מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 7 ברמת בגרות

השטח המצטבר משמאל לציון התקן של 54 הוא 0.9332. בטבלה: $\Phi(1.5)=0.9332$, ולכן $z=1.5$.

טעות נפוצה: להציב את השטח במקום ציון התקן: $\sigma=\frac{12}{0.9332}\approx12.86$.

15% מהשתילים גבוהים מהשתיל של נועה, ולכן 85% נמוכים ממנו: השטח משמאל לציון התקן שלו הוא 0.85.

בטבלה: $\Phi(1.03)=0.8485$ ו-$\Phi(1.04)=0.8508$. הקרוב ביותר ל-0.85 הוא 0.8508, ולכן $z=1.04$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.15, לקבל $z=-1.04$ ו-$x=42-8.32=33.68$ ס"מ - זה גובה של שתיל שגבוה רק מ-15% מהשתילים.

השטח משמאל ל-$z=-2$ הוא אחוז השתילים הנמוכים מ-26 ס"מ: $\Phi(-2)=0.0228$.

2.28% מהשתילים מפגרים בצמיחה.

טעות נפוצה: לחשב משלים שלא צריך ולענות $1-0.0228=97.72\%$.

טעות נפוצה: לכפול במספר האחוזים ולא בשבר: $2.28\cdot15000=34{,}200$ - יותר שתילים ממה שנשתל.

לפי סעיף ב, ציון התקן של השתיל של נועה הוא 1.04, וזה גם ציון התקן של השתיל של יובל, שגובהו 50.32 ס"מ.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולקבל $\mu=50.32+6.24=56.56$ - ממוצע גבוה מהשתיל, אף על פי שציון התקן שלו חיובי.

ציון התקן של 65 דקות:

"ארוך מ-65" הוא השטח מימין לציון התקן, כלומר המשלים של הערך בטבלה:

4.46% מהמשלוחים מגיעים אחרי יותר מ-65 דקות.

טעות נפוצה: לענות 95.54% - הערך בטבלה הוא השטח משמאל, כלומר אחוז המשלוחים שמגיעים תוך פחות מ-65 דקות.

חצי שעה היא 30 דקות. ציון התקן:

לפי הסימטריה של העקומה:

מספר המשלוחים:

טעות נפוצה: לכפול את $\Phi(1.8)=0.9641$ ב-60,000 ולענות 57,846 משלוחים - זה מספר המשלוחים שהגיעו אחרי יותר מחצי שעה.

האחוז שמעל 65 דקות לא השתנה (4.46%), ולכן גם ציון התקן של 65 לא השתנה: $Z=1.7$.

מציבים את הממוצע החדש:

טעות נפוצה: להציב את הממוצע הישן, $1.7=\frac{65-48}{\sigma}$, ולקבל $\sigma=10$ - כאילו דבר לא השתנה. ציון התקן נשמר, אבל הממוצע בנוסחה הוא החדש.

לאחר השינוי $\mu=41$, $\sigma\approx14.12$:

מספר המשלוחים: $0.2177\cdot60{,}000=13{,}062$.

לפני השינוי (סעיף ב) היו 2,154 משלוחים כאלה:

טעות נפוצה: להשאיר את סטיית התקן 10, לקבל $Z=-1.1$, $\Phi(-1.1)=0.1357$, 8,142 משלוחים, ולענות "פי 3.78".

בהוצאה הראשונה: $P(\text{שחורה})=\frac{3}{20}$.

גולה שחורה לא חוזרת, ולכן בהוצאה השנייה יש 19 גולות, ומהן 2 שחורות:

טעות נפוצה: לחשב כמו עם החזרה: $\left(\frac{3}{20}\right)^2=\frac{9}{400}=0.0225$.

שלושה מסלולים זרים. ירוקה ולבנה מוחזרות, ולכן ההרכב בהוצאה השנייה זהה:

שחורה-שחורה מסעיף א: $\frac{3}{190}$.

טעות נפוצה: לחשב גם את השחורה-שחורה עם החזרה: $\frac{144+25+9}{400}=0.445$.

הסתברות מותנית, התנאי: "אותו צבע".

טעות נפוצה: לא לחלק בהסתברות התנאי ולענות $\frac{595}{7600}\approx0.0783$.

