מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 2 בדרך לבגרות

ציון התקן של 85:

בטבלה המצטברת $\Phi(1.5)=0.9332$, כלומר $93.32\%$ קיבלו פחות מ-85.

טעות נפוצה: לענות $1-0.9332=6.68\%$. הטבלה המצטברת נותנת ישירות את האחוז שמתחת לערך.

מעל ציון הסף $20\%$, ולכן מתחתיו $80\%$: $\Phi(z)=0.80$.

בטבלה $\Phi(0.84)=0.7995$ הוא הערך הקרוב ביותר, ולכן $z=0.84$.

$77<78.4$, ולכן הנבחן לא התקבל.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה $\Phi(z)=0.20$, לקבל $z=-0.84$ וציון סף 61.6 - ואז לענות שגם 77 התקבל. $20\%$ הם הזנב העליון, ולכן מחפשים $0.80$.

ציון התקן של 90: $z=\frac{90-70}{10}=2$.

כל המצטיינים התקבלו (90 גדול מ-78.4), ולכן:

טעות נפוצה: לענות רק את אחוז המצטיינים, $2.28\%$. השאלה היא על המתקבלים שאינם מצטיינים, ולכן מחסירים את המצטיינים מכל המתקבלים.

$17.72\%$ מן הנבחנים הם 1,772 נבחנים:

טעות נפוצה: לחלק ב-$0.20$ ולקבל 8,860 נבחנים. $20\%$ הם כל המתקבלים, כולל המצטיינים.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 במקום ב-5 (מספר התלמידים) ולקבל $\bar x=6.25$, $\bar y=86.25$ - ממוצע ציונים גבוה מכל הציונים בטבלה.

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(5,69)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס בין סטיות התקן, לקבל שיפוע $0.994\cdot\frac{2.828}{9.96}\approx0.282$ ואת הישר $y=0.282x+67.59$.

טעות נפוצה: לנבא $\bar y+r(x-\bar x)=69+0.994\cdot1\approx70$ - בלי היחס בין סטיות התקן.

כל ציון גדל ב-5, ולכן $\bar y$ גדל ב-5 וסטיית התקן של הציונים לא משתנה. גם מקדם המתאם לא משתנה בהוספת קבוע: $r=0.994$.

השיפוע $r\cdot\frac{S_y}{S_x}$ לא משתנה, וכל ניבוי גדל ב-5:

טעות נפוצה: לבלבל בין שינוי של $y$ לשינוי של $x$ ולהציב $x-5$ במקום $x$: $y=3.5(x-5)+51.5=3.5x+34$.

בנות שאינן מתנדבות: $120-60=60$. בנים מתנדבים: $110-60=50$. בנים שאינם מתנדבים: $80-50=30$.

טעות נפוצה: לחשב את הבנים המתנדבים כ-$80-60=20$ (לחסר מסך הבנים את הבנות המתנדבות) - אז שורת הבנים והעמודה של המתנדבים לא מסתכמות (60+20 אינו 110).

בוחרים מכל השכבה (200 תלמידים), והמאורע הוא החיתוך "בת וגם מתנדבת" (60 תלמידות):

טעות נפוצה: לחלק במספר הבנות - $\frac{60}{120}=0.5$ - זו הסתברות מותנית (מבין הבנות), לא בחירה מכל השכבה.

ידוע שנבחר בן, ולכן מרחב המדגם הוא 80 הבנים:

טעות נפוצה: לחלק במספר המתנדבים - $\frac{50}{110}\approx0.455$ - זו ההסתברות שמתנדב שנבחר הוא בן (כיוון ההתניה הפוך).

50% מהבנות מתנדבות לעומת 62.5% מהבנים, ולכן הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להשוות מספרים - 60 בנות מתנדבות לעומת 50 בנים - ולומר שהטענה נכונה.

משוואת המעגל: $(x+12)^2+y^2=25$. מציבים את $A$: $(-8+12)^2+3^2=16+9=25$ - מתקיים, ולכן $A$ על המעגל.

טעות נפוצה: לכתוב את משוואת המעגל עם $(x-12)^2$ (סימן הפוך למרכז) ולקבל ש-$A$ "לא על המעגל": $(-20)^2+9=409\ne25$.

