מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 10 ברמת בגרות

בשקיות נארזים התפוחים שקוטרם קטן מ-8 ס"מ: מחפשים את $P(X<8)$.

בטבלה המצטברת: $\Phi(0.6)=0.7257$.

72.57% מהתפוחים נארזים בשקיות.

טעות נפוצה: לענות $1-0.7257$, כלומר 27.43% - זה אחוז התפוחים שנארזים בארגזים.

הקטנים במיוחד הם שליש מתוך התפוחים שקוטרם קטן מ-8 ס"מ, ולפי סעיף א אלה 72.57% מכל התפוחים.

טעות נפוצה: לענות 33.33% - השליש נלקח מתוך התפוחים הקטנים מ-8 ס"מ, לא מכל התפוחים.

הקטנים במיוחד הם 24.19% התפוחים הקטנים ביותר, ולכן הקוטר המבוקש הוא הערך שמשמאלו שטח 0.2419.

השטח קטן מחצי, ולכן ציון התקן שלילי. בטבלה $\Phi(0.70)=0.7580$, ולכן $\Phi(-0.70)=0.2420\approx0.2419$: $z=-0.7$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולקבל $x=7.1+1.05=8.15$ ס"מ - קוטר גדול מ-8, שאינו יכול להיות של תפוח שנארז בשקית.

בהתפלגות נורמלית חצי מהערכים קטנים מהממוצע (סימטריה), ולכן במשלוח החדש $\mu=7.6$.

10.03% גדולים מ-9.84, ולכן השטח משמאל ל-9.84 הוא $1-0.1003=0.8997$.

בטבלה: $\Phi(1.28)=0.8997$, ולכן $z=1.28$.

טעות נפוצה: להשתמש בממוצע של המשלוח הקודם, 7.1, ולקבל $\sigma=\frac{9.84-7.1}{1.28}\approx2.14$.

מחשבים $(x_i-4.4)^2$ לכל עשרת הערכים:

$x=2$ (פעמיים): $2\cdot(-2.4)^2=11.52$; $x=3$: $(-1.4)^2=1.96$; $x=4$ (שלוש פעמים): $3\cdot(-0.4)^2=0.48$; $x=5$: $0.6^2=0.36$; $x=6$ (פעמיים): $2\cdot1.6^2=5.12$; $x=8$: $3.6^2=12.96$.

טעות נפוצה: לחלק ב-9 במקום ב-10 ולקבל $\sigma=\sqrt{3.6}\approx1.90$. סטיית התקן היא ממוצע ריבועי הסטיות - מחלקים במספר התצפיות.

כיוון: ככל שכמות הדשן גדולה יותר, הצמחים בדרך כלל גבוהים יותר - קשר חיובי. נפסלים $0$ ו-$-0.152$.

עוצמה: הקשר אינו מושלם. למשל, הצמח שקיבל 3 גרם (22 ס"מ) נמוך מצמח שקיבל 2 גרם (24 ס"מ), ולשלושת הצמחים שקיבלו 4 גרם גבהים שונים. לכן $r\ne1$.

נשאר $r=0.939$ - קשר חיובי חזק שאינו מושלם.

טעות נפוצה: לבחור $r=-0.152$ בגלל זוגות "הפוכים" כמו 2 גרם-24 ס"מ מול 3 גרם-22 ס"מ. כמה חריגות אינן הופכות את כיוון הקשר; המגמה הכללית עולה.

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(4.4,\ 30)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $b=0.939\cdot\frac{1.8}{7.155}\approx0.236$, ולקבל $y=0.236x+28.96$.

הפחתה של קבוע מכל ערכי Y: הממוצע יורד ל-28.5, סטיית התקן ומקדם המתאם לא משתנים.

השיפוע נשאר $3.733$, וכל הישר יורד ב-1.5:

טעות נפוצה: להקטין גם את השיפוע ב-1.5 ולכתוב $y=2.233x+12.075$. השיפוע תלוי ב-$r$, $\sigma_x$ ו-$\sigma_y$, ואף אחד מהם לא השתנה.

