מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 7 ברמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035372 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 372 (3 יח"ל), ברמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · התפלגות נורמלית: משקל תפוחים

משקל התפוחים שנקטפים במטע מתפלג נורמלית עם ממוצע של 180 גרם.
ידוע כי 2% מן התפוחים שוקלים יותר מ-220 גרם.
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%μ−3σμ−2σμ−σμμ+σμ+2σμ+3σ

א.

מצאו את סטיית התקן של משקל התפוחים.

ב.

מהו אחוז התפוחים ששוקלים בין 170 לבין 210 גרם?

ג.

מהו המשקל שרק 7% מהתפוחים שוקלים פחות ממנו?

ביום מסוים נקטפו במטע 2,500 תפוחים.

ד.

על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה מהתפוחים שנקטפו באותו יום שוקלים בין 170 לבין 210 גרם?

ציון התקן של משקל תפוח מסוים שנקטף באותו יום הוא −0.75-0.75−0.75.

ה.

חשבו את משקל התפוח.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

20 גרם

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית שבדף הנוסחאות, מהממוצע החוצה בכל צד יש רצועות של חצי סטיית תקן: 19%19\%19%, 15%15\%15%, 9%9\%9%, 5%5\%5%, 1.5%1.5\%1.5%, ומעבר ל-2.5S2.5S2.5S עוד 0.5%0.5\%0.5%.
מצטברים מהזנב הימני כלפי הממוצע עד שמגיעים ל-2%:
0.5%+1.5%=2%0.5\%+1.5\%=2\%0.5%+1.5%=2%
שתי הרצועות האלה נמצאות מעל השנתה xˉ+2S\bar x+2Sxˉ+2S, ולכן 220 נמצא שתי סטיות תקן מעל הממוצע:
180+2S=220⇒2S=40⇒S=20180+2S=220\quad\Rightarrow\quad 2S=40\quad\Rightarrow\quad S=20180+2S=220⇒2S=40⇒S=20
טעות נפוצה: לסמן את 220 בשנתה xˉ+2.5S\bar x+2.5Sxˉ+2.5S, כי שם מתחילה הרצועה של 0.5%0.5\%0.5%. אז 180+2.5S=220180+2.5S=220180+2.5S=220 ומקבלים S=16S=16S=16.

סעיף ב

תשובה:

62%

ממקמים את שני הערכים על השנתות (סטיית התקן 20, חצי סטיית תקן 10):
170=180−10=xˉ−0.5S,210=180+30=xˉ+1.5S170=180-10=\bar x-0.5S,\qquad 210=180+30=\bar x+1.5S170=180−10=xˉ−0.5S,210=180+30=xˉ+1.5S
בין xˉ−0.5S\bar x-0.5Sxˉ−0.5S ל-xˉ\bar xxˉ יש 19%19\%19%, ובין xˉ\bar xxˉ ל-xˉ+1.5S\bar x+1.5Sxˉ+1.5S יש 19%+15%+9%=43%19\%+15\%+9\%=43\%19%+15%+9%=43%:
19%+43%=62%19\%+43\%=62\%19%+43%=62%
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%μ−3σμ−2σμ−σμμ+σμ+2σμ+3σ
טעות נפוצה: לחשוב שההפרש של 10 גרם הוא סטיית תקן שלמה ולמקם את 170 ב-xˉ−S\bar x-Sxˉ−S. מקבלים 15%+19%+43%=77%15\%+19\%+43\%=77\%15%+19%+43%=77%.

סעיף ג

תשובה:

150 גרם

מצטברים מהזנב השמאלי כלפי הממוצע עד 7%:
0.5%+1.5%+5%=7%0.5\%+1.5\%+5\%=7\%0.5%+1.5%+5%=7%
הרצועות האלה נמצאות מתחת לשנתה xˉ−1.5S\bar x-1.5Sxˉ−1.5S, ולכן:
x=180−1.5⋅20=150x=180-1.5\cdot20=150x=180−1.5⋅20=150
טעות נפוצה: לעבוד בזנב הימני ולקבל 180+1.5⋅20=210180+1.5\cdot20=210180+1.5⋅20=210 גרם. רק 7% מהתפוחים שוקלים יותר מ-210, ואילו השאלה היא על המשקל שפחות ממנו.