מציבים $x=0$ במשוואת הישר: $y=9$. לכן $B(0,9)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ ולקבל $(-12,0)$ - זו הנקודה $M$, החיתוך עם ציר ה-$x$.

שיפוע הרדיוס $\frac34$, ולכן שיפוע המשיק $-\frac43$ (מכפלת השיפועים $-1$).

$D\left(0,-\frac{23}{3}\right)$.

טעות נפוצה: לכתוב $y-3=-\frac43(x-8)$ (סימן שגוי ב-$x_A$) ולקבל $D\left(0,\frac{41}{3}\right)$.

$M$ אמצע $AC$: $C=2M-A=(-24+8,\ 0-3)=(-16,-3)$.

טעות נפוצה: לחשב $C=A-M=(4,3)$ (הפרש במקום שיקוף), נקודה שאינה על המעגל.

הזווית בין $MA$ לציר ה-$x$: $\tan\alpha=\frac34$, $\alpha\approx36.87^\circ$.

$BD$ על ציר ה-$y$, ולכן $\angle ABD=90^\circ-36.87^\circ=53.13^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $36.87^\circ$ - הזווית עם ציר ה-$x$.

המרחק של $M(4,5)$ מציר ה-$x$ הוא 5, ולכן $R=5$.

$A$ היא נקודת ההשקה עם ציר ה-$x$, מתחת למרכז: $A(4,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $(x-4)^2+(y-5)^2=5$ - בצד ימין של משוואת המעגל נמצא $R^2$, לא $R$.

מציבים $x=0$: $16+(y-5)^2=25$, $(y-5)^2=9$, $y=8$ או $y=2$.

הנקודה העליונה: $B(0,8)$.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולכתוב $y-5=9$, כלומר $B(0,14)$ - נקודה במרחק 9 מהמרכז, מחוץ למעגל שרדיוסו 5.

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: $m=-\frac{1}{m_{MB}}=\frac43$.

הוא עובר ב-$B(0,8)$: $y=\frac43x+8$.

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע $-\frac34$ גם למשיק, ולקבל את הישר $MB$ עצמו: $y=-\frac34x+8$.

$AC$ מאונך למשיק $BC$ (כך נבנה).

$MB$ מאונך למשיק $BC$ (רדיוס לנקודת ההשקה).

שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים, ולכן $AC\parallel MB$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$AC\parallel MB$ "כי שניהם יוצאים מנקודות על המעגל" - זה לא נימוק, ולא מתקבלת הוכחה.

לפי סעיף ד, שיפוע $AC$ שווה לשיפוע $MB$: $-\frac34$. דרך $A(4,0)$:

חיתוך עם המשיק:

$y=-\frac34\cdot(-2.4)+3=4.8$, כלומר $C(-2.4,\ 4.8)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בנוסחת הישר דרך $A(4,0)$ ולכתוב $y=-\frac34(x+4)=-\frac34x-3$. אז החיתוך עם המשיק $\frac43x+8=-\frac34x-3$ נותן $x=-5.28$ ו-$C(-5.28,\ 0.96)$ - נקודה שאינה על הישר דרך $A$.

טעות נפוצה: לשכוח שהשיעור של $C$ שלילי ולחשב $\sqrt{(4-2.4)^2+4.8^2}=\sqrt{25.6}\approx5.06$.

טעות נפוצה: לפסול גם את $x=-3$, אפס המונה; שם $f(-3)=0$, נקודה רגילה.

$u=x+3$, $u'=1$; $v=9x-x^2$, $v'=9-2x$:

$(x+3)(9-2x)=9x-2x^2+27-6x=-2x^2+3x+27$, ולכן המונה:

טעות נפוצה: לפתוח את $(x+3)(9-2x)$ עם $+6x$ במקום $-6x$ ולקבל במונה $x^2-6x-27$ - נגזרת שמתאפסת ב-9 וב-$-3$.

$x^2+6x-27=(x+9)(x-3)=0$: $x=-9$ או $x=3$.

המכנה חיובי: $f'>0$ עבור $x<-9$, $f'<0$ עבור $-9<x<3$ ($x\neq0$), $f'>0$ עבור $x>3$ ($x\neq9$).