מה נשאר בשקית: $12-x$ ירוקות, 4 לבנות, 2 שחורות. בסך הכול $20-x-2=18-x$ גולות.

$x=29$ נפסל, כי היו רק 12 גולות ירוקות. לכן $x=6$.

טעות נפוצה: להתייחס לגולות שניתנו לחבר כאילו הן מה שנשאר בשקית: $\frac{1}{x+2}\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{2}{33}$, כלומר $(x+2)(x+1)=16.5$ - משוואה בלי פתרון שלם.

$D(0,d)$. לפי $AD=\sqrt{50}$:

$d=1$ או $d=15$. שיעור ה-$y$ של $D$ קטן מ-8, ולכן $D(0,1)$.

טעות נפוצה: לבחור $d=15$ בלי לבדוק את התנאי, ולקבל $D(0,15)$.

האלכסונים בדלתון מאונכים. שיפוע $AC$:

ולכן $m_{BD}=2$. הישר דרך $D(0,1)$: $y=2x+1$.

טעות נפוצה: לקחת את השיפוע ההופכי בלי להחליף סימן, $m=-2$, ולקבל $y=-2x+1$. ישר מאונך: מכפלת השיפועים $-1$.

משוואת $AC$: $y-8=-\frac12(x-1)$, כלומר $y=-\frac12x+8.5$.

חיתוך עם $y=2x+1$:

טעות נפוצה: להניח ש-$E$ אמצע $AC$ ולקבל $(5,6)$. האלכסון $BD$ אינו חוצה את $AC$ בדלתון.

$\triangle ABC\cong\triangle ADC$ לפי צ.צ.צ ($AB=AD$, $CB=CD$, $AC$ משותפת), ולכן $\angle BAC=\angle DAC$.

$F$ על $AC$, ולכן $\angle BAF=\angle DAF$.

$AB=AD$, $\angle BAF=\angle DAF$, $AF$ משותפת, ולכן $\triangle ABF\cong\triangle ADF$ לפי צ.ז.צ.

טעות נפוצה: לנמק את החפיפה ב-$AB=AD$, $AF$ משותפת ו-$\angle ABF=\angle ADF$ - זווית שאינה בין שתי הצלעות (צ.צ.ז), וזה אינו משפט חפיפה.

במעוין $FBAD$ האלכסונים $AF$ ו-$BD$ חוצים זה את זה. $E$ היא אמצע $BD$ (האלכסון הראשי של הדלתון חוצה את האלכסון השני), ולכן צריך ש-$E$ תהיה גם אמצע $AF$:

$F$ על הקטע $EC$: $-\frac12\cdot5+8.5=6$ ו-$3<5<9$.

טעות נפוצה: לקחת את $F$ כאמצע $EC$, $(6,5.5)$. אז $E$ אינה אמצע $AF$ והמרובע אינו מעוין.

$B=2E-D=(6,13)$.

I: בודקים את שלוש הזוויות בעזרת שיפועים. $m_{AB}=\frac{13-8}{6-1}=1$, $m_{BC}=\frac{4-13}{9-6}=-3$, $m_{AC}=-\frac12$.

$m_{AB}\cdot m_{BC}=-3$, $m_{AB}\cdot m_{AC}=-\frac12$, $m_{BC}\cdot m_{AC}=\frac32$. אף מכפלה אינה $-1$, ולכן אין במשולש זווית ישרה. הטענה לא נכונה.

II: $\angle ADC=\angle ABC$ (חפיפת המשולשים $ABC$ ו-$ADC$), ו-$\angle ABC\neq90^\circ$, ולכן $\angle B+\angle D\neq180^\circ$. בזוג הזוויות הנגדיות השני, $\angle A+\angle C=360^\circ-2\angle B\neq180^\circ$. הדלתון אינו בר חסימה. הטענה לא נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע ש-II נכונה כי "דלתון סימטרי ולכן חסום במעגל". הסימטריה נותנת רק $\angle B=\angle D$; כדי שהדלתון יהיה בר חסימה צריך גם $\angle B+\angle D=180^\circ$, כלומר זוויות ישרות.