טעות נפוצה: להציב בישר מסעיף ג ולקבל 34.11 ס"מ - זה הניבוי לפני התיקון.

הדרך הקצרה: המשלים של "מספרים שונים" הוא "אותו מספר".

בדיקה ישירה: כל זוג שונה יכול לצאת בשני סדרים: $2\cdot(20\cdot15+20\cdot5+15\cdot5)=950$.

טעות נפוצה: בחישוב הישיר לספור כל זוג בסדר אחד בלבד ($\frac{475}{1560}\approx0.304$) - הכדור עם 1 יכול לצאת ראשון או שני.

הזוגות השונים: $\{1,2\}$ סכום 3, $\{1,4\}$ סכום 5, $\{2,4\}$ סכום 6. סכום גדול מ-4: $\{1,4\}$ או $\{2,4\}$.

מחלקים בהסתברות התנאי מסעיף א:

טעות נפוצה: לא לחלק בהסתברות התנאי ולענות $\frac{350}{1560}\approx0.224$.

אחרי ההוספה יש $40+x$ כדורים, ומספר הכדורים עם 2 נשאר 15.

$x=10$ או $x=-89$, ולכן $x=10$.

טעות נפוצה: להשאיר במכנה השני 39 במקום $39+x$: $\frac{210}{39(40+x)}=\frac3{35}$ נותן $x\approx22.8$ - לא מספר שלם.

אחרי ההוספה: 30 כדורים עם 1, 15 עם 2, 5 עם 4, ובסך הכול 50.

לפני ההוספה ההסתברות הייתה 0.609, ולכן קטנה: הכד נעשה פחות מגוון, כי יותר מחצי הכדורים נושאים את אותו מספר.

טעות נפוצה: לעדכן את המכנה ל-$50\cdot49$ אבל להשאיר במונה $20\cdot19$; מקבלים $1-\frac{610}{2450}\approx0.751$ וקובעים שההסתברות גדלה.

$\angle EOA$ ו-$\angle ECA$ הן זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת $EA$, ולכן הן שוות.

$A$ נמצאת על הקרן $OB$, ולכן $\angle EOA=\angle EOB$. $E$ נמצאת על הקטע $CB$, ולכן $\angle ECA=\angle BCA$ ו-$\angle EBO=\angle CBA$.

במשולש $ACB$ שתי זוויות שוות ($\angle ACB=\angle ABC$), ולכן הצלעות שמולן שוות: מול $\angle ABC$ נמצאת $AC$ ומול $\angle ACB$ נמצאת $AB$. לכן $AC=AB$.

טעות נפוצה: להסיק מהשוויון $\angle ACB=\angle ABC$ ש-$AC=BC$. הזוויות השוות נמצאות ב-$C$ וב-$B$, ולכן השוקיים הם הצלעות שמולן - $AB$ ו-$AC$ - והבסיס הוא $CB$.

לפי סעיף א $AB=13$, ו-$B$ מימין ל-$A$ על ציר ה-$x$:

טעות נפוצה: למדוד את 13 מראשית הצירים ולקבל $B(13,0)$.

הצירים מאונכים זה לזה, ולכן $\angle COA=90^\circ$.

$O$ נמצאת על המעגל, ולכן $\angle COA$ היא זווית היקפית. זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן $AC$ הוא קוטר במעגל.

טעות נפוצה: לחשוב שהזווית הישרה ב-$O$ היא זווית מרכזית, ולהסיק ש-$O$ הוא מרכז המעגל. $O$ נמצאת על המעגל עצמו, ולכן הזווית ב-$O$ היקפית - והמרכז הוא אמצע $AC$.

המרכז הוא אמצע הקוטר $AC$:

$R=\frac{13}{2}=6.5$, ולכן $R^2=42.25$:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר 13 כרדיוס ולכתוב $(x-2.5)^2+(y-6)^2=169$.

