מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 8 ברמת בגרות

צוברים את הרצועות מהזנב השמאלי עד שמגיעים ל-7%:

שלוש הרצועות האלה נמצאות מתחת לשנתה $\bar x-1.5S$, ולכן 4.2 נמצא 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע:

סטיית התקן: 1.2 ק"ג.

טעות נפוצה: לקחת את הקצה החיצוני של רצועת ה-5% ($\bar x-2S$) במקום הקצה הפנימי: $2S=1.8$, ומקבלים $S=0.9$.

ממקמים את הערכים על השנתות בעזרת $S=1.2$:

בין $\bar x-0.5S$ ל-$\bar x+2S$ יש חמש רצועות:

מספר האבטיחים: $0.67\cdot500=335$.

טעות נפוצה: לספור את רצועת ה-19% רק פעם אחת, כאילו יש רצועה אחת סביב הממוצע: $19\%+15\%+9\%+5\%=48\%$, ומקבלים $0.48\cdot500=240$ אבטיחים.

האבטיחים הכבדים ביותר נמצאים בזנב הימני. צוברים רצועות מהקצה הימני עד 16%:

ארבע הרצועות האלה נמצאות מעל השנתה $\bar x+S$:

החל ממשקל 7.2 ק"ג.

טעות נפוצה: לחפש את הסף בצד השמאלי ולענות $\bar x-S=4.8$ ק"ג - מתחת ל-4.8 נמצאים 16% הקלים ביותר.

התחום נמצא מעל הישר העולה BC ($y\ge2x+3$) ומתחת לישר היורד AC ($y\le-x+12$).

בדיקה בנקודה מתוך התחום, $(1,7)$: $7\ge5$ ו-$7\le11$ - מתקיים במערכת II. במערכת I: $7\le5$ - לא מתקיים.

התשובה: מערכת II.

טעות נפוצה: לחשוב שהתחום "מימין" לישר העולה BC פירושו $y\le2x+3$, ולבחור במערכת I. נקודות התחום נמצאות מעל BC: למשל ב-$(1,7)$, $7>2\cdot1+3$.

הרווח משולחנות: $100x$, הרווח מכיסאות: $200y$.

מחפשים מקסימום.

טעות נפוצה: להצמיד את הרווח של הכיסא למשתנה $x$ ולכתוב $P=200x+100y$.

קודקודי התחום:

A: AC עם ציר ה-$y$: $A(0,12)$. B: BC עם ציר ה-$y$: $B(0,3)$.

C: $2x+3=-x+12\Rightarrow3x=9\Rightarrow x=3$, $y=9$, כלומר $C(3,9)$.

המקסימום, 2,400 שקלים, מתקבל ב-A: הנגרייה צריכה לייצר 0 שולחנות ו-12 כיסאות ביום.

טעות נפוצה: להניח שהפתרון האופטימלי הוא תמיד נקודת החיתוך של שני הישרים, ולענות 3 שולחנות ו-9 כיסאות (רווח 2,100). חייבים להציב את כל הקודקודים.

מציבים $x=2$, $y=8$ במערכת II:

$8\ge2\cdot2+3=7$ - מתקיים. $8\le-2+12=10$ - מתקיים. $x=2\ge0$, $y=8\ge0$ - מתקיים.

כל האילוצים מתקיימים, ולכן ייתכן.

טעות נפוצה: להציב את המספרים הפוך ($x=8$, $y=2$), לקבל $2\ge19$ ולענות "לא". $x$ הוא מספר השולחנות - כאן 2.

לפי גרף ההתפלגות, מימין לשנתה $\bar x+2S$ נמצאים $1.5\%+0.5\%=2\%$ מן האוכלוסייה.

לכן 240 גרם נמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע:

טעות נפוצה: לספור רק את הרצועה הקיצונית (0.5%) ולמקם את 240 ב-$\bar x+2.5S$, ואז $2.5S=60$ ו-$S=24$.

השנתות מסומנות כל חצי סטיית תקן: $\frac{30}{2}=15$.

מהממוצע, 180, מוסיפים ומחסירים 15 בכל צעד:

בדיקה: 240 נמצא ארבע שנתות (2 סטיות תקן) מימין לממוצע.

טעות נפוצה: לסמן כל סטיית תקן שלמה ולכתוב 210 מיד מימין לממוצע במקום 195.

$135=180-45=\bar x-1.5S$, כלומר שלוש שנתות משמאל לממוצע.

בין 135 לממוצע יש שלוש רצועות: $9\%+15\%+19\%=43\%$.

טעות נפוצה: לסכום את הרצועות שמשמאל ל-135 ($5\%+1.5\%+0.5\%=7\%$) - זה אחוז העגבניות ששוקלות פחות מ-135 גרם.

