בגרות במתמטיקה 371 - חורף 2022 מועד נבצרים

בשמורה א' האוכלוסייה גדלה (25% בכל חודש), ולכן הגרף שלה עולה. בשמורה ב' האוכלוסייה התמעטה, ולכן הגרף שלה יורד.

גם נקודת ההתחלה מתאימה: בחודש 0 גרף 1 גבוה יותר (1,953 ארנבים בשמורה ב') וגרף 2 נמוך יותר (512 ארנבים בשמורה א').

לכן גרף 2 (עולה, מתחיל נמוך) מתאים לשמורה א', וגרף 1 (יורד, מתחיל גבוה) מתאים לשמורה ב'.

טעות נפוצה: להתאים לפי הגובה בסוף השרטוט - גרף 2 גבוה בחודש 6, ולכן לשייך אותו לשמורה ה"גדולה" ב' - ולקבל את ההתאמה ההפוכה (גרף 1 - א', גרף 2 - ב').

מספר הארנבים בשתי השמורות שווה בנקודת החיתוך של שני הגרפים.

הקו המקווקו יורד מנקודת החיתוך לציר החודשים בחודש 3.

לכן כעבור 3 חודשים היה בשתי השמורות אותו מספר ארנבים.

טעות נפוצה: לספור את החודשים מ-1 ("חודש 0 הוא החודש הראשון") ולענות שהשוויון היה בחודש הרביעי, כלומר כעבור 4 חודשים - המדידה הראשונה היא בחודש 0, והקו המקווקו פוגש את הציר ב-3.

את המקדם של שמורה ב' עדיין לא יודעים, אבל בחודש 3 המספר בשתי השמורות שווה - לכן מספיק לחשב בשמורה א'.

גדילה של 25% בכל חודש: $q=1+0.25=1.25$.

בחודש זה היו 1,000 ארנבים בכל אחת מהשמורות.

טעות נפוצה: להוסיף בכל חודש 25% מהכמות ההתחלתית (128 ארנבים), כמו בתהליך ליניארי: $512+3\cdot128=896$ ארנבים.

בשמורה ב': $A_0=1953$, ולפי סעיף ב - כעבור 3 חודשים היו בה 1,000 ארנבים.

מוציאים שורש שלישי: $q=\sqrt[3]{0.512}\approx0.8$.

$q=0.8=1-0.2$, ולכן האוכלוסייה קטנה ב-20% מדי חודש.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה הכוללת, $\frac{1953-1000}{1953}\approx48.8\%$, ולחלק ב-3 חודשים - ולקבל כ-16.3% לחודש. אחוזים בתהליך מעריכי אינם מתחלקים שווה בין החודשים.

מחפשים את מספר החודשים השלם הראשון שבו $512\cdot1.25^t>1500$. בודקים בניסוי וטעייה:

לכן ההעברה החלה כעבור 5 חודשים.

טעות נפוצה: למצוא ש-$1.25^t=\frac{1500}{512}$ מתקיים בערך ב-$t\approx4.8$ ולעגל כלפי מטה ל-4 חודשים - אבל בחודש 4 היו רק 1,250 ארנבים.

בשמורה ב': $A_0=1953$, $q=0.8$ (סעיף ג), $t=5$ (סעיף ד(1)).

לפני ההעברה היו בשמורה ב' כ-640 ארנבים.

טעות נפוצה: להתחיל מ-1,000 הארנבים של חודש 3 ובכל זאת להעלות בחזקת 5: $1000\cdot0.8^5\approx328$. מחודש 3 עד חודש 5 עוברים רק 2 חודשים.

ברמזור להולכי רגל יש אור ירוק או אור אדום, ולכן "אדום" הוא המאורע המשלים של "ירוק":

טעות נפוצה: להשתמש בנתון של הרמזור השני ולקבל $1-0.3=0.7$.

תומר חוצה ללא עצירה רק אם בשני הרמזורים יש אור ירוק.

הרמזורים פועלים באופן בלתי תלוי זה בזה, ולכן כופלים את ההסתברויות:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות, $0.6+0.3=0.9$ - "ירוק בראשון וגם ירוק בשני" הוא חיתוך, ובמאורעות בלתי תלויים כופלים.

"יעצור ברמזור הראשון" = אור אדום ברמזור הראשון, בהסתברות 0.4 (סעיף א).

"לא יעצור ברמזור השני" = אור ירוק ברמזור השני, בהסתברות 0.3.

טעות נפוצה: להחליף בין הרמזורים - ירוק בראשון ואדום בשני - ולקבל $0.6\cdot0.7=0.42$.

המאורע "יעצור ברמזור אחד לפחות" הוא המשלים של "לא יעצור באף רמזור", כלומר של חצייה ללא עצירה (סעיף ב).

(אפשר גם לחבר שלושה מסלולים: $0.4\cdot0.3+0.6\cdot0.7+0.4\cdot0.7=0.12+0.42+0.28=0.82$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את ההסתברות שיעצור בשני הרמזורים, $0.4\cdot0.7=0.28$ - "לפחות אחד" כולל גם עצירה ברמזור אחד בלבד.

"קטן ב-20%" פירושו שנשארים $100\%-20\%=80\%$ מהאורך:

אורך השוק $DE$ הוא 68 ס"מ.

טעות נפוצה: להחסיר 20 ס"מ במקום 20% ולקבל $85-20=65$ ס"מ.

המשולשים שווי שוקיים וזוויות הראש שלהם שוות, ולכן גם זוויות הבסיס שוות: $\angle B=\angle C=\angle E=\angle F$. לפי ז.ז. המשולשים דומים.