משוואת $CB$ דרך $C(0,12)$ ו-$B(18,0)$: $m=\frac{0-12}{18}=-\frac23$, ולכן $y=-\frac23x+12$.

מציבים $y=6$: $6=-\frac23x+12$, ומכאן $x=9$, כלומר $E(9,6)$.

$S_{COB}$: בסיס $OB=18$ וגובה $OC=12$:

$S_{AEB}$: בסיס $AB=13$ על ציר ה-$x$, והגובה הוא שיעור ה-$y$ של $E$, 6:

טעות נפוצה: לקחת במשולש $AEB$ את $OB=18$ כבסיס, $S_{AEB}=\frac{18\cdot6}{2}=54$, ולקבל פי 2. הבסיס של $AEB$ הוא $AB$, מ-$A$ ולא מהראשית.

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\angle EOB=\frac96$, ולקבל $56.31^\circ$.

$x=0$: $4y=36$ - $A(0,9)$. $y=0$: $3x=36$ - $B(12,0)$.

טעות נפוצה: לחבר את הניצבים: $12+9=21$.

$MO=MD$ - רדיוסים.

ציר ה-$x$ משיק למעגל ב-$O$, ולכן $BO$ ו-$BD$ הם שני קטעי משיקים מהנקודה $B$, והם שווים.

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות - $OMDB$ דלתון.

טעות נפוצה: להסיק ש-$OMDB$ מעוין כי "כל הצלעות יוצאות ממעגל". רק $MO$ ו-$MD$ רדיוסים; $BO$ ו-$BD$ ארוכים יותר.

$\angle ADM=90^\circ$ - משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

$\angle AOB=90^\circ$ - הזווית בין הצירים.

$\angle A$ משותפת. לכן $\triangle ADM\sim\triangle AOB$ (ז.ז.).

טעות נפוצה: לנמק את הזווית הישרה ב-$D$ בכך ש"$MD$ אנכי" - $MD$ אינו מקביל לציר; הזווית ישרה כי הוא רדיוס לנקודת ההשקה.

$MD=r$, $AM=9-r$, $AB=15$, $BO=12$.

טעות נפוצה: להציב $AO=9$ במקום $AM$: $\frac{9}{15}=\frac{r}{12}$, $r=7.2$.

המעגל משיק לציר ה-$x$ ב-$O$ ומרכזו על ציר ה-$y$: $M(0,4)$.

טעות נפוצה: לשים את המרכז ב-$(4,0)$ - על ציר ה-$x$ - ולכתוב $(x-4)^2+y^2=16$.

$\angle MOB=\angle MDB=90^\circ$; אלה זוויות נגדיות שסכומן $180^\circ$, ולכן הדלתון בר חסימה.

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן $MB$ קוטר במעגל החוסם, והמרכז באמצעו:

טעות נפוצה: לקחת את אמצע $OD$, בין $O(0,0)$ ל-$D(2.4,7.2)$, ולקבל $(1.2,3.6)$.

תחום ההגדרה: $x\neq2$ ו-$x\neq-2$.

טעות נפוצה: לשכוח את הפתרון השלילי ולכתוב רק $x\neq2$.

$f'(x)=0$ רק ב-$x=0$. המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ כסימן של $x$: משמאל ל-0 יורדת, מימין עולה - מינימום.

טעות נפוצה: לאבד מינוס בנגזרת, לקבל $f'=\frac{-24x}{(x^2-4)^2}$ ולקבוע "מקסימום".

בטבלת הסימנים: $x=0$ ונקודות אי-ההגדרה $x=\pm2$.

$x<-2$ ו-$-2<x<0$: $f'<0$; $0<x<2$ ו-$x>2$: $f'>0$.

טעות נפוצה: לכתוב "יורדת ב-$x<0$, עולה ב-$x>0$" בלי לפצל ב-$x=\pm2$, שבהן הפונקציה אינה מוגדרת.

