מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 3 ברמת בגרות

בונים טבלה דו-ממדית של מספרי משתתפים. בסך הכול $600+1400=2000$.

תושבי כפרים: $0.35\cdot600=210$ משתמשים, $600-210=390$ לא משתמשים.

תושבי ערים: $0.6\cdot1400=840$ משתמשים, $1400-840=560$ לא משתמשים.

"תושב עיר המשתמש" הוא חיתוך - תא אחד בטבלה, חלקי כל המשתתפים:

טעות נפוצה: לענות $0.6$ - זו ההסתברות להשתמש מתוך תושבי הערים בלבד (הסתברות מותנית), ולא ההסתברות לבחור מכלל המשתתפים תושב עיר שמשתמש.

סכום העמודה "לא משתמשים":

טעות נפוצה: ממוצע פשוט של האחוזים, $\frac{65\%+40\%}{2}=52.5\%$, כלומר $0.525$. הקבוצות אינן שוות בגודלן, ולכן סופרים משתתפים (ממוצע משוקלל).

המדגם מצטמצם ל-950 המשתתפים שאינם משתמשים (סעיף ב). מתוכם תושבי כפרים: 390.

טעות נפוצה: לחשב את ההתניה ההפוכה, $P(\text{לא משתמש}\mid\text{כפר})=\frac{390}{600}=0.65$. מה שידוע ("לא משתמש") הוא המכנה.

הקבוצה הנבדקת: 950 המשתתפים שאינם משתמשים.

אחוז תושבי הכפרים בה (סעיף ג): $\frac{39}{95}\approx41.1\%$.

אחוז תושבי הערים בה: $\frac{560}{950}=\frac{56}{95}\approx58.9\%$.

$41.1\%<58.9\%$, ולכן האמירה אינה נכונה - למרות שבכפרים אחוז מי שאינם משתמשים גבוה בהרבה (65% לעומת 40%): בערים יש יותר מפי שניים משתתפים.

טעות נפוצה: להשוות 65% מתושבי הכפרים ל-40% מתושבי הערים ולקבוע שהאמירה נכונה. אלה אחוזים מקרב כל קבוצת מגורים, לא מקרב מי שאינם משתמשים.

טעות נפוצה: לקחת את הערך האמצעי של הטווח, $\frac{22+37}{2}=29.5$ - זה לא הממוצע, כי הוא מתעלם משלושת הערכים האחרים.

ההפרשים מהממוצע: $-8,\ -5,\ 0,\ 6,\ 7$.

טעות נפוצה: לענות 34.8 - זו השונות; צריך להוציא שורש.

ההפרשים של $y$ מהממוצע 5.3: $-1.9,\ -1.5,\ 0.3,\ 1,\ 2.1$.

קשר ליניארי חיובי וחזק מאוד.

טעות נפוצה: לא לחלק ב-5 ולקבל $r\approx4.88$ - ערך שאינו אפשרי למקדם מתאם.

הישר עובר ב-$(\bar x,\bar y)=(30,\,5.3)$:

טעות נפוצה: לחשב את החותך עם סימן הפוך - $a=\bar y+b\bar x=5.3+0.249\cdot30\approx12.77$ - ולקבל $\hat y=0.249x+12.77$. בדיקה מהירה: הישר חייב לעבור בנקודת הממוצעים, וכאן ב-$x=30$ יוצא $20.24$ ולא $5.3$.

הניבוי: כ-6.05 מאות, כלומר כ-605 גלידות.

טעות נפוצה: לענות "כ-6 גלידות". $y$ נמדד במאות גלידות, ולכן $6.05$ פירושו כ-605 גלידות.

כל ערך של $y$ הוכפל ב-1.1, ולכן גם הממוצע הוכפל ב-1.1, וכל הפרש מהממוצע הוכפל ב-1.1:

לכן גם סטיית התקן הוכפלה ב-1.1: $S_y=1.1\cdot1.507\approx1.658$ - היא גדלה.

טעות נפוצה: לחשוב שכמו בהוספת קבוע, גם כאן סטיית התקן לא משתנה - בכפל בקבוע כל ההפרשים מתרחבים, ולכן הפיזור גדל.

במונה של $r$ כל מכפלה $(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ גדלה פי 1.1, ובמכנה גם $S_y$ גדלה פי 1.1. הגורם 1.1 מצטמצם, ולכן $r=0.976$.

(בדיאגרמת הפיזור הנקודות "נמתחו" כלפי מעלה באותו יחס - הן נשארות קרובות לישר באותה מידה.)

טעות נפוצה: לכפול גם את $r$ ב-1.1 ולקבל 1.07 - ערך שגדול מ-1, ולכן בלתי אפשרי.

ל-$\frac25$ מהמבוגרים יש מנוי, ולכן ל-$\frac35$ מהמבוגרים אין מנוי:

טעות נפוצה: לחלק ב-$\frac25$ במקום ב-$\frac35$ ולקבל $0.36\cdot\frac52=90\%$.

