מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 5 ברמת בגרות

העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן מחצית מהערכים נמוכים מהממוצע.

50% מהמשלוחים הגיעו בפחות מ-40 דקות, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שני הערכים שבנתונים, $\frac{40+44}{2}=42$. רק הנתון של 50% קובע את הממוצע.

21.19% הגיעו ביותר מ-44 דקות, ולכן השטח המצטבר משמאל ל-44 הוא:

בטבלה: $\Phi(0.8)=0.7881$, ולכן ציון התקן של 44 הוא $Z=0.8$.

טעות נפוצה: לחלק באחוז במקום בציון התקן - $\sigma=\frac{4}{0.2119}\approx18.88$.

קיצור ב-15% פירושו שכל זמן מוכפל ב-0.85.

הכפלה של כל הנתונים בקבוע חיובי מכפילה גם את הממוצע וגם את סטיית התקן באותו קבוע:

טעות נפוצה: להכפיל את סטיית התקן ב-$0.85^2$ ולקבל $3.6125$ - בריבוע הקבוע מוכפלת השונות, לא סטיית התקן.

גם אחרי השינוי ההתפלגות נורמלית, כי כל ערך מוכפל באותו קבוע.

"גבוה מהממוצע ביותר מסטיית תקן אחת" הוא תמיד התחום $Z>1$, בכל התפלגות נורמלית:

לפני ההתקנה זה התחום $X>45$, ואחריה $X>38.25$ - אבל בשני המקרים זה אותו אחוז: 15.87%.

טעות נפוצה: לענות "יקטן" כי הזמנים התקצרו. אם בודקים ערך קבוע (למשל יותר מ-45 דקות) האחוז אכן קטן, אבל כאן הגבול זז יחד עם הממוצע וסטיית התקן.

$r=\pm1$ רק כשהנקודות על ישר אחד: לתוספת קבועה ב-$x$ מתאים שינוי קבוע ב-$y$.

טבלה 1: $x$ גדל ב-1 ו-$y$ קטן תמיד ב-3 ($y=20-3x$). קשר מושלם שלילי: $r=-1$.

טבלה 3: $x$ גדל ב-2 ו-$y$ גדל תמיד ב-1 ($y=0.5x+2$). קשר מושלם חיובי: $r=1$.

טבלה 2: $y$ יורד במגמה כללית אבל השינויים לא קבועים ($-2,-6,-1,0$). קשר שלילי לא מושלם: $-1<r<0$.

לכן: I - טבלה 2, II - טבלה 3, III - טבלה 1.

טעות נפוצה: לשייך את טבלה 1 ל-$r=1$ רק כי ה-$y$ משתנה בה בקצב קבוע, ולקבל II - טבלה 1. בטבלה 1 $y$ יורד, ולכן הקשר המושלם בה שלילי.

גיל ממוצע 4 שנים, מחיר ממוצע 14.4 אלף ש"ח.

טעות נפוצה: לקחת כמחיר הממוצע את המחיר שליד $\bar x=4$ בטבלה, 12 אלף ש"ח. נקודת הממוצעים אינה בהכרח אחת מנקודות הטבלה.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים $(4,14.4)$:

טעות נפוצה: להחליף בין הממוצעים: $4=-2.5\cdot14.4+b$, ולקבל $b=40$.

שיפוע ישר הרגרסיה: $a=r\cdot\frac{s_y}{s_x}$. השיפוע הנתון $a=-2.5$:

התוצאה בין $-1$ ל-0, כמו שקבענו לטבלה 2 בסעיף א.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן ולענות $r\approx0.9225$. סימן $r$ תמיד שווה לסימן השיפוע, וכאן השיפוע שלילי.

בעץ: בשלב הראשון קליעה $\frac23$ והחטאה $\frac13$. אחרי החטאה - קליעה $\frac13$ והחטאה $\frac23$.

טעות נפוצה: לכפול בענף הלא נכון בשלב השני - $\frac13\cdot\frac23=\frac29$ (החטאה פעמיים).

המשלים הוא החטאה בשתי הזריקות:

טעות נפוצה: לחשב את המשלים עם הענף הלא נכון - $1-\frac13\cdot\frac13=\frac89$.

"בדיוק אחת" מוכל ב"לפחות אחת", ולכן:

טעות נפוצה: לענות $\frac49$ - בלי לחלק בהסתברות של התנאי.

אצל שירה: $P(\text{בדיוק אחת})=p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p)$.

לפי סעיף ב(2), אצל רוני ההסתברות היא $\frac49$:

$p=\frac23$ או $p=\frac13$, ושני הערכים אפשריים.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 ולכתוב $p(1-p)=\frac49$. מקבלים $9p^2-9p+4=0$, בלי פתרון, ומסיקים בטעות שאין $p$ כזה.

$AC\perp CB$, ולכן $m_{AC}\cdot\left(-\frac13\right)=-1$, כלומר $m_{AC}=3$.

טעות נפוצה: לקחת $m_{AC}=-3$ (בלי להחליף סימן) ולקבל $y=-3x-18$.

