שקלים במסלול המותאם.

ישר III אופקי: התשלום לא משתנה עם מספר הדקות - זה מסלול קבוע.

ישרים I ו-II עולים. נקודת ההתחלה (0 דקות) היא התשלום הקבוע: ישר I מתחיל נמוך יותר, ולכן התשלום הקבוע שלו קטן יותר - 4 שקלים, המסלול המותאם. ישר II מתחיל ב-10 - המסלול הרגיל.

בדיקה לפי התלילות: ישר I תלול יותר, כי במסלול המותאם המחיר לדקה גבוה יותר (0.6 לעומת 0.5).

טעות נפוצה: לחשוב שהישר שנגמר גבוה יותר (I) הוא של המסלול "הרגיל" שהתשלום הקבוע בו גדול יותר, ולענות I - הרגיל, II - המותאם. את התשלום הקבוע קוראים בנקודת ההתחלה, ושם ישר I נמוך יותר.

במשוואה $y=b+mx$, $b$ הוא התשלום הקבוע (נקודת החיתוך עם הציר האנכי) ו-$m$ הוא המחיר לדקה (השיפוע).

ישר I - המסלול המותאם: $b=4$, $m=0.6$, משוואה (4) $y=4+0.6x$.

ישר II - המסלול הרגיל: $b=10$, $m=0.5$, משוואה (1) $y=10+0.5x$.

ישר III - מסלול קבוע: $y=40$, משוואה (3).

משוואה (2) $y=10-0.5x$ מתארת ישר יורד - תשלום שקטן ככל שמדברים יותר - ולכן אינה מתאימה לאף ישר.

טעות נפוצה: לבחור לישר II את משוואה (2), כי גם בה מופיעים 10 ו-0.5. הסימן של השיפוע שלילי, והישר שלה יורד.

בסך הכול נמכרו 100 ספרים, ולפי הדיאגרמה נמכרו 35 ספרים ב-30 שקלים, 25 ב-40 שקלים ו-25 ב-50 שקלים:

נמכרו 15 ספרים שמחירם 20 שקלים.

טעות נפוצה: להחסיר רק פעם אחת 25 (כאילו שתי הגזרות של 25 הן אותה קבוצה): $100-35-25=40$.

בשורה הראשונה - הערכים (המחירים), ובשורה השנייה - השכיחות של כל מחיר (מספר הספרים), כולל התוצאה של סעיף א:

בדיקה: $15+35+25+25=100$.

טעות נפוצה: להשאיר את המחיר 20 מחוץ לטבלה, כי בדיאגרמה מופיע לידו סימן שאלה. אז סכום השכיחויות 85 ולא 100.

כל מחיר מוכפל במספר הספרים שנמכרו בו (ממוצע משוקלל), והסכום מחולק במספר הספרים:

המחיר הממוצע של ספר הוא 36 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי שכיחויות: $\frac{20+30+40+50}{4}=35$ שקלים.

השכיח הוא הערך שהשכיחות שלו הגבוהה ביותר. השכיחות הגבוהה ביותר היא 35, והיא של המחיר 30 שקלים.

המחיר השכיח הוא 30 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 35 - זו השכיחות (מספר הספרים), ולא הערך (המחיר).

המחיר של כל ספר שנוסף (36) שווה בדיוק לממוצע, ולכן הוא לא "מושך" את הממוצע למעלה או למטה.

בחישוב:

הממוצע יישאר 36 שקלים.

טעות נפוצה: לענות שהממוצע יגדל, כי סכום המחירים גדל (מ-3,600 ל-3,780) - ולשכוח שגם מספר הספרים גדל.

סטיית התקן היא שורש של (סכום ריבועי הסטיות מהממוצע) חלקי (מספר הנתונים).

הממוצע לא השתנה (סעיף ד(1)), והסטייה של כל ספר חדש מהממוצע היא $36-36=0$. לכן סכום ריבועי הסטיות לא משתנה, אבל מחלקים אותו ב-105 במקום ב-100 - המנה קטנה.

בחישוב: לפני ההוספה $S=\sqrt{\frac{10400}{100}}\approx10.20$, ואחרי ההוספה $S=\sqrt{\frac{10400}{105}}\approx9.95$.

סטיית התקן תקטן.

טעות נפוצה: לענות שסטיית התקן לא תשתנה, "כי הסטייה של הספרים החדשים היא 0". הסטייה שלהם 0, אבל הם נכנסים למכנה - יותר נתונים קרובים לממוצע, ולכן הפיזור הממוצע קטן.