מבוגרים עם מנוי: $0.6-0.36=0.24$, ולפי הנתון גם ילדים עם מנוי: $0.24$.

ילדים: $0.4$, ולכן ילדים בלי מנוי: $0.4-0.24=0.16$.

טעות נפוצה: לענות $0.36=\frac{9}{25}$ - זו ההסתברות לבחור מבוגר בלי מנוי מתוך כל חברי המועדון, בלי לחלק בהסתברות של התנאי.

טעות נפוצה: לחלק ב-0.36 (אחוז המבוגרים בלי מנוי) ולקבל $N=250$.

אחרי ההצטרפות יש $150+30=180$ חברים. נסמן ב-$a$ את מספר המבוגרים שהצטרפו; יש $90+a$ מבוגרים.

$a=-189$ נפסל, ולכן הצטרפו 10 מבוגרים. (בדיקה: $100\cdot99=9900$.)

טעות נפוצה: לפתור עבור מספר המבוגרים הכולל, $A(A-1)=9900$, ולענות $A=100$ - זה מספר המבוגרים אחרי ההצטרפות.

מציבים $x=-3$ במשוואת $AB$: $y=3+12=15$, ולכן $A(-3,15)$.

האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $E$ אמצע $AC$:

טעות נפוצה: להציב $-(-3)=-3$ ולקבל $A(-3,9)$ ו-$E(-5,6)$.

טעות נפוצה: להפוך מונה ומכנה ולקבל $\frac13$.

האלכסונים מאונכים: $m_{BD}=-\frac13$, והישר עובר ב-$E(-5,9)$:

טעות נפוצה: לקחת את השיפוע ההפכי בלי להחליף סימן, $m=\frac13$, ולקבל $y=\frac13x+\frac{32}{3}$.

$B$ היא החיתוך של $AB$ ו-$BD$:

$y=-7+12=5$, ולכן $B(7,5)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים, $-x-\frac13x=\frac{22}{3}-12$, ולקבל $x=3.5$ ו-$B(3.5,\,8.5)$ - נקודה שאינה על $BD$ (בדיקת הצבה חושפת זאת).

במשולש $ABE$ הזווית $E$ ישרה.

טעות נפוצה: $\tan=\frac{BE}{AE}=2$, ולקבל $63.43^\circ$ - זו הזווית $BAE$.

$\angle ABG=26.57^\circ$, ולכן במשולש $GAB$: $\angle AGB=180^\circ-100^\circ-26.57^\circ=53.43^\circ$.

$AB=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}$. משפט הסינוסים:

(דרך אחרת: $\angle GAE=100^\circ-63.43^\circ=36.57^\circ$, ו-$GE=\sqrt{40}\cdot\tan36.57^\circ\approx4.69$.)

טעות נפוצה: לענות $GB\approx17.34$ בלי להחסיר את $BE$.

$B(b,0)$: $AB^2=b^2+36=100$, ולכן $b^2=64$, $b=\pm8$.

$B$ על החלק השלילי של ציר ה-$x$: $B(-8,0)$.

טעות נפוצה: לבחור $b=8$ ולקבל $B(8,0)$.

(כי $BC\perp AB$).

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן, $m=\frac43$, ולקבל $y=\frac43x+\frac{32}{3}$.

$y=10+6=16$, ולכן $C(-20,16)$.

טעות נפוצה: לחבר את ההפרשים, $12+16=28$, במקום להשתמש בפיתגורס.

$AD\parallel BC$ והאלכסון $AC$ חותך אותם: $\angle DAM=\angle BCM$ (מתחלפות).

האלכסון $BD$: $\angle ADM=\angle CBM$ (מתחלפות).

לפי ז.ז.: $\triangle DMA\sim\triangle BMC$ ($D\leftrightarrow B$, $A\leftrightarrow C$).

טעות נפוצה: לטעון $\angle ADM=\angle BCM$. זוג הזוויות המתחלפות של $\angle ADM$ נמצא על האלכסון $BD$, כלומר ב-$B$; ההתאמה השגויה $D\leftrightarrow C$ נותנת יחסים לא נכונים בהמשך.

יחס הדמיון: $\frac{BC}{AD}=\frac{20}{5}=4$.

טעות נפוצה: לענות "פי 4" - יחס הדמיון, בלי להעלות בריבוע.

תחום ההגדרה: כל $x$ פרט ל-$x=\pm2$.

טעות נפוצה: להוציא מהתחום את אפסי המונה ולענות $x\neq\pm3$.

ב-$x=\pm2$ המכנה מתאפס והמונה $4-9=-5\neq0$: אסימפטוטות אנכיות $x=\pm2$.

המעלות שוות, ולכן האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $y=\frac11=1$.

טעות נפוצה: לענות $y=0$, כמו כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה.

שתי הנקודות בתחום ההגדרה: $(\pm3,0)$.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן של המכנה ולכתוב $f(0)=-\frac94$.