סעיף ד

תשובה:

1,550 תפוחים

לפי סעיף ב, 62% מהתפוחים שוקלים בין 170 ל-210 גרם:
0.62⋅2500=15500.62\cdot2500=15500.62⋅2500=1550
טעות נפוצה: לחשב את המשלים, 0.38⋅2500=9500.38\cdot2500=9500.38⋅2500=950. אלה התפוחים שמשקלם מחוץ לתחום.

סעיף ה

תשובה:

165 גרם

z=x−xˉS⇒−0.75=x−18020z=\frac{x-\bar x}{S}\quad\Rightarrow\quad -0.75=\frac{x-180}{20}z=Sx−xˉ​⇒−0.75=20x−180​
x−180=−0.75⋅20=−15⇒x=165x-180=-0.75\cdot20=-15\quad\Rightarrow\quad x=165x−180=−0.75⋅20=−15⇒x=165
ציון התקן שלילי, ולכן התפוח קל מהממוצע.
טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של ציון התקן ולהוסיף 15 לממוצע: 180+15=195180+15=195180+15=195 גרם. ציון תקן שלילי פירושו ערך מתחת לממוצע.

שאלה 2 · גאומטריה אנליטית: טרפז ישר זווית עם צלעות בשיפוע 1

ABCDABCDABCD הוא טרפז ישר זווית (AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC, ∢ABC=90∘\sphericalangle ABC=90^\circ∢ABC=90∘).
הנקודה EEE היא אמצע הצלע ABABAB (ראו סרטוט).
נתון: A(0,4)A(0,4)A(0,4), E(4,0)E(4,0)E(4,0).
ABCDE

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ב(1).

מצאו את שיפוע הצלע ABABAB.

ב(2).

מצאו את משוואת הצלע BCBCBC.

הקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

לפניכם ארבע משוואות I–IV.
I. y=x+4y=x+4y=x+4
II. y=x−4y=x-4y=x−4
III. y=5x−56y=5x-56y=5x−56
IV. y=5x−60y=5x-60y=5x−60
אחת מן המשוואות מתאימה לישר ADADAD, ואחת מן המשוואות מתאימה לישר CDCDCD.

ד.

קבעו איזו משוואה מתאימה לישר ADADAD, ואיזו משוואה מתאימה לישר CDCDCD. נמקו את קביעותיכם.

ה(1).

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ה(2).

מצאו את שטח המשולש ECDECDECD.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

B(8,−4)B(8,-4)B(8,−4)

EEE הוא אמצע ABABAB:
4=0+xB2 ⇒ xB=80=4+yB2 ⇒ yB=−44=\frac{0+x_B}{2}\ \Rightarrow\ x_B=8\qquad 0=\frac{4+y_B}{2}\ \Rightarrow\ y_B=-44=20+xB​​ ⇒ xB​=80=24+yB​​ ⇒ yB​=−4
B(8,−4)B(8,-4)B(8,−4).
טעות נפוצה: לחשב את האמצע של AAA ו-EEE ולקבל (2,2)(2,2)(2,2) - אבל EEE הוא האמצע, ו-BBB הוא הקצה השני.

סעיף ב(1)

תשובה:

mAB=−1m_{AB}=-1mAB​=−1

mAB=−4−48−0=−88=−1m_{AB}=\frac{-4-4}{8-0}=\frac{-8}{8}=-1mAB​=8−0−4−4​=8−8​=−1
טעות נפוצה: לחסר בסדר שונה במונה ובמכנה, −4−40−8=1\frac{-4-4}{0-8}=10−8−4−4​=1, ולקבל שיפוע חיובי לצלע שיורדת.

סעיף ב(2)

תשובה:

y=x−12y=x-12y=x−12

BC⊥ABBC\perp ABBC⊥AB, ולכן mBC=−1mAB=−1−1=1m_{BC}=-\frac{1}{m_{AB}}=-\frac{1}{-1}=1mBC​=−mAB​1​=−−11​=1.
הישר עובר ב-B(8,−4)B(8,-4)B(8,−4): y+4=1⋅(x−8)y+4=1\cdot(x-8)y+4=1⋅(x−8), כלומר y=x−12y=x-12y=x−12.
טעות נפוצה: להפוך בלי להחליף סימן ולקחת mBC=−1m_{BC}=-1mBC​=−1; מקבלים y=−x+4y=-x+4y=−x+4 - זה הישר ABABAB עצמו.

