מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 2 ברמת בגרות

$P(X<214)=0.9772$. בטבלה המצטברת $\Phi(2)=0.9772$, ולכן ציון התקן של 214 הוא $z=2$.

טעות נפוצה: להוסיף במקום להחסיר, $\mu=214+24=238$. ממוצע גדול מ-214 סותר את הנתון שכמעט כל התפוחים קלים מ-214 גרם.

מעל משקל הסף $30\%$, ולכן מתחתיו $70\%$: $\Phi(z)=0.70$.

בטבלה $\Phi(0.52)=0.6985$ הוא הערך הקרוב ביותר, ולכן $z\approx0.52$.

רק תפוחים שמשקלם מעל כ-196.2 גרם הם "סוג א'". $195<196.24$, ולכן התפוח אינו מסומן "סוג א'".

(דרך אחרת: ל-195 יש $z=\frac{5}{12}\approx0.42$, ומעליו $1-0.6628=33.7\%$ מן התפוחים - יותר מ-$30\%$, כלומר הוא אינו בין ה-$30\%$ הכבדים.)

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\Phi(z)=0.30$ ולקבל $z=-0.52$ ומשקל סף 183.76 גרם, ואז לענות "כן". $30\%$ הם הזנב העליון, ולכן מתחת לסף נמצאים $70\%$.

ה"ענקיים": $z=\frac{211-190}{12}=1.75$.

כל תפוח "ענק" הוא גם "סוג א'" (211 גדול ממשקל הסף 196.24). לכן:

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר: $30\%+4.01\%=34.01\%$. ה"ענקיים" כבר כלולים ב-30% של "סוג א'", ולכן מוציאים אותם מהקבוצה ולא מוסיפים.

לפי סעיף ג, $25.99\%$ מן התפוחים הם "סוג א'" ואינם "ענקיים":

טעות נפוצה: לחלק ב-$0.30$ (כל ה"סוג א'") ולקבל כ-8,663 תפוחים. 2,599 הם רק ה"סוג א'" שאינם "ענקיים".

ציון התקן של התפוח מהפרדס הראשון:

בפרדס הנוסף ציון התקן זהה:

טעות נפוצה: לחשוב שאותו משקל ואותו ציון תקן מחייבים אותה סטיית תקן, ולענות 12 גרם. הממוצעים שונים, ולכן סטיית התקן נקבעת מחדש מהמשוואה.

הסטיות מהממוצע: $-6,\,-2,\,6,\,2,\,0$. ריבועי הסטיות: $36,\,4,\,36,\,4,\,0$, וסכומם 80.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 במקום ב-5 ולקבל $S_x=\sqrt{20}\approx4.472$.

בדיאגרמת הפיזור הנקודות יורדות: בחודשים עם יותר ימי שרב ההכנסה ממשקאות חמים נמוכה יותר. לכן הקשר שלילי ו-$r<0$.

הנקודות קרובות מאוד לישר יורד, ולכן הקשר חזק: $r=-0.986$. ($r=0$ פירושו שאין קשר לינארי.)

טעות נפוצה: לבחור $r=0.986$ כי 'הקשר חזק', בלי לבדוק את כיוון המגמה - הסימן של $r$ נקבע לפי כיוון הקשר.

השיפוע שלילי, כמו מקדם המתאם.

טעות נפוצה: להפוך את היחס בין סטיות התקן ולקבל $-0.986\cdot\frac{4}{6.39}\approx-0.617$.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים $(10,45)$:

טעות נפוצה: לטעות בסימן כשפותחים את הסוגריים ($-1.575\cdot(-10)=-15.75$) ולקבל $y=-1.575x+29.25$.

כלומר כ-49,725 שקלים.

טעות נפוצה: לשכוח את היחס בין סטיות התקן ולנבא $45+(-0.986)\cdot(7-10)\approx47.958$.

בכל חודש ההכנסה של בית קפה ב' היא $y+8$. הוספת קבוע לכל ערכי $y$ מעלה את $\bar y$ ב-8 ולא משנה את $S_y$ ואת $r$, ולכן השיפוע לא משתנה:

טעות נפוצה: להחסיר 8 במקום להוסיף ולקבל $y=-1.575x+52.75$.

טעות נפוצה: לענות $\frac35=0.6$ - זה החלק של הנשים מבין העובדים מהבית בלבד.

הנשים שעובדות במשרד הן פי 5 מהנשים שעובדות מהבית:

טעות נפוצה: לחשב $1-0.12=0.88$ ולענות 88% - שוכחים את הנשים שעובדות במשרד.

$P(\text{גבר}\cap\text{בית})=0.2-0.12=0.08$.

טעות נפוצה: לענות 0.08 - זו ההסתברות לבחור מכל החברה גבר שעובד מהבית, בלי להתחשב בכך שידוע שנבחר גבר.

ומסעיף ג: $P(\text{בית}\mid\text{גבר})\approx0.286$.

אחוז העובדות מהבית מבין הנשים (כ-16.7%) קטן מאחוז העובדים מהבית מבין הגברים (כ-28.6%), ולכן המשפט אינו נכון.

