מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 11 בדרך לבגרות

ציון התקן מודד בכמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע:

טעות נפוצה: לחלק בממוצע במקום בסטיית התקן: $\frac{0.8}{3.3}\approx0.24$.

הטבלה המצטברת נותנת את השטח משמאל לציון התקן, כלומר את אחוז התינוקות הקלים מרון:

94.52% מהתינוקות.

טעות נפוצה: לענות $1-0.9452=5.48\%$ - זה אחוז התינוקות שכבדים מרון.

$\Phi(-2)=0.0228$, ולכן 2.28% מהתינוקות נולדים במשקל נמוך.

טעות נפוצה: לקרוא בטבלה את $\Phi(2)=0.9772$ ולשכוח שציון התקן שלילי - ולענות 97.72%.

טעות נפוצה: לכפול במספר האחוזים: $2.28\cdot20000=45{,}600$.

ציון התקן של רון (סעיף א) הוא 1.6, ולכן גם ציון התקן של גיל הוא 1.6:

טעות נפוצה: להניח שהממוצע זהה לעיר של רון (3.3) כי המשקלים שווים. אותו משקל עם סטיית תקן אחרת נותן אותו ציון תקן רק אם הממוצע שונה.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 (מספר התלמידים שכל הציונים שלהם ידועים): $\frac{300}{4}=75$.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)$.

מציבים $\bar x=60$ במשוואת הישר:

טעות נפוצה: לחשב את הממוצע של ארבעת הציונים הידועים, $\frac{62+69+71+77}{4}=69.75$ - חסר ציון אחד, ולכן אי אפשר לחשב את $\bar y$ ישירות מהטבלה.

סכום חמשת הציונים במבחן המסכם הוא $5\cdot70=350$.

טעות נפוצה: לנבא את הציון בעזרת הישר: $\hat y(55)=0.6\cdot55+34=67$. זה הציון המנובא, לא הציון שהתלמיד קיבל.

מציבים $x=58$ במשוואת ישר הרגרסיה:

טעות נפוצה: להציב 58 במקום $y$ ולפתור $58=0.6x+34$, כלומר $x=40$ - הנתון הוא ציון הבוחן, $x$.

$r=1$ רק כשכל הנקודות נמצאות על ישר עולה אחד.

התלמיד השלישי קיבל 69, אבל הציון המנובא לו הוא $0.6\cdot60+34=70$: הנקודה שלו אינה על הישר. לכן הקשר אינו מושלם ו-$r\ne1$.

השיפוע חיובי, ולכן הקשר חיובי: $0<r<1$.

טעות נפוצה: לזהות את מקדם המתאם עם שיפוע הישר ולענות $r=0.6$ - השיפוע תלוי ביחידות ובפיזור של שני המשתנים, ואינו מקדם המתאם.

בסקר השתתפו $200+200=400$ תלמידים, ובטל תומכים $90+30=120$.

טעות נפוצה: לחשב רק בקרב הבנים, $\frac{90}{200}=0.45$ - זו ההסתברות שבן תומך בטל.

התנאי: תומך בליה. בליה תומכים $40+110=150$ תלמידים, ומתוכם 110 בנות.

טעות נפוצה: לחלק בכל המשתתפים, $\frac{110}{400}=0.275$ - זו ההסתברות לבחור בת התומכת בליה, בלי התנאי.

עכשיו התנאי הוא "בת": 200 בנות, ומתוכן 110 תומכות בליה.

התשובה שונה מ-$\frac{11}{15}$ של סעיף ב: בשני הסעיפים המונה זהה (110), אבל המכנה הוא גודל קבוצת התנאי - בסעיף ב תומכי ליה (150) וכאן הבנות (200).

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי ולחשב את ההסתברות שתלמיד כלשהו תומך בליה, $\frac{150}{400}=0.375$.

בוחרים מתוך 120 תומכי טל: 90 בנים ו-30 בנות.

הבחירה בלי החזרה: אחרי שנבחר בן, נשארו 89 בנים מתוך 119.

טעות נפוצה: לבחור מכל 400 המשתתפים במקום מתומכי טל: $\frac{90}{400}\cdot\frac{89}{399}\approx0.050$.

$\angle C=90^\circ$, ולכן $BC\perp OC$. שיפוע $OC$ הוא $-1$:

$BC$ עובר דרך $B(0,6)$: $y=x+6$.

טעות נפוצה: להעביר את הישר המאונך דרך הראשית ולקבל $y=x$ - ישר שחותך את $OC$ רק ב-$O$.