יחס הדמיון (קטן לגדול) לפי השוקיים: $\frac{DE}{AB}=\frac{68}{85}=0.8$.

כל צלע במשולש הקטן היא 0.8 מהצלע המתאימה בגדול:

טעות נפוצה: להחסיר מהבסיס את אותו הפרש של השוקיים ($85-68=17$) ולקבל $EF=70-17=53$ ס"מ - במשולשים דומים הצלעות נשמרות ביחס, לא בהפרש.

האורך הכולל הוא סכום ההיקפים של שני המשולשים. בכל משולש שווה שוקיים יש שתי שוקיים ובסיס:

(או: יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, $P_{DEF}=0.8\cdot240=192$.)

דרושים 432 ס"מ של פסי תאורה.

טעות נפוצה: לספור בכל משולש רק שוק אחת: $(85+70)+(68+56)=279$ ס"מ.

$BE$ מאונך ל-$AD$, ולכן המשולש $ABE$ ישר זווית ב-$E$. היתר הוא $AB=35$, ו-$BE$ הוא הניצב שמול הזווית $A$:

גובה הבניין כ-16.43 מטר.

טעות נפוצה: להשתמש בטנגנס, כאילו $AB$ הוא ניצב: $BE=35\cdot\tan28^\circ\approx18.61$ מטר - $AB$ הוא היתר, ולכן סינוס.

שטח מקבילית = צלע כפול הגובה אליה. $BE$ הוא הגובה לצלע $AD$:

שטח הקיר כ-985.9 מ"ר.

טעות נפוצה: לכפול את הגובה בצלע $AB$, שאינה הצלע שהגובה מאונך לה: $35\cdot16.43\approx575.1$ מ"ר.

במשולש $ABE$: $AE$ הוא הניצב שליד הזווית $A$:

טעות נפוצה: לחלק במקום לכפול, $AE=\frac{35}{\cos28^\circ}\approx39.64$ מטר - ניצב קצר מהיתר, ולכן התוצאה חייבת להיות קטנה מ-35.

$E$ נמצאת על $AD$, ולכן:

המשולש $BED$ ישר זווית ב-$E$, ולפי משפט פיתגורס:

אורך הפס כ-33.42 מטר.

טעות נפוצה: להציב בפיתגורס את כל הצלע $AD$ במקום $ED$: $\sqrt{60^2+16.43^2}\approx62.21$ מטר - הניצב של המשולש $BED$ הוא רק $ED$.

הצעה ראשונה: רק תשלום לכל אימון:

הצעה שנייה: התשלום הקבוע משולם פעם אחת, ועוד 13 שקלים לכל אימון:

טעות נפוצה: לכפול גם את התשלום הקבוע במספר האימונים: $(120+13)\cdot5=665$ ש"ח - התשלום החודשי משולם פעם אחת בלבד.

נסמן ב-$x$ את מספר האימונים. התשלום בהצעה הראשונה: $28x$; בהצעה השנייה: $120+13x$.

בדיקה: $28\cdot8=224$ וגם $120+13\cdot8=224$.

טעות נפוצה: להעביר את $13x$ לאגף השמאלי עם סימן פלוס: $41x=120$, $x\approx2.93$.

ההנחה היא "לכל אימון", ולכן היא חלה על המחיר של אימון ולא על התשלום החודשי הקבוע.

מחיר אימון אחרי 20% הנחה: בהצעה הראשונה $0.8\cdot28=22.4$, בהצעה השנייה $0.8\cdot13=10.4$.

התשלום שווה, ולכן המשפט הנכון הוא III.

טעות נפוצה: להוריד 20% גם מהתשלום החודשי: בהצעה השנייה $0.8\cdot(120+130)=200$ ש"ח, ולבחור במשפט II.

סכום המשכורות חלקי מספר העובדים:

טעות נפוצה: להשמיט נתון בחיבור (למשל לחבר רק $8600+9000+8800=26400$) ובכל זאת לחלק ב-4 - ולקבל $6600$, נמוך מכל המשכורות; ממוצע תמיד נמצא בין הנתון הקטן לגדול.

הסטיות מהממוצע 8,900: $-300$, $100$, $-100$, $300$.

ממוצע ריבועי הסטיות:

טעות נפוצה: לעצור לפני השורש ולענות 50,000 - זו השונות; סטיית התקן היא השורש שלה, ובאותן יחידות כמו המשכורות.

קודם מסדרים את המשכורות לפי הגודל: 8,600, 8,800, 9,000, 9,200.

מספר הנתונים זוגי (4), ולכן החציון הוא הממוצע של שני הנתונים האמצעיים:

טעות נפוצה: לבחור רק אחד משני האמצעיים ברשימה, למשל 9,000 - כשמספר הנתונים זוגי החציון הוא ממוצע של שניהם.

המשכורת החדשה, 8,700, קטנה מהממוצע הקיים 8,900, ולכן היא "מושכת" את הממוצע כלפי מטה.

בחישוב:

הממוצע יקטן.

טעות נפוצה: לענות "תגדל" כי סכום המשכורות גדל - אבל גם מספר העובדים גדל, והשאלה היא אם הנתון החדש גדול או קטן מהממוצע.

מסדרים את חמש המשכורות: 8,600, 8,700, 8,800, 9,000, 9,200.

מספר הנתונים אי-זוגי (5), ולכן החציון הוא הנתון האמצעי - השלישי: 8,800.

טעות נפוצה: לחשב גם כאן ממוצע של שני נתונים, $\frac{8700+8800}{2}=8750$ - כשמספר הנתונים אי-זוגי יש נתון אמצעי אחד.