מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 6 ברמת בגרות

69.15% מהתפוחים שוקלים פחות מ-155 גרם: השטח המצטבר משמאל ל-155 הוא 0.6915.

בטבלה: $\Phi(0.5)=0.6915$, ולכן ציון התקן של 155 גרם הוא $z=0.5$.

טעות נפוצה: להציב את 0.6915 כציון התקן ולקבל $\sigma=\frac{5}{0.6915}\approx7.23$. 0.6915 הוא שטח, וציון התקן המתאים לו הוא 0.5.

קבוצה ג' - תפוחים שמשקלם גדול מ-163 גרם. ציון התקן של 163:

$\Phi(1.3)=0.9032$ הוא השטח משמאל. השטח מימין:

כלומר 9.68% מהתפוחים בקבוצה ג'.

טעות נפוצה: לענות 90.32% - זה אחוז התפוחים הקלים מ-163 גרם, לא הכבדים ממנו.

שיעור התפוחים בקבוצה ב' הוא השטח משמאל ל-163 פחות השטח משמאל ל-155 (קבוצה א'):

מספר התפוחים בקבוצה ב':

בכל שקית 5 תפוחים: $\frac{635}{5}=127$ שקיות.

טעות נפוצה: לשכוח להפחית את קבוצה א' - $3000\cdot0.9032\approx2710$ תפוחים, כלומר 542 שקיות. אלה כל התפוחים הקלים מ-163 גרם.

במטע האחר $P(Y>160)=0.2117$, ולכן השטח משמאל ל-160:

בטבלה: $\Phi(0.8)=0.7881$, הערך הקרוב ביותר, ולכן $z=0.8$.

סטיית התקן זהה, $\sigma=10$:

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.2117, לקבל $z=-0.8$ ומשם $\mu=160+8=168$. 0.2117 הוא השטח מימין ל-160, והטבלה עובדת עם השטח משמאל.

ב-$x$ כל ערך רחוק 1 מהממוצע, ולכן $S_x=1$.

הסטיות של $y$ מהממוצע: $-9,-3,-3,-1,1,3,3,9$. סכום הריבועים: $81+9+9+1+1+9+9+81=200$.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולכתוב $S_y=25$.

בספות של 3 מושבים $x-\bar x=-1$, והסטיות של $y$ הן $-9,-3,-3,-1$: סכום המכפלות $9+3+3+1=16$.

בספות של 5 מושבים $x-\bar x=1$, והסטיות $1,3,3,9$: סכום המכפלות 16.

טעות נפוצה: לשכוח את $n$ במכנה ולקבל $\frac{32}{5}=6.4$.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(4,15)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $m=0.8\cdot\frac15=0.16$, ולקבל $y=0.16x+14.36$.

(4 הוא ממוצע ה-$x$, וישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים - לכן הניבוי הוא ממוצע ה-$y$.)

טעות נפוצה: להציב בנוסחה בלי להחסיר את ממוצע ה-$x$, $\hat y=\bar y+m\cdot x=15+4\cdot4=31$ דקות. בישר $y-\bar y=m(x-\bar x)$ מציבים את המרחק מהממוצע, $x-\bar x=0$.

הארכה ב-25% פירושה שכל ערך של $y$ מוכפל ב-1.25.

(1) הכפלה בקבוע חיובי לא משנה את מקדם המתאם: $r=0.8$.

(2) $S_y=1.25\cdot5=6.25$ - תגדל.

(3) $m=r\cdot\frac{S_y}{S_x}=0.8\cdot6.25=5$ - יגדל.

טעות נפוצה: לענות שהשיפוע לא ישתנה כי מקדם המתאם לא משתנה. השיפוע תלוי גם בסטיית התקן של $y$.

האחוזים בשלב השני ובשלב השלישי הם מתוך מי שעבר את השלב הקודם - הסתברויות מותנות על ענפי העץ.

נגן מתקבל רק במסלול "עבר - עבר - עבר":

טעות נפוצה: לכפול רק $0.75\cdot0.5=0.375$ ולשכוח שה-75% הם רק מתוך מי שעבר את שלב ההקלטה.

המשלים של "לפחות אחד התקבל" הוא "שניהם לא התקבלו".

$P(\text{לא התקבל})=1-0.3=0.7$, והמבחנים של שני החברים בלתי תלויים:

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק אחד", $2\cdot0.3\cdot0.7=0.42$, ולשכוח את המקרה ששניהם התקבלו.

התנאי: לא התקבלה. $P(\text{לא התקבלה})=1-0.3=0.7$.

החיתוך "עברה את ההקלטה וגם לא התקבלה" מורכב משני מסלולים בעץ:

עברה הקלטה ונכשלה מול הוועדה: $0.8\cdot0.25=0.2$.

עברה הקלטה, עברה את הוועדה ונכשלה בחזרה המשותפת: $0.8\cdot0.75\cdot0.5=0.3$.

טעות נפוצה: לקחת רק את המסלול שנכשל בשלב האחרון ולקבל $\frac{0.3}{0.7}=\frac37$ - גם מי שנכשלה מול הוועדה עברה את שלב ההקלטה.