$f'(x)=0$ כש-$x=0$. המכנה חיובי, והסימן של $f'$ הוא הסימן של $10x$: שלילי משמאל ל-0 וחיובי מימין.

הפונקציה יורדת ואז עולה - מינימום ב-$\left(0,\frac94\right)$.

טעות נפוצה: להחליף את הסדר בנוסחת המנה, לקבל $f'(x)=\frac{-10x}{(x^2-4)^2}$ ולענות $\max\left(0,\frac94\right)$.

הפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי לציר ה-$y$. נוח לכתוב $f(x)=1-\frac{5}{x^2-4}$.

בין $-2$ ל-$2$: $x^2-4<0$, ולכן $f(x)>1$. יורדת עד המינימום $\left(0,\frac94\right)$ ועולה, ושואפת ל-$+\infty$ ליד $x=\pm2$.

מימין ל-$x=2$: $f(x)<1$ ו-$f'>0$ - עולה מ-$-\infty$, חותכת את ציר ה-$x$ ב-$x=3$ ומתקרבת ל-$y=1$ מלמטה. משמאל ל-$x=-2$ - בשיקוף.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף האמצעי חותך את ציר ה-$x$ ב-$\pm3$ - אבל $\pm3$ מחוץ לקטע $(-2,2)$, והענף האמצעי כולו מעל $y=1$.

השיקוף הופך את $y=1$ ל-$y=-1$, וההזזה מעבירה אותה ל-$y=-1+k$:

טעות נפוצה: לשכוח את השיקוף: $1+k=3$, $k=2$.

$g(x)=-f(x)+4$: השיקוף הופך מינימום למקסימום ומשנה את סימן שיעור ה-$y$, וההזזה מוסיפה 4:

טעות נפוצה: להשאיר את סוג הקיצון ולענות $\min\left(0,\frac74\right)$.

טעות נפוצה: לפתור כמו אי-שוויון ליניארי, $x^2\le16\Rightarrow x\le4$, ולשכוח את הגבול השמאלי $-4$.

$x=0$, או $\sqrt{16-x^2}=0\Rightarrow x=\pm4$.

החיתוך עם ציר ה-y: $f(0)=0$.

טעות נפוצה: לפתור $16-x^2=0$ ולקחת רק $x=4$, ולענות $(0,0)$, $(4,0)$.

הנגזרת של $\sqrt{16-x^2}$ היא $\frac{-2x}{2\sqrt{16-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{16-x^2}}$:

$f'=0$ כאשר $x^2=8$: $x=\pm2\sqrt2\approx\pm2.83$.

סימן $16-2x^2$: שלילי ל-$-4<x<-2\sqrt2$, חיובי ל-$-2\sqrt2<x<2\sqrt2$, שלילי ל-$2\sqrt2<x<4$.

$x=-2\sqrt2$: מינימום, $f=-2\sqrt2\cdot\sqrt8=-8$. $x=2\sqrt2$: מקסימום, $f=8$.

קצוות: $x=-4$, $f=0$, ואחריו הפונקציה יורדת - מקסימום בקצה. $x=4$, $f=0$, ולפניו הפונקציה יורדת אליו - מינימום בקצה.

טעות נפוצה: לשכוח את קצוות התחום ולענות רק $\min(-2\sqrt2,-8)$, $\max(2\sqrt2,8)$.

הגרף קיים רק בין $x=-4$ ל-$x=4$.

מתחיל ב-$(-4,0)$, יורד למינימום $(-2\sqrt2,-8)$, עולה דרך הראשית למקסימום $(2\sqrt2,8)$ ויורד לנקודת הקצה $(4,0)$.

הגרף סימטרי ביחס לראשית: $f(-x)=-f(x)$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף ממשיך מעבר ל-$x=\pm4$ - שם השורש אינו מוגדר.

משיק אופקי - רק בנקודה שבה $g'=f'=0$: $x=\pm2\sqrt2$, שם ערכי $g$ הם $8+c$ ו-$-8+c$.

בקצוות $x=\pm4$ הנגזרת אינה מתאפסת (היא שואפת ל-$-\infty$), ולכן שם אין משיק אופקי.

טעות נפוצה: להוסיף את האפשרות $c=12$ מהקצוות, שבהם $f=0$ - אבל שם הגרף נגמר ולא משיק לישר אופקי.

$AC=MA+MC=7x+4x=11x$.

במשולש ישר זווית השטח הוא מחצית מכפלת הניצבים:

טעות נפוצה: לקחת את $AC$ כ-$7x$ (רק $MA$) ולקבל $BC=\frac{1584}{7x}$.

$MA^2=49x^2$, $MC^2=16x^2$. $MB$ הוא היתר במשולש ישר הזווית $MCB$:

עבור $0<x<4$: $S'<0$; עבור $x>4$: $S'>0$ - מינימום ב-$x=4$.