בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2023 מועד ב'

כל רצועה בגרף רחבה חצי סטיית תקן. מהממוצע כלפי מעלה האחוזים הם 19%, 15%, 9%, ...

צוברים רצועות מהממוצע עד שמגיעים ל-43%:

שלוש רצועות הן שלוש חצאי סטיות תקן, כלומר 102 נמצא $1.5$ סטיות תקן מעל הממוצע: $102=\bar x+1.5S$.

סטיית התקן היא 8 ס"מ.

טעות נפוצה: לספור את שלוש הרצועות כשלוש סטיות תקן שלמות, $90+3S=102$, ולקבל $S=4$.

ממקמים את שני הערכים על הגרף לפי מרחקם מהממוצע ($S=8$, חצי סטיית תקן היא 4):

$78=90-12=\bar x-1.5S$ - שלוש רצועות מתחת לממוצע.

$94=90+4=\bar x+0.5S$ - רצועה אחת מעל הממוצע.

סוכמים את הרצועות שבין שני הערכים:

בין 78 לממוצע: $9\%+15\%+19\%=43\%$. בין הממוצע ל-94: $19\%$.

טעות נפוצה: לחשב רק את אורך הקטע, $94-78=16=2S$, ולסכום שתי סטיות תקן מהממוצע ($48\%$) - כאילו הקטע מתחיל בממוצע.

לפי סעיף ב, 62% מהפרחים נמצאים בתחום הזה. מחשבים 62% מ-800:

טעות נפוצה: להשתמש באחוז שבנתון (43%) במקום באחוז שחושב בסעיף ב, ולקבל $0.43\cdot800=344$.

את הזרים הכין רק מ-496 הפרחים שבתחום (סעיף ג), 16 פרחים בכל זר:

רועי הכין 31 זרים.

טעות נפוצה: לחלק את כל 800 הפרחים ל-16 ולקבל 50 זרים - הזרים הוכנו רק מהפרחים שגובהם בין 78 ל-94 ס"מ.

מציון התקן מוצאים את הגובה: $x=\bar x+z\cdot S$.

$78<82<94$, ולכן פרחים בגובה 82 ס"מ נמצאים בתחום שממנו הוכנו הזרים: כן, רועי הכין מהם זר.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולחשב $90+8=98$ - ואז לענות שלא, כי 98 גבוה מ-94. ציון תקן שלילי פירושו ערך מתחת לממוצע.

אילוץ השטח: סך הדונמים של בצל וגזר הוא 11 לכל היותר - $x+y\le11$.

אילוץ ימי העבודה: $x$ דונם בצל דורשים $2x$ ימים, $y$ דונם גזר דורשים $7y$ ימים - $2x+7y\le42$.

מספר דונמים אינו שלילי - $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $7x+2y\le42$ - 7 ימים דרושים לדונם גזר, כלומר הם מקדם של $y$.

הרווח מ-$x$ דונם בצל הוא $800x$, ומ-$y$ דונם גזר $1200y$:

מחפשים את הערך המקסימלי של הרווח.

טעות נפוצה: להצמיד כל רווח למשתנה הלא נכון ולכתוב $P=1200x+800y$.

הישר התלול בסרטוט הוא $x+y=11$ (חותך את הצירים ב-11 וב-11), והמתון הוא $2x+7y=42$ (חותך ב-21 וב-6).

קדקודי התחום: $(0,0)$; $(11,0)$ - חיתוך ישר השטח עם ציר $x$; $(0,6)$ - חיתוך ישר ימי העבודה עם ציר $y$; וחיתוך שני הישרים:

מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

$P(0,0)=0$, $P(11,0)=8{,}800$, $P(7,4)=5{,}600+4{,}800=10{,}400$, $P(0,6)=7{,}200$.

הרווח המקסימלי, 10,400 שקלים, מתקבל כשמגדלים 7 דונם בצל ו-4 דונם גזר.