טעות נפוצה: כשכופלים את המשוואה ב-3 כדי להיפטר מהשבר, לכפול רק את האיברים עם $x$ ולהשאיר את 18 ואת 8 כמו שהם: $9x+18=-x+8$. אז $x=-1$, $y=15$, והנקודה $(-1,15)$ אינה על $CB$.

$E$ אמצע $AC$:

טעות נפוצה: לחשב את $AC=\sqrt{90}\approx9.487$ במקום חצי ממנו.

$B(0,8)$, ו-$CB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx3.162$.

במשולש $ECB$ (ישר זווית ב-$C$):

טעות נפוצה: לחשב $\tan=\frac{EC}{CB}=1.5$ ולקבל $56.31^\circ$ - הזווית שליד $B$.

$\angle AEK=180^\circ-33.69^\circ=146.31^\circ$, ו-$\sin146.31^\circ=\sin33.69^\circ\approx0.5547$.

$AE=EC=\sqrt{22.5}\approx4.743$.

טעות נפוצה: להשמיט את הסינוס ולקבל $EK=\frac{10}{4.743}\approx2.11$.

$AD$ על ציר ה-$y$ ו-$BD$ מקביל לציר ה-$x$, ולכן $\angle ADB=90^\circ$.

זו זווית היקפית הנשענת על $AB$, וזווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר. לכן $AB$ קוטר.

טעות נפוצה: להשתמש במשפט בכיוון ההפוך - "זווית היקפית הנשענת על קוטר ישרה" - ולהניח מראש ש-$AB$ קוטר כדי להסיק ש-$\angle ADB=90^\circ$. כאן הזווית הישרה היא הנתון והקוטר הוא המסקנה.

$\angle CBD$ ו-$\angle DAC$ הן זוויות היקפיות (קודקודיהן $B$ ו-$A$ על המעגל), ושתיהן נשענות על הקשת $CD$.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות.

טעות נפוצה: לטעון שהן נשענות על הקשת $AB$ ולכן ישרות שתיהן. הן נשענות על הקשת $CD$, והן אינן ישרות.

$\angle CBE=\angle DAE$ (סעיף א(2)), $BE=AE$ (נתון), $\angle BEC=\angle AED$ (קודקודיות).

לכן $\triangle CBE\cong\triangle DAE$ לפי ז.צ.ז.

טעות נפוצה: לנמק לפי צ.ז.צ. עם $CE=DE$ - את השוויון הזה עוד לא יודעים; הוא נובע מהחפיפה.

$D$ על ציר ה-$y$ ובגובה של $E$: $D(0,7)$, ו-$DE=8$.

$A$ מעל $D$: $A(0,13)$.

$BE=AE=10$, ו-$B$ משמאל ל-$E$: $B(-18,7)$.

טעות נפוצה: לשים את $B$ מימין ל-$E$, $B(2,7)$ - נקודה מימין לציר ה-$y$, מחוץ לסרטוט; $B$ הוא הקצה השמאלי של המיתר $BD$.

$M$ אמצע הקוטר $AB$: $M\left(\frac{0-18}{2},\frac{13+7}{2}\right)=(-9,10)$.

טעות נפוצה: לכתוב $(x-9)^2+(y+10)^2=90$ - להפוך את הסימנים של שיעורי המרכז.

בחפיפה $\triangle CBE\cong\triangle DAE$ הצלע $BC$ מתאימה ל-$AD$, ולכן $BC=AD=6$.

טעות נפוצה: להתאים את $BC$ ל-$DE$ ולענות 8.

$BC=6$, $CE=DE=8$, $MB=R=\sqrt{90}\approx9.49$.

טעות נפוצה: לחשב את $EM$ רק לפי הפרש שיעורי ה-$x$, $|-8-(-9)|=1$, ולקבל היקף $6+8+1+9.49\approx24.49$. $E$ ו-$M$ אינן על אותו ישר אופקי (שיעורי $y$ 7 ו-10), ולכן צריך את נוסחת המרחק.

המכנה $x^2$ מתאפס רק ב-$x=0$, ולכן התחום: $x\neq0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$ - $x^2$ מתאפס רק ב-0, וגם ערכים שליליים מותרים.

ב-$x=0$ המכנה מתאפס והמונה שווה ל-$a\neq0$: אסימפטוטה אנכית $x=0$.

מעלות המונה והמכנה שוות (2), ולכן $f(x)\to\frac11=1$ כש-$x\to\pm\infty$: אסימפטוטה אופקית $y=1$.

טעות נפוצה: לעצור באסימפטוטה האנכית ולענות רק $x=0$ - כאן המעלות שוות, ולכן יש גם אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לשכוח להכפיל במכנה, $21+a=3$, ולקבל $a=-18$.

$f(x)=\frac{x^2+4x+6}{x^2}$. בכלל המנה:

$f'(x)=0$ רק ב-$x=-3$. הסימן תלוי גם ב-$x^3$, שמחליף סימן ב-0:

$f(-3)=\frac{9-12+6}{9}=\frac13$. נקודת מינימום: $\left(-3,\frac13\right)$ - נקודת הקיצון היחידה.