סעיף ג

תשובה:

C(12,0)C(12,0)C(12,0)

מציבים y=0y=0y=0 במשוואת BCBCBC: 0=x−120=x-120=x−12, x=12x=12x=12. C(12,0)C(12,0)C(12,0).
טעות נפוצה: להציב x=0x=0x=0 ולקבל (0,−12)(0,-12)(0,−12) - נקודת החיתוך של BCBCBC עם ציר ה-yyy.

סעיף ד

תשובה:

ADADAD – משוואה I (y=x+4y=x+4y=x+4); CDCDCD – משוואה IV (y=5x−60y=5x-60y=5x−60)

AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC, ולכן שיפוע ADADAD הוא 1: מתאימות I ו-II. ADADAD עובר ב-A(0,4)A(0,4)A(0,4): ב-I y(0)=4y(0)=4y(0)=4 - מתאימה; ב-II y(0)=−4y(0)=-4y(0)=−4 - לא.
CDCDCD עובר ב-C(12,0)C(12,0)C(12,0): III: 5⋅12−56=4≠05\cdot12-56=4\ne05⋅12−56=4=0; IV: 5⋅12−60=05\cdot12-60=05⋅12−60=0 - מתאימה.
לכן ADADAD – I ו-CDCDCD – IV.
טעות נפוצה: לבחור ב-II לישר ADADAD כי היא עוברת בנקודה E(4,0)E(4,0)E(4,0) ושיפועה 1 - אבל ADADAD צריך לעבור ב-AAA, ו-II היא ישר אחר שמקביל ל-BCBCBC.

סעיף ה(1)

תשובה:

D(16,20)D(16,20)D(16,20)

משווים את ADADAD ו-CDCDCD:
x+4=5x−60⇒64=4x⇒x=16x+4=5x-60\quad\Rightarrow\quad 64=4x\quad\Rightarrow\quad x=16x+4=5x−60⇒64=4x⇒x=16
y=16+4=20y=16+4=20y=16+4=20. D(16,20)D(16,20)D(16,20).
טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב 4x=60−4=564x=60-4=564x=60−4=56; מקבלים x=14x=14x=14 ו-D(14,18)D(14,18)D(14,18) - נקודה שאינה על הישר CDCDCD (5⋅14−60=10≠185\cdot14-60=10\ne185⋅14−60=10=18).

סעיף ה(2)

תשובה:

80

ECECEC על ציר ה-xxx: EC=12−4=8EC=12-4=8EC=12−4=8. הגובה מ-DDD הוא yD=20y_D=20yD​=20.
SECD=8⋅202=80S_{ECD}=\frac{8\cdot20}{2}=80SECD​=28⋅20​=80
טעות נפוצה: לקחת כבסיס את OC=12OC=12OC=12 במקום ECECEC ולקבל 12⋅202=120\frac{12\cdot20}{2}=120212⋅20​=120.

שאלה 3 · משולש במערכת צירים: ניצבות, נקודת חיתוך ושטח מרובע

במשולש ABCABCABC הקודקודים AAA ו-CCC מונחים על ציר ה-xxx, כמתואר בסרטוט. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB.
נתון: משוואת הישר ABABAB היא y=13x+4y=\frac13x+4y=31​x+4. שיעור ה-yyy של קודקוד BBB הוא 12.
ABCEF

א(1).

מצאו את שיעורי הקודקוד AAA.

א(2).

מצאו את שיעור ה-xxx של קודקוד BBB.

נתון: שיעורי הקודקוד CCC הם (28,0)(28,0)(28,0).

ב.

הוכיחו כי הצלע ABABAB מאונכת לצלע BCBCBC.

נתון: שיפוע הישר ECECEC הוא −1-1−1.

ג(1).

מצאו את משוואת הישר ECECEC.

ג(2).

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ד.

חשבו את שטח המשולש EBCEBCEBC.

הנקודה FFF נמצאת על ציר ה-xxx כך שהקטע EFEFEF מקביל לציר ה-yyy.

ה.

חשבו את שטח המרובע FEBCFEBCFEBC.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א(1)

תשובה:

A(−12,0)A(-12,0)A(−12,0)

AAA על ציר ה-xxx: מציבים y=0y=0y=0:
0=13x+4⇒x=−120=\frac13x+4\quad\Rightarrow\quad x=-120=31​x+4⇒x=−12
טעות נפוצה: להציב x=0x=0x=0 ולקבל (0,4)(0,4)(0,4) - נקודת החיתוך עם ציר ה-yyy.

