בגרות במתמטיקה 372 - חורף 2023

נמקם את 92 על שנתות הגרף: $92-80=12$, כלומר 92 נמצא בדיוק סטיית תקן אחת מעל הממוצע ($\bar x+S$).

העצים שמניבים יותר מ-92 ק"ג נמצאים מימין לשנתה $\bar x+S$. סוכמים את כל הרצועות שמימין לה:

טעות נפוצה: לסכום את הרצועות שבין הממוצע ל-92 ($19\%+15\%$) ולענות 34% - זה אחוז העצים שמניבים בין 80 ל-92 ק"ג, ולא יותר מ-92 ק"ג.

לפי סעיף א, 48 העצים האלה הם 16% מכל העצים במטע. נסמן ב-$N$ את מספר העצים במטע:

במטע יש 300 עצים.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $48\cdot0.16\approx7.7$ - תוצאה קטנה מ-48 עצמם, ולכן ברור שהפעולה הפוכה.

ציון התקן חיובי: העץ מניב יותר מהממוצע, ב-1.25 סטיות תקן.

טעות נפוצה: להחליף את סדר החיסור במונה, $\frac{80-95}{12}$, ולקבל $-1.25$ - ציון תקן שלילי, שמתאים לעץ שמניב פחות מהממוצע.

מציבים בנוסחת ציון התקן ומחלצים את $x$:

העץ השני מניב 104 ק"ג תפוחים.

טעות נפוצה: לחשב רק $2\cdot12=24$ ולשכוח להוסיף את הממוצע - 24 ק"ג הוא המרחק מהממוצע, לא כמות התפוחים.

כל משאב נותן אי-שוויון: מספר המנות כפול הכמות במנה אחת, מכל סוג.

קלוריות - "לכל היותר" 1,792, ומחלקים ב-56:

חלבון - "לפחות" 135, ומחלקים ב-15:

מספר מנות אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$ (ו-$x$, $y$ שלמים).

טעות נפוצה: להפוך את כיוון אי-השוויון של החלבון ולכתוב $45x+15y\le135$ (כלומר $3x+y\le9$) - "לפחות" פירושו $\ge$.

מסרטטים כל ישר לפי נקודות החיתוך שלו עם הצירים:

$4x+y=32$ עובר דרך $(8,0)$ ו-$(0,32)$; $3x+y=9$ עובר דרך $(3,0)$ ו-$(0,9)$.

בוחרים צד בעזרת הראשית $(0,0)$: $4\cdot0+0\le32$ נכון, ולכן התחום מתחת לישר $4x+y=32$ (בצד של הראשית); $3\cdot0+0\ge9$ לא נכון, ולכן התחום מעל הישר $3x+y=9$.

יחד עם $x\ge0$, $y\ge0$ התחום הוא המרובע שבין שני הישרים ברביע הראשון:

קדקודי התחום: $(3,0)$, $(8,0)$, $(0,32)$, $(0,9)$.

טעות נפוצה: לסמן את הצד של הראשית גם עבור $3x+y\ge9$, ולקבל את המשולש שקדקודיו $(0,0)$, $(3,0)$, $(0,9)$ - תפריטים שאין בהם מספיק חלבון.

המחיר הכולל הוא מספר מנות הבשר כפול 26 ועוד מספר מנות הסלט כפול 12:

רונן רוצה לשלם כמה שפחות, ולכן מחפשים את הערך המינימלי של $P$.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=12x+26y$. $x$ הוא מספר מנות הבשר, ולכן הוא מוכפל במחיר של מנת בשר.

התחום סגור, ולכן הערך הנמוך ביותר של $P$ מתקבל באחד מקדקודי התחום. מציבים:

המחיר הנמוך ביותר, 78 שקלים, מתקבל בקדקוד $(3,0)$: 3 מנות בשר ו-0 מנות סלט ירוק.

טעות נפוצה: להציב גם את הראשית $(0,0)$ ולקבל מחיר 0 שקלים - אבל $(0,0)$ אינה בתחום האפשרי, כי אין בה חלבון כלל.

פונקציית המטרה החדשה: $P=37x+12y$. האילוצים לא השתנו, ולכן התחום והקדקודים אותם קדקודים. מציבים שוב:

המינימום עבר לקדקוד $(0,9)$, 108 שקלים. כן, חל שינוי: רונן צריך לאכול 0 מנות בשר ו-9 מנות סלט ירוק.

טעות נפוצה: לחשב מחדש רק את הקדקוד הקודם $(3,0)$ (111 שקלים) ולהסיק שהתפריט לא השתנה ורק המחיר עלה. שינוי בפונקציית המטרה מחייב להשוות מחדש את כל הקדקודים.

$A$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$: $\frac14x+2=0$, $\frac14x=-2$, $x=-8$. כלומר $A(-8,0)$.

$B$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=\frac14\cdot0+2=2$. כלומר $B(0,2)$.

טעות נפוצה: לפתור $\frac14x=-2$ כ-$x=-\frac12$ (לחלק ב-4 במקום לכפול), ולקבל $A\left(-\frac12,0\right)$.

$BD\perp AB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$. השיפוע של $AB$ הוא $\frac14$, ולכן:

הישר עובר דרך $B(0,2)$, שהיא נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי בלי לשנות סימן, $m=4$, ולקבל $y=4x+2$ - שני ישרים עם שיפועים חיוביים אינם מאונכים.

$D$ על הצלע $BD$, ולכן מציבים $x=-2$ במשוואה $y=-4x+2$:

$D(-2,10)$.

טעות נפוצה: להציב את $x=-2$ במשוואת $AB$, $y=\frac14\cdot(-2)+2=1.5$ - אבל $D$ אינו על הצלע $AB$.

מחשבים את אורכי הניצבים בנוסחת המרחק:

$AB=BD$, ולכן המשולש $ABD$ שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחשב $(-2-0)^2=-4$ ולקבל $BD=\sqrt{60}$, ואז להסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

ישר המקביל ל-$AB$ שיפועו $\frac14$. הוא עובר דרך $D(-2,10)$:

נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$): $E(0,10.5)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב $y-10=\frac14(x-2)$, ואז $y=\frac14x+9.5$ ו-$E(0,9.5)$. הנקודה היא $(-2,10)$, ולכן בסוגריים $x-(-2)=x+2$.

אמצע הקטע $DB$:

הצלע $BE$ מונחת על ציר ה-$y$: $BE=10.5-2=8.5$.

הגובה לצלע $BE$ הוא המרחק של $M$ מציר ה-$y$, כלומר $|x_M|=1$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את שיעור ה-$y$ של $M$ ($6$) ולקבל $\frac{8.5\cdot6}{2}=25.5$. הגובה לצלע שעל ציר ה-$y$ הוא מרחק אופקי.

נפח חרוט: $V=\frac{\pi r^2h}{3}$. מציבים $r=4$, $h=12$:

דרושים כ-201.06 סמ"ק גלידה.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-3 (נוסחת הגליל) ולקבל $192\pi\approx603.19$ סמ"ק - פי 3 מהנפח.

הרדיוס, הגובה והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית, והקו היוצר הוא היתר:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{128}\approx11.31$ - אבל הקו היוצר הוא היתר, ולכן הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש.

הגביע פתוח מלמעלה (שם מכניסים את הגלידה), ולכן הנייר הוא רק מעטפת החרוט, בלי בסיס.

טעות נפוצה: לחשב שטח פנים - להוסיף את שטח הבסיס $\pi\cdot4^2\approx50.27$ - ולקבל כ-209.22 סמ"ר. לגביע אין מכסה.

הגובה של גביע אקסטרים: $12\cdot1.25=15$ ס"מ, והרדיוס 4 ס"מ.

בהזמנה 48 גביעים:

טעות נפוצה: לעצור אחרי הנפח של גביע אחד ולענות כ-251.33 סמ"ק - השאלה היא על כל 48 הגביעים.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה (שמאלית, אמצעית, ימנית) את הגובה המרבי לאורך כל העומק. במבט מימין רואים בכל שורה את הגובה המרבי, והצופה שעומד מימין רואה את השורה הקדמית בצד שמאל של התרשים.

התרשים מתאר גבהים 1, 2, 1 (משמאל לימין).

במבנה 1 חלק מהשורה האחורית מוסתר מאחורי העמודות של 2 קוביות, אבל אילו היו שם 2 קוביות או יותר, היינו רואים אותן מעל השורה האמצעית; לכן יש שם לכל היותר קובייה אחת, והיא לא משנה אף מבט.

מבנה 1: מלפנים - עמודה שמאלית 2, אמצעית 1, ימנית 2, כלומר 2, 1, 2; מימין - שורה קדמית 1, אמצעית 2, אחורית 1, כלומר 1, 2, 1 (משמאל לימין בתרשים).

מבנה 2: מלפנים - עמודה שמאלית 1, אמצעית 2, ימנית 1, כלומר 1, 2, 1; מימין - שורה קדמית 1, אמצעית 1, אחורית 2, כלומר 1, 1, 2 (משמאל לימין בתרשים).

לכן במבנה 1 התרשים הוא מבט מימין ואינו מבט מלפנים, ובמבנה 2 הוא מבט מלפנים ואינו מבט מימין.

טעות נפוצה: לקבוע את המבט מלפנים רק לפי השורה הקדמית. במבנה 2 השורה הקדמית היא 1, 0, 1, ומכאן המסקנה השגויה שהתרשים אינו מבט מלפנים של מבנה 2 - אבל העמודה הגבוהה שבשורה האחורית נראית מלפנים מעל המשבצת הריקה.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת כמה קוביות מונחות בה זו על זו. קוראים את מבנה 2 מהסרטוט, שורה אחרי שורה:

שורה קדמית: קובייה בעמודה השמאלית ובעמודה הימנית; המשבצת האמצעית ריקה - רואים בה את המשטח.

שורה אמצעית: קובייה אחת בכל משבצת.

שורה אחורית: בעמודה השמאלית קובייה אחת, באמצעית עמודה של 2 קוביות, והמשבצת הימנית ריקה.

סך הכול 8 קוביות.

טעות נפוצה: לכתוב 1 בכל משבצת שיש בה קובייה - זה מבט מלמעלה, ולא תרשים מספרים; כך הקובייה השנייה בעמודה האמצעית-אחורית נעלמת.

במבט משמאל רואים בכל שורה את הגובה המרבי שלה: שורה אחורית 2, שורה אמצעית 1, שורה קדמית 1.

הצופה עומד משמאל למבנה ופניו ימינה, ולכן השורה האחורית נמצאת בצד שמאל שלו והשורה הקדמית בצד ימין.

טעות נפוצה: לסדר את השורות כמו במבט מימין (הקדמית משמאל) ולקבל גבהים 1, 1, 2 - זה המבט מימין, שהוא תמונת ראי של המבט משמאל.

לפי תרשים המספרים יש במבנה 2 8 קוביות זהות.

הנפח של קובייה אחת: 27 סמ"ק.

טעות נפוצה: לספור את המשבצות התפוסות (7) במקום את הקוביות, ולקבל $\frac{216}{7}\approx30.86$ סמ"ק - בעמודה של שתי קוביות יש שתי קוביות.

נפח קובייה הוא $a^3$, ולכן $a^3=27$:

טעות נפוצה: להוציא שורש ריבועי, $\sqrt{27}\approx5.2$ ס"מ. שורש ריבועי מתאים לשטח של פאה, ולנפח מתאים שורש שלישי.