מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 9 ברמת בגרות

A על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$A(4,0)$. D על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=6$, כלומר $D(0,6)$.

טעות נפוצה: לחלק בשיפוע עם הסימן שלו, $x=\frac{6}{-1.5}=-4$, ולקבל $A(-4,0)$. אחרי העברת אגפים המשוואה היא $\frac32x=6$, ושני האגפים חיוביים.

שיפוע AD הוא $-\frac32$. AB מאונך ל-AD, ולכן:

AB עובר דרך $A(4,0)$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי לשנות סימן, $m=-\frac23$, ולקבל $y=-\frac23x+\frac83$. בדיקה: $\left(-\frac23\right)\cdot\left(-\frac32\right)=1$ ולא $-1$, כלומר הישר אינו מאונך ל-AD.

BE מקביל לציר ה-$x$, ולכן $y_B=y_E=8$.

מציבים $y=8$ במשוואת AB:

$B(16,8)$.

טעות נפוצה: להציב $x=8$ במקום $y=8$ ולקבל $y=\frac{16}{3}-\frac83=\frac83$, כלומר $B\left(8,\frac83\right)$ - נקודה שאינה בגובה של E.

E היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-$y$, ולכן $b=8$, ועם השיפוע הנתון:

טעות נפוצה: לשכוח את נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ ולכתוב $y=-\frac25x$ - ישר שעובר בראשית ולא דרך E.

משווים את משוואות AB ו-EF:

כופלים ב-15 (מכנה משותף), כל איבר:

$y=-\frac25\cdot10+8=4$, ולכן $F(10,4)$. (בדיקה ב-AB: $\frac{20}3-\frac83=4$.)

טעות נפוצה: להעביר את $-\frac25x$ לאגף שמאל בלי להחליף סימן: $\left(\frac23-\frac25\right)x=\frac{32}3$, $\frac4{15}x=\frac{32}3$, $x=40$.

EB אופקית, ולכן היא הבסיס: $EB=16-0=16$.

הגובה הוא המרחק האנכי מ-F לישר $y=8$: $h=8-4=4$.

טעות נפוצה: לקחת כבסיס את שיעור ה-$x$ של F במקום את EB: $\frac{10\cdot4}{2}=20$. הבסיס הוא הצלע EB כולה, מ-$x=0$ עד $x=16$.

אילוץ החימר:

אילוץ זמן הצביעה: הכלים נצבעים בזה אחר זה, ולכן הזמנים מצטברים:

ובנוסף $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לכתוב שני אילוצי זמן נפרדים, $20x\le420$ ו-$30y\le420$, כאילו אפשר לצבוע אגרטל וקערה בו-זמנית.

נקודות החיתוך עם הצירים:

$4x+y=24$: $(6,0)$ ו-$(0,24)$. $2x+3y=42$: $(21,0)$ ו-$(0,14)$.

$(0,0)$ מקיימת את שני האי-שוויונות, ולכן התחום מתחת לשני הישרים, ברביע הראשון.

חיתוך הישרים: מ-$4x+y=24$ מקבלים $y=24-4x$, ומציבים:

התחום האפשרי הוא מרובע שקדקודיו $(0,0)$, $(6,0)$, $(3,12)$, $(0,14)$:

טעות נפוצה: לקחת על כל ציר את נקודת החיתוך הרחוקה, $(21,0)$ ו-$(0,24)$ - התחום המשותף מוגבל על ידי הישר הקרוב יותר לראשית: $(6,0)$ ו-$(0,14)$.

הרווח הנקי: 50 שקלים לאגרטל ו-20 שקלים לקערה.

מחפשים מקסימום.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=20x+50y$ - המקדם של $x$ (מספר האגרטלים) הוא הרווח מאגרטל.

מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי הוא 390 שקלים, כשרותם מכינה 3 אגרטלים ו-12 קערות.

טעות נפוצה: להחליט שכדאי להכין רק אגרטלים כי הרווח מאגרטל גדול יותר, ולענות 300 שקלים - הקערות צורכות מעט חימר, ולכן שילוב של שני הסוגים מנצל את החימר טוב יותר.

$A$: $y=0$, $-\frac12x+4=0$, $\frac12x=4$, $x=8$. כלומר $A(8,0)$.

$B$: $x=0$, $y=4$. כלומר $B(0,4)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים, $-\frac12x=-4\Rightarrow x=-8$, ולקבל $A(-8,0)$ - נקודה שבצד השני של ציר ה-$y$.

$BD\perp AB$. השיפוע של $AB$ הוא $-\frac12$, ולכן:

הישר עובר דרך $B(0,4)$: $y=2x+4$.

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי, $m=-2$, ולקבל $y=-2x+4$. מכפלת השיפועים אז $(-\frac12)\cdot(-2)=1$, ולא $-1$.

מציבים $x=4$ במשוואת $BD$: $y=2\cdot4+4=12$. $D(4,12)$.

טעות נפוצה: להציב במשוואת $AB$, $y=-\frac12\cdot4+4=2$, ולקבל $D(4,2)$ - נקודה על הצלע $AB$ ולא על $BD$.

$AB=BD$, ולכן המשולש שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחשב $(0-4)^2=-16$, לקבל $AB=\sqrt{48}$ ולהסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים.

ישר המקביל ל-$AB$ שיפועו $-\frac12$, והוא עובר דרך $D(4,12)$:

החיתוך עם ציר ה-$y$: $E(0,14)$.