טעות נפוצה: להשוות את החיתוכים - 0.12 נשים שעובדות מהבית לעומת 0.08 גברים - ולקבוע שהמשפט נכון. יש יותר נשים מהבית רק כי יש בחברה הרבה יותר נשים.

$B(0,12)$ על ציר ה-$y$, ולכן: $y=\frac43x+12$.

טעות נפוצה: לחשב שיפוע כ-$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac34$ ולקבל $y=\frac34x+12$.

$M$ על הישר $AB$ ועל ציר ה-$x$: $0=\frac43x+12$, ולכן $x=-9$ ו-$M(-9,0)$.

משוואת המעגל: $(x+9)^2+y^2=25$.

טעות נפוצה: לקחת את $MB$ כרדיוס, $MB^2=81+144=225$, ולכתוב $(x+9)^2+y^2=225$.

המשיק מאונך לרדיוס $MA$, ששיפועו $\frac43$. לכן שיפוע המשיק $-\frac34$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $D\left(0,-\frac12\right)$.

טעות נפוצה: לקחת שיפוע $+\frac34$ (בלי היפוך סימן) ולקבל $y=\frac34x+8.5$, כלומר $D(0,8.5)$.

$M$ אמצע הקוטר $AC$: $C=2M-A=(-18+6,\ 0-4)=(-12,-4)$.

לכן $BD=CD$.

טעות נפוצה: לחשב את $C$ כאמצע של $A$ ו-$M$, $(-7.5,2)$, ולקבל $CD\approx7.9$. $M$ הוא האמצע, ו-$C$ הוא הקצה השני.

שיפוע $AB$ הוא $\frac43$, ולכן הזווית בין $AB$ לציר ה-$x$ היא $\alpha$ עם $\tan\alpha=\frac43$, $\alpha\approx53.13^\circ$.

$BD$ על ציר ה-$y$, ולכן $\angle ABD=90^\circ-53.13^\circ=36.87^\circ$.

בדיקה: מ-$B$ יורדים 8 לאורך ציר ה-$y$ וזזים 6 אופקית אל $A$: $\tan\angle ABD=\frac68=\frac34$.

טעות נפוצה: לענות $53.13^\circ$ - הזווית עם ציר ה-$x$.

המשולש $BCD$ שווה שוקיים (סעיף ג), ולכן $\angle BCD=\angle CBD$.

$M$ על $CB$ ו-$K$ על $CD$, ולכן $\angle MCK=\angle CBD=\angle ABD\approx36.87^\circ$, ו-$\sin36.87^\circ=0.6$. $CM=R=5$.

בדיקה: $CD=12.5>10$, ולכן $K$ על הקטע.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\sin53.13^\circ=0.8$ (הזווית עם ציר ה-$x$) ולקבל $2\cdot CK=15$, כלומר $CK=7.5$.

המעגל משיק לציר ה-$x$, ולכן הרדיוס שווה למרחק המרכז מציר ה-$x$: $R=13$, ו-$A(5,0)$.

טעות נפוצה: לקחת $R=5$ (המרחק מציר ה-$y$) ולקבל $(x-5)^2+(y-13)^2=25$.

מציבים $x=0$:

לפי הציור $B$ היא הנקודה העליונה: $B(0,25)$.

טעות נפוצה: לבחור את $(0,1)$ - נקודת החיתוך התחתונה, שנמוכה מהמרכז.

המשיק מאונך לרדיוס $MB$, ולכן $m_{BC}=\frac{5}{12}$, והוא עובר ב-$B(0,25)$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן ולקבל $m=-\frac{5}{12}$, כלומר $y=-\frac{5}{12}x+25$ - ישר שאינו מאונך ל-$MB$ (מכפלת השיפועים $1$, לא $-1$).

$MB\perp BC$ - משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

$AC\perp BC$ - נתון.

שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים: $AC\parallel MB$.

טעות נפוצה: לכתוב $MA\perp BC$ במקום $MB\perp BC$ - הרדיוס המאונך למשיק הוא זה שמגיע לנקודת ההשקה $B$. עם $MA$ מקבלים את המסקנה השגויה $AC\parallel MA$, כלומר $AC$ אנכי.

$MA=MB$ (רדיוסים), ולכן $\angle MAB=\angle MBA$.

$AC\parallel MB$ (ג(1)), ולכן $\angle CAB=\angle ABM$ (זוויות מתחלפות).

לכן $\angle CAB=\angle MAB$: $AB$ חוצה את $\angle CAM$.

טעות נפוצה: לנמק את $\angle MAB=\angle MBA$ ב"זוויות מתחלפות" - שתיהן במשולש $MAB$ ושוות כזוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ($MA=MB$). בלי הרדיוסים השווים ההוכחה נופלת.

$AC\parallel MB$, ולכן שיפוע $AC$ הוא $-\frac{12}{5}$. הישר דרך $A(5,0)$: $y=-\frac{12}{5}(x-5)=-\frac{12}{5}x+12$.

חיתוך עם $BC$:

$y=\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{60}{13}\right)+25=-\frac{25}{13}+25=\frac{300}{13}$, ולכן $C\left(-\frac{60}{13},\ \frac{300}{13}\right)$.

