מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 1 בדרך לבגרות

שני הזנבות שווים, ולכן הממוצע באמצע: $\mu=\frac{984+1016}{2}=1000$.

משמאל ל-984 נמצאות 15.9% מהשקיות. בטבלה $\Phi(-1)=1-0.8413=0.1587\approx0.159$, כלומר 984 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

טעות נפוצה: לחשוב ש-15.9% הם השטח שבין 984 לממוצע, ולחפש בטבלה $\Phi(z)=0.5-0.159=0.341$. מקבלים $z=-0.41$ ו-$\sigma=\frac{16}{0.41}\approx39$.

כלומר 38.3% מהשקיות.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\Phi(0.5)=0.6915$ ולענות $69.15\%$ - זה אחוז השקיות ששוקלות פחות מ-1,008 גרם, כולל הקלות מ-992.

טעות נפוצה: לשכוח את המשלים - $0.9332\cdot2000\approx1866$ שקיות, שזה מספר השקיות ששוקלות פחות מ-1,024 גרם.

מחפשים $z$ שמשמאל לו 4%: בטבלה $\Phi(1.75)=0.9599$, ולכן $\Phi(-1.75)=0.0401\approx0.04$, כלומר $z=-1.75$.

טעות נפוצה: לקחת $z=+1.75$ ולקבל $1028$ גרם - זה הסף של 4% השקיות הכבדות ביותר.

טעות נפוצה: לחשב את ממוצע $y$ כממוצע של הערך הראשון והאחרון, $\frac{4+11}{2}=7.5$. ממוצע כזה מתאים רק לנתונים שעולים באופן קבוע.

הסטיות מהממוצע 3: $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$; ריבועיהן $4,\ 1,\ 0,\ 1,\ 4$, וסכומם 10.

טעות נפוצה: לסכם את הסטיות בלי להעלות בריבוע ולקבל 0. סכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד 0, ולכן מעלים בריבוע.

מקדם המתאם תמיד בין $-1$ ל-$1$, ולכן $1.4$ נפסל.

ככל שמספר שעות האימון גדל, מספר הסלים נוטה לגדול - הקשר חיובי, ולכן $r=0.92$.

טעות נפוצה: לבחור $-0.92$ בגלל הירידה משבוע 2 לשבוע 3. ירידה אחת לא משנה את המגמה הכללית, שהיא עלייה.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(3,7)$:

טעות נפוצה: לשכוח את נקודת הממוצעים ולכתוב $y=1.70x$. ישר כזה מנבא 5.1 סלים לשבוע ממוצע במקום 7.

טעות נפוצה: להמשיך את הטבלה "בעוד 2 סלים" ולענות 13. הניבוי נעשה רק לפי ישר הרגרסיה.

מסלול אחד בעץ: קליעה בראשונה ($0.6$) ואז קליעה בשנייה בהינתן קליעה ($0.7$):

טעות נפוצה: להניח שההסתברות בשנייה זהה לראשונה ולחשב $0.6\cdot0.6=0.36$. ההסתברות בזריקה השנייה תלויה בתוצאה של הראשונה.

שני מסלולים: קליעה ואז החטאה, או החטאה ואז קליעה.

טעות נפוצה: לחשב רק את המסלול "קליעה ואז החטאה" ולענות $0.18$.

המשלים: החטאה בשתי הזריקות - $0.4\cdot0.6=0.24$ (אחרי החטאה, ההסתברות להחטיא שוב היא $1-0.4=0.6$).

טעות נפוצה: לכפול $0.4\cdot0.4$ (ההסתברות לקלוע אחרי החטאה) ולקבל $1-0.16=0.84$.

התנאי: "בדיוק באחת" - $0.34$ (סעיף ב). המאורע: קלע בראשונה וגם בדיוק באחת, כלומר קליעה ואז החטאה - $0.18$.

טעות נפוצה: לענות $0.6$ - ההסתברות לקלוע בראשונה בלי התנאי.

$B$ על ציר ה-$y$: $x=0$, $y=2$, כלומר $B(0,2)$.

$A$: $5=-0.5x+2$, $-0.5x=3$, $x=-6$, כלומר $A(-6,5)$.

טעות נפוצה: לפתור $5=-0.5x+2$ כ-$x=-1.5$ (לכפול ב-$0.5$ במקום לחלק) ולקבל $A(-1.5,5)$ ו-$AB\approx3.35$.

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן $y_C=y_B=2$; $C$ מימין לציר, במרחק 6 מ-$B$: $C(6,2)$.

טעות נפוצה: להוסיף את האורך לשיעור ה-$y$ ולקבל $C(0,8)$ - אבל $BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן רק $x$ משתנה.

שיעור ה-$x$ שלה 0, ולכן היא על ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר: $\left(\frac{6-(-6)}{2},\frac{5-2}{2}\right)=(6,1.5)$ - זו מחצית ההפרש, לא האמצע.

הישר דרך $D$ המקביל לציר ה-$x$: $y=3.5$.