סעיף א(2)

תשובה:

x=24x=24x=24, כלומר B(24,12)B(24,12)B(24,12)

12=13x+4⇒13x=8⇒x=2412=\frac13x+4\quad\Rightarrow\quad\frac13x=8\quad\Rightarrow\quad x=2412=31​x+4⇒31​x=8⇒x=24
טעות נפוצה: להציב את 12 במקום xxx: 13⋅12+4=8\frac13\cdot12+4=831​⋅12+4=8, ולענות x=8x=8x=8.

סעיף ב

תשובה:

mAB=13m_{AB}=\frac13mAB​=31​, mBC=−3m_{BC}=-3mBC​=−3, 13⋅(−3)=−1\frac13\cdot(-3)=-131​⋅(−3)=−1

mAB=13m_{AB}=\frac13mAB​=31​ (מהמשוואה).
mBC=0−1228−24=−124=−3m_{BC}=\frac{0-12}{28-24}=\frac{-12}{4}=-3mBC​=28−240−12​=4−12​=−3
13⋅(−3)=−1\frac13\cdot(-3)=-131​⋅(−3)=−1, ולכן AB⊥BCAB\perp BCAB⊥BC.
טעות נפוצה: לחשב ΔxΔy=4−12=−13\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{4}{-12}=-\frac13ΔyΔx​=−124​=−31​, לקבל מכפלה −19-\frac19−91​ ולהסיק שאין ניצבות.

סעיף ג(1)

תשובה:

y=−x+28y=-x+28y=−x+28

y−0=−1⋅(x−28)⇒y=−x+28y-0=-1\cdot(x-28)\quad\Rightarrow\quad y=-x+28y−0=−1⋅(x−28)⇒y=−x+28
טעות נפוצה: לכתוב y=−(x+28)y=-(x+28)y=−(x+28), כלומר y=−x−28y=-x-28y=−x−28 - ישר שעובר דרך (−28,0)(-28,0)(−28,0).

סעיף ג(2)

תשובה:

E(18,10)E(18,10)E(18,10)

13x+4=−x+28⇒43x=24⇒x=18\frac13x+4=-x+28\quad\Rightarrow\quad\frac43x=24\quad\Rightarrow\quad x=1831​x+4=−x+28⇒34​x=24⇒x=18
y=−18+28=10y=-18+28=10y=−18+28=10, ולכן E(18,10)E(18,10)E(18,10).
טעות נפוצה: לאבד את האיבר −x-x−x שבאגף ימין ולפתור 13x+4=28\frac13x+4=2831​x+4=28: מקבלים x=72x=72x=72 - נקודה רחוקה מאוד מעבר ל-BBB, ולא על ECECEC.

סעיף ד

תשובה:

40

EEE על ABABAB ו-AB⊥BCAB\perp BCAB⊥BC, ולכן הזווית BBB במשולש EBCEBCEBC ישרה.
EB=(24−18)2+(12−10)2=40,BC=(28−24)2+122=160EB=\sqrt{(24-18)^2+(12-10)^2}=\sqrt{40},\qquad BC=\sqrt{(28-24)^2+12^2}=\sqrt{160}EB=(24−18)2+(12−10)2​=40​,BC=(28−24)2+122​=160​
SEBC=40⋅1602=64002=802=40S_{EBC}=\frac{\sqrt{40}\cdot\sqrt{160}}{2}=\frac{\sqrt{6400}}{2}=\frac{80}{2}=40SEBC​=240​⋅160​​=26400​​=280​=40
טעות נפוצה: לקחת את EC=200EC=\sqrt{200}EC=200​ כניצב: 40⋅2002≈44.72\frac{\sqrt{40}\cdot\sqrt{200}}{2}\approx44.72240​⋅200​​≈44.72. ECECEC הוא היתר.

סעיף ה

תשובה:

90

FFF מתחת ל-EEE על ציר ה-xxx: F(18,0)F(18,0)F(18,0).
FEBCFEBCFEBC = משולש EFCEFCEFC + משולש EBCEBCEBC. במשולש EFCEFCEFC הזווית FFF ישרה: FC=28−18=10FC=28-18=10FC=28−18=10, EF=10EF=10EF=10:
SEFC=10⋅102=50,SFEBC=50+40=90S_{EFC}=\frac{10\cdot10}{2}=50,\qquad S_{FEBC}=50+40=90SEFC​=210⋅10​=50,SFEBC​=50+40=90
טעות נפוצה: לחבר את השיעורים במקום להחסיר ולחשב FC=28+18=46FC=28+18=46FC=28+18=46: SEFC=46⋅102=230S_{EFC}=\frac{46\cdot10}{2}=230SEFC​=246⋅10​=230, ושטח כולל 270.

