מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 1 ברמת בגרות

השטחים משמאל ל-30 ומימין ל-50 שווים, והעקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן:

10.6% מהסוללות נמצאות משמאל ל-30. בטבלה: $\Phi(1.25)=0.8944$, ולכן $\Phi(-1.25)=0.1056\approx0.106$, כלומר ציון התקן של 30 הוא $-1.25$:

טעות נפוצה: להכפיל במקום לחלק ולקבל $\sigma=10\cdot1.25=12.5$.

הסוללות שמקבלות תו איכות הן 6.3% העליונות, ולכן משמאל לערך הסף נמצאות $100\%-6.3\%=93.7\%$ מהסוללות: $\Phi(z)=0.937$.

בטבלה $\Phi(1.53)=0.9370$, ולכן $z=1.53$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה ישירות את 0.063, לקבל $z=-1.53$ ולענות $40-1.53\cdot8=27.76$ שעות - זה הסף של 6.3% הסוללות הקצרות ביותר.

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית, משמאל ל-$z=-1$ (בדיוק כמו מימין ל-$z=1$):

(בטבלה: $\Phi(-1)=0.1587$, ו-$0.1587\cdot1000\approx159$.)

טעות נפוצה: לסכום את השטחים שמימין ל-$z=-1$ ולקבל $84.1\%$, כלומר 841 סוללות - אלו הסוללות שאורך החיים שלהן גדול מ-32 שעות.

הכפלת כל הנתונים ב-1.25 מכפילה את הממוצע ב-1.25: $40\cdot1.25=50$.

גם המרחקים מהממוצע גדלים פי 1.25, ולכן סטיית התקן: $8\cdot1.25=10$.

טעות נפוצה: להשאיר את סטיית התקן 8 (ממוצע 50, סטיית תקן 8) - סטיית התקן לא משתנה רק כשמוסיפים קבוע, לא כשכופלים.

כלומר 2.28% מהסוללות (לפני ההגדלה היו אלה 10.6%).

טעות נפוצה: להשתמש בסטיית התקן הישנה: $z=\frac{30-50}{8}=-2.5$, ולקבל $0.62\%$.

טעות נפוצה: לחלק ב-5 כי ביום ד' חסר נתון, ולקבל 30. הנתון החסר הוא מספר הארגזים; יש 6 טמפרטורות.

הסטיות מהממוצע 25: $-7,\ -4,\ -1,\ 1,\ 3,\ 8$.

ריבועי הסטיות: $49,\ 16,\ 1,\ 1,\ 9,\ 64$, וסכומם $140$.

טעות נפוצה: לחלק ב-5 ולקבל $S_x^2=28$. מחלקים במספר הנתונים, 6.

נסמן ב-$a$ את מספר הארגזים ביום ד'; גם הממוצע הוא $a$:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{75}{6}=a$ (לשכוח את $a$ במונה) ולקבל 12.5 ארגזים.

ככל שהטמפרטורה עולה, מספר הארגזים עולה - הקשר חיובי, ולכן $r>0$. זה פוסל את $-0.93$ ואת $-0.28$.

$r=1$ פירושו שכל הנקודות על ישר אחד. בין ימים א' ו-ב' הטמפרטורה עלתה ב-3 והמכירות ב-3, ובין ב' ל-ג' הטמפרטורה עלתה ב-3 והמכירות רק ב-1 - הנקודות אינן על ישר אחד.

נשאר $r=0.98$: קשר חיובי חזק מאוד אך לא מושלם.

טעות נפוצה: לבחור $r=1$ "כי המכירות עולות בכל יום". עלייה בכל יום אינה מספיקה; $r=1$ רק כשהנקודות בדיוק על ישר.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(25,15)$:

(עם $r$ המדויק, $0.9825$, מקבלים $y=0.664x-1.61$ - הפרש של עיגול.)

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $b=0.98\cdot\frac{S_x}{S_y}$, ולקבל שיפוע $1.45$ וישר $y=1.45x-21.2$. בניבוי $y$ על פי $x$, $S_y$ במונה.

טעות נפוצה: להציב $y=20$ ולפתור עבור $x$ (מקבלים כ-32.5). הטמפרטורה היא $x$.

בשלוש הדיאגרמות לישר אותו שיפוע חיובי, ולכן השיפוע אינו מכריע.

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים $(25,15)$, ולכן חלק מהנקודות מעליו וחלק מתחתיו.

בדיאגרמה I כל הנקודות מתחת לישר, ובדיאגרמה II כל הנקודות מעליו. רק בדיאגרמה III הישר עובר בין הנקודות.

טעות נפוצה: לבחור דיאגרמה I כי "הישר שם הכי קרוב לראשית הצירים". הקרבה לראשית אינה רלוונטית; הישר חייב לעבור בנקודת הממוצעים.

עץ דו-שלבי. ראיון טלפוני: המלצה $0.7$, בלי המלצה $0.3$.

אחרי המלצה: המלצה $0.8$, בלי $0.2$. אחרי "בלי המלצה": המלצה $0.3$, בלי $0.7$.