ציר ה-y משיק למעגל ב-E, ו-$ME$ רדיוס לנקודת ההשקה, ולכן $ME\perp$ ציר ה-y.

$A$ על המשך $ME$, ולכן $MA\perp$ ציר ה-y. גם ציר ה-x מאונך לציר ה-y, ושני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים: $MA\parallel$ ציר ה-x.

טעות נפוצה: לנמק ב"$MA$ מאונך לציר ה-x" - $MA$ מאונך לציר ה-y, הוא הישר המשותף ששני הישרים מאונכים לו.

$B$ ו-$C$ על ציר ה-x, ולפי סעיף א(1) $BC\parallel MA$.

$\angle CBM$ ו-$\angle BMA$ נמצאות משני צדי החותך $BM$ ובין המקבילים - זוויות מתחלפות, ולכן שוות.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle CBM+\angle BMA=180^\circ$ (חד-צדדיות). C מימין לחותך ו-A משמאלו, לכן הן מתחלפות.

$MB=MC$ (רדיוסים): $\angle MCB=\angle MBC$.

$AB=MB$ (שווים לרדיוס): במשולש $ABM$ הבסיס $MA$, ולכן $\angle BMA=\angle BAM$.

לפי א(2) $\angle MBC=\angle BMA=\alpha$, ולכן ארבע זוויות הבסיס שוות $\alpha$, וזוויות הראש:

טעות נפוצה: לכתוב $\angle MBA=\angle MAB$ כאילו $MB=MA$. A מחוץ למעגל, ו-$MA$ אינו רדיוס.

$\angle CMB=\angle MBA$ הן זוויות מתחלפות בין $CM$ ל-$AB$ עם החותך $MB$, ולכן $CM\parallel AB$.

עם $BC\parallel MA$ (סעיף א(1)) - שני זוגות צלעות נגדיות מקבילים, ולכן $ABCM$ מקבילית.

טעות נפוצה: להסיק "מעוין" מ-$MB=MC=AB$. $MB$ אלכסון, ו-$BC\ne AB$ ($12$ לעומת $10$ בהמשך).

המעגל משיק לציר ה-y, ולכן הרדיוס הוא המרחק של המרכז מציר ה-y - שיעור ה-x של המרכז: $R=10$.

טעות נפוצה: לקחת את שיעור ה-y כרדיוס ולכתוב $(x-10)^2+(y-8)^2=64$ - מעגל שמשיק לציר ה-x.

על ציר ה-x $y=0$:

B הקרובה לראשית: $B(4,0)$, $C(16,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$, לקבל $(y-8)^2=0$ ואת הנקודה $(0,8)$ - זו נקודת ההשקה E עם ציר ה-y.

במקבילית $ABCM$: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}$:

בדיקה: A על הישר $y=8$, ו-$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10=R$.

טעות נפוצה: להניח ש-E אמצע $MA$ ולקבל $A(-10,8)$.

הבסיס $BC=16-4=12$ על ציר ה-x.

הגובה - המרחק בין $y=0$ ל-$y=8$ (הצלע $MA$): 8.

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס 10 כגובה ולקבל 120.

המכנה שונה מאפס: $x-1\neq0$, כלומר $x\neq1$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq-1$ (סימן הפוך).

ב-$x=1$ המכנה מתאפס והמונה $1+3=4\neq0$, ולכן $x=1$ אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: להוסיף גם $y=1$ כאסימפטוטה אופקית לפי יחס המקדמים - מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, ואין אסימפטוטה אופקית.

ציר ה-$x$: $x^2+3=0$ - אין פתרון ($x^2\ge0$, ולכן $x^2+3\ge3$).

ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{3}{-1}=-3$, הנקודה $(0,-3)$.

טעות נפוצה: לכתוב $(0,3)$ - שוכחים שהמכנה ב-$x=0$ שלילי.

$f'(x)=0$: $(x-3)(x+1)=0$, כלומר $x=-1$ או $x=3$.

$f(-1)=\frac{4}{-2}=-2$, $f(3)=\frac{12}{2}=6$.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר במונה של כלל המנה ($uv'-u'v$). הנגזרת יוצאת עם סימן הפוך, הטבלה מתהפכת, והתשובה $\min(-1,-2)$, $\max(3,6)$.