הישר האופקי משיק בנקודת הקיצון, ולכן ערך הקיצון הוא 1:

טעות נפוצה: לחשב $\frac{-12}{-4}=-3$ (טעות בסימן), כלומר $f(0)=-3+b$, ולקבל $b=4$.

$f(x)=\frac{-12}{x^2-4}-2$.

אנכיות: $x=\pm2$ (המכנה מתאפס והמונה לא).

אופקית: השבר שואף ל-0 באינסוף, ולכן $y=-2$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ ולשכוח את הקבוע $-2$ שמזיז את הגרף.

ל-$|x|>2$: $x^2-4>0$ והשבר $\frac{-12}{x^2-4}$ שלילי, ולכן הגרף מתחת ל-$y=-2$; משמאל יורד, מימין עולה; ליד $x=\pm2$ שואף ל-$-\infty$.

ל-$-2<x<2$: השבר חיובי וגדול מ-3 או שווה לו, ולכן הקשת מעל 1: יורדת עד המינימום $(0,1)$ ועולה, ושואפת ל-$+\infty$ ליד $x=\pm2$.

לגרף אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לצייר את הקשת האמצעית כלפי מטה (כמו בפונקציה שהמונה שלה חיובי). ב-$x=0$ יש מינימום, והקשת פתוחה כלפי מעלה.

מסעיף ב(2): $f'<0$ לכל $x<0$ בתחום ההגדרה, $f'>0$ לכל $x>0$, ו-$f'(0)=0$.

גרף I שלילי משמאל, עובר דרך הראשית וחיובי מימין - מתאים.

גרף III הפוך בסימן. גרף II אינו מתאפס ב-0 - זה גרף הפונקציה $f$ עצמה.

טעות נפוצה: לבחור בגרף III, מתוך הרגל מהפונקציה שבה המונה חיובי (שם הנגזרת חיובית משמאל). כאן המונה שלילי והסימנים מתהפכים.

$f'$ מתאפסת ב-0, ולכן התחום $0\le x\le1$; שם $f'>0$ והשטח מעל ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: להציב רק את הגבול העליון ולענות $f(1)=2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>4$ - ב-$x=4$ השורש שווה 0 ומוגדר.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש, $(a-12)\cdot16=-8$, ולקבל $a=11.5$.

$(10-x)\sqrt{2x-8}=0$: $x=10$, או $\sqrt{2x-8}=0$, כלומר $x=4$.

הנקודות $(4,0)$ ו-$(10,0)$.

טעות נפוצה: לענות רק $(10,0)$ ולשכוח שהשורש מתאפס בקצה התחום.

$\left(\sqrt{2x-8}\right)'=\frac{2}{2\sqrt{2x-8}}=\frac{1}{\sqrt{2x-8}}$ (כלל השרשרת).

$f'=0$ כאשר $x=6$; $f'>0$ עבור $4<x<6$, ו-$f'<0$ עבור $x>6$.

$f(6)=4\cdot\sqrt4=8$: מקסימום $(6,8)$. בקצה $x=4$: $f(4)=0$ והפונקציה עולה אחריו - מינימום $(4,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 של כלל השרשרת ($\frac{1}{2\sqrt{2x-8}}$), לקבל $f'=\frac{26-5x}{2\sqrt{2x-8}}$ ומקסימום שגוי $(5.2,\ 7.44)$.

הגרף מתחיל ב-$(4,0)$, עולה עד המקסימום $(6,8)$, יורד וחוצה את ציר ה-$x$ ב-$(10,0)$, ועבור $x>10$ שלילי וממשיך לרדת (למשל $f(12)=-8$).

טעות נפוצה: לצייר את הגרף כ"כיפה" שחוזרת לציר ב-$(10,0)$ ונעצרת. הפונקציה מוגדרת גם עבור $x>10$, ושם היא שלילית.