שאלה 4 · מודל ריבועי: רכבת הרים במנהרה

קטע ממסלול של רכבת הרים עובר במנהרה מתחת לפני הקרקע. הקטע הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא y=0.5x2−4x+6y=0.5x^2-4x+6y=0.5x2−4x+6.
הקטע מתחיל בנקודה PPP שעל ציר ה-yyy, ונכנס אל מתחת לפני הקרקע בין הנקודות AAA ו-BBB שעל ציר ה-xxx, כמתואר בסרטוט.
ציר ה-xxx מונח על פני הקרקע ומייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה שמתחת ל-PPP, וציר ה-yyy מייצג את גובה המסלול (במטרים) ביחס לפני הקרקע.
PAB

א.

מצאו את אורך הקטע ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה הנמוכה ביותר במסלול.

ג.

מצאו בעבור אילו ערכים של xxx נסעה הרכבת במגמת ירידה.

ד.

מצאו בעבור אילו ערכים של xxx עברה הרכבת בנקודות ששיעור ה-yyy שלהן הוא −1.5-1.5−1.5.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

4 מטרים

מציבים y=0y=0y=0:
0.5x2−4x+6=0/⋅2⇒x2−8x+12=00.5x^2-4x+6=0\quad /\cdot2\quad\Rightarrow\quad x^2-8x+12=00.5x2−4x+6=0/⋅2⇒x2−8x+12=0
x1,2=8±64−482=8±42⇒x=2 או x=6x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{2}=\frac{8\pm4}{2}\quad\Rightarrow\quad x=2\ \text{או}\ x=6x1,2​=28±64−48​​=28±4​⇒x=2 או x=6
A(2,0)A(2,0)A(2,0), B(6,0)B(6,0)B(6,0), ולכן AB=6−2=4AB=6-2=4AB=6−2=4 מטרים.
טעות נפוצה: לענות 6 מטרים - זה שיעור ה-xxx של BBB, כלומר המרחק מהראשית, לא אורך הקטע ABABAB.

סעיף ב

תשובה:

(4,−2)(4,-2)(4,−2)

x=−b2a=−−42⋅0.5=4x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot0.5}=4x=−2ab​=−2⋅0.5−4​=4
y=0.5⋅16−4⋅4+6=8−16+6=−2y=0.5\cdot16-4\cdot4+6=8-16+6=-2y=0.5⋅16−4⋅4+6=8−16+6=−2
הנקודה הנמוכה ביותר: (4,−2)(4,-2)(4,−2).
טעות נפוצה: לשכוח את המינוס ולקבל x=−4x=-4x=−4, ואז y=8+16+6=30y=8+16+6=30y=8+16+6=30 - נקודה (−4,30)(-4,30)(−4,30), שאינה על המסלול.

סעיף ג

תשובה:

0<x<40<x<40<x<4

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה (a=0.5>0a=0.5>0a=0.5>0), ולכן היא יורדת עד הקדקוד (x=4x=4x=4) ועולה אחריו.
הקטע מתחיל ב-x=0x=0x=0, ולכן הרכבת נסעה במגמת ירידה בתחום 0<x<40<x<40<x<4.
טעות נפוצה: לענות 2<x<62<x<62<x<6, התחום שבו המסלול מתחת לפני הקרקע - אבל בחלקו השני של התחום הרכבת כבר עולה.

סעיף ד

תשובה:

x=3x=3x=3 ו-x=5x=5x=5

0.5x2−4x+6=−1.5⇒0.5x2−4x+7.5=0/⋅2⇒x2−8x+15=00.5x^2-4x+6=-1.5\quad\Rightarrow\quad 0.5x^2-4x+7.5=0\quad /\cdot2\quad\Rightarrow\quad x^2-8x+15=00.5x2−4x+6=−1.5⇒0.5x2−4x+7.5=0/⋅2⇒x2−8x+15=0
x1,2=8±64−602=8±22⇒x=3 או x=5x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-60}}{2}=\frac{8\pm2}{2}\quad\Rightarrow\quad x=3\ \text{או}\ x=5x1,2​=28±64−60​​=28±2​⇒x=3 או x=5
טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן (0.5x2−4x+4.5=00.5x^2-4x+4.5=00.5x2−4x+4.5=0), ואז x=4±7x=4\pm\sqrt7x=4±7​, כלומר x≈1.35x\approx1.35x≈1.35 או x≈6.65x\approx6.65x≈6.65 - נקודות שבהן המסלול מעל הקרקע.