טעות נפוצה: לפתוח את הסוגריים $-\frac12(x-4)$ כ-$-\frac12x-2$, לקבל $y=-\frac12x+10$ ו-$E(0,10)$. מינוס כפול מינוס הוא פלוס.

$BE$ על ציר ה-$y$: $BE=14-4=10$. הגובה לצלע הזו הוא המרחק של $M$ מציר ה-$y$, $|x_M|=2$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את $y_M=8$ ולקבל $\frac{10\cdot8}{2}=40$.

נפח תיבה: אורך כפול רוחב כפול גובה.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הפנים, $2(8\cdot5+8\cdot3+5\cdot3)=158$, במקום את הנפח.

שטח הבסיס: $6\cdot5=30$.

טעות נפוצה: לשכוח את השליש ולקבל $30\cdot9=270$ סמ"ק.

מארז אחד: $120+90=210$ סמ"ק.

מעגלים כלפי מטה (אין חצי מארז): 4 מארזים.

טעות נפוצה: לחלק בנפח של סבון מסוג א' בלבד, $900:120=7.5$, ולענות 7 מארזים.

טעות נפוצה: להחסיר רק את הסבונים מסוג א', $900-4\cdot120=420$ סמ"ק, ולשכוח את הסבונים מסוג ב' שבמארזים.

נפח הסבון הקטן הוא 60 סמ"ק:

($a=-6$ נפסל - אורך חיובי.)

טעות נפוצה: לשכוח את השליש: $5a^2=60$, $a^2=12$, $a\approx3.46$ ס"מ.

כותבים בכל משבצת כמה קוביות עומדות עליה, כשהשורה הקדמית (הקרובה לחץ) למטה.

השורה הקדמית: $1,0,1,0$. השורה השנייה מלפנים: $2,1,0,1$. השורה השלישית: $1,0,0,2$. השורה האחורית: $3,4,2,2$.

בדיקה: במבנה $11+3+4+2=20$ קוביות.

טעות נפוצה: לרשום את השורה הקדמית בראש התרשים ולקבל את התרשים ההפוך

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1&0&1&0\\\hline 2&1&0&1\\\hline 1&0&0&2\\\hline 3&4&2&2\\\hline\end{array}$

.

מבט מלפנים: הגובה המרבי בכל טור, משמאל לימין: $3,4,2,2$ - תרשים IV.

מבט מלמעלה: המשבצות התפוסות (השורה האחורית למעלה) - תרשים I.

מבט מימין: השורה הקדמית משמאל והאחורית מימין; הגובה המרבי בכל שורה, מלפנים לאחור: $1,2,2,4$ - תרשים II.

תרשים III (גבהים $3,2,4,2$) אינו מתאר שום מבט: הוא דומה למבט מלפנים, אבל הטור הגבוה (4) נמצא בו במקום הלא נכון.

טעות נפוצה: לבלבל בין כיווני המבט מהצד, לצפות למבט מימין עם הגבהים $4,2,2,1$ (השורה האחורית משמאל), ולכן להסיק בטעות שתרשים II אינו מתאר שום מבט.

במבט משמאל השורה האחורית נראית בצד שמאל, והשורה הקדמית בצד ימין.

הגובה המרבי בכל שורה: האחורית 4, השנייה 2, השלישית 2, הקדמית 1.

המבט משמאל (משמאל לימין): $4,2,2,1$.

טעות נפוצה: לסדר את השורות כמו במבט מימין ולקבל $1,2,2,4$ - זה המבט מימין (תרשים II).

במבט מלמעלה החדש נוספה משבצת תפוסה אחת - בשורה הקדמית, בטור הרביעי (הימני). בה חייבת לעמוד לפחות קובייה אחת.

המבט מלפנים צריך להישאר $3,4,2,2$, ולכן בטור הרביעי אפשר לבנות עד 2 קוביות, ובטור הראשון עד 3.

דוגמה: 2 קוביות במשבצת החדשה, ועוד 2 קוביות על המשבצת שבטור הראשון בשורה השלישית מלפנים (מ-1 ל-3). סך הכול $2+2=4$:

טעות נפוצה: להניח את כל 4 הקוביות במשבצת החדשה - אז בטור הרביעי יש עמודה של 4 קוביות, והמבט מלפנים משתנה (4 במקום 2).

המעטפת היא ארבע הפאות הצדדיות: שתיים של $60\times85$ ושתיים של $65\times85$:

טעות נפוצה: לחשב רק שתי פאות, $60\cdot85+65\cdot85=10625$ סמ"ר.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר (52 ס"מ) במקום הרדיוס ולקבל $\pi\cdot52^2\cdot55\approx467{,}217.7$ סמ"ק.

נפח התוף כ-$116{,}804.4$ סמ"ק, ו-$110{,}000<116{,}804.4<140{,}000$ - השורה האחרונה בטבלה: 8 ק"ג.

טעות נפוצה: להשתמש בשטח המעטפת מסעיף א (21,250) במקום בנפח, ולקבל 6 ק"ג.

הרדיוס של התוף של עומר: $26-3=23$ ס"מ, והעומק 55 ס"מ:

$80{,}000<91{,}404.6<110{,}000$, ולכן 7 ק"ג.

שימו לב: הרדיוס קטן רק ב-3 ס"מ, אבל הנפח קטן בכ-$22\%$, כי הנפח תלוי בריבוע הרדיוס.

טעות נפוצה: לשכוח את $\pi$ ולקבל $23^2\cdot55=29{,}095$ סמ"ק, ולכן 6 ק"ג.