בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2022 מועד ב'

ברגע לקיחת התרופה הזמן הוא $t=0$, ולכן הכמות ההתחלתית היא נקודת החיתוך של כל גרף עם הציר האנכי.

הגרף של תרופה א' יוצא מ-25, והגרף של תרופה ב' יוצא מ-50.

תרופה א': 25 מ"ג; תרופה ב': 50 מ"ג.

טעות נפוצה: להחליף בין הגרפים ולענות שמתרופה א' יש 50 מ"ג ומתרופה ב' 25 מ"ג - הגרף שמתחיל ב-50 ויורד בתלילות הוא הגרף המסומן "תרופה ב'".

משווים את הירידה של שני הגרפים בשלוש השעות הראשונות, עד נקודת החיתוך $(3,20)$:

תרופה א': מ-25 ל-20, כלומר נשאר $\frac{20}{25}=0.8$ מהכמות ההתחלתית.

תרופה ב': מ-50 ל-20, כלומר נשאר רק $\frac{20}{50}=0.4$ מהכמות ההתחלתית.

באותו זמן נשאר מתרופה ב' חלק קטן יותר, והגרף שלה יורד בתלילות רבה יותר - הכמות של תרופה ב' קטנה מהר יותר.

טעות נפוצה: לבלבל בין "גבוה יותר" ל"יורד מהר יותר" - מהשעה 3 והלאה הגרף של תרופה א' נמצא מעל הגרף של תרופה ב', ומכאן לענות בטעות "תרופה א'".

קוראים מהגרף את הכמות של כל תרופה בשעה ה-6:

תרופה א': 16 מ"ג - יותר מ-12.

תרופה ב': 8 מ"ג - פחות מ-12.

אפשר גם לחשב: בכל 3 שעות הכמות של תרופה א' מוכפלת ב-0.8, ושל תרופה ב' ב-0.4 (סעיף ב). 6 שעות הן פעמיים 3 שעות:

רק תרופה א' עומדת בדרישה, ולכן הרופא ימליץ על תרופה א'.

טעות נפוצה: להמליץ על תרופה ב' כי ברגע הלקיחה יש ממנה יותר (50 מ"ג לעומת 25 מ"ג) - הדרישה היא על הכמות בשעה ה-6, ושם יש מתרופה ב' רק 8 מ"ג.

הכמויות שוות בנקודת החיתוך של שני הגרפים, $(3,20)$, כלומר 3 שעות אחרי לקיחת התרופות.

התרופות נלקחו בשעה 8:00, ולכן הכמויות היו שוות בשעה $8:00+3=11:00$.

טעות נפוצה: לענות "בשעה 3" - 3 הוא מספר השעות שעברו מלקיחת התרופה (הציר האופקי), ולא השעה בשעון.

בשעה 11:00 עברו 3 שעות מלקיחת התרופה. בנקודת החיתוך $(3,20)$ הכמות היא 20.

בשעה 11:00 היו בדמו של מטופל א' 20 מ"ג חומר פעיל (וגם בדמו של מטופל ב').

טעות נפוצה: לחפש בגרף את $x=11$ (השעה בשעון) ולקרוא בגרף של תרופה א' כ-11 מ"ג - על הציר האופקי מסומן הזמן שעבר מלקיחת התרופה, כלומר $x=3$.

קוראים מהגרף של תרופה א' שתי נקודות: $(0,25)$ ו-$(3,20)$.

מציבים בנוסחה $A_t=A_0\cdot q^t$ עם $A_0=25$, $t=3$, $A_3=20$:

בכל שעה נשארים כ-92.83% מהכמות, ולכן הכמות קטנה בכל שעה ב-$100\%-92.83\%=7.17\%$.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה הכוללת בשלוש השעות (20%) במספר השעות ולענות $\frac{20\%}{3}\approx6.67\%$ - בתהליך מעריכי האחוז מחושב בכל שעה מהכמות שנשארה, ולכן מוציאים שורש שלישי.

הגזרות שוות, ולכן לכל גזרה אותה הסתברות: $\frac16$.

המספר 9 רשום על גזרה אחת מתוך 6:

טעות נפוצה: להשוות את הגזרה של 9 לחמש הגזרות האחרות ("1 מול 5") ולענות $\frac15$ - מחלקים במספר כל הגזרות, 6.

המספר 8 רשום על 2 גזרות מתוך 6:

טעות נפוצה: להשוות את 2 הגזרות של 8 ל-4 הגזרות האחרות ולענות $\frac24=\frac12$ - במכנה נמצאות כל 6 הגזרות.