טעות נפוצה: לקחת את חיתוך ישר השטח עם ציר $y$, $(0,11)$, כקדקוד ולקבל רווח 13,200 - אבל $(0,11)$ מחוץ לתחום, כי $7\cdot11=77>42$ ימי עבודה.

פונקציית המטרה החדשה: $P=800x+800y=800(x+y)$.

הרווח תלוי רק בסכום $x+y$, והסכום הגדול ביותר בתחום הוא 11 (אילוץ השטח). לכן הרווח המקסימלי הוא $800\cdot11=8{,}800$, והוא מתקבל בכל נקודה של התחום על הישר $x+y=11$ - הצלע שבין $(7,4)$ ל-$(11,0)$.

בדיקת האפשרויות: (1) $(7,4)$: $800\cdot11=8{,}800$. (2) $(9,2)$: בתחום ($9+2=11$, $18+14=32\le42$), ו-$800\cdot11=8{,}800$. (3) $(0,6)$: $800\cdot6=4{,}800$.

רווח מקסימלי מתקבל באפשרויות 1 ו-2.

טעות נפוצה: לבדוק רק את קדקודי התחום ולענות רק אפשרות 1 - הנקודה $(9,2)$ אינה קדקוד, אבל היא על הצלע שבין שני הקדקודים המקסימליים ונותנת אותו רווח.

$C$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$. מציבים במשוואת $AC$:

$C(8,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $(0,-32)$ - זו נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה-$y$.

$BC\perp AC$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר עובר דרך $C(8,0)$:

טעות נפוצה: להחליף רק סימן ולקחת שיפוע $-4$ - הישר $y=-4x+32$ אינו מאונך ל-$AC$ (מכפלת השיפועים $-16$).

$A$ היא נקודת החיתוך של $AC$ ו-$AD$. משווים:

$y=4\cdot12-32=16$, ולכן $A(12,16)$.

טעות נפוצה: להעביר את $-2x$ לאגף שמאל בלי להחליף סימן: $2x=72$, $x=36$ - ומקבלים נקודה $(36,112)$ שאינה על $AD$.

$B$ על ציר ה-$y$ ועל $BC$: מציבים $x=0$ בסעיף ב ומקבלים $B(0,2)$.

$BD$ מקביל לציר ה-$x$ ועובר דרך $B$, ולכן משוואתו $y=2$.

$D$ על $BD$ ועל $AD$:

$D(19,2)$.

טעות נפוצה: להציב $y=2$ במשוואת $AC$ במקום $AD$ ולקבל $(8.5,2)$ - הנקודה $D$ היא קצה הצלע $AD$.

$M$ אמצע $AC$:

הצלע $BD$ אופקית (על הישר $y=2$), ואורכה $19-0=19$.

הגובה מ-$M$ לבסיס $BD$ הוא הפרש שיעורי ה-$y$: $8-2=6$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את שיעור ה-$y$ של $M$ (8) ולקבל $\frac{19\cdot8}{2}=76$ - הבסיס $BD$ אינו על ציר ה-$x$ אלא על $y=2$.

נפח תיבה הוא מכפלת שלושת הממדים:

הנפח של קופסה לבנה הוא 1,800 סמ"ק.

טעות נפוצה: לעצור בשטח הבסיס, $25\cdot12=300$, ולשכוח לכפול בגובה.

"גדול ב-40%" פירושו 100% ועוד 40%, כלומר כפל ב-1.4:

טעות נפוצה: לחשב רק $0.4\cdot1800=720$ - זו ההגדלה, לא הנפח של הקופסה האפורה.

ממדי הקופסה האפורה: $21$, $x$ והגובה $1.2x$. מבטאים את הנפח ומשווים לסעיף ב:

$x=10$ או $x=-10$; אורך חיובי, ולכן $x=10$ ס"מ (והגובה $12$ ס"מ).

טעות נפוצה: לכתוב את הנפח כ-$21\cdot1.2x$ (בלי הצלע $x$ עצמה) ולקבל $25.2x=2520$, $x=100$.