$C$ היא נקודת החיתוך של $OC$ ו-$BC$:

טעות נפוצה: לטעות בהעברת אגפים ($2x=6$) ולקבל $C(3,-3)$ - נקודה שאינה על $BC$.

$AB\parallel OC$, ולכן שיפועו $-1$, והוא עובר דרך $B(0,6)$: $y=-x+6$.

$A$ על ציר ה-$x$: $0=-x+6$, $x=6$, ולכן $A(6,0)$.

טעות נפוצה: לתת ל-$AB$ את השיפוע של $BC$ (1) ולקבל $A(-6,0)$.

השיפוע של $OC$ הוא $-1$, ולכן $OC$ יוצר זווית של $135^\circ$ עם הכיוון החיובי של ציר ה-$x$ ($\tan135^\circ=-1$).

$OB$ הוא החלק החיובי של ציר ה-$y$, בזווית $90^\circ$ מהכיוון החיובי של ציר ה-$x$:

טעות נפוצה: לענות $135^\circ$ - זו הזווית בין $OC$ לציר ה-$x$, ולא לציר ה-$y$.

$ABO$ ישר זווית ב-$O$: $S_{ABO}=\frac{6\cdot6}{2}=18$.

$BOC$ ישר זווית ב-$C$, והניצבים $OC$ ו-$BC$:

טעות נפוצה: לקחת ב-$BOC$ את $OB$ ו-$OC$ כניצבים: $\frac{6\cdot\sqrt{18}}{2}\approx12.73$, ויחס של כ-1.41. הזווית הישרה היא ב-$C$, ולא ב-$O$.

שתי הזוויות הן זוויות היקפיות (הקודקוד על המעגל), ושתיהן נשענות על הקשת $BC$.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.

טעות נפוצה: לנמק שהזוויות שוות כי הן "זוויות קודקודיות" - הזוויות הקודקודיות הן אלה שב-$E$, לא ב-$A$ וב-$D$.

$\angle BAE=\angle CDE$ (סעיף א(1)), ו-$\angle AEB=\angle DEC$ (קודקודיות).

לכן $\triangle ABE\sim\triangle DCE$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב $\triangle ABE\sim\triangle CDE$ ולהתאים את $AB$ ל-$CD$ בכיוון הפוך - הזוויות השוות ב-$A$ וב-$D$ חייבות להיות באותו מקום בסדר הקודקודים.

משוואת מעגל שמרכזו $(a,b)$ ורדיוסו $R$ היא $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.

לכן המרכז הוא $(8,1)$ והרדיוס $R=\sqrt{100}=10$.

טעות נפוצה: לקרוא את המרכז עם הסימנים שבסוגריים ולכתוב $(-8,-1)$.

$B(0,7)$, $A(0,-5)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הפתרון השלילי של השורש ולמצוא רק $y-1=6$, כלומר נקודה אחת $(0,7)$.

לפי משפט הסינוסים, במשולש החסום במעגל שרדיוסו $R$: $\frac{CD}{\sin\angle CAD}=2R$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$R$ במקום ב-$2R$ ולקבל $CD=5$.

$AB=7-(-5)=12$ ו-$DC=10$ הן צלעות מתאימות (סעיף א(2)).

יחס הדמיון: $\frac{12}{10}=\frac65$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\left(\frac65\right)^2=\frac{36}{25}$.

טעות נפוצה: לכפול את יחס הדמיון ב-2 במקום להעלות בריבוע ולענות $\frac{12}{5}$.

המכנה $x$ מתאפס ב-$x=0$, ולכן התחום $x\neq0$.

טעות נפוצה: לענות $x\neq4$ - מסתכלים על המונה במקום על המכנה.

$f'(x)=0$ כאשר $x^2=4$, $x=\pm2$. המכנה $x^2$ חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x^2-4$: חיובי ל-$|x|>2$, שלילי ל-$0<|x|<2$.

$x=-2$: מעלייה לירידה - מקסימום, $f(-2)=-2-2=-4$.

$x=2$: מירידה לעלייה - מינימום, $f(2)=2+2=4$.

טעות נפוצה: לקבוע את הסוג רק לפי $x=\pm2$ בלי טבלה ולהחליף ביניהם - "מינימום ב-$(-2,-4)$ כי הערך קטן יותר". בפונקציה עם אסימפטוטה המקסימום יכול להיות נמוך מהמינימום.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום. ציר ה-$x$: $x+\frac4x=0\Rightarrow x^2+4=0$ - אין פתרון.