המספרים האי-זוגיים על הגלגל הם 7 ו-9. המספר 7 רשום על 3 גזרות והמספר 9 על גזרה אחת - בסך הכול 4 גזרות מתוך 6:

טעות נפוצה: לספור רק את הגזרות של 7 ולשכוח שגם 9 הוא מספר אי-זוגי - ומקבלים $\frac36=\frac12$.

התוצאה של הסיבוב השני אינה תלויה בתוצאה של הסיבוב הראשון (הגלגל לא משתנה), ולכן כופלים את ההסתברויות:

טעות נפוצה: לחשוב שאחרי שהגלגל נעצר על 8 "נשארה" רק גזרה אחת של 8 מתוך 5, כמו בהוצאה בלי החזרה - $\frac26\cdot\frac15=\frac1{15}$; הגלגל נשאר אותו גלגל, והמאורעות בלתי תלויים.

מוצאים את כל הזוגות (מספר בסיבוב הראשון, מספר בסיבוב השני) שסכומם 16:

מחשבים את ההסתברות של כל מסלול בכפל:

המסלולים זרים, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לספור את הזוג 7 ו-9 פעם אחת בלבד ולשכוח את הסדר ההפוך - $\frac1{12}+\frac19=\frac7{36}$.

במלבן הצלעות הנגדיות שוות, ולכן $BC=AD=20$ מטר.

$BC$ הוא קוטר חצי העיגול, והרדיוס הוא מחצית הקוטר:

טעות נפוצה: לקחת את הקוטר כרדיוס ולענות $r=20$ מטר - $BC$ הוא קוטר, והרדיוס הוא מחציתו.

המסלול $EF$ מורכב משני קטעים:

$EO$ - מאמצע הצלע $AD$ לאמצע הצלע $BC$, ולכן הוא מקביל ל-$AB$ ושווה לו: $EO=40$ מטר.

$OF$ - מהמרכז לנקודה על הקשת, כלומר רדיוס: $OF=10$ מטר.

טעות נפוצה: להוסיף ל-$EO$ את הקוטר $BC$ במקום את הרדיוס - $40+20=60$ מטר; מ-$O$ עד הקשת יש רק רדיוס אחד.

כל שחייה לאורך המסלול האמצעי היא 50 מטר (סעיף ב). מחלקים את המרחק הכולל באורך מסלול אחד:

נדב יצטרך לשחות 20 פעמים לאורך המסלול האמצעי.

טעות נפוצה: לחלק באורך המלבן בלבד, $1000:40=25$ פעמים - המסלול כולל גם את הרדיוס שבתוך חצי העיגול.

המסלול צמוד לשפת הבריכה, ולכן הוא עובר רק על הקווים החיצוניים: $DA$, $AB$, הקשת מ-$B$ ל-$C$, ו-$CD$. הצלע $BC$ נמצאת בתוך הבריכה ואינה חלק מהשפה.

אורך הקשת הוא חצי מהיקף מעגל שרדיוסו 10:

טעות נפוצה: להוסיף גם את הצלע $BC$ - $20+40+20+40+10\pi\approx151.42$ מטר - $BC$ היא קו פנימי, ונדב לא שוחה לאורכה.

$AG$ הוא הגובה לבסיס במשולש שווה השוקיים $ABC$, ולכן הוא גם חוצה את הבסיס:

במשולש ישר הזווית $ABG$ (הזווית הישרה ב-$G$) $AB$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס $BC$ במקום חציו - $\sqrt{46^2+69^2}\approx82.93$ ס"מ - הניצב במשולש $ABG$ הוא $BG$, מחצית הבסיס.

1. $\angle DAF=\angle BAG$ - זווית משותפת לשני המשולשים.

2. $AG\perp BC$, ו-$DE\parallel BC$, ולכן $\angle AFD=\angle AGB=90^\circ$ (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).

3. משתי זוויות שוות נובע ש-$\triangle ADF\sim\triangle ABG$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $D\leftrightarrow B$, $F\leftrightarrow G$.

טעות נפוצה: לנמק רק בזווית הישרה ("בשני המשולשים יש זווית של $90^\circ$") - זווית אחת שווה אינה מספיקה; צריך גם את הזווית המשותפת $A$.

המשולש $ADE$ שווה שוקיים, ו-$AF$ הוא הגובה לבסיס $DE$ (כי $AF\perp DE$), ולכן הוא חוצה את $DE$:

בהתאמה מסעיף ב הצלע $DF$ מתאימה לצלע $BG$:

טעות נפוצה: לחלק את כל המדף $DE$ ב-$BG$ - $\frac{51.75}{34.5}=1.5$ - אלה אינן צלעות מתאימות ($DE$ מתאימה ל-$BC$, לא ל-$BG$).