טעות נפוצה: לצמצם את $x^3$ ל-$x^2$ (חיובי תמיד), לקבוע את הסימן רק לפי $-4(x+3)$ ולענות $\max\left(-3,\frac13\right)$.

אסימפטוטות $x=0$ ו-$y=1$; מינימום $\left(-3,\frac13\right)$; ירידה ב-$x<-3$ וב-$x>0$, עלייה ב-$-3<x<0$.

אין חיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2+4x+6=0$ חסרת פתרון ($16-24<0$), ולכן $f(x)>0$ לכל $x$.

$f(x)-1=\frac{4x+6}{x^2}$: שלילי ב-$x<-1.5$ (הגרף מתחת לאסימפטוטה) וחיובי ב-$x>-1.5$.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף השמאלי מתקרב ל-$y=1$ מלמעלה - כש-$x\to-\infty$ מתקיים $f(x)<1$.

$g'(x)=f(x)-\frac12$ - הזזה של גרף $f$ חצי יחידה למטה. האסימפטוטה האופקית עוברת ל-$y=\frac12$, והמינימום ל-$\left(-3,-\frac16\right)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=\frac12$:

בענף הימני $f(x)>1$, ולכן $g'(x)>\frac12>0$ - אין שם חיתוך.

טעות נפוצה: להזיז את הגרף חצי יחידה שמאלה (במקום למטה), כאילו $g'(x)=f(x+0.5)$.

$g'>0$ ב-$x<-6$, $g'<0$ ב-$-6<x<-2$, $g'>0$ ב-$-2<x<0$ וגם ב-$x>0$.

ב-$x=-6$: מחיובית לשלילית - מקסימום. ב-$x=-2$: משלילית לחיובית - מינימום. ($x=0$ מחוץ לתחום.)

טעות נפוצה: להפוך את הכלל ולקבוע מינימום ב-$x=-6$ ומקסימום ב-$x=-2$ - במעבר של $g'$ מחיובית לשלילית הפונקציה $g$ עוברת מעלייה לירידה, כלומר מקסימום.

טעות נפוצה: לפתור $2x-5\ge0$ כ-$x\ge-2.5$ (להעביר אגף בלי להחליף סימן). ב-$x=0$, למשל, השורש הוא $\sqrt{-5}$ - לא מוגדר.

$2x=6\sqrt{2x-5}$, כלומר $x=3\sqrt{2x-5}$. מעלים בריבוע:

בדיקה: $f(3)=6-6\cdot1=0$ ✓, $f(15)=30-6\cdot5=0$ ✓.

הנקודות: $(3,0)$, $(15,0)$.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע בלי לרבע את 3: $x^2=3(2x-5)$, $x^2-6x+15=0$ - בלי פתרון, ומכאן "אין חיתוך".

$f'(x)=0$: $\sqrt{2x-5}=3$, $x=7$. $f(7)=14-18=-4$.

ב-$2.5<x<7$, $f'<0$; ב-$x>7$, $f'>0$ - ולכן $(7,-4)$ מינימום.

נקודת הקצה: $f(2.5)=5$, ומימינה הפונקציה יורדת - $(2.5,5)$ מקסימום.

טעות נפוצה: לשכוח את גורם השרשרת ולגזור $f'=2-\frac{3}{\sqrt{2x-5}}$; אז $\sqrt{2x-5}=1.5$ ומקבלים מינימום שגוי ב-$x=3.625$.

נקודת התחלה $(2.5,5)$ (מקסימום בקצה), ירידה דרך $(3,0)$ עד המינימום $(7,-4)$, עלייה וחיתוך ב-$(15,0)$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף יוצא מ-$(2.5,5)$ כלפי מעלה. לפי סעיף ג הפונקציה יורדת מימין לנקודת הקצה.

$f$ יורדת ב-$2.5<x<7$ ועולה אחר כך: $f'$ שלילית, מתאפסת ב-7 וחיובית - הגרף חותך את ציר ה-$x$ מלמטה למעלה.

ליד $x=2.5$: $f'\to-\infty$; כש-$x\to\infty$: $f'\to2>0$.

הגרף שעולה מ-$-\infty$, חותך את הציר ומתקרב לערך חיובי הוא גרף III.

טעות נפוצה: לבחור בגרף IV (עולה מ-$-\infty$ ונשאר שלילי). גרף כזה מתאים לפונקציה שיורדת בכל התחום, אבל ל-$f$ יש מינימום ב-$x=7$, ולכן $f'$ חייבת לחתוך את ציר ה-$x$.

$f'$ מחליפה סימן ב-$x=7$: מתחת לציר בין 3 ל-7, מעליו בין 7 ל-10.5.

הקדומה של $f'$ היא $f$: $f(3)=0$, $f(7)=-4$, $f(10.5)=21-6\sqrt{16}=-3$.