129 העגבניות הן 43% מכלל העגבניות:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק: $129\cdot0.43\approx55$ עגבניות.

$-1.87<-1.8$ (המספר $-1.87$ נמצא משמאל ל-$-1.8$ על ציר המספרים), ולכן העגבנייה תימכר כ"עגבנייה קטנה".

טעות נפוצה: להשוות בלי הסימן ($1.87>1.8$) ולהסיק שציון התקן "גבוה" מ-$-1.8$, ולכן העגבנייה לא תימכר כקטנה.

טעות נפוצה: להכפיל ב-$\frac13$ כמו בפירמידה ולקבל 108 סמ"ק.

טעות נפוצה: לחבר ולקבל 552 סמ"ק.

שטח הבסיס: $6\cdot6=36$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$: $36h=96$, ולענות $h=\frac83\approx2.67$ ס"מ.

שמן בבקבוק מסוג א': $0.75\cdot324=243$ סמ"ק. בבקבוק מסוג ב': $0.75\cdot96=72$ סמ"ק.

נסמן ב-$n$ את מספר הבקבוקים מסוג א'. מספר הבקבוקים מסוג ב' הוא $n+6$:

מספר הבקבוקים מסוג ב': $12+6=18$. בדיקה: $243\cdot12+72\cdot18=2916+1296=4212$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$n=12$ - זה מספר הבקבוקים מסוג א'.

תרשים המספרים הוא המבט מלמעלה, עם מספר הקוביות בכל עמודה; השורה התחתונה היא השורה הקדמית.

השורה הקדמית: עמודה של 2 משמאל ושתי קוביות בודדות - 2, 1, 1.

השורה השלישית מאחור: שתי קוביות בודדות ומקום ריק מימין - 1, 1, 0.

השורה השנייה מאחור: עמודה של 2 משמאל, מקום ריק באמצע וקובייה אחת מימין - 2, 0, 1.

השורה האחורית: מגדל של 3 משמאל, קובייה אחת באמצע ומקום ריק מימין - 3, 1, 0. (הקובייה התחתונה של המגדל מוסתרת, אבל כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן מתחת לקובייה העליונה יש עמודה מלאה.)

טעות נפוצה: לרשום את השורה הקדמית בראש התרשים (2, 1, 1 למעלה) - בתרשים המספרים החזית היא השורה התחתונה.

במבט מימין השורה הקדמית בצד שמאל של המבט. הגובה המרבי בכל שורה, מקדימה לאחור: $\max(2,1,1)=2$, $\max(1,1,0)=1$, $\max(2,0,1)=2$, $\max(3,1,0)=3$.

מבט מימין (משמאל לימין): 2, 1, 2, 3. המבט משמאל הוא תמונת ראי: 3, 2, 1, 2.

טעות נפוצה: לסרטט את המבט מימין כשהשורה האחורית משמאל (3, 2, 1, 2) - זה המבט משמאל.

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, בכל מקום תפוס נשארת בדיוק קובייה אחת, שמונחת על המשטח.

יש 9 מקומות תפוסים, ו-$3+1+2+1+1+1+2+1+1=13$ קוביות. מורידים $13-9=4$ קוביות.

טעות נפוצה: להשאיר קובייה בכל אחת מ-12 המשבצות, כולל הריקות, ולהוריד $13-12=1$ קובייה בלבד.

נשארה קובייה אחת בכל אחד מ-9 המקומות התפוסים: $13-4=9$.

טעות נפוצה: להשאיר קובייה בכל 12 המשבצות של המשטח, כולל שלוש הריקות, ולענות 12 - במקום ריק לא מוסיפים קובייה, ולכן נשארות 9.

טעות נפוצה: לחשב רק את שטח הבסיס, $80\cdot50=4{,}000$, ולשכוח לכפול בגובה.

טעות נפוצה: לא להעלות את הרדיוס בריבוע: $\pi\cdot8\cdot20=160\pi\approx502.65$.

דגם א': $4{,}021.24\ge3{,}600$ - מתאים.

דגם ב': $3{,}500<3{,}600$ - לא מתאים.

רק דגם א' מתאים.

טעות נפוצה: לכתוב 1.5% כ-$0.15$ ולקבל דרישה של $36{,}000$ סמ"ק - ואז אף דגם לא מתאים.

גובה גוף החימום (20 ס"מ) קטן מגובה המכל, ולכן הוא כולו בתוך המכל ותופס חלק מנפחו:

כלומר כ-235,979 סמ"ק.

טעות נפוצה: להחסיר את הנפח המינימלי לפי ההוראות, $3{,}600$, במקום את נפח גוף החימום, ולקבל $236{,}400$ סמ"ק.