סקיצה: אסימפטוטה $x=0$. ענף ימני יורד מ-$+\infty$ עד $(2,4)$ ועולה; ענף שמאלי עולה עד $(-2,-4)$ ויורד ל-$-\infty$ ליד ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לכתוב $x^2=4$ (שגיאת סימן) ולקבל "חיתוך ב-$x=\pm2$" - שם נמצאים הקיצונים, לא חיתוכים.

$g$ היא הזזה של $f$ ב-4 יחידות למטה. המינימום $(2,4)$ עובר ל-$(2,0)$ - נקודת קיצון על ציר ה-$x$, ושם הגרף משיק לציר.

בדיקה: $g(x)=0\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow(x-2)^2=0$ - פתרון כפול $x=2$.

טעות נפוצה: לענות $(2,4)$ - זה המינימום של $f$, לפני ההזזה.

חיתוכים: $(0,2)$ ו-$\left(-\frac83,0\right)$. השטח:

טעות נפוצה: להציב $x=4$ בנגזרת במקום בפונקציה כדי למצוא את נקודת ההשקה ($y=\frac34$), ולקבל $y=\frac34x-\frac94$.

$x+4\ge0$, כלומר $x\ge-4$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge4$ - לפתור $x+4\ge0$ בטעות סימן.

ציר ה-$x$: $(x+1)\sqrt{x+4}=0$, כלומר $x=-1$ או $x=-4$ - הנקודות $(-1,0)$ ו-$(-4,0)$.

ציר ה-$y$: $f(0)=1\cdot\sqrt4=2$ - הנקודה $(0,2)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $(-4,0)$, שבה מתאפס השורש.

כלל המכפלה: נגזרת של $x+1$ היא 1, ונגזרת של $\sqrt{x+4}$ היא $\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$:

טעות נפוצה: במכנה המשותף להכפיל את $\sqrt{x+4}$ רק ב-2 (בלי $\sqrt{x+4}$) ולקבל במונה $2+x+1=x+3$.

$f'(x)=0$ כש-$3x+9=0$, כלומר $x=-3$.

ב-$-4<x<-3$: $f'<0$; ב-$x>-3$: $f'>0$. לכן ב-$x=-3$ מינימום: $f(-3)=-2\cdot1=-2$.

בקצה התחום $f(-4)=0$ והפונקציה יורדת אחריו, ולכן $(-4,0)$ מקסימום.

טעות נפוצה: לא לבדוק את קצה התחום ולענות שיש רק מינימום $(-3,-2)$.

מסמנים: התחלה ב-$(-4,0)$, מינימום $(-3,-2)$, חיתוכים $(-1,0)$ ו-$(0,2)$, ועלייה מתמדת אחרי $x=-3$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף גם משמאל ל-$x=-4$.

$g=f+3$ - הזזה למעלה ב-3: שיעורי ה-$x$ והסוג נשארים, ושיעורי ה-$y$ גדלים ב-3.

מקסימום $(-4,3)$, מינימום $(-3,1)$.

הערך הקטן ביותר של $g$ הוא ערך המינימום, 1 (בקצה $g(-4)=3$, ואחרי המינימום $g$ עולה). לכן $g(x)\ge1>0$, והגרף לא מגיע לציר ה-$x$.

טעות נפוצה: להזיז את נקודות הקיצון ימינה ב-3 ולקבל $(-1,0)$ ו-$(0,-2)$.

$EF\perp BC$, ולכן במשולש $KFC$ הזווית ב-$F$ ישרה והיתר $KC=5$:

טעות נפוצה: לכתוב $FK^2=FC^2+KC^2$ - כאילו $FK$ הוא היתר - ולקבל $FK=\sqrt{25+x^2}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הצלע $KC$ ולכתוב $P(x)=x+\sqrt{25-x^2}$.

$P'(1)>0$, $P'(4)=1-\frac43<0$ - מקסימום.

$BC=2x=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\approx7.07$ ס"מ.

טעות נפוצה: לענות $x=\frac{5}{\sqrt2}\approx3.54$ - זה $FC$, לא $BC$.

$FK=\sqrt{25-12.5}=\frac{5}{\sqrt2}$, ולכן $AB=EF=5+\frac{5}{\sqrt2}$.

טעות נפוצה: לקחת $AB=FK$ (לשכוח את $EK=5$) ולקבל $10\sqrt2+5\sqrt2=15\sqrt2\approx21.21$.