לפי סעיף א, 70% מהנגנים לא התקבלו. נסמן ב-$N$ את מספר הנגנים:

התקבלו $350-245=105$ נגנים (בדיקה: $0.3\cdot350=105$).

טעות נפוצה: לכפול $0.3\cdot245=73.5$ - ה-30% הם מכלל הנגנים, לא מאלה שלא התקבלו.

$M$ היא נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה-$y$: $M(0,9)$.

$BD$ עובר דרך $M(0,9)$: $y=\frac13x+9$.

טעות נפוצה: להפוך בלי להחליף סימן ולקבל $y=-\frac13x+9$.

$A$: $0=-3x+9$, $x=3$ - $A(3,0)$.

$B$: $0=\frac13x+9$, $x=-27$ - $B(-27,0)$.

$AD$ אנכי ($x=3$), ו-$D$ על $BD$: $y=\frac13\cdot3+9=10$ - $D(3,10)$.

$DC$ אופקי ($y=10$), ו-$C$ על $AC$: $10=-3x+9$, $x=-\frac13$ - $C(-\frac13,10)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$C$ נמצאת בדיוק מעל $M$ ולכתוב $C(0,10)$. $C$ היא קצה האלכסון $AC$ וצריכה לקיים את משוואתו.

$BA$ על ציר ה-$x$, ולכן הזווית $ABD$ היא הזווית של $BD$ עם ציר ה-$x$:

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע של $AC$: $\tan\alpha=3$, $\alpha\approx71.57^\circ$.

$DC\parallel AB$, ולכן $\angle BCD+\angle CBA=180^\circ$ (זוויות חד-צדדיות):

טעות נפוצה: לענות $20.56^\circ$ - זו הזווית $CBA$, ולא הזווית הקהה ב-$C$.

$CD=3-\left(-\frac13\right)=\frac{10}{3}$, והגובה מ-$B$ לישר $y=10$ הוא 10.

טעות נפוצה: לחשב את $CD$ כ-$3-\frac13=\frac83$ (לאבד את הסימן של $-\frac13$) ולקבל $\frac{40}{3}$.

לשני המשולשים אותו גובה מ-$B$ (10), ולכן $FC=2\cdot CD=\frac{20}{3}$.

$F$ על $y=10$: $x=-\frac13+\frac{20}{3}=\frac{19}{3}$ או $x=-\frac13-\frac{20}{3}=-7$.

טעות נפוצה: למדוד $\frac{20}{3}$ מ-$D$ ולקבל $F(\frac{29}{3},10)$, שבעבורה $FC=10$ - השטח פי 3.

$R=MC=-7-(-20)=13$.

טעות נפוצה: לכתוב $(x-7)^2+y^2=169$ - מעגל שמרכזו $(7,0)$.

$(x+12)(x-5)=0$: $x=5$ או $x=-12$, ולכן $A(5,5)$ (ברביע הראשון) ו-$B(-12,-12)$.

טעות נפוצה: לפתוח את $(x+7)^2$ כ-$x^2+49$, לקבל $2x^2=120$ ואת הנקודות $(\pm\sqrt{60},\pm\sqrt{60})$.

זווית הנטייה של $OA$ (הישר $y=x$) היא $45^\circ$, ו-$\angle AOC$ צמודה לה:

טעות נפוצה: לענות $\angle AOC=45^\circ$ - זו הזווית בין $OA$ לחלק החיובי של ציר ה-$x$.

$O$ על הצלע $AB$, ולכן מחלקים לשני משולשים עם הבסיס $CO=20$:

טעות נפוצה: לחשב רק את שטח המשולש $ACO$ ולקבל 50.

למשולשים $EAB$ ו-$CAB$ אותו גובה מ-$B$ לישר $AC$:

טעות נפוצה: לייחס את השטח 68 למשולש $EBC$ ולקבל $AE=\frac35\cdot5\sqrt{26}=3\sqrt{26}$.

המכנה מתאפס ב-$x=3$, ולכן התחום: $x\neq3$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq-3$ (סימן הפוך).

ב-$x=3$ המכנה מתאפס והמונה $54\neq0$: אסימפטוטה אנכית $x=3$.

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה: $y=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=18$ - יחס מקדמים מתאים רק למעלות שוות.

$18x=0$, $x=0$: הנקודה $(0,0)$.

טעות נפוצה: להוסיף את $(3,0)$ מאיפוס המכנה - שם הפונקציה לא מוגדרת.

$f'(x)=0$ ב-$x=-3$. ל-$x<-3$: המונה חיובי והמכנה שלילי ($f'<0$); ל-$-3<x<3$: שניהם שליליים ($f'>0$).

ירידה ואחריה עלייה: מינימום. $f(-3)=\frac{-54}{36}=-\frac32$.

טעות נפוצה: לחשב $(-3-3)^2=-36$ ולקבל $f(-3)=\frac32$, כלומר $\min\left(-3,\frac32\right)$.

אסימפטוטות $x=3$, $y=0$; חיתוך $(0,0)$; מינימום $\left(-3,-\frac32\right)$.