חיתוך עם $AB$: $3.5=-0.5x+2$, $x=-3$, כלומר $E(-3,3.5)$.

אמצע $AB$: $\left(\frac{-6+0}{2},\frac{5+2}{2}\right)=(-3,3.5)$ - זו $E$.

טעות נפוצה: לחתוך את $y=3.5$ עם $AC$ במקום עם $AB$ - ולקבל שוב את $D(0,3.5)$.

$D$ ו-$E$ באותו גובה, ולכן $DE=0-(-3)=3$.

$DE=3=\frac{6}{2}=\frac{BC}{2}$: $DE$ מחבר את אמצעי שתי צלעות, כלומר הוא קטע אמצעים, וקטע אמצעים שווה למחצית הצלע השלישית.

טעות נפוצה: לחשב $DE=-3-0=-3$ ולהשאיר אורך שלילי. אורך הוא הפרש השיעורים בערך מוחלט.

שיפוע $AB$ הוא $-0.5$. הזווית החדה שמתאימה ל-$\tan=0.5$ היא $26.57^\circ$.

השיפוע שלילי, ולכן הזווית של $AB$ עם הכיוון החיובי של ציר ה-$x$ קהה: $180^\circ-26.57^\circ=153.43^\circ$.

$BC$ יוצאת מ-$B$ בכיוון החיובי של ציר ה-$x$, ולכן $\angle ABC=153.43^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $26.57^\circ$ - זו הזווית בין $AB$ לכיוון השלילי של ציר ה-$x$, ולא הזווית בין $BA$ ל-$BC$.

יחס הדמיון: $\frac{DE}{BC}=\frac36=\frac12$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\left(\frac12\right)^2=\frac14$.

טעות נפוצה: לענות $\frac12$ - יחס הדמיון עצמו. שטח הוא "אורך כפול אורך", ולכן היחס מועלה בריבוע.

ממשוואת המעגל: $M(4,3)$, $r=\sqrt{25}=5$.

$y=0$: $(x-4)^2+9=25$, $(x-4)^2=16$, $x=8$ או $x=0$.

$x=0$ היא הראשית, שאינה על החלק החיובי של הציר, ולכן $A(8,0)$.

טעות נפוצה: לבחור את הראשית $(0,0)$ כ-$A$ - היא נקודת חיתוך של המעגל עם הציר, אבל אינה על החלק החיובי שלו.

$M$ הוא אמצע הקוטר $AB$:

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $A$ ו-$M$ - $(6,\ 1.5)$ - במקום הקצה השני של הקוטר.

המשיק מאונך לרדיוס $MB$: $m_{BC}=\frac43$. הוא עובר ב-$B(0,6)$, שעל ציר ה-$y$, ולכן $y=\frac43x+6$.

טעות נפוצה: לחשב $m_{MB}=\frac{6-3}{4-0}=\frac34$ (סדר שונה במונה ובמכנה), ואז המשיק יוצא $y=-\frac43x+6$ - ולא מתקבלת המשוואה הנתונה.

טעות נפוצה: לחשב $AC=8-4.5=3.5$ - $C$ נמצאת משמאל לראשית.

$\angle ADB$ - זווית היקפית שנשענת על הקוטר $AB$, ולכן ישרה.

$\angle ABC$ - $BC$ משיק ב-$B$, ו-$AB$ מכיל את הרדיוס $MB$; משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

טעות נפוצה: לנמק את $\angle ABC=90^\circ$ כזווית היקפית על קוטר - $C$ אינה על המעגל.

לפי סעיף ד(1), $\angle ABC=\angle ADB=90^\circ$.

$AB$ חוצה את הזווית $DAC$, ולכן $\angle BAC=\angle DAB$.

שתי זוויות שוות - $\triangle ABC\sim\triangle ADB$ (ז.ז.).

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\triangle ABC\sim\triangle ABD$ - אז $C$ מותאם ל-$D$ ו-$B$ ל-$B$, ובסעיף ה מתקבל יחס שגוי ($\frac{AC}{AD}$ במקום $\frac{AC}{AB}$).

$AB=2r=10$, $AC=12.5$. $AC$ מתאים ל-$AB$:

טעות נפוצה: לענות 1.25 - זה יחס הדמיון, ויחס השטחים הוא ריבועו.

$x^2-4\ne0\Rightarrow x\ne\pm2$. ב-$x=\pm2$ המונה $4-25=-21\ne0$, ולכן אלה אסימפטוטות אנכיות.

מעלות שוות ומקדמי $x^2$ הם 1 ו-1: אסימפטוטה אופקית $y=1$.

טעות נפוצה: לחשוב שלכל פונקציה רציונלית האסימפטוטה האופקית היא $y=0$. כך רק כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה.

$x^2-25=0\Rightarrow x=\pm5$. $f(0)=\frac{-25}{-4}=\frac{25}{4}$.

טעות נפוצה: לאפס את המכנה ולקבל $(\pm2,0)$ - שם הפונקציה כלל לא מוגדרת.