טעות נפוצה: לקבוע את הסוג לפי הגובה ("$\frac13>\frac1{27}$ ולכן זה המקסימום") ולענות $\max\left(3,\frac13\right)$, $\min\left(-9,\frac1{27}\right)$. ערך המינימום כאן גדול מערך המקסימום, כי הנקודות על ענפים שונים.

אנכיות באפסי המכנה: $x=0$, $x=9$.

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, ולכן $y=0$.

ציר ה-$x$: $x+3=0$, $(-3,0)$.

טעות נפוצה: לחלק את המקדמים המובילים של המונה והמכנה ולכתוב $y=-1$. זה נכון רק כשהמעלות שוות.

בקטע $(0,9)$: המינימום הוא $\frac13$ ב-$x=3$, ובשאר הקטע $f(x)>\frac13$. לכן בקטע יש פתרון אחד, $x=3$.

עבור $x<-3$: $f(x)>0$ אבל לכל היותר $\frac1{27}<\frac13$ (המקסימום). עבור $-3<x<0$ ועבור $x>9$: $f(x)<0$.

לכן יש פתרון אחד בלבד.

טעות נפוצה: לחשוב שישר אופקי חותך "קערה" פעמיים ולענות 2. הישר $y=\frac13$ עובר בדיוק בנקודת המינימום ולכן רק נוגע בקערה.

$\sqrt x$ מוגדר עבור $x\ge0$.

$f(x)=0$: $x=3$ או $x=0$. החיתוך עם ציר ה-$y$ הוא אותה נקודה $(0,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב תחום $x>0$ ולהחמיץ את הנקודה $(0,0)$ - ב-$x=0$ השורש שווה 0 ומוגדר.

$f'=0$ ב-$x=1$: שלילית עבור $0<x<1$, חיובית עבור $x>1$. מינימום: $f(1)=-2\cdot1=-2$.

בקצה $x=0$: $f(0)=0$, והפונקציה יורדת מיד אחריו - מקסימום $(0,0)$.

טעות נפוצה: לענות רק $(1,-2)$ - בלי לבדוק את נקודת הקצה.

הגרף מתחיל בראשית, יורד עד המינימום $(1,-2)$, עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ב-3 וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר חלק של הגרף משמאל לציר ה-$y$ - הפונקציה מוגדרת רק עבור $x\ge0$.

עבור $x\ge1$ המונה $3x-3\ge0$ והמכנה $2\sqrt x>0$, ולכן $f'(x)\ge0$ - בהתאם לכך ש-$f$ עולה מימין למינימום.

טעות נפוצה: להסיק מכך ש-$f(x)<0$ עבור $1<x<3$ שגם $f'(x)<0$ שם. הסימן של $f'$ קשור לעלייה וירידה של $f$, לא לסימן של $f$.

בתחום $1\le x\le4$ הגרף של $f'$ מעל הציר (סעיף ד(1)), ולכן:

טעות נפוצה: לחשב $f(4)-f(0)=2$, כאילו התחום מתחיל ב-0.

$1-x=0$ - $x=1$. $\frac{4}{1-x}\to0$ - $y=1$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=4$ (המונה) במקום $y=1$.

המרחק של $A$ מהאסימפטוטה $x=1$: $1-x$.

המרחק מהאסימפטוטה $y=1$: $f(x)-1=\frac{4}{1-x}$.

טעות נפוצה: לקחת את $f(x)$ עצמה כצלע (המרחק מציר ה-$x$) - $P=2(1-x)+2\left(\frac{4}{1-x}+1\right)$, שגדול ב-2.

$x=-1$ או $x=3$; ברביע השני $x<0$, ולכן $x=-1$.

ל-$x<-1$ $P'<0$, ל-$-1<x<0$ $P'>0$ - מינימום. $f(-1)=2+1=3$: $A(-1,3)$.

טעות נפוצה: לגזור את $\frac{8}{1-x}$ כ-$-\frac{8}{(1-x)^2}$ (לשכוח את הנגזרת הפנימית $-1$). מקבלים $P'=-2-\frac{8}{(1-x)^2}$, שלעולם אינה מתאפסת, ומסיקים שאין מינימום.

צלעות: $1-(-1)=2$ ו-$3-1=2$.

טעות נפוצה: למדוד מהצירים: $1\cdot3=3$.