ל-$x<3$: יורד מ-0 (ב-$-\infty$, מתחת לציר) עד המינימום, עולה דרך הראשית ל-$+\infty$ ליד $x=3$.

ל-$x>3$: $f'<0$ והערכים חיוביים - יורד מ-$+\infty$ ושואף ל-0.

טעות נפוצה: לצייר את הענף הימני מתחת לציר. ל-$x>3$ המונה $18x$ חיובי, ולכן $f>0$.

ערכים שליליים מתקבלים רק ל-$x<0$: הפונקציה יורדת מ-0 ל-$-\frac32$ ועולה חזרה ל-0.

ישר $y=k$ עם $-\frac32<k<0$ חותך פעמיים; עם $k<-\frac32$ אינו חותך.

נקודה אחת בדיוק רק בגובה המינימום: $k=-\frac32$.

טעות נפוצה: לענות $k=-3$ - שיעור ה-$x$ של המינימום במקום שיעור ה-$y$ שלו. הישר $y=-3$ עובר מתחת למינימום $\left(-3,-\frac32\right)$ ואינו פוגש את הגרף כלל.

הזזה ביחידה כלפי מטה: האנכית נשארת $x=3$, האופקית יורדת ל-$y=-1$.

טעות נפוצה: להזיז את האסימפטוטה האנכית ל-$x=2$. הזזה אנכית לא משנה שיעורי $x$.

$g(x)=-\frac32$ פירושו $f(x)=-\frac12$.

$-\frac32<-\frac12<0$, ובענף השמאלי $f$ מקבלת כל ערך כזה פעמיים: פעם בירידה (ל-$x<-3$) ופעם בעלייה (ל-$-3<x<0$).

בענף הימני הערכים חיוביים. לכן 2 נקודות משותפות.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$y=-\frac32$ עדיין "משיק במינימום" ולענות נקודה אחת. המינימום של $g$ הוא $-\frac52$, והישר נמצא מעליו.

$2x+3=0$ כש-$x=-1.5$. תחום ההגדרה: $x\neq-1.5$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq1.5$ - לשכוח שמעבירים את 3 לצד השני עם סימן הפוך.

אנכית: $x=-1.5$ (המכנה מתאפס, המונה 8 לא).

אופקית: $\frac{8}{(2x+3)^2}\to0$ כש-$x\to\pm\infty$, ולכן $f(x)\to2$: $y=2$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ - שוכחים את המחובר 2 שמזיז את הגרף למעלה.

ציר ה-$y$: $f(0)=2-\frac89=\frac{10}{9}$.

ציר ה-$x$: $\frac{8}{(2x+3)^2}=2$, כלומר $(2x+3)^2=4$, $2x+3=\pm2$.

טעות נפוצה: לקחת רק $2x+3=2$ ולקבל נקודה אחת, $(-0.5,0)$. שתי נקודות - אחת בכל צד של האסימפטוטה.

$f(x)=2-8(2x+3)^{-2}$, ובכלל השרשרת:

הנגזרת אינה מתאפסת; הסימן לפי $(2x+3)^3$: שלילי ל-$x<-1.5$ (ירידה), חיובי ל-$x>-1.5$ (עלייה).

טעות נפוצה: לאבד אחד משני המינוסים ($-8$ והמעריך $-2$), לקבל $f'(x)=\frac{-32}{(2x+3)^3}$ ולהפוך את התחומים: עלייה ל-$x<-1.5$, ירידה ל-$x>-1.5$.

$\frac{8}{(2x+3)^2}>0$, ולכן $f(x)<2$: הגרף כולו מתחת לאסימפטוטה $y=2$.

ליד $x=-1.5$ השבר שואף ל-$+\infty$, ולכן $f\to-\infty$ משני הצדדים.

משמאל: יורדת מגובה 2 דרך $(-2.5,0)$ ל-$-\infty$. מימין: עולה מ-$-\infty$ דרך $(-0.5,0)$ ו-$\left(0,\frac{10}{9}\right)$ ומתקרבת ל-2.

טעות נפוצה: לצייר את הענפים עולים ל-$+\infty$ (כמו ב-$\frac{1}{x^2}$) - המינוס לפני השבר הופך אותם כלפי מטה.

לפי סעיף א(4): משמאל לאסימפטוטה $f$ יורדת, ולכן $f'<0$ (הגרף מתחת לציר); מימין $f$ עולה, ולכן $f'>0$.

גרף I: חיובי משמאל ושלילי מימין - הפוך. גרף II: שלילי משני הצדדים - מתאים לפונקציה שיורדת בכל התחום.

גרף III: שלילי משמאל וחיובי מימין - זה גרף $f'(x)$.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II "כי $f$ פונה כלפי מטה ליד האסימפטוטה". גרף הנגזרת מתאר את סימן השיפוע: $f$ עולה מימין, ולכן שם $f'$ חיובית.

בתחום $0\le x\le1$ (מימין לאסימפטוטה) $f'(x)>0$ - הגרף מעל ציר ה-$x$.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$:

טעות נפוצה: לחשב את השטח מתחת לגרף של $f$ במקום של $f'$: $\int_0^1f(x)\,dx=\frac{22}{15}\approx1.47$.