$f'=0$ רק ב-$x=0$. משמאל $f'<0$, מימין $f'>0$: מינימום ב-$\left(0,\frac{25}{4}\right)$.

טעות נפוצה: לפתוח את $-(x^2-25)\cdot2x$ כ-$-2x^3-50x$ ולקבל $f'=\frac{-58x}{(x^2-4)^2}$ - ואז מקסימום ב-$x=0$.

הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי לציר ה-$y$.

בין $-2$ ל-2: יורד מ-$+\infty$ עד $\left(0,\frac{25}{4}\right)$ ועולה ל-$+\infty$.

מימין ל-2: מתחיל ב-$-\infty$, עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ב-5 ומתקרב ל-$y=1$ מלמטה (למשל $f(6)=\frac{11}{32}<1$).

טעות נפוצה: לחבר את הענף האמצעי לענפים החיצוניים מעל האסימפטוטות - הפונקציה לא מוגדרת ב-$x=\pm2$, והגרף נקטע שם.

הסימן של מנה נקבע לפי הסימנים של המונה והמכנה. נקודות החלוקה: $\pm5$ (המונה) ו-$\pm2$ (המכנה).

$|x|<2$: מונה שלילי, מכנה שלילי - חיובית. $2<|x|<5$: מונה שלילי, מכנה חיובי - שלילית. $|x|>5$: שניהם חיוביים - חיובית.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המונה ולכתוב $f>0$ רק עבור $|x|>5$ - ולהחמיץ את התחום $-2<x<2$, שבו גם המכנה שלילי.

ל-$g$ יש קיצון היכן ש-$g'=f$ מתאפסת ומחליפה סימן: $x=\pm5$.

ב-$x=5$: $f$ עוברת משלילית לחיובית - $g$ יורדת ואחר כך עולה: מינימום.

ב-$x=-5$: $f$ עוברת מחיובית לשלילית - מקסימום.

טעות נפוצה: להפוך את כלל הסיווג ולענות $x=5$ מקסימום ו-$x=-5$ מינימום. כש-$g'$ עוברת ממינוס לפלוס, $g$ יורדת ואחר כך עולה - זה מינימום.

הביטוי בתוך השורש אי-שלילי: $x\ge0$.

טעות נפוצה: לענות $x>0$ - שורש של 0 מוגדר ($\sqrt0=0$), ולכן $x=0$ בתחום.

$(\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב $(\sqrt x)'=\frac{1}{\sqrt x}$ (בלי ה-2 במכנה) ולקבל $f'(x)=1-\frac{4}{\sqrt x}$.

כש-$0<x<4$: $\sqrt x<2$ ולכן $\frac2{\sqrt x}>1$ ו-$f'<0$; כש-$x>4$: $f'>0$. לכן $(4,-4)$ מינימום.

נקודת הקצה: $f(0)=0$, ומימינה הפונקציה יורדת - $(0,0)$ מקסימום (קצה).

טעות נפוצה: לקבוע שנקודת הקצה $(0,0)$ היא מינימום כי "היא בתחילת הגרף" - הסוג נקבע לפי הכיוון שהפונקציה הולכת אליו מהנקודה: היא יורדת, ולכן זו נקודת מקסימום.

$f(0)=0$: הגרף עובר בראשית.

$x-4\sqrt x=0\ \Rightarrow\ \sqrt x(\sqrt x-4)=0\ \Rightarrow\ \sqrt x=0$ או $\sqrt x=4$, כלומר $x=0$ או $x=16$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=4\sqrt x$, להעלות בריבוע $x^2=16x$ ולחלק ב-$x$ - כך הולך לאיבוד הפתרון $x=0$ ונשאר רק $(16,0)$.

מסמנים את $(0,0)$, $(4,-4)$, $(16,0)$. משמאל ל-0 אין גרף.

מהראשית הגרף יורד עד $(4,-4)$, עולה, חותך את ציר ה-$x$ ב-16 וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף גם ל-$x<0$, כאילו הוא ממשיך מעבר לראשית.

$f$ יורדת ב-$0<x<4$ ועולה ב-$x>4$, ולכן $f'$ שלילית משמאל ל-4 וחיובית מימין.

גם $f'(x)=1-\frac2{\sqrt x}\to-\infty$ כש-$x\to0^+$, ו-$f'\to1$ כש-$x\to\infty$.

גרף II עולה מ-$-\infty$, חותך את ציר ה-$x$ ומתקרב לאסימפטוטה חיובית - זה $f'$.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I, שהוא חיובי בהתחלה - זו נגזרת של פונקציה שעולה ואז יורדת.

$f'$ חותכת את ציר ה-$x$ ב-$x=4$, ובין 4 ל-16 היא חיובית.

טעות נפוצה: להתחיל את האינטגרל ב-$x=0$ ולקבל $f(16)-f(0)=0$ - בין 0 ל-4 הגרף מתחת לציר, וזה לא השטח המבוקש.

$2-\frac8x=0$, $x=4$: $A(4,0)$.

$C\left(t,2-\frac8t\right)$, $D\left(16,2-\frac8t\right)$.