שאלה 5 · ראייה מרחבית: שלושה מבנים והשוואת מבטים

בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה I הבנוי מקוביות זהות.
כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.
החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים.
‫מבנה I‬מלפנים

א.

השלימו בתבנית שלפניכם את תרשים המספרים של מבנה I.

ב.

סרטטו את המבט מימין של מבנה I.

בסרטוט שלפניכם מוצגים שני מבנים II, III הבנויים מקוביות זהות. כל קובייה בכל מבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ בכל סרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים.
‫מבנה II‬מלפנים
‫מבנה III‬מלפנים
ענו על התת-סעיפים (1)–(3) בנוגע למבנים I, II, III.

ג(1).

באיזה מן המבנים מספר הקוביות הוא הקטן ביותר? נמקו את תשובתכם.

ג(2).

באילו שני מבנים המבט מלמעלה זהה?

ג(3).

באילו שני מבנים המבט מימין זהה?

הוסיפו למבנה III את מספר הקוביות הקטן ביותר האפשרי כך שהמבט מלפנים של שלושת המבנים יהיה זהה.

ד(1).

כמה קוביות הוסיפו למבנה III?

ד(2).

סרטטו תרשים מספרים אפשרי של מבנה III לאחר ההוספה.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

3 3 2 2 / 3 2 2 1 / 2 1 1 0 / 2 0 1 0
(השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית, והשורה התחתונה היא השורה הקדמית - הקרובה לחץ.)
3322322121121מבט מלמעלה

בכל משבצת כותבים כמה קוביות עומדות בה; השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית.
השורה הקדמית, משמאל לימין: 2 0 1 02\ 0\ 1\ 02 0 1 0.
השורה השנייה: 2 1 1 02\ 1\ 1\ 02 1 1 0.
השורה השלישית: 3 2 2 13\ 2\ 2\ 13 2 2 1.
השורה האחורית: 3 3 2 23\ 3\ 2\ 23 3 2 2.
טעות נפוצה: לכתוב את השורה הקדמית בראש התרשים (תמונת ראי של התרשים): 2 0 1 0 / 2 1 1 0 / 3 2 2 1 / 3 3 2 22\,0\,1\,0\ /\ 2\,1\,1\,0\ /\ 3\,2\,2\,1\ /\ 3\,3\,2\,22010 / 2110 / 3221 / 3322 - בתרשים מספרים השורה הקרובה למתבונן היא התחתונה.

סעיף ב

תשובה:

ארבע עמודות; משמאל לימין (מהשורה הקדמית לאחורית) בגבהים 2, 2, 3, 3
מבט מימין

במבט מימין השורה הקדמית בצד שמאל והאחורית בצד ימין, וגובה כל עמודה הוא הגובה המרבי בשורה:
max⁡(2,0,1,0)=2,max⁡(2,1,1,0)=2,max⁡(3,2,2,1)=3,max⁡(3,3,2,2)=3\max(2,0,1,0)=2,\quad \max(2,1,1,0)=2,\quad \max(3,2,2,1)=3,\quad \max(3,3,2,2)=3max(2,0,1,0)=2,max(2,1,1,0)=2,max(3,2,2,1)=3,max(3,3,2,2)=3
טעות נפוצה: לצייר את המבט מלפנים במקום מימין - הגובה המרבי בכל עמודה, 3,3,2,23,3,2,23,3,2,2.

סעיף ג(1)

תשובה:

במבנה III (20 קוביות; במבנה I - 25, במבנה II - 21)