משמאל ל-$x=1$ המונה חיובי והמכנה שלילי - הענף כולו מתחת לציר ה-$x$; מימין - כולו מעליו.

ענף שמאלי: עולה עד $(-1,-2)$, יורד דרך $(0,-3)$ ושואף ל-$-\infty$ ליד $x=1$.

ענף ימני: יורד מ-$+\infty$ ליד $x=1$ עד $(3,6)$ ואחר כך עולה.

טעות נפוצה: לצייר את שני הענפים מעל ציר ה-$x$ - בסתירה ל-$f(0)=-3$ ולמקסימום השלילי.

הענף הימני של $f$ חיובי - נשאר.

הענף השמאלי שלילי - משתקף ביחס לציר ה-$x$: $(-1,-2)\to(-1,2)$, $(0,-3)\to(0,3)$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ (להחליף את $x$ ב-$-x$) - זה הגרף של $f(|x|)$ או $f(-x)$, לא של $|f(x)|$.

המקסימום $(-1,-2)$ משתקף ונעשה הנקודה הנמוכה בענף השמאלי: $\min(-1,2)$.

$(3,6)$ נשאר מינימום.

טעות נפוצה: להשאיר את הסוג של $f$ ולכתוב $\max(-1,2)$.

בענף השמאלי של $g$: יורד מ-$+\infty$ למינימום 2 ועולה ל-$+\infty$. $4>2$, ולכן הישר $y=4$ חותך אותו פעמיים.

בענף הימני: הערך הקטן ביותר הוא 6. $4<6$, ולכן אין שם חיתוך.

סך הכול 2 פתרונות. (בדיקה: $-f(x)=4$ נותן $x^2+4x-1=0$, $x=-2\pm\sqrt5$ - שני הפתרונות קטנים מ-1.)

טעות נפוצה: לבדוק את $f(x)=4$ על הגרף המקורי: הענף השמאלי מתחת לציר והימני מעל 6 - ולענות 0 פתרונות. השיקוף מעלה את הענף השמאלי מעל הישר $y=4$.

במקסימום פנימי הנגזרת מתאפסת ועוברת מחיובית לשלילית.

גרף II חיובי משמאל לנקודת האפס ושלילי מימינה - זה גרף $f'(x)$. גרף I עובר משלילי לחיובי, כמו נגזרת של פונקציה עם מינימום.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כי הוא חיובי מימין לנקודת האפס - אבל מימין למקסימום הפונקציה יורדת, ולכן שם הנגזרת שלילית.

בכלל השרשרת:

אגף ימין חיובי, ולכן $x>0$. מעלים בריבוע: $16x^2=9(25-x^2)$, $25x^2=225$, $x=3$ ($x=-3$ נפסל).

$f'(0)=3>0$ ו-$f'(4)=3-\frac{16}{3}<0$: מקסימום ב-$x=3$, $f(3)=9+4\cdot4=25$.

הפונקציה עולה מ-$-5$ עד 3 ויורדת מ-3 עד 5, ולכן בשני קצות התחום יש מינימום: $f(-5)=-15$, $f(5)=15$.

טעות נפוצה: לא לפסול את $x=-3$ אחרי ההעלאה בריבוע ולהוסיף 'נקודת קיצון' $(-3,7)$ - שם $f'(-3)=3+3=6\neq0$.

מעלים בריבוע: $16(25-x^2)=9x^2$, $25x^2=400$, $x=\pm4$.

$-3x$ חייב להיות לא שלילי, ולכן $x\le0$: $x=4$ נפסל ($f(4)=12+12=24$). $x=-4$: $-12+4\cdot3=0$ ✓.

טעות נפוצה: להשאיר את שני הפתרונות ולענות $(4,0)$ ו-$(-4,0)$.

מרכזים: תחום $-5\le x\le5$; עלייה ב-$-5<x<3$, ירידה ב-$3<x<5$; קיצון: $\min(-5,-15)$, $\max(3,25)$, $\min(5,15)$; חיתוך $(-4,0)$; $f(0)=20$.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף ממשיך ל-$-\infty$ משמאל, כמו בפונקציה המוגדרת על קרן - כאן הגרף מתחיל בנקודה $(-5,-15)$.