בהתאמה מסעיף ב הצלע $AF$ מתאימה לצלע $AG$, ויחס הדמיון $\frac34$:

טעות נפוצה: לכפול ביחס הדמיון את הצלע $AB$ במקום את $AG$ - $\frac34\cdot57.5\approx43.13$ ס"מ - זה האורך של $AD$, הצלע שמתאימה ל-$AB$.

על המדף התחתון אפשר להעמיד חפץ שגובהו לכל היותר המרחק בין שני המדפים, $FG$ (במרכז המעמד, שם המרווח הגבוה ביותר):

$11.5<12$, ולכן אי אפשר להעמיד את הגביע על המדף התחתון.

טעות נפוצה: להשוות את גובה הגביע ל-$AF$ - "$34.5>12$, ולכן הגביע ייכנס" - $AF$ הוא החלק שמעל המדף הפנימי; הגביע עומד בין $BC$ ל-$DE$.

נסמן ב-$y$ את מספר דפי המדבקות. 20 בריסטולים עולים $20\cdot3=60$ שקלים, ולכן:

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום במחיר של דף מדבקות, $120:2=60$ דפים - ולשכוח שחלק מהכסף שולם בעבור הבריסטולים.

נסמן ב-$n$ את מספר הבריסטולים; זה גם מספר דפי המדבקות.

טעות נפוצה: לחלק את הכסף שווה בשווה בין שני סוגי המוצרים - 60 שקלים לבריסטולים, $60:3=20$ בריסטולים - "מספר שווה" מתייחס לכמות המוצרים, לא לסכום שהוצא על כל סוג (אז היו נקנים 30 דפי מדבקות, לא 20).

נסמן ב-$x$ את מספר הבריסטולים וב-$y$ את מספר דפי המדבקות שנקנו בחודש השלישי (ואותם מספרים בחודש הרביעי).

המחיר החדש של בריסטול אחרי התייקרות של 20%:

שתי משוואות - אחת לכל חודש:

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה (האיבר $2y$ מתבטל):

מציבים במשוואה הראשונה:

בדיקה: $3.6\cdot30+2\cdot15=108+30=138$ ✓.

טעות נפוצה: לחשוב שתוספת התשלום, 18 שקלים, היא מחיר של בריסטולים נוספים ולחלק במחיר בריסטול - $18:3=6$ בריסטולים ($y=51$) - ההפרש נובע מכך שכל אחד מ-$x$ הבריסטולים התייקר ב-0.6 שקל.

כל לקוח מופיע בטבלה בשורה אחת בדיוק (לפי השירות שקיבל), ולכן מחברים את מספרי הלקוחות:

טעות נפוצה: לספור את 3 הלקוחות של "תספורת לגבר וסידור זקן" פעמיים, כאילו קיבלו שני שירותים נפרדים, ולענות 53 - זו שורה אחת בטבלה, ובה 3 לקוחות.

מצרפים את המחירון לטבלה: המחיר של כל שירות הוא ערך, ומספר הלקוחות שקיבלו אותו הוא השכיחות.

ממוצע משוקלל - סכום כל התשלומים חלקי מספר הלקוחות:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי להתחשב במספר הלקוחות - $\frac{50+40+20+60}{4}=42.5$ שקלים.

הילד שילם 40 שקלים - בדיוק התשלום הממוצע. נתון ששווה לממוצע אינו משנה אותו:

טעות נפוצה: להוסיף את 40 לסכום אבל לשכוח להגדיל את מספר הלקוחות - $\frac{2040}{50}=40.8$ - ולענות "גדל".

הממוצע לא השתנה (סעיף ג), ולכן הסטיות של 50 הלקוחות הקודמים מהממוצע לא השתנו, וגם סכום ריבועי הסטיות שלהם.

הילד שילם בדיוק את הממוצע: הסטייה שלו 0, והוא מוסיף 0 לסכום ריבועי הסטיות.

המונה נשאר כשהיה, והמכנה גדל מ-50 ל-51 - ולכן סטיית התקן קטנה.

בחישוב: סכום ריבועי הסטיות הוא $14\cdot10^2+23\cdot0^2+10\cdot20^2+3\cdot20^2=6600$, ולכן לפני: $\sqrt{\frac{6600}{50}}\approx11.49$, אחרי: $\sqrt{\frac{6600}{51}}\approx11.38$.

טעות נפוצה: להוסיף לסכום את ריבוע התשלום עצמו ($40^2=1600$) במקום את ריבוע הסטייה שלו - $\sqrt{\frac{6600+1600}{51}}\approx12.68$ - ולענות "גדלה".