תרשימי המספרים (מהשורה האחורית לקדמית):
מבנה I: 3 3 2 2 / 3 2 2 1 / 2 1 1 0 / 2 0 1 03\,3\,2\,2\ /\ 3\,2\,2\,1\ /\ 2\,1\,1\,0\ /\ 2\,0\,1\,03322 / 3221 / 2110 / 2010 - 10+8+4+3=2510+8+4+3=2510+8+4+3=25.
מבנה II: 3 2 2 1 / 2 3 1 2 / 1 1 1 0 / 1 0 0 13\,2\,2\,1\ /\ 2\,3\,1\,2\ /\ 1\,1\,1\,0\ /\ 1\,0\,0\,13221 / 2312 / 1110 / 1001 - 8+8+3+2=218+8+3+2=218+8+3+2=21.
מבנה III: 3 2 1 1 / 3 1 1 1 / 2 1 1 0 / 2 0 0 13\,2\,1\,1\ /\ 3\,1\,1\,1\ /\ 2\,1\,1\,0\ /\ 2\,0\,0\,13211 / 3111 / 2110 / 2001 - 7+6+4+3=207+6+4+3=207+6+4+3=20.
הקטן ביותר: מבנה III.
טעות נפוצה: לספור משבצות תפוסות במקום קוביות - בכל אחד משלושת המבנים תפוסות 13 משבצות - ולענות שבכל המבנים אותו מספר קוביות.

סעיף ג(2)

תשובה:

במבנים II, III

המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות תפוסות.
במבנים II ו-III: שתי השורות האחוריות מלאות, בשורה השנייה מלפנים תפוסות שלוש המשבצות השמאליות, ובשורה הקדמית - המשבצת השמאלית והימנית.
במבנה I השורה הקדמית תפוסה בעמודות 1 ו-3 (ולא 1 ו-4) - ולכן המבט שלו מלמעלה שונה.
טעות נפוצה: לחשוב שהמבט מלמעלה תלוי בגובה העמודות, להשוות את תרשימי המספרים (שאין שניים זהים מהם), ולענות שאין שני מבנים עם מבט זהה מלמעלה.

סעיף ג(3)

תשובה:

במבנים I, III

הגובה המרבי בכל שורה, מהקדמית לאחורית:
מבנה I: 2, 2, 3, 32,\ 2,\ 3,\ 32, 2, 3, 3.
מבנה II: 1, 1, 3, 31,\ 1,\ 3,\ 31, 1, 3, 3.
מבנה III: max⁡(2,0,0,1)=2\max(2,0,0,1)=2max(2,0,0,1)=2, max⁡(2,1,1,0)=2\max(2,1,1,0)=2max(2,1,1,0)=2, 333, 333 - כלומר 2, 2, 3, 32,\ 2,\ 3,\ 32, 2, 3, 3.
זהה במבנים I ו-III.
טעות נפוצה: לחשב את הגובה המרבי בכל עמודה במקום בכל שורה - זה המבט מלפנים, 3,3,2,23,3,2,23,3,2,2 במבנים I ו-II - ולענות I, II.

סעיף ד(1)

תשובה:

3 קוביות

המבט מלפנים (הגובה המרבי בכל עמודה):
מבנה I: 3,3,2,23,3,2,23,3,2,2; מבנה II: 3,3,2,23,3,2,23,3,2,2; מבנה III: 3, 2, 1, 13,\ 2,\ 1,\ 13, 2, 1, 1.
במבנה III צריך להגביה את העמודה השנייה מ-2 ל-3, את העמודה השלישית מ-1 ל-2 ואת העמודה הרביעית מ-1 ל-2. בכל עמודה מניחים קובייה אחת על המשבצת הגבוהה בה: סך הכול 3 קוביות.
טעות נפוצה: להשוות את מספר הקוביות למבנה II, 21−20=121-20=121−20=1, ולענות קובייה אחת.

סעיף ד(2)

תשובה:

לדוגמה: 3 3 2 2 / 3 1 1 1 / 2 1 1 0 / 2 0 0 1
(השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית, והשורה התחתונה היא השורה הקדמית - הקרובה לחץ.)
3322311121121מבט מלמעלה
(את הקובייה של העמודה השלישית אפשר להניח על כל אחת משלוש המשבצות האחוריות שבה, ואת הקובייה של העמודה הרביעית - על כל משבצת בגובה 1 בה.)

בעמודה השנייה רק המשבצת האחורית בגובה 2 - מניחים עליה קובייה (3). בעמודה השלישית ובעמודה הרביעית כל המשבצות בגובה 1 או 0 - מניחים בכל אחת קובייה על משבצת בגובה 1, למשל האחורית (2):
3 3 2 2 / 3 1 1 1 / 2 1 1 0 / 2 0 0 13\ 3\ 2\ 2\ /\ 3\ 1\ 1\ 1\ /\ 2\ 1\ 1\ 0\ /\ 2\ 0\ 0\ 13 3 2 2 / 3 1 1 1 / 2 1 1 0 / 2 0 0 1
בדיקה: הגבהים המרביים בעמודות - 3,3,2,23,3,2,23,3,2,2.
טעות נפוצה: להוסיף קובייה בעמודה השלישית על המשבצת הקדמית הריקה (2 0 1 12\,0\,1\,12011 בשורה הקדמית) - הגובה המרבי בעמודה נשאר 1, והמבט מלפנים לא השתנה.