"בדיוק באחד" - שני מסלולים זרים:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות המותנות $0.2+0.3=0.5$ בלי לכפול בהסתברויות של הראיון הטלפוני.

המשלים: לא קיבל המלצה בשני הראיונות - $0.3\cdot0.7=0.21$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$0.3$ (ההסתברות לקבל המלצה בראיון האישי אחרי כישלון) כאילו זו ההסתברות לא לקבל אותה, ולחשב $1-0.3\cdot0.3=0.91$.

מועמד שהתקבל קיבל המלצה בשני הראיונות, ולכן בוודאי לפחות באחד - החיתוך הוא המאורע "התקבל" עצמו:

נסמן: $A$ - המועמד התקבל, $B$ - קיבל המלצה לפחות באחד הראיונות ($P(B)=0.79$).

טעות נפוצה: לענות $0.56$ - ההסתברות שמועמד כלשהו התקבל, בלי להתחשב במידע שקיבל המלצה לפחות באחד הראיונות.

טעות נפוצה: לכפול בהסתברות "לפחות באחד" ($0.79$) ולקבל 237. לעבודה מתקבלים רק מי שקיבלו המלצה בשני הראיונות.

168 מועמדים התקבלו ו-$300-168=132$ לא התקבלו.

שני סדרים אפשריים, והמכנה בבחירה השנייה הוא 299:

טעות נפוצה: לחשב סדר אחד בלבד, $\frac{168}{300}\cdot\frac{132}{299}\approx0.2472$.

$B$ על ציר ה-$y$: $x=0$, $y=-2\cdot0+1=1$, ולכן $B(0,1)$.

$A$ על הישר ו-$y_A=9$: $9=-2x+1$, $-2x=8$, $x=-4$, ולכן $A(-4,9)$.

טעות נפוצה: לקחת כ-$B$ את נקודת החיתוך עם ציר ה-$x$, $(0.5,0)$, ולקבל $AB=\sqrt{4.5^2+9^2}=\sqrt{101.25}\approx10.06$.

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן $y_C=y_B=1$.

$x_C=0\pm4$, ולפי הסרטוט $C$ מימין ל-$B$: $C(4,1)$.

טעות נפוצה: לבחור $C(-4,1)$ - הנקודה שמתחת ל-$A$, ואז $AC$ אנכי ואין משולש כמו בסרטוט.

משוואת הישר דרך $C$: $y-1=-1(x-4)$, כלומר $y=-x+5$.

ב-$x=0$: $y=5$, ולכן $D(0,5)$.

טעות נפוצה: להציב את $A$ עם סימן שגוי, $y-9=-(x-4)$, ולקבל $y=-x+13$ ו-$D(0,13)$.

אמצע $AC$: $\left(\frac{-4+4}{2},\frac{9+1}{2}\right)=(0,5)$ - זו $D$. לכן $D$ אמצע $AC$.

$DE$ ו-$BC$ מקבילים שניהם לציר ה-$x$, ולכן $DE\parallel BC$.

ישר שיוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית: $E$ אמצע $AB$, ו-$DE$ קטע אמצעים.

טעות נפוצה: להסתפק ב-"$DE\parallel BC$" בלי להראות ש-$D$ אמצע $AC$ - כל ישר אופקי בין $A$ ל-$BC$ מקביל ל-$BC$, ורק אחד מהם קטע אמצעים; הוכחה כזאת פסולה.

(בדיקה: $E$ אמצע $AB$ היא $(-2,5)$, והמרחק מ-$D(0,5)$ הוא 2.)

טעות נפוצה: לחשב מחצית של $AB$, $2\sqrt5$, במקום מחצית הצלע המקבילה $BC$.

שיפוע $AB$ הוא $-2$. הזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה-$x$: $\tan\alpha=-2$.

הזווית החדה שמתאימה ל-$\tan=2$ היא $63.43^\circ$, ולשיפוע שלילי הזווית קהה: $\alpha=180^\circ-63.43^\circ=116.57^\circ$.

$BC$ בכיוון החיובי של ציר ה-$x$, ולכן $\angle ABC=116.57^\circ$.

$BD$ על ציר ה-$y$, מאונכת ל-$BC$:

טעות נפוצה: לענות $\angle ABC=63.43^\circ$ (מה שהמחשבון נותן ל-$\tan^{-1}2$) - הזווית בין $BA$ ל-$BC$ קהה, כי $A$ משמאל ל-$B$.

$DE\parallel BC$, ולכן $\triangle AED\sim\triangle ABC$ ביחס $\frac{DE}{BC}=\frac24=\frac12$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $S_{AED}=\frac14S_{ABC}$.

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון בלי ריבוע: $S_{AED}=\frac12S_{ABC}$, ולכן הטרפז שווה למשולש הקטן - פי 1.

$A$ על החלק החיובי: $A(10,0)$.

טעות נפוצה: לבחור את $x=-8$ - זו נקודת החיתוך על החלק השלילי של הציר.

$M(1,12)$ אמצע $AB$: $B=(2\cdot1-10,\ 2\cdot12-0)=(-8,\ 24)$.