כמות הצבע תלויה בשטח הפנים - סכום השטחים של שש הפאות (שלושה זוגות של מלבנים שווים).

שטח הפנים של הקופסה הלבנה:

הקופסה האפורה: $21\times10\times12$.

שטח הפנים של הקופסה האפורה:

$1164>1044$, ולכן בקופסה האפורה השתמש רועי ביותר צבע.

טעות נפוצה: לקחת את גובה הקופסה האפורה כ-$x=10$ במקום $1.2x=12$, לקבל $2(210+210+100)=1040$ ולענות שבלבנה השתמש ביותר צבע.

תרשים מספרים הוא מבט מלמעלה: בכל משבצת של המשטח רושמים כמה קוביות יש בעמודה שעליה.

המשטח בנוי משתי שורות (קדמית - דרומית, ואחורית - צפונית) ומארבע עמודות ממערב למזרח.

בשורה הקדמית יש קובייה אחת בקצה המערבי וקובייה אחת בקצה המזרחי, ושתי המשבצות שביניהן ריקות (רואים את המשטח).

בשורה האחורית, ממערב למזרח: עמודה של 3 קוביות (הקובייה התחתונה מוסתרת על ידי הקובייה הקדמית), עמודה של 4, עמודה של 2 ועמודה של 1.

טעות נפוצה: לרשום 2 בעמודה הצפונית-מערבית, כי מעל הקובייה הקדמית רואים רק שתי קוביות - הקובייה התחתונה של העמודה מוסתרת, אבל כל קובייה מונחת על קובייה אחרת או על המשטח, ולכן העמודה בגובה 3.

סוכמים את כל המספרים בתרשים:

טעות נפוצה: לספור רק את הקוביות שרואים בסרטוט ולקבל 11 - הקובייה התחתונה בעמודה הצפונית-מערבית מוסתרת.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה (ממערב למזרח) את הגובה המרבי שלה בשתי השורות:

עמודה 1: $\max(1,3)=3$; עמודה 2: $\max(0,4)=4$; עמודה 3: $\max(0,2)=2$; עמודה 4: $\max(1,1)=1$.

המבט: 3, 4, 2, 1 - סרטוט 3.

טעות נפוצה: לבחור בסרטוט 4, שבו העמודה השלישית בגובה 3 - בעמודה השלישית יש רק 2 קוביות, והמשבצת הקדמית שלה ריקה.

הצופה מימין עומד בצד המזרחי ומסתכל מערבה. הוא רואה שתי עמודות - אחת לכל שורה - בגובה המרבי של השורה.

השורה הקדמית (דרומית) נמצאת משמאלו: הגובה המרבי בה 1. השורה האחורית (צפונית) מימינו: הגובה המרבי 4.

המבט: 1 משמאל, 4 מימין - סרטוט 2.

טעות נפוצה: לרשום בעמודה השמאלית את מספר הקוביות בשורה הקדמית ($1+1=2$) במקום את הגובה המרבי, ולבחור בסרטוט 1.

לדירה יש חלון למזרח אם הקיר המזרחי שלה חיצוני - כלומר אין קובייה צמודה ממזרח באותה קומה.

בודקים כל עמודה, קומה אחרי קומה:

שורה אחורית: עמודה 1 (3 קומות) - ממזרח עמודה של 4, אין חלונות. עמודה 2 (4 קומות) - ממזרח עמודה של 2, ולכן לקומות 3 ו-4 יש חלון: 2. עמודה 3 (2 קומות) - ממזרח עמודה של 1, ולכן לקומה 2 יש חלון: 1. עמודה 4 - הקצה המזרחי: 1.

שורה קדמית: הקובייה המערבית - ממזרח לה משבצת ריקה: 1. הקובייה המזרחית - בקצה: 1.

טעות נפוצה: לשכוח את הקובייה הקדמית-מערבית (ממזרח לה משבצת ריקה, ולכן גם הקיר הזה חיצוני) ולענות 5.