טעות נפוצה: לחשב את $AB=\sqrt{5^2+25^2}=\sqrt{650}\approx25.5$ במקום $AC$.

פונקציה רציונלית מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס:

טעות נפוצה: לפסול גם את $x=-9$, שבו המונה מתאפס. שם הפונקציה מוגדרת ושווה ל-$-b$.

לפי כלל המנה, עם $u=6x+54$, $v=16x-x^2$:

$6x^2+108x-864=6(x^2+18x-144)=6(x+24)(x-6)=0$: $x=-24$ או $x=6$.

המכנה חיובי: $f'>0$ עבור $x<-24$, $f'<0$ עבור $-24<x<6$ ($x\neq0$), $f'>0$ עבור $x>6$ ($x\neq16$). לכן מקסימום ב-$x=-24$ ומינימום ב-$x=6$.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר במונה של כלל המנה ($uv'-u'v$) ולקבל את הסוגים הפוכים: $\max\left(6,\frac32-b\right)$, $\min\left(-24,\frac3{32}-b\right)$.

בנקודת קיצון המשיק אופקי, וגובהו הוא ערך הפונקציה בנקודה. לכן ערך המינימום הוא $-2.5$:

טעות נפוצה: להשתמש בערך המקסימום, $\frac3{32}-b=-2.5$, ולקבל $b=\frac{83}{32}\approx2.59$.

$f(x)=\frac{6x+54}{16x-x^2}-4$.

אסימפטוטות אנכיות באפסי המכנה, שבהם המונה אינו מתאפס ($54\neq0$, $150\neq0$): $x=0$, $x=16$.

מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן השבר שואף ל-0 כאשר $x\to\pm\infty$, ו-$f(x)\to-4$: אסימפטוטה אופקית $y=-4$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ כי "מעלת המונה קטנה" - ולשכוח את האיבר $-4$ שמזיז את כל הגרף כלפי מטה.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$:

$x=\frac{29\pm\sqrt{841-216}}{4}=\frac{29\pm25}{4}$: $x=1$ או $x=13.5$, שניהם בתחום: $(1,0)$, $(13.5,0)$.

טעות נפוצה: לאפס רק את המונה, $6x+54=0$, ולקבל $(-9,0)$. בגלל ה-$-4$ יש להשוות את השבר ל-4, ו-$f(-9)=-4\neq0$.

מסכמים: אסימפטוטות $x=0$, $x=16$, $y=-4$; מינימום $(6,-2.5)$; מקסימום $\left(-24,-\frac{125}{32}\right)\approx(-24,-3.91)$; חיתוך עם ציר ה-$x$ ב-$(1,0)$ ו-$(13.5,0)$.

בין 0 ל-16: המכנה והמונה חיוביים, והשבר שואף ל-$+\infty$ ליד שני הקצוות. יורדת דרך $(1,0)$ עד $(6,-2.5)$ ועולה דרך $(13.5,0)$ - "קערה".

עבור $x<0$: כש-$x\to-\infty$ השבר חיובי וקטן, ולכן הגרף מעל $y=-4$; עולה עד $(-24,-3.91)$, יורד, חוצה את $y=-4$ ב-$x=-9$ (שם השבר מתאפס) וצולל ל-$-\infty$ ליד $x=0$.

עבור $x>16$: המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן $f(x)<-4$; הגרף עולה מ-$-\infty$ ליד $x=16$ ומתקרב ל-$y=-4$ מלמטה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי כולו מתחת ל-$y=-4$. לפי סעיף ב יש לו מקסימום בגובה $-3.91$ - מעל האסימפטוטה.

לנקודת קיצון של $g$ (בתוך התחום) צריך ש-$g'$ תתאפס ותחליף סימן.

$g'(x)=0$ כאשר $f(x)=-2.5$. הישר $y=-2.5$ נוגע בגרף רק בנקודת המינימום $x=6$ (סעיף ג): בין 0 ל-16 $f(x)\ge-2.5$, ובשני הענפים האחרים $f(x)\le-3.91$.

לכן $g'(x)\ge0$ בכל הקטע $(0,16)$ ומתאפסת רק ב-$x=6$ בלי להחליף סימן, ומחוץ לקטע $g'(x)<0$. החלפות הסימן קורות רק ב-$x=0$ וב-$x=16$, שאינם בתחום.

לכן ל-$g(x)$ אין נקודות קיצון.

טעות נפוצה: לראות ש-$g'(6)=0$ ולקבוע שיש ל-$g$ מינימום ב-$x=6$. נגזרת שמתאפסת בלי להחליף סימן אינה נותנת קיצון.

טעות נפוצה: לכתוב $x>-7$ - ב-$x=-7$ השורש שווה 0, והפונקציה מוגדרת.

$x-5=0\Rightarrow x=5$, או $\sqrt{x+7}=0\Rightarrow x=-7$.

$f(0)=-5\sqrt7\approx-13.2$.

טעות נפוצה: להחמיץ את $(-7,0)$, שבה השורש מתאפס.