שאלה 6 · גופים במרחב: ארון אחסון וצנצנות

ארון האחסון במזווה של משפחת כהן הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע.
נתון כי גובה הארון הוא 200 ס"מ ואורך צלע הבסיס הוא 40 ס"מ (ראו סרטוט).
ABCDEFGH

א.

חשבו את נפח הארון.

בארון זה הגובה בין שני מדפים סמוכים המוצבים זה מעל זה הוא 16%16\%16% מגובה הארון.

ב.

חשבו את הגובה שבין שני מדפים סמוכים בארון.

דנה רוצה לאחסן בארון קמח בצנצנת שאפשר להכניס בגובה שבין שני מדפים סמוכים.
יש לה שתי צנצנות בצורת גליל - צנצנת א' וצנצנת ב'.
רדיוס הבסיס של צנצנת א' הוא 6 ס"מ והנפח שלה 360π360\pi360π סמ"ק.
בסרטוט: משמאל צנצנת ב' (הרדיוס OKOKOK), מימין צנצנת א' (הרדיוס QRQRQR).
OKLMNQRSTU

ג.

חשבו את הגובה של צנצנת א'.

רדיוס הבסיס של צנצנת ב' הוא 8 ס"מ ושטח המעטפת שלה 480π480\pi480π סמ"ר.

ד.

קבעו אם אפשר להכניס את צנצנת ב' בגובה שבין שני מדפים סמוכים בארון. נמקו את קביעתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

320,000 סמ"ק

V=40⋅40⋅200=1600⋅200=320,000V=40\cdot40\cdot200=1600\cdot200=320{,}000V=40⋅40⋅200=1600⋅200=320,000
טעות נפוצה: לכפול רק צלע אחת בגובה: 40⋅200=8,00040\cdot200=8{,}00040⋅200=8,000 - זה שטח של פאה, לא נפח.

סעיף ב

תשובה:

32 ס"מ

0.16⋅200=320.16\cdot200=320.16⋅200=32
טעות נפוצה: לחלק ב-16 במקום לחשב 16%16\%16%: 20016=12.5\frac{200}{16}=12.516200​=12.5 ס"מ.

סעיף ג

תשובה:

10 ס"מ

V=πr2hV=\pi r^2hV=πr2h:
π⋅62⋅h=360π ⇒ 36h=360 ⇒ h=10\pi\cdot6^2\cdot h=360\pi\ \Rightarrow\ 36h=360\ \Rightarrow\ h=10π⋅62⋅h=360π ⇒ 36h=360 ⇒ h=10
טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע של הרדיוס: 6h=3606h=3606h=360, h=60h=60h=60 ס"מ.

סעיף ד

תשובה:

כן; גובה צנצנת ב' הוא 30 ס"מ, פחות מ-32 ס"מ

M=2πrhM=2\pi rhM=2πrh:
2π⋅8⋅h=480π ⇒ 16h=480 ⇒ h=302\pi\cdot8\cdot h=480\pi\ \Rightarrow\ 16h=480\ \Rightarrow\ h=302π⋅8⋅h=480π ⇒ 16h=480 ⇒ h=30
30<3230<3230<32, ולכן אפשר להכניס את צנצנת ב' בין שני מדפים סמוכים.
טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 בנוסחת המעטפת: 8h=4808h=4808h=480, h=60h=60h=60 - ולקבוע שהצנצנת לא נכנסת.

שאלה 1 · התפלגות נורמלית: משקל תפוחים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 2 · גאומטריה אנליטית: טרפז ישר זווית עם צלעות בשיפוע 1

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה(1)

סעיף ה(2)

שאלה 3 · משולש במערכת צירים: ניצבות, נקודת חיתוך ושטח מרובע

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 4 · מודל ריבועי: רכבת הרים במנהרה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 5 · ראייה מרחבית: שלושה מבנים והשוואת מבטים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ג(3)

סעיף ד(1)

סעיף ד(2)

שאלה 6 · גופים במרחב: ארון אחסון וצנצנות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד