בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2022 מועד א'

0.5% מן התינוקות שוקלים פחות מ-2,000 גרם. בגרף, 0.5% הוא הזנב השמאלי הקיצוני - השטח שמתחת לשנתה $\bar x-2.5S$.

לכן 2,000 נמצא 2.5 סטיות תקן מתחת לממוצע:

סטיית התקן: 600 גרם.

טעות נפוצה: לקחת את הקצה של רצועת ה-1.5% במקום את הקצה של רצועת ה-0.5%, כלומר לחשוב ש-2,000 נמצא 2 סטיות תקן מתחת לממוצע: $2S=1500$, ומקבלים $S=750$.

ממקמים את שני הערכים על שנתות הגרף בעזרת $S=600$:

בין $\bar x-1.5S$ ל-$\bar x+S$ יש חמש רצועות של חצי סטיית תקן:

מספר התינוקות: $0.77\cdot400=308$.

טעות נפוצה: לספור את רצועת ה-19% רק פעם אחת, כאילו יש רצועה אחת סביב הממוצע: $9\%+15\%+19\%+15\%=58\%$, ומקבלים $0.58\cdot400=232$ תינוקות.

התינוקות הכבדים ביותר נמצאים בזנב הימני של הגרף. צוברים רצועות מהקצה הימני עד שמגיעים ל-2%:

שתי הרצועות האלה נמצאות מעל השנתה $\bar x+2S$, ולכן הסף הוא:

החל ממשקל 4,700 גרם.

טעות נפוצה: לחפש את הסף בצד השמאלי של הגרף ולענות $\bar x-2S=2300$ גרם - מתחת ל-2,300 נמצאים 2% הקלים ביותר, לא הכבדים ביותר.

אילוץ הבצק: פיצה משפחתית צורכת 300 גרם, פיצה אישית 100 גרם, ויש לכל היותר 2,700 גרם:

אילוץ הזמן: הפיצות נאפות בזו אחר זו, ולכן זמני האפייה מצטברים:

מספר הפיצות אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לחשוב שאפשר לאפות את שני הסוגים במקביל ולכתוב שני אילוצי זמן נפרדים, $12x\le120$ ו-$8y\le120$. המשפט "רק אחרי שמסתיימת אפיית הפיצה הקודמת" אומר שהזמנים מצטברים לאילוץ אחד.

מסרטטים כל ישר לפי נקודות החיתוך שלו עם הצירים:

$3x+y=27$ עובר דרך $(9,0)$ ו-$(0,27)$; $3x+2y=30$ עובר דרך $(10,0)$ ו-$(0,15)$.

הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שני האי-שוויונות, ולכן התחום נמצא מתחת לשני הישרים, ברביע הראשון.

הקדקוד הפנימי הוא נקודת החיתוך של הישרים. מחסרים את המשוואות:

התחום האפשרי הוא מרובע שקדקודיו $(0,0)$, $(9,0)$, $(8,3)$, $(0,15)$:

טעות נפוצה: לקחת על כל ציר את נקודת החיתוך הרחוקה יותר, $(10,0)$ ו-$(0,27)$, ולסרטט מרובע גדול מדי. התחום המשותף מוגבל על כל ציר על ידי הישר הקרוב יותר לראשית: $(9,0)$ ו-$(0,15)$.

המטרה היא הרווח הנקי: 25 שקלים לכל פיצה משפחתית ו-18 שקלים לכל פיצה אישית.

מחפשים את הערך המקסימלי של $P$.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=18x+25y$ - $x$ הוא מספר הפיצות המשפחתיות, ולכן המקדם שלו הוא הרווח מפיצה משפחתית, 25.

התחום סגור, ולכן המקסימום מתקבל באחד הקדקודים. מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי הוא 270 שקלים, כשנדב מכין 15 פיצות אישיות ואף פיצה משפחתית.

טעות נפוצה: להניח שהמקסימום תמיד בנקודת החיתוך של שני הישרים ולענות 254 שקלים, בלי להציב את כל הקדקודים.

$C$ נמצא על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$. מציבים במשוואת $AC$:

$C(-6,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום $y=0$ ולקבל $(0,-2)$ - זו נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה-$y$.

$A$ היא נקודת החיתוך של $AC$ ו-$AB$. משווים:

כופלים את שני האגפים ב-3:

$y=2\cdot3-9=-3$, ולכן $A(3,-3)$.

טעות נפוצה: לכפול ב-3 רק את האגף השמאלי: $-x-6=2x-9$, ומקבלים $x=1$ ו-$A(1,-7)$.

$B$ נמצא על הצלע $AB$, ולכן מציבים $x=8$ במשוואת $AB$:

$B(8,7)$.

טעות נפוצה: להציב במשוואת $AC$ ולקבל $y=-\frac83-2=-\frac{14}3$ - $B$ אינו נמצא על $AC$.

שיפוע $BC$ לפי $B(8,7)$ ו-$C(-6,0)$:

משוואת ישר דרך $C(-6,0)$:

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$ ($\frac{14}7=2$) ולקבל $y=2x+12$.

$E$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$. מציבים במשוואת $BC$: $y=\frac12\cdot0+3=3$.

$E(0,3)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במשוואת $AB$ במקום $BC$ ולקבל $(0,-9)$.

שיפוע $AE$ לפי $A(3,-3)$ ו-$E(0,3)$:

מכפלת השיפועים היא $-1$, ולכן $AE\perp BC$.

טעות נפוצה: לערבב את סדר הנקודות בין המונה למכנה, $\frac{3-(-3)}{3-0}=2$, ולקבל מכפלה $2\cdot\frac12=1$ - "לא מאונך".

$E$ נמצאת על $BC$, ולכן לפי ה(2) $AE\perp CE$: המשולש $ACE$ ישר זווית ב-$E$, ו-$AE$, $CE$ הם הניצבים.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולענות 45 - מכפלת הניצבים היא שטח המלבן שהמשולש הוא חציו.

רדיוס הבסיס הוא חצי מהקוטר: $DC=1.2$ ס"מ.

המשולש $ADC$ ישר זווית ב-$D$ (הגובה מאונך לבסיס). לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס: $\sqrt{81+2.4^2}=\sqrt{86.76}\approx9.31$ ס"מ.

שטח המעטפת של חרוט: $M=\pi rl$, כאשר $l$ הוא הקו היוצר.

שטח המעטפת: כ-34.23 סמ"ר.

טעות נפוצה: להוסיף את שטח הבסיס ($\pi\cdot1.2^2\approx4.52$) ולענות כ-38.75 סמ"ר - זה שטח הפנים, ולא שטח המעטפת.

החלל שבתוך חרוט הבצק הוא בדיוק הצורה של תבנית המתכת, ולכן נפח הקרם שווה לנפח החרוט:

נפח הקרם: כ-13.57 סמ"ק.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ (לחשב כמו נפח גליל): $\pi\cdot1.44\cdot9\approx40.72$ סמ"ק.

"גדול ב-10%" פירושו 110% מהקוטר הקודם, כלומר כפול 1.1:

טעות נפוצה: לחשב את ה-10% מהרדיוס ($1.2\cdot0.1=0.12$) ולהוסיף לקוטר: $2.4+0.12=2.52$ ס"מ - האחוז נמדד מהקוטר עצמו.

"קטן ב-10%" פירושו 90% מהגובה הקודם, כלומר כפול 0.9:

טעות נפוצה: לחלק ב-1.1 במקום לכפול ב-0.9 ("קטן ב-10%" כהפך של "גדול ב-10%"): $9:1.1\approx8.18$ ס"מ.

רדיוס התבנית החדשה: $\frac{2.64}2=1.32$ ס"מ. הנפח החדש:

$14.78>13.57$, ולכן מרים צודקת.

הסבר: הרדיוס מופיע בנוסחה בריבוע, ולכן הגדלה של 10% ברדיוס מגדילה את הנפח פי $1.1^2=1.21$, וההקטנה של הגובה מקטינה רק פי 0.9: $1.21\cdot0.9=1.089>1$.

טעות נפוצה: לחשוב ש"10% יותר ו-10% פחות מתקזזים", ולכן הנפח לא השתנה ומרים אינה צודקת - הרדיוס משפיע על הנפח בריבוע.

מסתכלים בכיוון החץ. בכל אחת משלוש העמודות (שמאל, אמצע, ימין) רואים את הגובה של הערימה הגבוהה ביותר בעמודה:

בעמודה השמאלית הערימה האחורית בגובה 3; בעמודה האמצעית הערימה האמצעית בגובה 2; בעמודה הימנית הערימות בגובה 1.

טעות נפוצה: לסכם את כל הקוביות שבעמודה ולצייר עמודות בגובה 7, 2, 2 - מלפנים רואים בכל קומה רק את הקובייה הקדמית, והקוביות שמאחוריה מוסתרות.

מלמעלה רואים כל משבצת שעומדת עליה לפחות קובייה אחת, בלי קשר לגובה. משבצות ריקות: באמצע של השורה הקדמית, ובאמצע ובימין של השורה האחורית.

טעות נפוצה: לצייר את המבט כשהשורה הקדמית למעלה (כך שהשורה העליונה בתבנית היא "מלא, ריק, מלא") - בתבנית השורה התחתונה היא זו שקרובה לחץ.

בכל משבצת רושמים כמה קוביות יש בערימה שעומדת עליה, כולל קוביות שמוסתרות בסרטוט. כיוון שכל קובייה מונחת על קובייה אחרת או על המשטח, ערימה שהקובייה העליונה שלה בקומה 3 מכילה 3 קוביות.

סך הכול $3+2+2+2+1+1=11$ קוביות.

טעות נפוצה: לרשום 2 בערימה האחורית-שמאלית כי רואים בה רק שתי קוביות - הקובייה התחתונה מוסתרת מאחורי הערימות שלפניה, אבל בלעדיה הקוביות שמעליה היו מרחפות. כך מקבלים 10 קוביות במקום 11.

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, מוסיפים את הקובייה רק על ערימה קיימת (קובייה על משבצת ריקה מוסיפה משבצת למבט מלמעלה).

כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, הערימה החדשה לא יכולה להיות גבוהה מהגובה של העמודה שלה במבט מלפנים (3, 2, 1).

בעמודה השמאלית הגובה במבט מלפנים הוא 3, והערימות הקדמית והאמצעית בה בגובה 2 - אפשר להגביה אחת מהן ל-3. דוגמה (הערימה הקדמית-שמאלית):

(אפשרות נוספת: הערימה האמצעית-שמאלית מ-2 ל-3.)

טעות נפוצה: להוסיף קובייה על הערימה האמצעית של העמודה האמצעית (מ-2 ל-3) - כך העמודה האמצעית במבט מלפנים גדלה מ-2 ל-3.