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע הרדיוס $-\frac43$ ולקבל $y=-\frac43x+13\frac13$ - הישר שמכיל את הקוטר.

טעות נפוצה: לחשב $40-10=30$ - $A$ ו-$C$ משני צדי הראשית.

$\angle ADB$ היא זווית היקפית שנשענת על הקוטר $AB$, ולכן היא ישרה.

טעות נפוצה: לנמק ב"משיק מאונך לרדיוס" - הנימוק הזה שייך לזווית $ABC$, לא לזווית $ADB$.

$\angle ABC=90^\circ$: $BC$ משיק למעגל ב-$B$, ו-$AB$ קוטר - כלומר עובר דרך המרכז, ולכן מכיל את הרדיוס $MB$. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

$\angle ADB=90^\circ$: לפי סעיף ד(1).

$\angle BAC=\angle DAB$: נתון ש-$AB$ חוצה את הזווית $DAC$.

לכן $\triangle ABC\sim\triangle ADB$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow B$.

טעות נפוצה: לנמק את הזווית הישרה ב-$B$ בכך ש"היא נשענת על הקוטר" - $C$ אינה על המעגל, ולכן $\angle ABC$ אינה זווית היקפית; הנימוק הוא משיק מאונך לרדיוס.

$AC$ מתאים ל-$AB$. $AB=2\cdot15=30$, $AC=50$:

טעות נפוצה: לענות $\frac53$ - יחס הצלעות במקום ריבועו.

טעות נפוצה: להוציא מהתחום גם את $x=\pm3$, האפסים של המונה.

ב-$x=\pm2$ המכנה מתאפס והמונה $36-16=20\ne0$: אסימפטוטות אנכיות $x=\pm2$.

מעלות שוות, ולכן האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים של $x^2$: $y=\frac{-4}{-1}=4$.

טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של $-x^2$ ולכתוב $y=-4$.

$36-4x^2=0\Rightarrow x=\pm3$. $f(0)=\frac{36}{4}=9$.

טעות נפוצה: לאפס את המכנה ולקבל $(\pm2,0)$.

$f'=0$ רק ב-$x=0$; משמאל $f'<0$ ומימין $f'>0$: מינימום $(0,9)$.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר בכלל המנה, לקבל $-40x$ במונה ולסווג את $(0,9)$ כמקסימום.

הסימן של $f'$ כסימן של $x$, עם חלוקה גם ב-$x=\pm2$:

יורדת עבור $x<-2$ ועבור $-2<x<0$; עולה עבור $0<x<2$ ועבור $x>2$.

טעות נפוצה: לכתוב "עולה עבור $x>0$" בלי להפריד ב-$x=2$, שבה הפונקציה לא מוגדרת.

הפונקציה זוגית - הגרף סימטרי לציר ה-$y$.

בין $-2$ ל-2: יורד מ-$+\infty$ עד המינימום $(0,9)$ ועולה שוב ל-$+\infty$.

מימין ל-$x=2$: מתחיל ב-$-\infty$, עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ב-3 ומתקרב ל-$y=4$ מלמטה (למשל $f(4)=\frac{-28}{-12}\approx2.33$). משמאל ל-$x=-2$ - תמונת מראה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף האמצעי מתחת ל-$y=4$ - המינימום שלו הוא 9, ולכן כל הענף מעל האסימפטוטה האופקית.

הקיצון של $g$ - היכן ש-$g'=f$ מתאפסת ומחליפה סימן: $x=\pm3$.

$x=3$: עבור $2<x<3$ $f<0$, ועבור $x>3$ $f>0$ - $g$ יורדת ואחר כך עולה: מינימום.

$x=-3$: עבור $x<-3$ $f>0$, ועבור $-3<x<-2$ $f<0$ - מקסימום.

טעות נפוצה: להפוך את כלל הסיווג - לראות שגרף $f$ "עולה" דרך ציר ה-$x$ ב-$x=3$ ולקבוע ש-$g$ מגיעה שם לשיא - ולענות $x=3$ מקסימום ו-$x=-3$ מינימום. הסימן של $g'=f$ עובר ב-3 משלילי לחיובי, ולכן $g$ יורדת ואחר כך עולה - מינימום.

מעלים בריבוע: $12+a=9$, ולכן $a=-3$.

טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע: מ-$\sqrt{12+a}=3$ לכתוב $12+a=3$ ולקבל $a=-9$.

$f(x)=4\sqrt{x-3}-x$:

טעות נפוצה: לענות $x\ge-3$ - הביטוי בשורש הוא $x-3$ אחרי ההצבה $a=-3$.

כש-$3<x<7$: $\sqrt{x-3}<2$, ולכן $f'>0$ (עולה); כש-$x>7$: $f'<0$ (יורדת). $(7,1)$ מקסימום.

נקודת הקצה: $f(3)=-3$, ומימינה הפונקציה עולה - $(3,-3)$ מינימום (קצה).

טעות נפוצה: להסתפק ב-$f'=0$ ולענות רק $\max(7,1)$, בלי נקודת הקצה.